6.2.4 第2课时 组合与组合数的应用-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习（人教A版）

[必备知识·基础巩固]

1．某科技小组有6名学生，现从中选出3人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为(　　)

A．2　　　　　　　　 B．3

C．4    D．5

解析　设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意：C－C＝16.即x(x－1)(x－2)＝6×5×4－16×6＝4×3×2.∴x＝4，即女生有2人．

答案　A

2．甲、乙等5名北京冬奥会志愿者到高山滑雪、短道速滑、花样滑冰、冰壶四个场地进行志愿服务，每个志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲去高山滑雪场，则不同的安排方法共有(　　)

A．96种    B．60种

C．36种    D．24种

解析　分两类，一是高山滑雪场安排2人，除甲外的其余4人每人去一个场地，不同的安排方法共有A＝24种；

二是高山滑雪场只安排1人(甲)，其余4人分三组(2，1，1)，再安排到各场地，有C·A＝36种．

∴不同的安排方法有24＋36＝60.

故选B.

答案　B

3．(2025·天津高二期末)某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡．现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有(　　)

A．8种    B．10种

C．12种    D．14种

解析　因为甲负责第一关，且最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，所以先从除甲之外的4人中选两人负责最后一关，共有C－1＝5种，然后再将剩余2人分配到第二、三关，共有2种，所以，满足条件的参赛方案有5×2＝10种．故选B.

答案　B

4．(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　)

A．30种    B．60种

C．120种    D．240种

解析　相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案．

首先确定相同的读物，共有C种情况，

然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A种，

根据分步乘法公式则共有C·A＝120(种)，

故选C.

答案　C

5．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有______种．

解析　可以分情况讨论：①甲、丙同去，则乙不去，有C·A＝240种选法；②甲、丙同不去，有A＝360种选法，所以共有600种不同的选派方案．

答案　600

6．中国救援队在国际救援中多次创造生命救援奇迹，为祖国赢得了荣誉，很好地展示了国家形象，增进了国际友谊．现有5支救援队前往3个不同受灾地区进行救援任务，若每支救援队只能去其中的1个受灾地区，且每个受灾地区至少安排1支救援队，其中甲、乙两个救援队只能去同一个受灾地区，则不同的安排方式共有________种．

解析　分类讨论是否有其他救援队与甲、乙两个救援队一起，结合组合数运算求解．

若只有甲、乙救援队同去一个受灾地区，则不同的安排方式共有CCC＝18(种)；

若还有一支救援队与甲、乙救援队同去一个受灾地区，则不同的安排方式共有CCC＝18(种)；

所以不同的安排方式共有18＋18＝36(种).

答案　36

7．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答).

解析　当每个台阶上各站1人时有CA种站法；当两个人站在同一个台阶上时有CCC种站法．因此不同的站法种数为CA＋CCC＝210＋126＝336.

答案　336

8．某市教育局决定派出8名心理咨询专家(5男3女)到甲、乙两所学校进行心理问题调研．

(1)每所学校均有4名专家参加调研，有多少种的安排方法？

(2)每所学校至少有3人且必须有女专家参加调研，有多少种的安排方法？