6.3.1 二项式定理-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．C·2n＋C·2n-1＋…＋C·2n－k＋…＋C＝(　　) A．2n　　　　　　　　 B．2n－1 C．3n D．1 解析　原式＝(2＋1)n＝3n. 答案　C 2．若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝(　　) A．33 B．29 C．23 D．19 解析　∵(1＋)4＝1＋4＋12＋8＋4＝17＋12＝a＋b， 又∵a，b为有理数，∴a＝17，b＝12. ∴a＋b＝29. 答案　B 3．二项式的展开式的常数项为60，则a的值为(　　) A．2 B．－2 C．±2 D．±3 解析　∵二项式的展开式的通项公式为Tk＋1＝C·(－1)ka6-k·x12-3k，令12－3k＝0，求得k＝4，可得常数项为C·a2＝60，则a＝±2. 答案　C 4．(多选题)的展开式中，下列说法正确的是(　　) A．所有项系数和为64 B．常数项为第4项 C．整式共有3项 D．x3项的系数－81 解析　令x＝1，由(3－1)6＝26＝64知，所有项系数和为64，故A正确； 二项展开式的通项公式为Tk＋1＝C(3x)6-k·(－1)kx＝(－1)k36-kCx，令6－k＝0，解得k＝4，故展开式第5项为常数项，故B错误； 当k＝0，2，4时，6－k∈N，展开式为整式，故C正确； 当6－k＝3时，k＝2，T3＝(－1)236-2Cx3＝1 215x3，故D错误． 故选AC. 答案　AC 5．(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为______(用数字填写答案). 解析　x2y7＝x·(xy7)，其系数为C， x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C， ∴x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20. 答案　－20 6．(2024·天津卷)在的展开式中，常数项为________． 解析　Tk＋1＝C6－k＝C·36-2k·x6k-18.令6k－18＝0，则k＝3，所以常数项为T4＝C·30·x0＝20. 答案　20 7．已知n∈N*且n>1，x的展开式中存在常数项，写出n的一个值为____________． 解析　二项式的展开式的通项为 Tk＋1＝Cx3(n－k)＝(－2)k·Cx3n-4k，k＝0，1，2，…，n， 因为二项式x的展开式中存在常数项，所以3n－4k＝－1有解， 即n＝， 可得n的一个值为5.(答案不唯一) 答案　5或者4k＋1(k∈N*) 8．已知在的展开式中，第9项为常数项，求： (1)n的值； (2)展开式中x5的系数； (3)含x的整数次幂的项的个数． 解析　已知二项展开式的通项Tk＋1＝C·＝(－1)kCx. (1)因为第9项为常数项， 即当k＝8时，2n－k＝0， 解得n＝10. (2)令2n－k＝5，得k＝(2n－5)＝6， 所以x5的系数为(－1)6C＝. (3)要使2n－k，即为整数，只需k为偶数，由于k＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项． [关键能力·综合提升] 9．(多选题)对于二项式(n∈N*)，以下四种判断正确的是(　　) A．存在n∈N*，展开式中有常数项 B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项 D．存在n∈N*，展开式中有x的一次项 解析　二项式的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx4k－n，由通项公式可知，当n＝4k(k∈N*)和n＝4k－1(k∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项． 答案　AD 10．(1＋x)4展开式中含x2的项的系数为(　　) A．4 B．6 C．10 D．12 解析　根据乘法公式，得(1)因式1＋中的1和(1＋x)4展开式中含x2的项相乘可得含x2的项；(2)因式1＋中的和(1＋x)4展开式中含x3的项相乘可得含x2的项． (1＋x)4展开式的通项为Tk＋1＝Cxk(k＝0，1，…，4)，故·(1＋x)4展开式中含x2的项为1·Cx2＋·Cx3＝10x2，即含x2项的系数为10. 答案　C 11．(2025·威海高二期末)(1－2x2)(1＋x)5的展开式中x4的系数为________． 解析　展开式(1＋x)5通项公式为Tk＋1＝Cxk，所以所求x4的系数为1×C－2C＝－15. 答案　－15 12．(2024·全国甲卷)的展开式中，各项系数中的最大值为________． 解析　的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cxk，则各项的系数分别为C， C，C，C，C， C，C，C，C， C，C，观察发现二项式系数先增大后减小，且前后对称，指数式递增，分别计算C，C，C，C， C，C，比较可得， C2＝5最大． 答案　5 13．已知(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列． (1)求n的值； (2)写出它展开式中的所有有理项． 解析　(1)(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C，C，C. 依题意得＋＝2·， 化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)， 即n2－37n＋322＝0， 解得n＝14或n＝23， 因为n<15，所以n＝14. (2)展开式的通项Tk＋1＝Cx·x＝C·x， 展开式中的有理项当且仅当k是6的倍数，0≤k≤14，所以展开式中的有理项共3项是： k＝0，T1＝Cx7＝x7； k＝6，T7＝Cx6＝3 003x6； k＝12，T13＝Cx5＝91x5. [核心价值·探索创新] 14．1.0120最接近下列哪个数字(　　) A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 解析　由题意得1.0120＝(1＋0.01)20， 由二项式定理得(1＋0.01)20＝1＋C×1×0.01＋C×0.012＋…， 而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可，所以我们得到(1＋0.01)20≈1＋C×1×0.01＋C×0.012＝1.219， 则其与1.22更接近，故C正确． 故选C. 答案　C 15．(1)求多项式的展开式； (2)求(1＋x)2·(1－x)5的展开式中x3的系数． 解析　(1)∵x2＋－2＝x2－2＋＝， ∴＝＝Cx6＋Cx5·＋Cx4＋Cx3·＋Cx2·＋Cx＋C＝x6－6x4＋15x2－20＋－＋. (2)法一　(1＋x)2·(1－x)5＝(1－x2)2(1－x)3＝(1－2x2＋x4)·(1－3x＋3x2－x3)， ∴x3的系数为1×(－1)＋(－2)×(－3)＝5. 则有或或 故x3的系数为－C·C＋C·C－C＝5. 学科网（北京）股份有限公司 $