第5章 5.2.1 基本初等函数的导数（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第5章　5.2　5.2.1 [必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列结论正确的是(　　) A．若y＝0，则y′＝0 B．若y＝5x，则y′＝5 C．若y＝x－1，则y′＝－x－2 D．若y＝x，则y′＝x 解析　当y＝x时，y′＝(x)′＝x－. 答案　ABC 2．(2025·临夏期末)曲线y＝ln x在点处的切线方程为(　　) A．y＝ex－2 B．y＝x C．y＝ex－e2＋1 D．y＝x＋1 解析　已知y＝ln x，函数定义域为， 可得y′＝， 此时y′|x＝e＝， 所以曲线y＝ln x在点处的切线方程为 y－1＝， 即y＝x. 故选B． 答案　B 3．对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为(　　) A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x4－2 C．f(x)＝x3＋1 D．f(x)＝x4－1 解析　由f′(x)＝4x3知f(x)中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得，选B． 答案　B 4．(多选题)已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为(　　) A．(－1,1) B．(－1，－1) C．(1,1) D．(1，－1) 解析　y′＝3x2，因为k＝3， 所以3x2＝3，所以x＝±1， 则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)． 答案　BC 5．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________. 解析　因为f(x)＝x2，g(x)＝ln x， 所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0， f′(x)－g′(x)＝2x－＝1， 即2x2－x－1＝0， 解得x＝1或x＝－(舍去)．故x＝1. 答案　1 6．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________. 解析　因为y′＝， 所以切线方程为y－＝(x－a)， 令x＝0，得y＝， 令y＝0，得x＝－a， 由题意知··a＝2，所以a＝4. 答案　4 7．已知函数y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝________. 解析　设切点为(x0，y0)， ∵y′＝，∴k＝， ∴y＝·x， 又点(x0，y0)在曲线y＝ln x上， ∴y0＝ln x0，∴ln x0＝，∴x0＝e，∴k＝. 答案　 8．若质点P的运动方程是s(t)＝(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8 s时的瞬时速度． 解析　∵s′(t)＝()′＝(t)′＝t－， ∴s′(8)＝×8－＝×2－1＝， ∴质点P在t＝8 s时的瞬时速度为 m/s. [关键能力·综合提升] 9．(2025·长沙期末)已知过点的直线与曲线y＝ex相切于点A，则切点A的坐标为(　　) A． B． C． D． 解析　设切点坐标为(t，et)，由y＝ex，得y′＝ex， 则过切点的切线方程为y－et＝et(x－t)， 把点代入切线方程得，0－et＝et(－1－t)，即tet＝0， 又et>0，所以t＝0，则et＝1， 则切点坐标为. 故选A． 答案　A 10．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A．e2 B．2e2 C．e2 D． 解析　因为y′＝ex，所以切线的斜率k＝e2， 所以切线方程为y＝e2x－e2，它与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－e2)，(1,0)， 所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 答案　D 11．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________. 解析　∵y′＝2x， ∴y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)． 又该切线与x轴的交点坐标为(ak＋1,0)， ∴ak＋1＝ak，即数列{ak}是首项为a1＝16，公比为q＝的等比数列， ∴a3＝4，a5＝1， ∴a1＋a3＋a5＝21. 答案　21 12．点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是________. 解析　与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小．设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1， ∴x0＝，y0＝， 即P到直线y＝x－1的距离最短． ∴d＝＝. 答案　 13．求证：曲线xy＝1上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数． 证明　由xy＝1，得y＝， 所以y′＝－. 在曲线xy＝1上任取一点P， 则在点P的切线的斜率k＝－， 切线方程为y－＝－(x－x0)， 即y＝－x＋. 设该切线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，则A(2x0,0)，B， 故S△OAB＝|OA|·|OB|＝|2x0|·＝2， 所以曲线上任意一点处的切线与坐标轴构成的三角形面积为常数． [核心素养·探索创新] 14．已知P为曲线y＝ln x上的一动点，Q为直线y＝x＋1上的一动点，则当P的坐标为______时，PQ最小，此时最小值为________. 解析　如图，当直线l与曲线y＝ln x相切且与直线y＝x＋1平行时，切点到直线y＝x＋1的距离即为PQ的最小值．易知(ln x)′＝，令＝1，得x＝1，故此时点P的坐标为(1,0)，所以PQ的最小值为＝. 答案　(1,0)　 15．已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由． 解析　不存在．由于y1＝sin x，y2＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，所以两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝y1′|x＝x0＝cos x0，k2＝y2′| x＝x0＝－sin x0. 若使两条切线互相垂直，必须使cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直. 学科网（北京）股份有限公司 $