第4章 4.3.2 第1课时 等比数列的前n项（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦等比数列前n项和公式这一核心知识点，系统梳理公式推导（错位相减法）、基本运算（知三求二）、错位相减法求和及前n项和性质（如Sₙ，S₂ₙ-Sₙ，S₃ₙ-S₂ₙ成等比数列），承接等比数列定义与通项公式，为数列综合应用奠定基础。 资料以问题链引导公式推导，通过一题多解、母题变式（如错位相减法中不同数列构造）培养逻辑推理与数学运算素养，结合高考真题（如2025年全国卷题目）强化应用。课中助力教师系统授课，课后学生可通过例题解析与分层练习查漏补缺，提升解决实际问题能力。

4.3.2　等比数列的前n项和公式 学业标准 素养目标 1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点) 2．会用错位相减法求数列的和．(重点) 3．能利用等比数列的前n项和解决实际问题．(难点) 1．通过等比数列前n项和公式的推导，培养逻辑推理、数学抽象等核心素养． 2．通过运用错位相减法求和，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. 第1课时　等比数列的前n项和 导学　等比数列的前n项和公式 　已知等比数列{an}，公比为q，Sn是其前n项的和，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. (1)若q＝1，则Sn与a1有何关系？ (2)若q≠1，你能用a1，q直接表示Sn吗？如何表示？ [提示]　(1)Sn＝na1. (2)能．∵Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，① 两边同乘以q，可得qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，② ①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn， ∴当q≠1时，Sn＝. ◎结论形成 等比数列的前n项和公式 已知量　 首项a1与公比q 首项a1， 末项an与公比q 公式 Sn＝q≠1 Sn＝q≠1 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求．(　　) (2)首项为a(a≠0)的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.(　　) (3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．(　　) (4)若数列{an}的前n项和Sn＝则数列{an}不是等比数列．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，a2＝4，那么S10等于(　　) A．210＋2　　　 　　　 B．29－2 C．210－2 D．211－2 解析　因为q＝＝2，且a1＝2，所以S10＝＝＝2(210－1)＝211－2. 答案　D 3．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为(　　) A．4　　　 B．－4 C．2　　　 D．－2 解析　由S5＝＝44，得a1＝4. 答案　A 4．若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________，前n项和Sn＝________. 解析　∵a3＋a5＝q(a2＋a4)，∴40＝20q， ∴q＝2，∵a1(q＋q3)＝20，∴a1＝2， ∴Sn＝＝2n＋1－2. 答案　2　2n＋1－2 题型一　等比数列的前n项和公式的基本运算(一题多解) 　在等比数列{an}中． (1)若a1＝1，a5＝16，且q>0，求S7； (2)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n； (3)若a3＝，S3＝，求a1和公比q. [解析]　(1)∵{an}为等比数列且a1＝1，a5＝16， ∴a5＝a1q4， ∴16＝q4， ∴q＝2(负的舍去)． ∴S7＝＝＝127. (2)法一　由公式Sn＝，an＝a1qn－1 以及已知条件得 ∴a1·2n＝192，∴2n＝. ∴189＝a1(2n－1)＝a1， ∴a1＝3. 又2n－1＝＝32，∴n＝6. 法二　由公式Sn＝及已知条件得 189＝， 解得a1＝3，又由an＝a1·qn－1， 得96＝3×2n－1，解得n＝6. (3)①当q≠1时，S3＝＝， 又a3＝a1·q2＝， ∴a1(1＋q＋q2)＝，即(1＋q＋q2)＝， 解得q＝－(q＝1舍去)， ∴a1＝6. ②当q＝1时，S3＝3a1， ∴a1＝. 综上得或 等比数列前n项和运算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体．　 [触类旁通] 1．(多选题)(2025·全国二卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0，若S3＝7，a3＝1，则(　　) A．q＝　　　　　　 B．a5＝ C．S5＝8 D．an＋Sn＝8 解析　对A，由题意得结合q>0，解得或(舍去)，故A正确； 对B，则a5＝a1q4＝4×4＝，故B错误； 对C，S5＝＝＝，故C错误； 对D，an＝4×n－1＝23－n，Sn＝＝8－23－n， 则an＋Sn＝23－n＋8－23－n＝8，故D正确； 故选AD． 答案　AD 题型二　错位相减法求数列前n项和 (一题多变) 　已知等比数列{an}满足a1＝，a1，a2，a3－成等差数列，公比q∈(0,1)， (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. [解析]　(1)设等比数列{an}的公比为q，a1＝， 因为a1，a2，a3－成等差数列， 所以2a2＝a1＋a3－，即得4q2－8q＋3＝0， 解得q＝或q＝， 又因为q∈(0,1)，所以q＝， 所以an＝·n－1＝. (2)根据题意得bn＝nan＝， Sn＝＋＋＋…＋，① Sn＝＋＋＋…＋，② ①－②得Sn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－－， 则Sn＝2－. [母题变式] 1．(变条件)本题中设cn＝，求数列{cn}的前n项和S′n. 解析　由题意知cn＝n·2n， 所以S′n＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－2)×2n－2＋(n－1)×2n－1＋n·2n， 2S′n＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－2)×2n－1＋(n－1)×2n＋n·2n＋1， 两式相减得：－S′n＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n－1＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，所以S′n＝(n－1)·2n＋1＋2. 2．(变条件)本题中设dn＝(2n－1)an，求数列{dn}的前n项和Tn. 解析　由题意可得 Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－1)×， Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－3)×＋(2n－1)×， 两式相减得 Tn＝1×＋2×＋…＋2×－(2n－1)×＝＋×－(2n－1)×＝－－， 所以Tn＝3－－＝3－. [素养聚焦] 通过运用错位相减法求和，把数学运算、逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 错位相减法的适用题目及注意事项 (1)适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和． (2)注意事项 ①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差． ②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况．　 [触类旁通] 2．(2025·深圳期末)已知数列的前n项和为Sn,2Sn＋1＝3an，数列满足b1＝a1，n＝bn. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn. 解析　(1)当n＝1时，2S1＋1＝2a1＋1＝3a1，则a1＝1＝b1； 当n≥2时，2an＝2Sn－2Sn－1＝3an－1－(3an－1－1)，整理得an＝3an－1， 因此数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为an＝3n－1； 由n＝bn得nbn＋1＝bn，即＝，所以数列是常数列，＝＝1，所以数列的通项公式为bn＝n. (2)由(1)知，anbn＝n·3n－1， 则Tn＝1×30＋2×31＋3×32＋…＋(n－1)·3n－2＋n·3n－1， 于是3Tn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋(n－1)·3n－1＋n·3n， 两式相减得 －2Tn＝30＋31＋32＋…＋3n－2＋3n－1－n·3n ＝－n·3n＝－＋， 所以Tn＝＋. 题型三　等比数列前n项和的性质 　[教材例9·迁移](1)(2024·渭南模拟)已知等比数列的前n项和为Sn，若S3＝10，S6＝20，则S9＝(　　) A．20 B．30 C．40 D．50 (2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________. [解析]　(1)因为是等比数列，所以S3，S6－S3，S9－S6(S3≠0)成等比数列，即10,10，S9－20成等比数列， 显然S9－20＝10⇒S9＝30， 故选B． (2)由题意，得 解得 所以q＝＝＝2. [答案]　(1)B　(2)2 等比数列前n项和性质的应用 (1)等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(q≠－1)． (2)若项数为2n，则＝q(S奇≠0)；若项数为2n＋1，则＝q(S偶≠0)．　 [触类旁通] 3．(2025·全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于________. 解析　法一(基本量法)　设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q>0，又S4＝4，S8＝68，所以q≠1.由S4＝4得＝4　①，由S8＝68得＝68　②，得＝，即＝1＋q4＝17，所以q4＝16，又q>0，所以q＝2. 法二(等比数列等n项和性质法)　设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q>0，因为S4＝4，S8＝68，所以S8－S4＝64，因为S4，S8－S4，S12－S8，…成等比数列，且公比为q4，所以q4＝＝＝16，又q>0，所以q＝2. 答案　2 4．若等比数列{an}的公比为，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为________. 解析　令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60， Y＝a2＋a4＋…＋a100， 则S100＝X＋Y， 由等比数列前n项和性质知＝q＝， 所以Y＝20， 即S100＝X＋Y＝80. 答案　80 知识落实 技法强化 (1)等比数列前n项和公式的推导． (2)等比数列前n项和公式的基本运算． (3)错位相减法. (1)前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况． (2)应用等比数列前n项和的性质要注意使用整数的思想，即常把qn、Sn等看作一个整体. 学科网（北京）股份有限公司 $