第4章 4.4 数学归纳法（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第4章　4.4* [必备知识·基础巩固] 1．下面四个判断中，正确的是(　　) A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)，当n＝1时，原式＝1 B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)，当n＝1时，原式＝1＋k C．式子1＋＋＋…＋(n∈N*)，当n＝1时，原式＝＋＋ D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋ 解析　A．当n＝1时，原式＝1＋k，错误；B．当n＝1时，原式＝1，错误；C．当n＝1时，原式＝＋＋，正确；D．f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－，错误．故选C． 答案　C 2．设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1为(　　) A．Sk＋　　　　 B．Sk＋＋ C．Sk＋－ D．Sk＋－ 解析　因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由Sk＝＋＋…＋，　① 得Sk＋1＝＋＋…＋＋＋.　② 由②－①，得Sk＋1－Sk＝＋－ ＝－， 故Sk＋1＝Sk＋－. 答案　C 3．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<n(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了(　　) A．1项 B．k项 C．2k－1项 D．2k项 解析　增加项为＋＋＋…＋，共2k项． 答案　D 4．对于不等式 <n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下： (1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立． (2)假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 <k＋1，则n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1， ∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法(　　) A．过程全都正确 B．n＝1验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 解析　n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D． 答案　D 5．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于________. 解析　f(n＋1)－f(n)＝＋＋. 答案　＋＋ 6．用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)时，初始值n0应等于________. 解析　由题意，当n＝1时，21<(1＋1)2；当n＝2时，22<(2＋1)2；当n＝3时，23<(3＋1)2；当n＝4时，24<(4＋1)2；当n＝5时，25<(5＋1)2；当n＝6时，26>(6＋1)2，所以用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)时，初始值n0应等于6. 答案　6 7．用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________. 解析　观察不等式左边的分母可知，后一项比前一项多1，因此由n＝k到n＝k＋1左边多出了这一项． 答案　＋＋…＋＋>－ 8．用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)． 证明　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立， 即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2， 那么，当n＝k＋1时，1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2. 这就是说，当n＝k＋1时等式成立． 根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立． [关键能力·综合提升] 9．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为(　　) A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 解析　增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C． 答案　C 10．(多选题)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么下列命题不成立的是(　　) A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2成立 D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 解析　对于A，若f(3)≥9成立，由题意只可得出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错；对于B，若f(5)≥25成立，则当k≥5时均有f(k)≥k2成立，故B错；对于C应改为“若f(7)≥49成立，则当k≥7时，均有f(k)≥k2成立”，故C错． 答案　ABC 11．已知数列，，，…，，通过计算得S1＝，S2＝，S3＝，由此可猜测Sn＝________. 解析　法一　通过计算易得答案． 法二　Sn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝1－＝. 答案　 12．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是________. 解析　当n＝k时，左边式子为(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)．当n＝k＋1时，左边式子为(k＋2)·(k＋3)·…·(k＋k)·(2k＋1)(2k＋2)．故左边增乘的因式是2(2k＋1)． 答案　2(2k＋1) 13．设函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy. (1)求f(0)的值； (2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值； (3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N*)的表达式，并用数学归纳法加以证明． 解析　(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0⇒f(0)＝0. (2)f(1)＝1，f(2)＝f(1＋1)＝1＋1＋2＝4， f(3)＝f(2＋1)＝4＋1＋2×2×1＝9， f(4)＝f(3＋1)＝9＋1＋2×3×1＝16. (3)猜想f(n)＝n2，下面用数学归纳法证明． 当n＝1时，f(1)＝1满足条件． 假设当n＝k(k∈N*)时成立，即f(k)＝k2， 则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2k＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2， 从而可得当n＝k＋1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有f(n)＝n2. [核心素养·探索创新] 14．(多选题)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总有f(k＋1)≥k＋2成立．则下列命题总成立的是(　　) A．若f(6)<7成立，则f(5)<6成立 B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立 C．若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立 D．若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立 解析　若f(5)<6不成立，则f(5)≥6，由题意知f(6)≥7，与f(6)<7成立矛盾，所以f(5)<6成立，A正确．若f(4)≥5成立，则f(n0＋1)≥n0＋2(n0≥4，n0∈N*)，即f(k)≥k＋1(k≥5)，结合f(4)≥5，所以当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立，故D正确．故选AD． 答案　AD 15．已知函数f(x)＝ax－x2的最大值不大于，且当x∈时，f(x)≥. (1)求a的值； (2)设0<a1<，an＋1＝f(an)，n∈N*，证明：an<. (1)解析　由题意， 知f(x)＝ax－x2＝－2＋. 因为f(x)max≤， 所以f(x)max＝f＝≤，所以a2≤1. 又当x∈时，f(x)≥， 所以，即，解得a≥1. 又a2≤1，所以a＝1. (2)证明　由(1)知，f(x)＝x－x2. 下面用数学归纳法证明： ①当n＝1时，0<a1<，显然原不等式成立． 因为当x∈时，0<f(x)≤， 所以0<a2＝f(a1)≤<. 故当n＝2时，原不等式也成立． ②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式0<ak<成立． 因为f(x)＝x－x2的对称轴为直线x＝， 所以当x∈时，f(x)为增函数． 由0<ak<≤，得0<f(ak)<f. 于是0<ak＋1＝f(ak)<－·＋－＝－<. 所以当n＝k＋1时，原不等式也成立． 综合①②，知对任意n∈N*，不等式an<都成立． 学科网（北京）股份有限公司 $