第4章 4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的综合应用(习题课)（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦等比数列前n项和的综合应用，通过实际应用问题、探索性问题及与等差数列的综合应用三大题型，构建从公式应用到实际建模再到综合探究的递进式学习支架。 资料以一题多解（如分期付款问题的两种解法）培养数学思维，通过探索性问题（如存在性证明）发展逻辑推理能力，实际应用问题（如手机分期付款）引导学生用数学眼光观察现实世界。课中助力教师分层教学，课后通过触类旁通练习帮助学生查漏补缺，强化知识落实。

第2课时　等比数列前n项和的综合应用(习题课) 题型一　等比数列前n项和的实际应用问题 (一题多解) 　[教材例11·提升]王老师在手机店买了一部手机，价值10 000元．双方协商，按分期付款方式，以月利率为1%，每月以复利计息还款，王老师从拿到手机后第二个月开始等额还款，分6个月还清，试问每月应还款多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051) [解析]　法一　设每个月还款a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还款a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)， 则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a， a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a， … a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a. 由题意，可知a6＝0， 即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0， ∴a＝. ∵1.016≈1.061，∴a＝≈1739. 故每月应还款1739元． 法二　一方面，将10 000元以相同的条件存储6个月，则它的本利和为 S1＝104(1＋0.01)6＝104×1.016(元)． 另一方面，设每个月还款a元，分6个月还清，到还清时，其本利和为 S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a ＝＝a(1.016－1)×102(元)． 由S1＝S2，得a＝. 以下解法同方法一，得a≈1739，故每月应还款1739元． 解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学(数列)问题，弄清该数列的结构和特征． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到实际问题中．　 [触类旁通] 1．某电商平台今年销售某国产品牌手机5000部，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000部(结果保留到个位)？(提示：lg 1.6≈0.20，lg 1.1≈0.041) 解析　根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同．所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列{an}，其中a1＝5000，q＝1＋10%＝1.1，Sn＝30 000. 于是得到＝30 000. 整理，得1.1n＝1.6. 两边取对数，得nlg 1.1＝lg 1.6. 根据提示算得n＝≈≈5(年)． 即大约5年可以使总销售量达到30 000部． 题型二　数列中的探索性问题 　(2025·南通期末)设数列的前n项和为Sn，Sn＝an－4an＋1，S1＝－1. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式，并求数列的最大项； (3)是否存在正整数p，q，且p<7<q，使得2ap,3a7,2aq成等差数列？若存在，求出p，q的值；若不存在，请说明理由． (1)[证明]　∵Sn＝an－4an＋1　①， ∴Sn＋1＝an＋1－4an＋2　②， ②－①⇒an＋1＝an＋1－4an＋2－an＋4an＋1， ∴4an＋2＝4an＋1－an， 故4an＋2－2an＋1＝2an＋1－an， ∴2an＋2－an＋1＝. 而在①中令n＝1⇒a1＝a1－4a2，又S1＝－1， ∴a2＝0，∴2a2－a1＝1≠0， ∴是首项为1，公比为的等比数列． (2)[解析]　由(1)得，2an＋1－an＝， 则2nan＋1－2n－1an＝1， 所以数列是以首项为－1，公差为1的等差数列． 所以2n－1an＝n－2，解得an＝. 由an＋1－an＝－＝≥0，解得n≤3， 所以a1<a2<a3＝a4>a5>a6>a7>…>an>…， 所以数列的最大项为a3＝a4＝. (3)[解析]　由2ap,3a7,2aq成等差数列，得 ＋＝. 因为q>7，所以>0，所以<. 又1≤p<7，p∈N*， 显然a1＝－1，a2＝0不成立， a3＝a4＝>，不成立， 所以，若p存在，p＝5或6. 当p＝5时，＋＝，即＝，q＝8. 当p＝6时，＋＝，即＝. 而a8＝<， 根据数列的单调性，当q>8时，aq<，所以q无解． 综上，存在p＝5，q＝8，使得2ap,3a7,2aq成等差数列． 在探索性问题中，多个条件都可以填入求解，总体思想就是代入，通过基本公式求出首项、公差、公比即可．　 [触类旁通] 2．(2025·嘉兴期末)已知为等差数列，a2＝6，a5＝15，记bn＝a3n(n∈N*)． (1)求数列，的通项公式； (2)在bn与bn＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列， ①求数列的前n项和Tn； ②在数列中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 解析　(1)依题意，等差数列的公差d＝＝＝3， an＝a2＋(n－2)d＝3n，bn＝a3n＝3×3n＝3n＋1， 所以数列，的通项公式分别为an＝3n， bn＝3n＋1. (2)①依题意，bn＋1＝bn＋(n＋2－1)dn， 则dn＝，＝×， 设cn＝，记cn的前n项和为Qn， Qn＝＋＋＋…＋，Qn＝＋＋＋…＋， 两式相减得 Qn＝＋＋＋＋…＋－ ＝＋－ ＝＋－－＝－， 因此Qn＝－， 所以Tn＝Qn＝－. ②假设数列dn中存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列，则d＝dm·dp， 于是2＝·， 即2＝， 由m，k，p成等差数列，得2k＝m＋p， 则(k＋1)2＝(m＋1)(p＋1)， 化简得k2＋2k＝mp＋m＋p，因此k2＝mp，又2k＝m＋p，则k＝m＝p与已知矛盾， 所以数列中不存在3项dm，dk，dp成等比数列． 题型三　等差数列、等比数列及前n项和的综合应用 　设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2. (1)求{an}的通项公式； (2)求ea1＋ea2＋…＋ean. [解析]　(1)设{an}的公差为d. 因为a2＋a3＝5ln 2， 所以2a1＋3d＝5ln 2. 又a1＝ln 2，所以d＝ln 2. 所以an＝a1＋(n－1)d＝nln 2. (2)因为ea1＝eln 2＝2，＝e an－an－1＝eln 2＝2， 所以数列{ean }是首项为2，公比为2的等比数列， 所以e a1＋ea2＋…＋e an＝ ＝2(2n－1)＝2n＋1－2. [素养聚焦] 通过等差、等比数列及前n项和的综合运用，把逻辑推理、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 解决等差数列与等比数列综合问题(即双数列问题)的关键在于用好它们的有关知识，理顺两个数列间的关系．注意运用等差数列与等比数列的基本量，还应注意等差数列与等比数列之间的相互转化．　 [触类旁通] 3．已知公差不为0的等差数列{an}满足S7＝77，a1，a3，a11成等比数列． (1)求an； (2)若bn＝2 an，求{bn}的前n项和Tn. 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， 由S7＝＝77可得7a4＝77， 则a1＋3d＝11.① 因为a1，a3，a11成等比数列， 所以a＝a1a11，整理得2d2＝3a1d. 又d≠0，所以2d＝3a1，② 联立①②，解得a1＝2，d＝3，所以an＝3n－1. (2)因为bn＝2an＝23n－1＝4·8n－1，所以{bn}是首项为4，公比为8的等比数列． 所以Tn＝＝. 知识落实 技法强化 (1)等比数列前n项和的实际应用． (2)数列中的探索性问题． (3)数列中的综合问题. 在实际应用中进行计算时首项和项数常常弄错. 学科网（北京）股份有限公司 $