6.2.4 第1课时 组合与组合数-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)给出下面几个问题，其中是组合问题的有(　　) A．由1，2，3，4构成的含有2个元素的集合个数 B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数 C．由1，2，3组成两位数的不同方法数 D．由1，2，3组成的无重复数字的两位数的个数 答案　AB 2．(2025·江门高二期末)计算C＋2A的值是(　　) A．41 B．61 C．62 D．82 解析　C＝＝＝21， A＝＝4×5＝20，2A＝2×20＝40， 因此C＋2A＝21＋40＝61. 故选B. 答案　B 3．(2023·新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(　　) A．C·C 种 B．C·C 种 C．C·C 种 D．C·C 种 答案　D 4．方程C＝C的解集为(　　) A．{4} B．{14} C．{4，6} D．{14，2} 解析　由题意知或 解得x＝4或x＝6. 答案　C 5．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，则不同方法的种数是________(用数字作答). 解析　由于选出的人无角色差异，所以是组合问题，共有C＝＝＝10种不同方法． 答案　10 6．计算：C＋C＝________． 解析　因为所以 所以n＝10. 所以原式＝C＋C＝＋＝＋31＝466. 答案　466 7．对所有满足1≤m<n≤5的自然数m，n，方程x2＋Cy2＝1所表示的不同椭圆的个数为________． 解析　因为1≤m<n≤5，所以C可以是C，C，C，C，C，C，C，C，C，C，计算可知C＝C，C＝C，C＝C，C＝C，故x2＋Cy2＝1能表示6个不同的椭圆． 答案　6 8．(1)解方程：A＝6C； (2)解不等式：C>3C. 解析　(1)原方程等价于m(m－1)(m－2)＝6×， ∴4＝m－3，解得m＝7. (2)由已知得∴x≤8，且x∈N*， ∵C>3C， ∴＞. 即>，∴x>3(9－x)，解得x>， ∴x＝7或x＝8. ∴原不等式的解集为{7，8}． [关键能力·综合提升] 9．(多选题)下列问题是组合问题的有(　　) A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有2 021个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段 C.集合{a1，a2，a3，…，an}中含有三个元素的子集有多少个 D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 解析　组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D选项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，故选ABC. 答案　ABC 10．已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有(　　) A．36个 B．72个 C．63个 D．126个 解析　此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所以四边形的对角线的交点个数即为所求，所以交点有C＝126个． 答案　D 11．方程C－C＝C的解集是________． 解析　因为C＝C＋C，所以C＝C，由组合数公式的性质，得x－1＝2x＋2或x－1＋2x＋2＝16，解得x1＝－3(舍去)，x2＝5. 答案　{5} 12．(2025·合肥高二期末)从编号为1，2，3，4的四个元素中取出3个元素，排在编号为1，2，3的位置上(每个位置只排一个元素).则元素的编号与所处位置的号码不相同的排法有________种． 解析　若取出的3个元素中有4，且从1，2，3中任取2个元素，则有C×C＝9种排法； 若取出的3个元素中没有4，即取出的3个元素为1，2，3，则共有2种排法． 综上所述，共有9＋2＝11种排法． 答案　11 13．一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问： (1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？ (2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？ 解析　(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为C＝12 376. (2)教练员可以分两步完成这件事情： 第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C种选法； 第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有C种选法． 所以教练员做这件事情的方式种数为C×C＝136 136. [核心价值·探索创新] 14．某区有7条南北向街道，5条东西向街道(如图). (1)图中有________个矩形； (2)从A点走向B点最短的走法有________种． 解析　(1)在7条南北向街道中任选2条，5条东西向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形C·C＝·＝210(个). (2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C·C＝·＝210种走法． 答案　(1)210　(2)210 15．袋中装有大小相同标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球． (1)共有多少种不同结果？ (2)取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有几个？ (3)取出的3球中至少有2个白球的结果有几个？ 解析　(1)从4个白球，5个黑球中任取3个的所有结果有C＝84个不同结果． (2)设“取出3球中有2个白球，1个黑球”的所有结果组成的集合为A，A所包含的种数为CC.所以共有CC＝30种不同的结果． (3)设“取出3球中至少有2个白球”的所有结果组成集合为B，B包含的结果数是C＋CC. 所以共有C＋CC＝34种不同的结果． 学科网（北京）股份有限公司 $