6.3.2 二项式系数的性质-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习（人教A版）

[必备知识·基础巩固]

1．已知(x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a1＋a2＋…＋a10＝(　　)

A．210　　　　　　　 B．0

C．1    D．－1

解析　令x＝0，得a0＝(－1)10＝1，

令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(1－1)10＝0，

所以a1＋a2＋…＋a10＝－1.

故选D.

答案　D

2．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8＝(　　)

A．180    B．－180

C．45    D．－45

解析　∵(2－x)10＝C210(－x)0＋C29(－x)1＋…＋C22(－x)8＋C2(－x)9＋C(－x)10，∴a8＝C22＝4×C＝4×＝4×45＝180.

答案　A

3．(多选题)(2025·菏泽高二期末)关于的二项展开式，下列说法正确的是(　　)

A.展开式在合并同类项之后共有7项 B．展开式中常数项为15

C．展开式的系数之和为1 D．展开式的最后一项的系数最大

解析　对于A，由于n＝6，故展开式共有7项，A正确；

对于B，的通项为C(x2)6-r＝C(－2)rx12-3r，r＝0，1，2，3，4，5，6，

故常数项为C(－2)4x12-3×4＝240，故B错误；

对于C，令x＝1，则系数和为＝1，故C正确；

对于D, 展开式的最后一项的系数为C(－2)6＝64<240，因此最后一项的系数并不是最大的，故D错误；

故选AC.

答案　AC

4．若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　)

A．40　　 B．41  

C．－40　　 D．－41

解析　当x＝1时，1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0①；

当x＝－1时，81＝a4－a3＋a2－a1＋a0②；

①＋②，得a0＋a2＋a4＝41.

答案　B

5．设(2－1)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M，8，N三数成等比数列，则展开式中的第四项为________．

解析　当x＝1时，可得M＝1，二项式系数之和N＝2n，由已知M·N＝64，∴2n＝64，n＝6.∴第四项T4＝C·(2)3·(－1)3＝－160x.

答案　－160x

6．(2x－1)10的展开式中x的奇次幂项的系数之和为________．

解析　设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，

令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，

再令x＝－1，得310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10，

两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝.

答案　

7．如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b，c，d是相邻两行的前四个数(如图所示)，那么当a＝8时，c＝______，d＝________．

解析　观察发现：第n行的第一个数和行数相等，第二个数是1＋1＋2＋3＋…＋n－1＝＋1.

所以当a＝8时，c＝9，d＝＋1＝37.

答案　9　37

8．若(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，求：

(1)各项系数之和；

(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和．

解析　(1)各项系数之和即a0＋a1＋a2＋…＋a10，可用“赋值法”求解．令x＝y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－3)10＝(－1)10＝1.

(2)奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10，

偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9.

由(1)知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①

令x＝1，y＝－1，得

a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②

①＋②得，2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，

故奇数项系数的和为；

①－②得，2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，

故偶数项系数的和为.

[关键能力·综合提升]

9．(多选题)设二项式的展开式中第5项是含x的一次项，那么这个展开式中系数最大的项是(　　)

A．第8项    B．第9项

C．第10项    D．第11项

解析　因为展开式的第5项为T5＝Cx-4，所以令－4＝1，解得n＝19.所以展开式中系数最大的项是第10项和第11项．故选CD.

答案　CD

10．(多选题)已知(3x－2)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025，则(　　)

A．a0＝22 025 B．a0＋a1＋a2＋…＋a2 025＝1

C．a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝ D．a0＋＋＋＋…＋＝－1

解析　对于A：令x＝0，可得a0＝(－2)2 025＝－22 025，故A错误；

对于B：令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a2 025＝12 025＝1，故B正确；

对于C：令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024－a2 025＝(－5)2 025＝－52 025，

结合选项B，两式作差，可得2(a1＋a3＋a5＋…＋a2 025)＝52 025＋1，

即a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝，故C正确；

对于D：令x＝，可得a0＋＋＋＋…＋＝(－1)2 025＝－1，故D正确．

故选BCD.

答案　BCD