6.3.2 二项式系数的性质-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．已知(x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a1＋a2＋…＋a10＝(　　) A．210　　　　　　　 B．0 C．1 D．－1 解析　令x＝0，得a0＝(－1)10＝1， 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(1－1)10＝0， 所以a1＋a2＋…＋a10＝－1. 故选D. 答案　D 2．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8＝(　　) A．180 B．－180 C．45 D．－45 解析　∵(2－x)10＝C210(－x)0＋C29(－x)1＋…＋C22(－x)8＋C2(－x)9＋C(－x)10，∴a8＝C22＝4×C＝4×＝4×45＝180. 答案　A 3．(多选题)(2025·菏泽高二期末)关于的二项展开式，下列说法正确的是(　　) A.展开式在合并同类项之后共有7项 B．展开式中常数项为15 C．展开式的系数之和为1 D．展开式的最后一项的系数最大 解析　对于A，由于n＝6，故展开式共有7项，A正确； 对于B，的通项为C(x2)6-r＝C(－2)rx12-3r，r＝0，1，2，3，4，5，6， 故常数项为C(－2)4x12-3×4＝240，故B错误； 对于C，令x＝1，则系数和为＝1，故C正确； 对于D, 展开式的最后一项的系数为C(－2)6＝64<240，因此最后一项的系数并不是最大的，故D错误； 故选AC. 答案　AC 4．若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　) A．40　　 B．41 C．－40　　 D．－41 解析　当x＝1时，1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0①； 当x＝－1时，81＝a4－a3＋a2－a1＋a0②； ①＋②，得a0＋a2＋a4＝41. 答案　B 5．设(2－1)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M，8，N三数成等比数列，则展开式中的第四项为________． 解析　当x＝1时，可得M＝1，二项式系数之和N＝2n，由已知M·N＝64，∴2n＝64，n＝6.∴第四项T4＝C·(2)3·(－1)3＝－160x. 答案　－160x 6．(2x－1)10的展开式中x的奇次幂项的系数之和为________． 解析　设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10， 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1， 再令x＝－1，得310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10， 两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝. 答案　 7．如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b，c，d是相邻两行的前四个数(如图所示)，那么当a＝8时，c＝______，d＝________． 解析　观察发现：第n行的第一个数和行数相等，第二个数是1＋1＋2＋3＋…＋n－1＝＋1. 所以当a＝8时，c＝9，d＝＋1＝37. 答案　9　37 8．若(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，求： (1)各项系数之和； (2)奇数项系数的和与偶数项系数的和． 解析　(1)各项系数之和即a0＋a1＋a2＋…＋a10，可用“赋值法”求解．令x＝y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－3)10＝(－1)10＝1. (2)奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10， 偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9. 由(1)知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，① 令x＝1，y＝－1，得 a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，② ①＋②得，2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510， 故奇数项系数的和为； ①－②得，2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510， 故偶数项系数的和为. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)设二项式的展开式中第5项是含x的一次项，那么这个展开式中系数最大的项是(　　) A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 解析　因为展开式的第5项为T5＝Cx-4，所以令－4＝1，解得n＝19.所以展开式中系数最大的项是第10项和第11项．故选CD. 答案　CD 10．(多选题)已知(3x－2)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025，则(　　) A．a0＝22 025 B．a0＋a1＋a2＋…＋a2 025＝1 C．a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝ D．a0＋＋＋＋…＋＝－1 解析　对于A：令x＝0，可得a0＝(－2)2 025＝－22 025，故A错误； 对于B：令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a2 025＝12 025＝1，故B正确； 对于C：令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024－a2 025＝(－5)2 025＝－52 025， 结合选项B，两式作差，可得2(a1＋a3＋a5＋…＋a2 025)＝52 025＋1， 即a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝，故C正确； 对于D：令x＝，可得a0＋＋＋＋…＋＝(－1)2 025＝－1，故D正确． 故选BCD. 答案　BCD 11．已知多项式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________． 解析　由题a2＝1×C·(－1)3＋2×C·(－1)2＝8. 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0. 令x＝0，则a0＝2. 所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2. 答案　8　－2 12．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0－1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，……，第n次全行的数都为1的是第____________行；第62行中1的个数是______． 解析　由题意可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n次全行的数都为1的是第2n－1行；由n＝6，得26－1＝63，故第63行共有64个1，逆推知第62行共有32个1. 答案　2n－1　 32 13．若(a>0)的展开式中所有项的二项式系数之和为32，前3项的系数之和为31. (1)求实数n和a的值； (2)求(1＋3x＋x4)的展开式中x2的系数． 解析　(1)因为(a>0)的展开式中所有项的二项式系数之和为32， 所以2n＝32，n＝5. 又因为(a>0)的展开式中前3项的系数之和为31， 所以C(－a)0＋C(－a)1＋C(－a)2＝31， 整理得2a2－a－6＝0， 解得a＝－或a＝2，又a>0，所以a＝2. (2)的展开式中第k＋1项为 Tk＋1＝C(x2)5-k＝C(－2)kx10-3k， 令10－3k＝2，可得k＝，不合题意， 所以Tk＋1中不含x2的项， 令10－3k＝1，可得k＝3， 所以T4＝C(－2)3x10-3×3＝－80x； 令10－3k＝－2，可得k＝4， 所以T5＝C(－2)4x10-3×4＝80x-2. 则(1＋3x＋x4)的展开式中x2的项为T4·3x＋T5x4＝－240x2＋80x2＝－160x2， 所以(1＋3x＋x4)的展开式中x2项的系数为－160. [核心价值·探索创新] 14．(多选题)(2025·合肥高二期末)若x4＋(x＋1)7＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a7(x＋2)7，则下列说法正确的是(　　) A．a0＝1 B．a3＝27 C．a0＋a1＋a2＋…＋a7＝1 D．a0＋a2＋a4＋a6＝－23 解析　当x＝－2时，(－2)4＋(－1)7＝a0＝15，故A错误； x4＋(x＋1)7＝[(x＋2)－2]4＋[(x＋2)－1]7，则(x＋2)3的系数为－2C＋C(－1)4＝27， 即a3＝27，故B正确； 当x＝－1时，(－1)4＋0＝a0＋a1＋…＋a7＝1，故C正确； 当x＝－3时，(－3)4＋(－2)7＝a0－a1＋a2－a3＋…－a7＝－47， 又a0＋a1＋a2＋…＋a7＝1， 所以2(a0＋a2＋a4＋a6)＝－46， 则a0＋a2＋a4＋a6＝－23，故D正确； 故选BCD. 答案　BCD 15．已知fn(x)＝(1＋x)n. (1)若f2 025(x)＝a0＋a1x＋…＋a2 025x2 025，求a1＋a3＋…＋a2 023＋a2 025的值； (2)若g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，求g(x)中含x6项的系数． 解析　(1)因为fn(x)＝(1＋x)n， 所以f2 025(x)＝(1＋x)2 025， 又f2 025(x)＝a0＋a1x＋…＋a2 025x2 025， 所以f2 025(1)＝a0＋a1＋…＋a2 025＝22 025，① f2 025(－1)＝a0－a1＋…＋a2 024－a2 025＝0，② ①－②，得2(a1＋a3＋…＋a2 023＋a2 025)＝22 025，所以a1＋a3＋…＋a2 023＋a2 025＝22 024. (2)因为g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)， 所以g(x)＝(1＋x)6＋2(1＋x)7＋3(1＋x)8，g(x)中含x6项的系数为1＋2×C＋3C＝99. 学科网（北京）股份有限公司 $