7.3.1 离散型随机变量的均值-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习（人教A版）

[必备知识·基础巩固]

1．设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b等于(　　)

A．0.2　　　　　　　 B．0.1

C．－0.2    D．－0.4

解析　由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8.

又由E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，

得a＋2b＝1.3，

解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.

答案　C

2．某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是(　　)

A．0.2    B．0.8

C．1    D．0

解析　因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，

所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.

答案　B

3．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的个数，则E(X)等于(　　)

A．    B．

C．    D．1

解析　X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.

所以E(X)＝1×＋2×＝.

答案　A

4．(多选题)已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则(　　)

A．a＝7    B．b＝0.4

C．E(aX)＝44.1    D．E(bX＋a)＝2.62

解析　由题意和分布列的性质，得

0．5＋0.1＋b＝1，

且E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，

解得b＝0.4，a＝7.

∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1，

E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52，

故ABC正确．

答案　ABC

5．一射手对箭靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X的数学期望为________．

解析　X的可能取值为3，2，1，0，

P(X＝3)＝0.6；P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24；

P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096；

P(X＝0)＝0.43＝0.064.

所以E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.

答案　2.376

6．离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4)，E(X)＝3，则a＝________，b＝________．

解析　易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，

即30a＋10b＝3，①

又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，

即10a＋4b＝1，②

由①②，得a＝，b＝0.

答案　　0

7．设l为平面上过点(0，1)的直线，l的斜率k等可能地取－2，－，－，0，，，2，用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________．

解析　当l的斜率k为±2时，直线l的方程为±2x－y＋1＝0，此时坐标原点到l的

距离ξ＝；

当k为±时，ξ＝；当k为±时，ξ＝；

当k为0时，ξ＝1.由古典概率公式可得分布列如下：

故E(ξ)＝×＋×＋×＋1×＝.

答案　

8．盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止．求：

(1)抽取次数X的分布列；

(2)平均抽取多少次可取到好电池．

解析　(1)由题意知，X取值为1，2，3.

P(X＝1)＝；P(X＝2)＝×＝；

P(X＝3)＝×＝.

所以X的分布列为

(2)E(X)＝1×＋2×＋3×＝1.5，即平均抽取1.5次可取到好电池．

[关键能力·综合提升]

9．已知随机变量X的分布列为

若Y＝aX＋3，E(Y)＝，则a＝(　　)

A．1　　　 B．2