6.2.4 第2课时 组合与组合数的应用-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．某科技小组有6名学生，现从中选出3人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为(　　) A．2　　　　　　　　 B．3 C．4 D．5 解析　设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意：C－C＝16.即x(x－1)(x－2)＝6×5×4－16×6＝4×3×2.∴x＝4，即女生有2人． 答案　A 2．甲、乙等5名北京冬奥会志愿者到高山滑雪、短道速滑、花样滑冰、冰壶四个场地进行志愿服务，每个志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲去高山滑雪场，则不同的安排方法共有(　　) A．96种 B．60种 C．36种 D．24种 解析　分两类，一是高山滑雪场安排2人，除甲外的其余4人每人去一个场地，不同的安排方法共有A＝24种； 二是高山滑雪场只安排1人(甲)，其余4人分三组(2，1，1)，再安排到各场地，有C·A＝36种． ∴不同的安排方法有24＋36＝60. 故选B. 答案　B 3．(2025·天津高二期末)某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡．现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有(　　) A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 解析　因为甲负责第一关，且最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，所以先从除甲之外的4人中选两人负责最后一关，共有C－1＝5种，然后再将剩余2人分配到第二、三关，共有2种，所以，满足条件的参赛方案有5×2＝10种．故选B. 答案　B 4．(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　) A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 解析　相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案． 首先确定相同的读物，共有C种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A种， 根据分步乘法公式则共有C·A＝120(种)， 故选C. 答案　C 5．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有______种． 解析　可以分情况讨论：①甲、丙同去，则乙不去，有C·A＝240种选法；②甲、丙同不去，有A＝360种选法，所以共有600种不同的选派方案． 答案　600 6．中国救援队在国际救援中多次创造生命救援奇迹，为祖国赢得了荣誉，很好地展示了国家形象，增进了国际友谊．现有5支救援队前往3个不同受灾地区进行救援任务，若每支救援队只能去其中的1个受灾地区，且每个受灾地区至少安排1支救援队，其中甲、乙两个救援队只能去同一个受灾地区，则不同的安排方式共有________种． 解析　分类讨论是否有其他救援队与甲、乙两个救援队一起，结合组合数运算求解． 若只有甲、乙救援队同去一个受灾地区，则不同的安排方式共有CCC＝18(种)； 若还有一支救援队与甲、乙救援队同去一个受灾地区，则不同的安排方式共有CCC＝18(种)； 所以不同的安排方式共有18＋18＝36(种). 答案　36 7．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答). 解析　当每个台阶上各站1人时有CA种站法；当两个人站在同一个台阶上时有CCC种站法．因此不同的站法种数为CA＋CCC＝210＋126＝336. 答案　336 8．某市教育局决定派出8名心理咨询专家(5男3女)到甲、乙两所学校进行心理问题调研． (1)每所学校均有4名专家参加调研，有多少种的安排方法？ (2)每所学校至少有3人且必须有女专家参加调研，有多少种的安排方法？ 解析　(1)由题知，每所学校均有4名专家参加调研的安排方法有CC＝70种． (2)分三类：第一类，甲校有3人有C种，全是男专家有C种；全是女专家有C种， 则符合题意的有C－C－C＝45； 第二类，甲校4人有C种，全是男专家有C种； 3女1男有CC种， 则符合题意的有C－C－CC＝60； 第三类，甲校5人，有C种，全是男专家有C种； 3女2男有CC种， 则符合题意的有C－C－CC＝45. 故每所学校至少有3人且必须有女专家参加调研的安排方法共有45＋60＋45＝150(种). [关键能力·综合提升] 9．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有(　　) A．C种 B．A种 C．AA种 D．CC种 解析　每个被选的人员无角色差异，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C种选法；第二步，选男工，有C种．故有CC种不同选法． 答案　D 10．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法种数为(　　) A．135 B．172 C．189 D．162 解析　不考虑特殊情况，共有C种取法，取三张相同颜色的卡片，有4种取法，只取两张红色卡片(另一张非红色)，共有CC种取法． 所求取法种数为C－4－CC＝189. 答案　C 11．初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数6＝22＋12＋12＋02.设25＝a2＋b2＋c2＋d2，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________(用数字作答). 解析　显然a，b，c，d均为不超过5的自然数，下面进行讨论： 最大数为5的情况： ①25＝52＋02＋02＋02，此时共有A＝4种情况． 最大数为4的情况： ②25＝42＋32＋02＋02，此时共有A＝12种情况． ③25＝42＋22＋22＋12，此时共有A＝12种情况． 当最大数为3时，32＋32＋22＋22>25>32＋32＋22＋12，没有满足题意的情况． 由分类加法计数原理，满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是4＋12＋12＝28. 答案　28 12．(2025·聊城高二期末)每年9月第三个星期六是我国法定的全民国防教育日，同学们积极参与到国防教育之中为实现中国梦、强军梦凝聚强大力量．某校国防教育活动中拟将7本不同的国防知识书分给甲、乙、丙三个班，其中一个班得3本，另外两个班每班得2本．则共有________种不同的分配方式．(请用数字作答) 解析　先将7本不同的国防知识书分为三组，各组的书本数分别为3，2，2， 再将这三组书分配给甲、乙、丙三个班， 由分步乘法计数原理可知，不同的分配方法种数为·A＝×6＝630(种). 答案　630 13．从1到6这6个数字中，取2个偶数和2个奇数组成没有重复数字的四位数．试问： (1)能组成多少个不同的四位数？ (2)四位数中，2个偶数排在一起的有几个？ (3)2个偶数不相邻的四位数有几个？(所得结果均用数值表示). 解析　(1)易知四位数共有CCA＝216(个). (2)上述四位数中，偶数排在一起的有CCAA＝108(个). (3)由(1)(2)知两个偶数不相邻的四位数有216－108＝108(个). [核心价值·探索创新] 14．(多选题)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数可能为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　任意两位同学之间交换纪念品共要交换C＝15次，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是每人得到5份纪念品．现在6位同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次若不涉及同一人，则收到4份纪念品的同学有4人，若涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学有2人．故选BD. 答案　BD 15．有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 解析　法一(直接法)　从0与1两个特殊值着眼，可分三类： (1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C种方法；0可在后两位，有C种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有CCC·22个． (2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数C·22·A个． (3)0和1都不取，有不同的三位数C·23·A个． 综上所述，共有不同的三位数： C·C·C·22＋C·22·A＋C·23·A＝432(个). 法二(间接法)　任取三张卡片可以组成不同的三位数C·23·A个，其中0在百位的有C·22·A个，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C·23·A－C·22·A＝432(个). 学科网（北京）股份有限公司 $