第4章 阶段测评(二)[4.3]（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第4章　阶段测评(二)[4.3] (时间：50分钟，满分：100分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知等比数列{an}的公比为，且a5a3＝2a4，则a6＝(　　) A．2　　　　　　　　 B．1 C． D． 解析　∵a5a3＝a＝2a4，∴a4＝2，∴a6＝a4×2＝2×＝. 故选C． 答案　C 2．(2025·西双版纳期末)已知正项等差数列的首项为2，若a1，a2，a3＋1成等比数列，则a4＝(　　) A．2＋3 B．－2＋3 C．2－3 D．2＋3或2－3 解析　设等差数列的公差为d， 若a1，a2，a3＋1成等比数列，则a＝a1， 即2＝2，解得d＝±， 因为正项等差数列，则an>0，则a4>0， 当d＝－时，a4＝2－3<0，舍去； 当d＝时，a4＝2＋3， 所以a4＝2＋3. 故选A． 答案　A 3．若正项数列{an}满足－＝0，a4＋a5＝3，则a2＋a3＝(　　) A． B．1 C．6 D．12 解析　由－＝0可得＝， 即an＋1＝an， 即数列{an}是公比q＝的等比数列， 又a4＋a5＝3，可得a2q2＋a3q2＝(a2＋a3)q2＝3； 将q＝代入计算可得a2＋a3＝3×4＝12. 故选D． 答案　D 4．已知为等比数列，Sn为数列的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为(　　) A．3　　　 B．18 C．54　　　 D．152 解析　由题意可得：当n＝1时，a2＝2a1＋2， 即a1q＝2a1＋2，① 当n＝2时，a3＝2＋2， 即a1q2＝2＋2，② 联立①②可得a1＝2，q＝3，则a4＝a1q3＝54. 故选C． 答案　C 5．(2025·重庆期末)记Sn为等比数列的前n项和，若a4＋a5＋a6＝－3，a7＋a8＋a9＝9，则S15＝(　　) A．－81 B．81 C．50 D．61 解析　由题可知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，S15－S12成等比数列， 所以2＝S3，即2＝S3×9，得S3＝1， 因此上述等比数列的首项是1，公比是－3，那么S12－S9＝a10＋a11＋a12＝9×＝－27， S15－S12＝a13＋a14＋a15＝－27×＝81， 所以S15＝1＋＋9＋＋81＝61. 故选D． 答案　D 6．已知数列{an}满足a1＝2，a2n＝a2n－1＋3n(n∈N*)，a2n＋1＝a2n＋(－1)n＋1(n∈N*)，则数列{an}的第2025项为(　　) A． B． C． D． 解析　由a2n＋1＝a2n＋(－1)n＋1，a2n＝a2n－1＋3n， 得a2n＋1－a2n－1＝3n＋(－1)n＋1(n∈N*)， 所以a3－a1＝31＋(－1)2，a5－a3＝32＋(－1)3， a7－a5＝33＋(－1)4，…，a2025－a2023＝31012＋(－1)1013， 将上式相加得 a2025＝a1＋(－1)2＋(－1)3＋…＋(－1)1013＋3＋32＋33＋…＋31012＝2＋0＋＝.故选D． 答案　D 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．(2025·绍兴期末)已知数列满足an＋1＝2an＋1，a1＝2，则(　　) A．a3＝11 B．是等比数列 C．an＝3×2n－1－1 D．是等比数列 解析　由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2，则数列是以a1＋1＝3为首项，2为公比的等比数列， 所以an＋1＝3×2n－1，从而an＝3×2n－1－1，C正确． 由an＝3×2n－1－1得a3＝3×23－1－1＝11，A正确． 由an－1＝3×2n－1－2得a1－1＝1，a2－1＝4， a3－1＝10， 故数列不是等比数列，B错误． 由an＋1－an＝3×2n－1－3×2n－1＋1＝3×2n－1得＝2， 故数列是以3为首项，2为公比的等比数列，D正确． 故选ACD． 答案　ACD 8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项积为Tn，则下列结论正确的是(　　) A．数列是等差数列 B．数列{S2n＋2－S2n}是等差数列 C．数列是等比数列 D．数列{lg Tn}是等差数列 解析　设等差数列{an}的公差为d， 则Sn＝na1＋d，∴＝a1＋. 对于A选项，－＝a1＋－a1－＝，∴为等差数列，A正确； 对于B选项，令cn＝S2n＋2－S2n＝a2n＋2＋a2n＋1， ∴cn＋1－cn＝(a2n＋4＋a2n＋3)－(a2n＋2＋a2n＋1)＝4d，故数列{S2n＋2－S2n}是等差数列，B正确； 设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)， 对于C选项，令dn＝＝b2n＋2·b2n＋1， 则＝＝q4，故数列是等比数列，C正确； 对于D选项，∵lg Tn＋1－lg Tn＝lg＝lg bn＋1不一定为常数，故数列{lg Tn}不一定是等差数列，故D错误； 故选ABC． 答案　ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9．已知等比数列{an}中，＝2，a4＝8，则a6＝________. 解析　设等比数列{an}的公比为q，则＝＝2，即q＝2，所以a6＝a4q2＝32. 答案　32 10．(2025·咸阳期末)设各项均为正数的等比数列的前n项和为Sn，若S3＝3，S6＝9，则S9＝________. 解析　因为是各项均为正数的等比数列， 所以S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，所以2＝·S3， 解得S9＝21. 答案　21 11．某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药(片剂)，要求此患者每天早、晚间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克．假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量是________毫克，若该患者坚持长期服用此药________(填“有”或“无”)明显副作用． 解析　设该患者第n次服药后，药在他体内的残留量为an毫克， 由题意可得：a1＝200， a2＝200＋a1×(1－50%)＝200×1.5＝300， a3＝200＋a2×(1－50%)＝200＋200×1.5×0.5＝350，故第二天上午8时他第三次服药后，药在他体内的残留量为350毫克； 该患者若长期服用此药，则此药在体内残留量为＝400(1－0.5n)， ∵0.5n>0，则400(1－0.5n)<400，∴长期服用此药，不会产生副作用，即该患者长期服用该药，不会产生副作用． 答案　350　无 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．(13分)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－n＋1. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn. 解析　(1)当n＝1时，a1＝S1＝1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－n＋1－[(n－1)2－(n－1)＋1]＝2n－2. 所以an＝ (2)当n＝1时，＝. 当n≥2时，＝＝. Tn＝＋＝＋＝， 当n＝1时也成立． 故Tn＝. 13．(15分)在数列{an}中，a1＝－1，an＝2an－1＋3n－6(n≥2，n∈N*)． (1)求证：数列{an＋3n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an＋n，求数列{bn}的前n项和Tn. (1)证明　∵an＝2an－1＋3n－6(n≥2，n∈N*)， ∴当n≥2时， ＝＝＝2， ∴数列{an＋3n}是首项为a1＋3＝2，公比为2的等比数列， ∴an＋3n＝2n，an＝2n－3n. (2)解析　bn＝an＋n＝2n－3n＋n＝2n－2n. 数列{bn}的前n项和Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝(21－2)＋(22－4)＋(23－6)＋…＋(2n－2n) ＝21＋22＋…＋2n－(2＋4＋6＋…＋2n) ＝－×n＝2n＋1－2－n(n＋1)． 14．(15分)在数列{an}中，a1＝6，(2n－1)an＝(4n＋2)an－1，n≥2且n∈N*. (1)设bn＝，证明{bn}是等比数列； (2)设Tn为数列{an}的前n项和，是否存在互不相等的正整数m，n，t满足2n＝m＋t，且Tm－2，Tn－2，Tt－2成等比数列？若存在，求出所有满足要求的m，n，t的值；若不存在，请说明理由． (1)证明　当n≥2时，bn－1＝， 由(2n－1)an＝(4n＋2)an－1， 得＝，即bn＝2bn－1， 又b1＝＝2， ∴数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)解析　由(1)得bn＝＝2n， ∴an＝(2n＋1)·2n， ∴Tn＝3×21＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n， 2Tn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1， 两式相减得－Tn＝6－(2n＋1)·2n＋1＋23＋24＋…＋2n＋1＝6－(2n＋1)·2n＋1＋ ＝6－(2n＋1)·2n＋1＋2n＋2－8 ＝－2＋(1－2n)·2n＋1， ∴Tn＝(2n－1)·2n＋1＋2. 假设存在互不相等的正整数m，n，t满足2n＝m＋t，且Tm－2，Tn－2，Tt－2成等比数列， 则(2n－1)2·22n＋2＝(2m－1)·2m＋1·(2t－1)·2t＋1， 即(2n－1)2·22n＋2＝(2m－1)(2t－1)·2m＋t＋2，又2n＝m＋t， ∴(m＋t－1)2＝(2m－1)(2t－1)， 整理可得(m－t)2＝0， 即m＝t，与m，n，t互不相等矛盾， ∴不存在互不相等的正整数m，n，t满足2n＝m＋t，且Tm－2，Tn－2，Tt－2成等比数列. 学科网（北京）股份有限公司 $