第5章 5.1.1 变化率问题（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学导数的概念及意义，以平均变化率（结合跳水运动实例）、瞬时变化率（通过极限思想推导）、切线斜率（依托抛物线模型）为核心知识点，构建从具体到抽象的学习支架，衔接物理背景与数学概念。 资料特色在于用跳水运动、抛物线切线等真实情境引导学生用数学眼光观察现实世界，通过平均到瞬时变化率的推导培养数学思维中的逻辑推理与数学运算能力。题型含步骤总结与变式练习，课中辅助教师引导探究，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

5.1　导数的概念及其意义 5.1.1　变化率问题 学业标准 素养目标 1．理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念．(难点) 2．掌握函数平均变化率、瞬时变化率的求法．(重点) 1．通过平均变化率和瞬时变化率概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助求平均变化率与瞬时变化率，提升数学运算等核心素养. 导学1　平均变化率 　在跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11. (1)在0≤t≤0.2这段时间里，运动员的平均速度是多少？ (2)在1≤t≤1.5这段时间里，运动员的平均速度是多少？ (3)在t1≤t≤t2这段时间里，运动员的平均速度又是多少？ [提示]　(1)＝＝1.82(m/s)． (2)＝＝－9.45(m/s)． (3)＝. 导学2　瞬时变化率 　如何求跳水运动员在t＝1时的速度？ [提示]　可以求在[1,1＋Δ t]时的平均速度，当Δ t很小时，可以近似认为平均速度就是t＝1时的速度． ◎结论形成 1．瞬时速度：把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． 2．平均速度与瞬时速度的关系 事实上，由＝＝－4.9Δ t－5可以发现，当Δ t无限趋近于0时，－4.9Δ t也无限趋近于0，所以无限趋近于－5.这与前面得到的结论一致．数学中，我们把－5叫做“当Δ t无限趋近于0时，＝的极限”，记为＝－5. 从物理的角度看，当时间间隔|Δ t|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝1时的瞬时速度．因此，运动员在t＝1 s时的瞬时速度v(1)＝－5 m/s. 导学3　抛物线的切线的斜率 　已知抛物线f(x)＝x2，P0(1,1)在抛物线上，抛物线上有异于P0的点P(x，x2)． (1)割线P0P的斜率k是什么？ (2)当点P趋近于点P0时，割线 P0P与过点P的切线PT有什么关系？ [提示]　(1)割线P0P的斜率k＝. (2)当点P趋近于点P0时，割线P0P趋近于过点P的切线PT. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在平均变化率中，函数值的增量为正值．(　　) (2)函数f(x)＝c(c为常数)在区间[x1，x2]上的平均变化率为0.(　　) (3)瞬时变化率是刻画某函数在区间[x1，x2]上函数值变化快慢的量．(　　) (4)在瞬时变化率中，Δ t可以为零．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　) A．1　 　 B．－1　 　 C．2　 　 D．－2 解析　＝＝－1. 答案　B 3．函数y＝f(t)，当自变量由t改变到t＋Δ t时，y的变化为(　　) A．f(t＋Δ t) B．f(t)＋Δ t C．f(t)·Δ t D．f(t＋Δ t)－f(t) 答案　D 4．函数y＝x2在x＝1处的瞬时变化率为(　　) A．2 B． C．－ D．1 解析　＝(Δ x＋2)＝2. 答案　A 题型一　求平均变化率 　已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)当自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快． [解析]　自变量x从1变到2时， 函数f(x)的平均变化率为＝＝； 自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为＝＝. 因为<，所以函数f(x)＝x＋当自变量x从3变到5时函数值变化得较快． 求函数平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量x2－x1； (2)求函数值的改变量f(x2)－f(x1)； (3)求平均变化率.　 [触类旁通] 1．函数y＝x2＋1在区间[1,1＋Δ x]上的平均变化率是(　　) A．2　　　　　　　　　 B．2x C．2＋Δ x D．2＋(Δ x)2 解析　∵(1＋Δ x)2＋1－(12＋1)＝2Δ x＋(Δ x)2， ∴＝2＋Δ x，故选C． 答案　C 题型二　求瞬时变化率　　　　　　　　　　　　　　　　 (一题多变) 　(1)以初速度v0(v0>0)垂直上抛物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为________. (2)某物体的运动方程为s(t)＝2t3，则物体在t＝1时的瞬时速度为________. [解析]　(1)∵s(t0＋Δ t)－s(t0) ＝v0(t0＋Δ t)－g(t0＋Δ t)2－ ＝v0Δ t－gt0Δ t－g(Δ t)2， ∴＝v0－gt0－gΔ t， ∴＝v0－gt0， 即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0. (2)∵当t＝1时，s(1＋Δ t)－s(1) ＝2(1＋Δ t)3－2×13 ＝2[1＋(Δ t)3＋3Δ t＋3(Δ t)2]－2 ＝2＋2(Δ t)3＋6Δ t＋6(Δ t)2－2 ＝2(Δ t)3＋6(Δ t)2＋6Δ t， ∴＝ ＝2(Δ t)2＋6Δ t＋6， ∴[2(Δ t)2＋6Δ t＋6]＝6， 则物体在t＝1时的瞬时速度为6. [答案]　(1)v0－gt0　(2)6 [母题变式] (变条件)若把本例(1)中的“v0”改为“v0＝20”，求物体在t＝3时刻的瞬时速度． 解析　因为s(3＋Δ t)－s(3)＝20(3＋Δ t)－g(3＋Δ t)2－＝(20－3g)Δ t－g(Δ t)2， 所以＝20－3g－gΔ t， 所以当Δ t无限趋近于0时，无限趋近于20－3g， 故物体在t＝3时刻的瞬时速度为20－3g. 求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量Δ t和位移改变量s(t0＋Δ t)－s(t0)． (2)求平均速度＝. (3)求瞬时速度，当Δ t无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度．　 [触类旁通] 2．做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.求此物体在t＝2时的瞬时速度． 解析　取一时间段[2,2＋Δ t]， s(2＋Δ t)－s(2)＝[3(2＋Δ t)－(2＋Δ t)2]－(3×2－22) ＝－Δ t－(Δ t)2， ＝＝－1－Δ t， ＝(－1－Δ t)＝－1， 所以当t＝2时，此物体的瞬时速度为－1. 题型三　曲线的切线 　求曲线y＝f(x)＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程． [解析]　因为点(1,3)在曲线上， 在点(1,3)的切线的斜率为 ＝ ＝ [(Δ x)2＋3Δ x＋2]＝2， 故所求切线方程为y－3＝2(x－1)， 即2x－y＋1＝0. [素养聚焦] 利用切线的斜率与割线斜率的关系，把数学抽象、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 若求曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程，其切线只有一条，点P(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，且是切点，其切线方程为y－y0＝k(x－x0)．　 [触类旁通] 3．已知曲线y＝的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 解析　设切点为P(x，y)，因为 ＝x＝，所以x＝1， 所以切点的横坐标为1. 答案　A 知识落实 技法强化 (1)平均速度． (2)瞬时速度． (3)曲线在某点处的切线方程. 从极限的角度理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系. 学科网（北京）股份有限公司 $