第4章 4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦等差数列前n项和公式这一核心知识点，从钢管堆放情境引入，通过倒序相加法推导公式，系统梳理a₁、n、d、aₙ、Sₙ五个量的关系，衔接aₙ与Sₙ的应用及前n项和性质，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以情境化设计和素养培养为亮点，用钢管问题引导学生用数学眼光观察，推导过程渗透逻辑推理，例题一题多解提升数学运算，性质应用结合实际问题培养数学建模。课中助力教师问题链引导教学，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识落实。

4.2.2　等差数列的前n项和公式 学业标准 素养目标 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程，掌握等差数列五个量a1，n，d，an，Sn之间的关系．(重点) 2．掌握等差数列前n项和公式、性质及其应用．(难点) 3．能利用等差数列前n项和解决实际问题. 1.通过对等差数列前n项和的推导，培养逻辑推理、数学运算等核心素养． 2．借助等差数列的前n项和公式及性质的应用，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 3．通过等差数列中的实际问题，培养数学建模等核心素养. 第1课时　等差数列的前n项和 导学　等差数列的前n项和 　如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根． (1)共有几层？图形的横截面是什么形状？ (2)假设在这堆钢管旁边再倒放上捆扎着的同样的一堆钢管，如图所示，则这样共有多少根钢管？ (3)原来有多少根钢管？ (4)能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式Sn＝a1＋a2＋…＋an? (5)试用a1，d，n表示Sn. [提示]　(1)六层，等腰梯形． (2)(4＋9)×6＝78. (3)×78＝39. (4)能．Sn＝a1＋a2＋…＋an， Sn＝an＋an－1＋…＋a1， 相加，得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)＝n(a1＋an)， ∴Sn＝. (5)∵an＝a1＋(n－1)d， ∴Sn＝＝na1＋d. ◎结论形成 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用 公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知等差数列的首项、公差，可求S10.(　　) (2)在等差数列中涉及a1，d，n，an，Sn五个量，知道其中三个，可求出另外两个．(　　) (3)在等差数列{an}中，若a1＝2，a9＝10，则S9＝45.(　　) (4)公式an＝Sn－Sn－1成立的条件是n∈N*.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　 (4)× 2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于(　　) A．13　　　　　　　 B．35 C．49 D．63 解析　∵a2＋a6＝a1＋a7＝14， ∴S7＝＝49. 答案　C 3．(2025·烟台期末)已知等差数列的前n项和为Sn，且a6＋a8＝8，则S13＝(　　) A．52 B．104 C．112 D．120 解析　S13＝＝＝＝52. 故选A． 答案　A 4．(2025·上海卷)已知等差数列{an}的首项a1＝－3，公差d＝2，则该数列的前6项和为________. 解析　根据等差数列的求和公式，S6＝6a1＋d＝12. 故答案为12. 答案　12 题型一　等差数列前n项和的有关计算 (一题多解) 　[教材例6·提升]在等差数列{an}中． (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8； (2)已知a2＋a4＝，求S5. [解析]　(1)法一　∵a6＝10，S5＝5， 解得 ∴a8＝a6＋2d＝16. 法二　∵S6＝S5＋a6＝15， ∴15＝，即3(a1＋10)＝15. ∴a1＝－5，d＝＝3. ∴a8＝a6＋2d＝16. (2)法一　a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝， 所以a1＋2d＝. 所以S5＝5a1＋×5×(5－1)d＝5a1＋2×5d ＝5(a1＋2d)＝5×＝24. 法二　a2＋a4＝a1＋a5，所以a1＋a5＝. 因为Sn＝， 所以S5＝＝×＝24. 1．本题解答中，第(1)小题法一运用了方程的思想，属基本运算，通性通法；法二使用了Sn＝Sn－1＋an.第(2)小题因为条件只有一个，所以运用整体代换的思想．　 2．由于Sn＝，故计算时考虑一下“a1＋an”这个小团体是否可以借助等差数列的性质求解． 3．等差数列的通项公式和前n项和公式共涉及“a1，an，d，n及Sn”五个量，反映了“知三求二”的方程思想． [触类旁通] 1．在等差数列{an}中． (1)已知a1＝，d＝－，Sm＝－15，求m及am； (2)已知a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求d； (3)已知S5＝24，求a2＋a4. 解析　(1)∵Sm＝m·＋·＝－15，整理，得m2－7m－60＝0， 解得m＝12或m＝－5(舍去)， ∴am＝a12＝＋(12－1)×＝－4. (2)由Sn＝＝＝－1022， 得n＝4，又由an＝a1＋(n－1)d， 即－512＝1＋(4－1)d， 解得d＝－171. (3)法一　设等差数列的首项为a1，公差为d，则S5＝5a1＋d＝24，得5a1＋10d＝24，a1＋2d＝. ∴a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2×＝. 法二　由S5＝＝24，得a1＋a5＝. ∴a2＋a4＝a1＋a5＝. 题型二　an与Sn的关系的应用(一题多变) 　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n. (1)求a1及an； (2)判断这个数列是否是等差数列． [解析]　(1)因为Sn＝2n2－30n， 所以当n＝1时， a1＝S1＝2×12－30×1＝－28， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. 经验证当n＝1时上式成立， 所以an＝4n－32. (2)由an＝4n－32，得an－1＝4(n－1)－32(n≥2)， 所以an－an－1＝4n－32－[4(n－1)－32]＝4(常数)， 所以数列{an}是等差数列． [母题变式] (变条件、变结论)将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an并判断数列{an}是否是等差数列． 解析　因为Sn＝2n2－30n＋1，所以当n＝1时， a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]＝4n－32. 经验证当n＝1时上式不成立， 所以an＝ 所以数列{an}不是等差数列． 利用Sn判断{an}是否为等差数列 如果数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn，那么数列{an}成等差数列．　 [触类旁通] 2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－2n2＋3n＋1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)问数列{an}是否为等差数列？ 解析　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋3n＋1)－[－2(n－1)2＋3(n－1)＋1]＝－4n＋5.又当n＝1时，a1＝2不满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝ (2)由(1)知，当n≥2时，an＋1－an＝－4(n＋1)＋5－(－4n＋5)＝－4，但a2－a1＝－3－2＝－5，所以数列{an}不是等差数列． 题型三　等差数列前n项和的性质 　[教材例7·迁移](1)已知等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为(　　) A．130　　　　　　　 B．170 C．210 D．260 (2)已知等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为________. [解析]　(1)利用等差数列的性质，知S3，S6－S3，S9－S6成等差数列． 所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)， 即30＋(S9－100)＝2(100－30)，解得S9＝210. (2)因为an＝2n＋1，所以a1＝3， 所以Sn＝＝n2＋2n， 所以＝n＋2， 所以是公差为1，首项为3的等差数列， 所以数列的前10项和为3×10＋×1＝75. [答案]　(1)C　(2)75 [素养聚焦] 通过等差数列的前n项和的性质的应用，把逻辑推理和数学运算等核心素养体现在解题过程中． 等差数列前n项和的常用性质 (1)等差数列的连续n项的和仍成等差数列，即Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等差数列． (2)数列是等差数列，公差为数列{an}的公差的. (3)若{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn与S′n，则＝.　 [触类旁通] 3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝________. 解析　数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)．因为S3＝9，S6－S3＝27，所以S9－S6＝45，所以a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45. 答案　45 4．在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝________. 解析　由 得 所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2. 答案　2 知识落实 技法强化 (1)等差数列前n项和公式的推导过程与基本计算． (2)an与Sn的应用． (3)等差数列前n项和的性质. 在等差数列中常涉及倒序相加法、公式法、整体代换法．由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论. 学科网（北京）股份有限公司 $