专题03图形的相似（期末复习知识清单，9知识15常考5易错题型）九年级数学上学期华东师大版

专题03图形的相似（9知识&15题型&5易错） 【清单01】比例的性质 性质1：＝⇔ad＝bc(a，b，c，d都不为0) 性质2(合比性质)：＝⇔＝(bd≠0) 性质3(等比性质)：＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)⇔＝ 【清单02】黄金分割 如图，点P把线段AB分成两条线段AP和BP，使AP＞BP，且＝，那么称线段AB被点P黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，所分成的较长一条线段AP与整条线段AB的比叫做黄金比，即＝≈0.618 【清单03】平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例 【清单04】相似多边形 定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比 性质 【清单05】相似多边形的性质 (1)相似多边形的对应角相等，对应边成比例 (2)相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 【清单06】相似三角形的判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似(选学) (2)两角对应相等的两个三角形相似 (3)两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似 (4)三条边对应成比例的两个三角形相似 【清单07】相似三角形的性质 2．相似三角形 (1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例 (2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)的比等于相似比 (3)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 【清单08】位似图形 如果两个图形满足以下两个条件：所有经过对应点的直线都相交于同一点；这个交点到两个对应点的距离之比都相等，那么这两个图形叫做位似图形．经过各对应两点的直线的交点叫做位似中心，位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比 【清单09】三角形的中位线 三角形的中位线平行且等于第三边的一半 【题型一】相似多边形的性质 【例1】如图，已知矩形矩形，点，分别在线段，上，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，相似多边形的性质． 由矩形的性质可得，，由矩形矩形，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． (1)___________； (2)求边的长度． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了相似四边形的性质，四边形的内角和，掌握相似四边形的性质是解题的关键． （1）根据相似四边形的性质得到，再根据四边形的内角和即可求解； （2）根据相似四边形的性质求解即可； 【详解】（1）解：∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：四边形与四边形相似， ， ， ， 解得：． 【变式1-2】如图，已知，点在边的延长线上，点在边的延长线上，，，且． (1)的度数为______； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似四边形的性质，正确理解相似多边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形、相似多边形的性质回答即可； （2）根据平行四边形、相似多角形的性质回答即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：四边形是平行四边形， ， ，，， ， ， ． 【题型二】比例的性质 【例1】如果线段，且线段b是线段a和c的比例中项，那么（　　） A．16 B．4 C．4或 D．16或 【答案】B 【分析】本题考查比例中项，根据比例中项的定义，得到，再结合线段长度为正值，即可求解． 【详解】解：∵，线段b是线段a和c的比例中项， ∴，， ∴； 故选B． 【变式1-1】若，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例关系设参数，代入表达式计算即可求解． 【详解】解：由，设，（）， 则． 故答案为：． 【变式1-2】若且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，设比值为，表示，，，再代入所求表达式计算即可，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：设，则，，， ∴， 故答案为：． 7．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，根据题意设，，，再代入中求解，即可解题． 【详解】解：， 可设，，， ． 【题型三】平行线分线段成比例定理 【例1】如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握该性质． 根据平行线分线段成比例逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵，， ∴， 该选项正确； B. ∵，， ∴， ∴； 该选项正确； C. ∵，， ∴， ∴， 该选项正确； D.根据给出条件无法得出， 该选项不一定正确； 故选：D． 【变式1-1】如图，两条直线，被三条平行线，，所截．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 【变式1-2】如图，，，，那么的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理是解题的基础． 根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，即可求得答案． 【详解】解：， ， 又， ， 故答案为：3． 【题型四】平行相似的应用 【例1】【如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定．根据平行线的性质，得出同位角相等，即可得出，，故，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ，， ∴， 故选：B 变式1-1】如图，在中，点E在边的延长线上，连接交于点F．图中的相似三角形有（   ）． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质和相似三角形的判定，掌握好利用平行线判定相似三角形的方法是关键． 根据平行线构成的相似模型来判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴，， 则和构成“A”字模型，故；和构成“8”字模型，所以， ∵，， ∴， ∴一共有3对相似三角形． 故选：C． 【变式1-2】如图，为矩形的对角线，N是边上的中点，请用尺规作图法在对角线上求作一点M，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作垂直平分线，相似三角形的判定． 作线段的垂直平分线交于M即可． 【详解】解：如图，点M即为所求．（答案不唯一） 证明：∵N是边上的中点， ∴N在线段的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴． 【题型五】用AA判断三角形相似 【例1】如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， 故A不符合题意； B、∵， ∴， 故B不符合题意； C、由图形可知，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故C不符合题意； D、由已知条件无法证明与相似，故D符合题意， 故选：D． 【变式1-1】如图，和是的高，则图中相似三角形共有（　　） A．3对 B．6对 C．2对 D．4对 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．利用相似的传递性确定相似三角形的对数．根据两组角对应相等两三角形相似确定出相似三角形即可． 【详解】解：和相交于O点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中相似三角形有：；；；；；，共6对相似三角形． 故选：B． 【变式1-2】如图，在中，F是延长线上一点，连接交于点E，请写出图中的一对相似三角形： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质，可得，从而可根据平行的性质，得到，从而可判断，，，据此作答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型六】用SAS判定三角形相似 【例1】如图，分别是的边，上一点，则下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐个分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故A能判定与相似，不符合题意； ∵，， ∴， 故B能判定与相似，不符合题意； ∵，条件未给出， ∴不能判定， 故C不能判定与相似，符合题意； ∵，， ∴， 故D能判定与相似，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】如图，已知，则下列图形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角、三角形内角和定理、相似三角形的判定等知识点，掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键． 直接利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∴． 根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可知C选项符合题意． 故选C． 【变式1-2】人们把黄金分割誉为“天赋”的比例法则．如图，在中，若点M是线段的黄金分割点（），，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查黄金分割点，相似三角形的判定，根据黄金分割点的定义可得，由已知推出，再结合，即可证明结论． 【详解】证明：由题意可知，点是线段的黄金分割点，， ， 又，， ，即， ． 20．如图，已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，由，得到，结合，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴． 【题型七】用SSS判定三角形相似 【例1】观察下列每组三角形，根据标出的条件，不能判定两个三角形相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 利用相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中，能判定相似，故不符合题意； B中，，能判定相似，故不符合题意； C中，只有一组角相等不能判定相似，故符合题意； D中，且对顶角相等，能判定相似，故不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（    ） A．15厘米、18厘米 B．20厘米、24厘米 C．25厘米、50厘米 D．36厘米、60厘米 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定-三边分别对应成比例的两三角形相似．先计算出模型三角形三边比从小到大为，再逐项计算新三角形三边比，进行判断即可求解． 【详解】解：∵ 相似三角形对应边成比例，模型三角形三边为5cm、6cm、10cm， ∴模型三角形三边比为； A. 当新三角形另外两边为15厘米、18厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意； B. 当新三角形另外两边为20厘米、24厘米时，三边比为，两三角形不相似，符合题意； C. 当新三角形另外两边为25厘米、50厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意； D. 当新三角形另外两边为36厘米、60厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意． 故选：B 【变式1-2】根据下列条件判定和是否相似，如果是，那么用符号表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，需要掌握相似三角形的判定方法． 根据和的三边对应成比例，则两个三角形相似，由此判定即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 【变式1-3】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上． (1)填空： ， ， ． (2)与相似吗？请说明理由． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据勾股定理可求出与的长，根据网格特点可求出的度数； （2）先根据勾股定理求出，，，，然后根据三边对应成比例的两个三角形相似即可解答． 【详解】（1），， 故答案为：，，； （2）理由如下： 小正方形的边长均为1，，，，， 由可得，， ，， ． 【题型八】坐标系中的图形变换 【例1】如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，则的重心坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，三角形的重心的性质，位似的性质，掌握“位似图形的坐标变换规律：变换前坐标 若位似比为 则变换后的坐标为或”是解本题的关键． 如图，为的两条中线，相交于点D，则为的重心，利用重心的性质先求解的坐标，再利用与位似，利用位似的性质可得答案． 【详解】解：如图，为的两条中线，相交于点D， 则为的重心， ， ，， ， ， ， ， ， 以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到， 的重心坐标是或． 故选：D． 【变式1-1】如图， 在平面直角坐标系中， 四边形的顶点坐标分别是，，，，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的倍，则点的坐标可能为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了位似变换的概念和性质，四边形的面积是四边形面积的倍，则四边形与四边形为，从而可得出点的坐标，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵四边形的面积是四边形面积的倍， ∴四边形与四边形为， ∵， ∴点的坐标为或，即或． 故答案为：或． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)若与关于原点O中心对称，在图中画出，并写出点的坐标； (2)若与关于x轴对称，在图中画出，并写出点的坐标； (3)若与关于点位似，相似比为，在图中画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析，， (2)图见解析，点的坐标为； (3)图见解析，点的坐标为或， 【分析】本题考查了关于平面直角坐标系中图形变换的综合题，涉及中心对称、轴对称和位似变换。解题时需明确变换规则，结合坐标系作图，（1）由中心对称的性质画出图形，即可得出对应点坐标； （2）由轴对称图形性质画出关于x轴对称的图形，即可得出对应点坐标； （3）根据相似比为，分两种情况画出位似图形，结合图形即可得出答案． 【详解】（1）如图，为所作， 关于原点中心对称的对称点 ； （2）如图，为所作，点的坐标为； （3）如图，或为所作，点的坐标为或 【题型九】相似三角形的实际应用 【例1】在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图）．如图，点为左眼，点为右眼，点为右手大拇指，点为敌人的位置，点为敌人正左侧方的某一个参照物（），目测的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算处敌人距离我方的大致距离． 已知大多数人的眼距长约为厘米左右，手臂长约为厘米左右．若的估测长度为米，那么的大致距离为多少米． 【答案】400米 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，利用平行关系判定相似三角形，再结合相似三角形的对应边成比例是解题关键．由可证得，进而通过相似三角形的比例关系建立等式，求解的长度． 【详解】解：厘米米，厘米米， ， ， ， ， 米． 答：的大致距离为米． 【变式1-1】【汽车盲区与行车安全实践】请根据以下素材，完成探究任务： 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域． 素材一 在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故． 如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离，点M在上，． 问题解决 任务一 （1）如图2，求车头盲区的长度； 任务二 （2）如图2，在M处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 【答案】（1）；（2）能，理由见解析 【分析】本题考查相似三角形的应用，相似三角形的判定和性质，从实际问题抽象出数学模型是解题的关键． （1）根据题意得到，，且，由此列式得到，即可求解； （2）过点M作交于点N，可证，得到比例式，求出即可解答． 【详解】解：（1）根据题意知， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴； （2）能，理由如下： 如图，过点M作交于点N， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴驾驶员能观察到物体． 【变式1-2】某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图①，图②为示意图．已知，小静的身高，于点，． (1)如图①，当点为中点时，分别求线段，的长． (2)如图②，当点不是中点时，设，求线段的长．（用含有的代数式表示） (3)由此，你觉得与存在怎样的数量关系？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，再由相似三角形的性质计算即可得解； （2）先由，得出，，从而求出，再由，得出，计算即可得解； （3）连接，则四边形为平行四边形，得出，，证明，得出，结合题意可得，即可得解． 【详解】（1）解：∵，点为中点时， ∴， 由题意可得：， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型十】利用相似三角形的性质求解 【例1】如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，点F为边上的点，已知和相似．若，，，则的长为（    ） A．或2 B．1或 C．或1 D．2或1 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，即；再求得；然后分和两种情况，分别根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵在中，对角线，相交于点O，，，， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 当时，，即，解得：； 当时，，即，解得：． 综上，的长为1或． 故选B． 【变式1-1】如图，，，，点P、Q分别为、上的动点，将沿折叠，使点B的对应点D恰好落在边上，当与相似时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质、折叠的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键，注意与相似要分情况讨论． 根据勾股定理可得，设，则，根据与相似，分两种情况讨论：①；②，利用相似三角形的性质分别列方程求解即可． 【详解】解：中，，，， ， 由折叠的性质得， 设，则， 与相似， 分两种情况讨论： ①若， ，即， 解得， ； ②若， ，即， 解得， ； 综上，的长为或， 故答案为：或． 【变式1-2】如图，． (1)若平分，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握角平分线的性质． （1）根据角平分线的性质得出，然后再利用相似三角形的对应角相等，即可求解； （2）利用线段的和差求出，然后再利用相似三角形的对应边成比例，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，（负值已舍）． 【题型十一】利用相似三角形的性质证明 【例1】如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，判定两三角形相似是解题关键， （1）证出，结合对顶角相等即可证明结论； （2）根据相似三角形性质证出即可证出结论． 【详解】（1）证明：在四边形中，， ， 恰好平分， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， ， ． 【变式1-1】如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由可证，得到，再由得到，即可证明； （2）由得到，得到，进而得到，即可得到． 【详解】（1）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键． 【变式1-2】某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．    (1)如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证： (2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，证明见解析 【分析】（1）根据题意证明即可求解； （2）同理证明即可求解． 此题主要考查考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据两角相等得到三角形相似． 【详解】解：（1）证明：∵直线l，直线l， ∴． ∵，∴． 又∵，∴． 在和中，， ∴，∴． （2）成立． 证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【题型十二】动点背景下的相似三角形应用 【例1】如图，已知矩形中，，．某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动． (1)经过多长时间，的面积等于矩形面积的？ (2)是否存在时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒或秒 (2)存在，秒或秒 【分析】（1）设经过秒，的面积等于矩形面积的，由题意得，，，先求得矩形的面积，再根据的面积等于矩形面积的，得到关于的一元二次方程求解； （2）由题意得，，，再分、两种情况，分别得到关于的方程求解即可． 【详解】（1）解：设经过秒，的面积等于矩形面积的， 由题意得，，， ∵矩形中，， ∴，，， ∴矩形的面积为：， ∴的面积， ∴， 解得：，， 答：经过秒或秒，的面积等于矩形面积的； （2）由题意得，，， 若， 则有， ∴， 解得：， 若， 则有， ∴， 解得：， 答：当秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了相似三角形——动点问题，利用相似三角形的性质求解，动态几何问题(一元二次方程的应用)，根据矩形的性质求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【变式1-1】如图1，在中，，，．点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动． (1)点出发几秒后，的面积为面积的； (2)经过几秒后，以为顶点的三角形与相似？ (3)如图2，为上一点，且，当运动时间为多少时，？ 【答案】(1)点出发秒后，的面积为面积的 (2)或 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、三角形的面积公式、平行线的判定和性质、直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论思想是解题的关键． （1）设经过秒后的面积为面积的，其中，则，，根据三角形面积公式得出一元二次方程，解方程即可得到答案． （2）设经过秒后，以为顶点的三角形与相似，其中，需要分两种情况讨论，和，分别利用相似三角形的性质求解即可． （3）过点作，连接，得到是等腰三角形，进而得到，设，则，，根据勾股定理求得，然后根据垂直定理得出，求出即可解答． 【详解】（1）解：设经过秒后的面积为面积的，其中， 由题意知，，， ∴， ∴． 答：点出发秒后，的面积为面积的． （2）解：设经过秒后，以为顶点的三角形与相似，其中， 当时， 则有， ∴， ∴． 当时， 则有， ∴， ∴． 答：经过秒或秒后，以为顶点的三角形与相似． （3）解：如图，过点作，连接， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 答：当运动时间为时，． 【变式1-2】如图，在矩形中，，，动点P从点D出发沿向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线向终点C运动．过点P作，交于点E，动点P、Q的运动速度是每秒2个单位长度，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的长； (2)当t为何值时，与相似？ (3)是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，与相似 (3)存在，t的值为或或 【分析】（1）由矩形的性质可得，，，，由勾股定理可得，由题意得，则有，t的取值范围为，当时，则有，证明，由相似三角形的性质即可得解； （2）由（1）可知，，，由相似三角形的性质得出，，证明出，再分两种情况：当时，则有；当时，则有；分别利用相似三角形的性质求解即可； （3）分三种情况：当时，作于点H，则；当时；当时；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， 由题意得：，则有，t的取值范围为， ∴当时，则有， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：由（1）可知：，，， ∴，即， ∴，， ∵， ∴ ∴ 当时，则有 ∴，即， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，则有，此时， ∵， ∴点C、Q重合，则， ∴，与相矛盾，故此种情况不成立； 综上所述：当时，与相似； （3）解：存在，当时，如图1，作于点H，则， ∵， ∴， ∴， 由得， 解得； 当时，如图2， 由（2）可知：， ∴， ∴， 解得； 当时，如图3，则， ， ∵， ∴， ∴， 由得， 解得， 综上所述，t的值为或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【题型十三】相似三角形的综合问题 【例1】如图，在中，，，E为的中点，连接，，垂足为F． (1)求证：； (2)延长交于点G，求的值； (3)在（2）的条件下试求． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，推导出，得到，则，即可解答； （2）过点E作，交于点H，推导出，得到，则，即可解答． （3）过点C作于点C，延长交于点M，设，得到，，，由勾股定理，得到求出，推导出为等腰直角三角形，且，则，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，，，E为的中点， ∴，， ∴ ∴， ∴， ， ∴， ； （2）解：过点E作，交于点H，如图 ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴． （3）过点C作于点C，延长交于点M，如图 设， ∵， ∴， ∴ ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，且， ∴， 即． 【变式1-1】阅读理解：我们知道完全平方公式：，由此我们得到：，整理得．我们将这个不等式称为“均值不等式”．请你运用这个知识点解决问题：如图，在中，，点在上且．过点作交于点．在下方以为边作等边三角形．若，记的面积为，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】先证明得出，设，则，由勾股定理可得 ，作于，由等边三角形的性质可得，，，表示出的面积为，再结合“均值不等式”计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 如图，作于， ， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴的面积为， ∵，由此我们得到：，整理得，， ∴，当且仅当即时等号成立， ∴当时，的值最小为， ∴的面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理、均值不等式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式1-2】问题情境： （）综合与实践课上，老师让每}个小组准备了一张矩形纸片，其中，．如图，把矩形绕点逆时针旋转得到矩形纸片，点的对应点为，，，如图，连接，当在的延长线上时，延长，交于点．判断与的数量关系并说明理由． 数学思考： （）老师将矩形纸片绕点逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题． ①“爱数小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，取的中点，连接、，求的长．请你解答此问题： ②“好学小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，求的面积．请你解答此问题． 【答案】（1）理由见解析；（2）①；② 【分析】（1）由矩形的性质可证，得到，由旋转的性质可得，即得，即得到，即可得四边形是平行四边形，得到，即可求证； （2）①连接，由勾股定理得，由旋转得，，进而可得，即得，再根据直角三角形的性质即可求解；②过点A作于E，于H，设与相交于点F，由三角形的面积可得，进而由勾股定理得，得，再由旋转和等腰三角形的性质可得，即得，得到，即得到，，即可得，得，得到，由三线合一得，即得到，最后根据三角形面积公式计算即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 由旋转得，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）①如图，连接， ∵，，， ∴， 由旋转得，，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵点是的中点， ∴； ②如图，过点作于，于，设与相交于点，则， ∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转得，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型十四】成比例线段 【例1】下列各组线段中，能组成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键． 如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意； B．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意； C．，则是成比例线段，故该选项符合题意； D．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段，判断四条线段是否成比例，求出最小数与最大数的乘积及中间两个数的乘积，若乘积相等则四条线段成比例，反之不成比例，据此判断即可求解，掌握比例线段的定义是解题的关键． 【详解】解：、，四条线段不成比例，该选项不符合题意； 、，四条线段不成比例，该选项不符合题意； 、，四条线段不成比例，该选项不符合题意； 、，四条线段成比例，该选项符合题意； 故选：． 【变式1-2】已知线段是线段，的比例中项，其中，，则等于（    ） A．4 B．10 C．25 D．100 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例线段，理解比例中项的概念是解题的关键． 根据比例中项的定义可得，然后代入a和b的值计算 c即可． 【详解】解：∵ c 是 a 和 b 的比例中项， ∴， ∵，， ∴， ∴（c 为线段，取正值）． ∴． 故选B． 【变式1-3】已知：，且． (1)求a、b、c的值； (2)添上一个数___________，使得a、b、c、d四个数能构成比例式． 【答案】(1) (2)2或8或18 【分析】本题主要考查比例的性质及比例线段，熟练掌握比例的性质及比例线段是解题的关键； （1）由可设，然后代入进行求解即可； （2）由（1）及成比例线段的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由可设，代入得： ，解得：， ∴； （2）解：由（1）可知：， 由a、b、c、d四个数能构成比例式，可分： 当时，则有，即， ∴； 当时，则有，即， ∴； 当时，则有，即， ∴； 综上所述：当或8或18时，使得a、b、c、d四个数能构成比例式； 故答案为2或8或18． 【题型十五】三角形的中位线 【例1】如图，在矩形中，O为对角线的中点，，E为边上一点，且，连接，取的中点F，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形中位线、矩形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造出三角形的中位线是解题的关键． 如图：取中点M，连接和，可得分别为和中位线，利用中位线定理可证三点共线，可求得，再根据线段的和差求得，最后代入计算即可． 【详解】解：如图：取中点M，连接和， ∵O为对角线的中点，F为的中点，M为中点， ∴分别为和中位线， ∴，且， ∴三点共线， ． ∴ 故选：C． 【变式1-1】如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，连接，， 和得到四边形，当对角线 和 满足，，时，四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了中位线的性质，矩形的性质与判定，根据中位线的性质以及得出四边形是矩形，进而根据矩形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，，，分别是边，，，的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴平行四边形是矩形， ∴四边形的面积为 故选：B． 【变式1-2】如图，在中，、分别为边、的中点，连接，过点作交边于点，点在的延长线上，且．连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质． （1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）利用三角形中位线定理求出，利用矩形的性质得到，根据等角对等边证明，则，根据矩形的面积公式即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵，是的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴；， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 【题型一】比例线段 【例1】已知线段，，且线段是，的比例中项，那么 ． 【答案】16 【分析】本题考查比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义． 根据比例中项的定义，线段c是a和b的比例中项，则． 【详解】由比例中项的定义，得． 代入，，得， 即，解得． 故答案为：16． 【变式1-1】在比例尺的地图上量得温州与杭州的距离约为，则温州与杭州的实际距离约为 ． 【答案】 300 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，解题关键是能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．根据比例尺图上距离实际距离，进行计算即可求解． 【详解】解：∵比例尺图上距离实际距离， ∴温州与杭州的实际距离约为． 故答案为：300． 【变式1-2】已知点C是线段上的点，点D是延长线上的点，且，已知，，求，的长． 【答案】， 【分析】本题考查了比例线段和线段上两点间距离的计算；判断出与所求线段相关的线段的长是解决本题的突破点．依题意列出比例式，根据比例的基本性质，即可得出所要求的线段的长度． 【详解】解：∵点C是线段上的点，点D是延长线上的点，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【题型二】黄金分割 【例1】已知P是线段的黄金分割点，且，那么值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，熟练掌握“黄金分割点中较短线段与较长线段的比值为”是解题的关键．根据黄金分割点的定义，利用黄金比的关系来求解的值． 【详解】解：∵ P是线段的黄金分割点，且， ∴ ， 故选：C． 【变式1-1】大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，根据P为的黄金分割点，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，且的长度为， ∴， 即， 故答案为：． 【变式1-2】唢呐是榆林地区具有代表性的传统乐器之一，具有鲜明的地域特色．如图，一个唢呐的长约为，若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点处进行装饰，且，则该装饰与吹口的距离的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割得，进而可得出． 【详解】解： ∵点P为靠近点B的黄金分割点，的长约为， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【题型三】相似形与相似多边形的判定 【例1】下列各选项中内外两个图形，是相似图形的为（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形的概念，掌握形状相同，大小不同的两个图形是相似图形是解题的关键．根据相似图形的概念逐项作出判断即可． 【详解】解：A、内外两个图形的形状不同，故不是相似图形； B、内外两个图形的形状相同，大小不同，故是相似图形； C、内外两个图形的形状不同，故不是相似图形； D、内外两个图形的形状不同，故不是相似图形； 故选：B． 【变式1-1】下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 【答案】C 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据相似多边形的判定方法可得答案. 【详解】解： ∵甲、乙、丙、丁的邻边之比分别为：；，，，且四个图形的每一个内角都是直角； ∴丙、丁两个图形的对应边成比例，对应角相等. ∴相似的是丙与丁， 故选C 【变式1-2】如图所示的各组图形中，相似的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题考查相似多边形，根据相似多边形的定义，边数相同，且对应边对应成比例，对应角相等的多边形为相似多边形，逐一进行判断即可． 【详解】解：①对应角不相等，不符合相似图形的定义，错误；②大小不同的两个正方形，符合相似图形的定义，正确；③对应角相等的两个菱形相似，正确；④对应边的比相等，对应角相等，符合相似图形的定义，正确．故②③④正确． 故选B． 【题型四】灵活选用方法证明三角形相似 【例1】如图，已知在中，点D在边上，那么下列条件中，能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，掌握“两个角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解本题的关键． 由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判断B，C，D，由三角形外角的性质可判断A，从而可得答案． 【详解】解：A．根据三角形外角的性质知，故选项A不能判定的相似； B．∵，∴，且不是夹角，由已知条件无法判定两三角形相似故选项B不能判定与相似； C．∵，∴，又，∴，故选项C能判定与相似； D．∵，∴，其中不是与的边，故选项D无法判定与的相似； 故选：C． 【变式1-1】如图，已知，添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 由题意可得，再由相似三角形的判定定理逐项分析即可求解． 【详解】解：，， A、当时，，能证明相似，故选项A不符合题目要求， B、当时，，能证明相似，故选项B不符合题目要求， C、当时，不能判定与相似，故选项C符合题目要求， D、当时，，能证明相似，故选项D不符合题目要求． 故选：C． 【变式1-2】如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和佳琛的做法，下列说法不正确的是（   ） 天翼的做法： 添加条件． 证明：，， （两角分别相等的两个三角形相似）． 佳琛的做法：添加条件． 证明：，（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似）． A．天翼的做法证明过程没有问题 B．佳琛的做法证明过程没有问题 C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．佳琛的做法添加的条件有问题 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据题意已知，故添加两组对应边成比例夹角为或者添加一组对应角相等，即可求解． 【详解】解：依题意，，添加一组对应角相等，可以使得，故天翼的做法以及过程没有问题， 佳琛的做法添加的条件有问题，应为，故B选项符合题意， 故选：B． 【题型五】图形的位似 【例1】如图，在外任取一点，连接，并取它们的中点，连接得到，则下列说法错误的是（   ） A．与是位似图形 B．四边形与的面积比是 C．与的周长比为 D．与的面积比为 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．根据位似图形的性质，得出与是位似图形；由中位线定理得 与相似比为，面积比为，四边形面积是减去的面积，即的倍，故二者面积比为，而非；进而根据位似图形一定是相似图形得出与是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解：根据位似性质可得： A、与是位似图形，故A选项正确，不符合题意； B、设的面积为， ∵是的中位线， ∴，相似比为，则的 面积为， ∵ 四边形的面积=的面积的面积 ， ∴四边形与的面积比为，故B选项错误，符合题意； C、∵点，为中点， ∴将的三边缩小到原来的得到， ∴与的周长之比为，故C选项正确，不符合题意； D、∵面积比等于相似比的平方， ∴与的面积之比为，故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， (1)画出关于轴对称的； (2)以点为位似中心，在第一象限中画出将按照放大后的位似图形； (3)的面积_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了位似变换：画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了轴对称变换和利用网格求三角形的面积． （1）利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：的面积为， 故答案为：． 【变式1-2】如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，轴于点C，以点O为位似中心把四边形放大得到四边形，过点的反比例函数表达式为，则四边形和四边形的位似比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，位似图形的性质，相似多边形的性质，掌握反比例函数与几何图形面积的计算，相似多边形的性质是解题的关键． 根据题意，四边形，是矩形，，，由相似多边形的性质“面积比等于相似比的平方”即可求解． 【详解】解：∵过点作轴于点，轴于点， ∴四边形是矩形， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵以点为位似中心把四边形放大得到四边形，点在反比例函数的图象上， ∴四边形也是矩形，， ∴相似比为， 故选：A ． 试卷第6页，共58页 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03图形的相似（9知识&15题型&5易错） 【清单01】比例的性质 性质1：＝⇔ (a，b，c，d都不为0) 性质2(合比性质)：＝⇔ (bd≠0) 性质3(等比性质)：＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)⇔ 【清单02】黄金分割 如图，点P把线段AB分成两条线段AP和BP，使AP＞BP，且，那么称线段AB被点P黄金分割，点P叫做线段AB的，所分成的较长一条线段AP与整条线段AB的比叫做黄金比，即＝≈ 【清单03】平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的 成比例 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的 【清单04】相似多边形 定义： 相等，对应边 的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形 叫做相似比 性质 【清单05】相似多边形的性质 (1)相似多边形的对应角 ，对应边 (2)相似多边形的周长比等于 ，面积比等于 【清单06】相似三角形的判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似(选学) (2) 对应相等的两个三角形相似 (3) ，且 相等的两个三角形相似 (4) 对应成比例的两个三角形相似 【清单07】相似三角形的性质 2．相似三角形 (1)相似三角形的对应角 ，对应边 (2)相似三角形的对应线段 的比等于 (3)相似三角形的周长比等于 ，面积比等于 【清单08】位似图形 如果两个图形满足以下两个条件：所有经过对应点的直线都相交于同一点；这个交点到两个对应点的距离之比都相等，那么这两个图形叫做 ．经过各对应两点的直线的交点叫做 ，位似中心到两个对应点的距离之比叫做 【清单09】三角形的中位线 三角形的中位线 且等于 的一半 【题型一】相似多边形的性质 【例1】如图，已知矩形矩形，点，分别在线段，上，若，则线段的长为 ． 【变式1-1】如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． (1)___________； (2)求边的长度． 【变式1-2】如图，已知，点在边的延长线上，点在边的延长线上，，，且． (1)的度数为______； (2)若，求的长． 【题型二】比例的性质 【例1】如果线段，且线段b是线段a和c的比例中项，那么（　　） A．16 B．4 C．4或 D．16或 【变式1-1】若，则的值等于 ． 【变式1-2】若且，则 ． 7．已知，求的值． 【题型三】平行线分线段成比例定理 【例1】如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，两条直线，被三条平行线，，所截．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，，，，那么的长为 ． 【题型四】平行相似的应用 【例1】【如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 变式1-1】如图，在中，点E在边的延长线上，连接交于点F．图中的相似三角形有（   ）． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【变式1-2】如图，为矩形的对角线，N是边上的中点，请用尺规作图法在对角线上求作一点M，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型五】用AA判断三角形相似 【例1】如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A．B．C． D． 【变式1-1】如图，和是的高，则图中相似三角形共有（　　） A．3对 B．6对 C．2对 D．4对 【变式1-2】如图，在中，F是延长线上一点，连接交于点E，请写出图中的一对相似三角形： ． 【题型六】用SAS判定三角形相似 【例1】如图，分别是的边，上一点，则下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，已知，则下列图形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】人们把黄金分割誉为“天赋”的比例法则．如图，在中，若点M是线段的黄金分割点（），，求证：． 20．如图，已知，．求证：． 【题型七】用SSS判定三角形相似 【例1】观察下列每组三角形，根据标出的条件，不能判定两个三角形相似的是（　　） A．B．C． D． 【变式1-1】一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（    ） A．15厘米、18厘米 B．20厘米、24厘米 C．25厘米、50厘米 D．36厘米、60厘米 【变式1-2】根据下列条件判定和是否相似，如果是，那么用符号表示出来． (1)； (2)． 【变式1-3】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上． (1)填空： ， ， ． (2)与相似吗？请说明理由． 【题型八】坐标系中的图形变换 【例1】如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，则的重心坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1-1】如图， 在平面直角坐标系中， 四边形的顶点坐标分别是，，，，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的倍，则点的坐标可能为 ． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)若与关于原点O中心对称，在图中画出，并写出点的坐标； (2)若与关于x轴对称，在图中画出，并写出点的坐标； (3)若与关于点位似，相似比为，在图中画出，并写出点的坐标． 【题型九】相似三角形的实际应用 【例1】在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图）．如图，点为左眼，点为右眼，点为右手大拇指，点为敌人的位置，点为敌人正左侧方的某一个参照物（），目测的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算处敌人距离我方的大致距离． 已知大多数人的眼距长约为厘米左右，手臂长约为厘米左右．若的估测长度为米，那么的大致距离为多少米． 【变式1-1】【汽车盲区与行车安全实践】请根据以下素材，完成探究任务： 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域． 素材一 在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故． 如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离，点M在上，． 问题解决 任务一 （1）如图2，求车头盲区的长度； 任务二 （2）如图2，在M处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 【变式1-2】某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图①，图②为示意图．已知，小静的身高，于点，． (1)如图①，当点为中点时，分别求线段，的长． (2)如图②，当点不是中点时，设，求线段的长．（用含有的代数式表示） (3)由此，你觉得与存在怎样的数量关系？ 【题型十】利用相似三角形的性质求解 【例1】如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，点F为边上的点，已知和相似．若，，，则的长为（    ） A．或2 B．1或 C．或1 D．2或1 【变式1-1】如图，，，，点P、Q分别为、上的动点，将沿折叠，使点B的对应点D恰好落在边上，当与相似时，的长为 ． 【变式1-2】如图，． (1)若平分，求的度数； (2)若，求的长． 【题型十一】利用相似三角形的性质证明 【例1】如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【变式1-1】如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 【变式1-2】某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．    (1)如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证： (2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【题型十二】动点背景下的相似三角形应用 【例1】如图，已知矩形中，，．某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动． (1)经过多长时间，的面积等于矩形面积的？ (2)是否存在时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】如图1，在中，，，．点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动． (1)点出发几秒后，的面积为面积的； (2)经过几秒后，以为顶点的三角形与相似？ (3)如图2，为上一点，且，当运动时间为多少时，？ 【变式1-2】如图，在矩形中，，，动点P从点D出发沿向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线向终点C运动．过点P作，交于点E，动点P、Q的运动速度是每秒2个单位长度，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的长； (2)当t为何值时，与相似？ (3)是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【题型十三】相似三角形的综合问题 【例1】如图，在中，，，E为的中点，连接，，垂足为F． (1)求证：； (2)延长交于点G，求的值； (3)在（2）的条件下试求． 【变式1-1】阅读理解：我们知道完全平方公式：，由此我们得到：，整理得．我们将这个不等式称为“均值不等式”．请你运用这个知识点解决问题：如图，在中，，点在上且．过点作交于点．在下方以为边作等边三角形．若，记的面积为，则的最小值是 ． 【变式1-2】问题情境： （）综合与实践课上，老师让每}个小组准备了一张矩形纸片，其中，．如图，把矩形绕点逆时针旋转得到矩形纸片，点的对应点为，，，如图，连接，当在的延长线上时，延长，交于点．判断与的数量关系并说明理由． 数学思考： （）老师将矩形纸片绕点逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题． ①“爱数小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，取的中点，连接、，求的长．请你解答此问题： ②“好学小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，求的面积．请你解答此问题． 【题型十四】成比例线段 【例1】下列各组线段中，能组成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式1-1】下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知线段是线段，的比例中项，其中，，则等于（    ） A．4 B．10 C．25 D．100 【变式1-3】已知：，且． (1)求a、b、c的值； (2)添上一个数___________，使得a、b、c、d四个数能构成比例式． 【题型十五】三角形的中位线 【例1】如图，在矩形中，O为对角线的中点，，E为边上一点，且，连接，取的中点F，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，连接，， 和得到四边形，当对角线 和 满足，，时，四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式1-2】如图，在中，、分别为边、的中点，连接，过点作交边于点，点在的延长线上，且．连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求四边形的面积． 【题型一】比例线段 【例1】已知线段，，且线段是，的比例中项，那么 ． 【变式1-1】在比例尺的地图上量得温州与杭州的距离约为，则温州与杭州的实际距离约为 ． 【变式1-2】已知点C是线段上的点，点D是延长线上的点，且，已知，，求，的长． 【题型二】黄金分割 【例1】已知P是线段的黄金分割点，且，那么值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ． 【变式1-2】唢呐是榆林地区具有代表性的传统乐器之一，具有鲜明的地域特色．如图，一个唢呐的长约为，若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点处进行装饰，且，则该装饰与吹口的距离的长度为 ． 【题型三】相似形与相似多边形的判定 【例1】下列各选项中内外两个图形，是相似图形的为（    ） A．B．C． D． 【变式1-1】下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 【变式1-2】如图所示的各组图形中，相似的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【题型四】灵活选用方法证明三角形相似 【例1】如图，已知在中，点D在边上，那么下列条件中，能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，已知，添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和佳琛的做法，下列说法不正确的是（   ） 天翼的做法： 添加条件． 证明：，， （两角分别相等的两个三角形相似）． 佳琛的做法：添加条件． 证明：，（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似）． A．天翼的做法证明过程没有问题 B．佳琛的做法证明过程没有问题 C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．佳琛的做法添加的条件有问题 【题型五】图形的位似 【例1】如图，在外任取一点，连接，并取它们的中点，连接得到，则下列说法错误的是（   ） A．与是位似图形 B．四边形与的面积比是 C．与的周长比为 D．与的面积比为 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， (1)画出关于轴对称的； (2)以点为位似中心，在第一象限中画出将按照放大后的位似图形； (3)的面积_____． 【变式1-2】如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，轴于点C，以点O为位似中心把四边形放大得到四边形，过点的反比例函数表达式为，则四边形和四边形的位似比为（　　） A． B． C． D． 试卷第6页，共58页 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $