6.3.1 二项式定理-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习（人教A版）

[必备知识·基础巩固]

1．C·2n＋C·2n-1＋…＋C·2n－k＋…＋C＝(　　)

A．2n　　　　　　　　 B．2n－1

C．3n    D．1

解析　原式＝(2＋1)n＝3n.

答案　C

2．若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝(　　)

A．33    B．29

C．23    D．19

解析　∵(1＋)4＝1＋4＋12＋8＋4＝17＋12＝a＋b，

又∵a，b为有理数，∴a＝17，b＝12.

∴a＋b＝29.

答案　B

3．二项式的展开式的常数项为60，则a的值为(　　)

A．2    B．－2

C．±2    D．±3

解析　∵二项式的展开式的通项公式为Tk＋1＝C·(－1)ka6-k·x12-3k，令12－3k＝0，求得k＝4，可得常数项为C·a2＝60，则a＝±2.

答案　C

4．(多选题)的展开式中，下列说法正确的是(　　)

A．所有项系数和为64

B．常数项为第4项

C．整式共有3项

D．x3项的系数－81

解析　令x＝1，由(3－1)6＝26＝64知，所有项系数和为64，故A正确；

二项展开式的通项公式为Tk＋1＝C(3x)6-k·(－1)kx＝(－1)k36-kCx，令6－k＝0，解得k＝4，故展开式第5项为常数项，故B错误；

当k＝0，2，4时，6－k∈N，展开式为整式，故C正确；

当6－k＝3时，k＝2，T3＝(－1)236-2Cx3＝1 215x3，故D错误．

故选AC.

答案　AC

5．(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为______(用数字填写答案).

解析　x2y7＝x·(xy7)，其系数为C，

x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C，

∴x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20.

答案　－20

6．(2024·天津卷)在的展开式中，常数项为________．

解析　Tk＋1＝C6－k＝C·36-2k·x6k-18.令6k－18＝0，则k＝3，所以常数项为T4＝C·30·x0＝20.

答案　20

7．已知n∈N*且n>1，x的展开式中存在常数项，写出n的一个值为____________．

解析　二项式的展开式的通项为

Tk＋1＝Cx3(n－k)＝(－2)k·Cx3n-4k，k＝0，1，2，…，n，

因为二项式x的展开式中存在常数项，所以3n－4k＝－1有解，

即n＝，

可得n的一个值为5.(答案不唯一)

答案　5或者4k＋1(k∈N*)

8．已知在的展开式中，第9项为常数项，求：

(1)n的值；

(2)展开式中x5的系数；

(3)含x的整数次幂的项的个数．

解析　已知二项展开式的通项Tk＋1＝C·＝(－1)kCx.

(1)因为第9项为常数项，