8.3 列联表与独立性检验-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“列联表与独立性检验”，涵盖分类变量、2×2列联表、独立性检验（χ²公式、临界值、检验步骤）等核心知识。通过“学生课外活动方式调查”等实例导入，引导学生从直观分析（表格、图形）过渡到定量检验，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于案例贴近现实（如铅中毒与尿胆红素关联、头盔佩戴与年龄关系），分题型教学（等高条形图应用、无关联/有关联检验），培养数据分析、数学运算素养。学生能提升用数学思维解决实际问题的能力，教师可借助系统的“课前-课堂-课后”案提升教学效率。

8.3　列联表与独立性检验 8.3.1　分类变量与列联表 8.3.2　独立性检验 第八章　成对数据的统计分析 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 课前案•自主学习 01 课堂案•互动探究 02 课后案•学业评价 03 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 课前案•自主学习 栏目导航 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 不同类别 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 频数表 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 课后案•学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 谢谢观看 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 学业标准 素养目标 1．通过实例，理解2×2列联表的统计意义．(重点) 2．通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用．(重点、难点) 1．通过列联表和独立性检验概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．在对分类变量进行独立性检验的过程中，提升数据分析和数学运算等核心素养． 导学　独立性检验 　山东省教育厅大力推行素质教育，增加了高中生的课外活动时间，某校调查了学生的课外活动方式，结果整理成下表： 性别 活动方式 合计 体育 文娱 男生 210 230 440 女生 60 290 350 合计 270 520 790 如何判定“喜欢体育还是文娱与性别是否有联系”？ [提示]　可通过表格与图形进行直观分析，也可通过统计分析定量判断． ◎结论形成 1．分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的____________，像这样的变量称为分类变量． 2．列联表 (1)定义：列出的两个分类变量的__________，称为列联表． (2)抽样数据列联表 X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 3．独立性检验 (1)χ2的计算公式：记n＝a＋b＋c＋d，则χ2＝. (2)利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验． (3)应用独立性检验解决实际问题包括以下几个环节： ①提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释； ②根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较； ③根据检验规则得出推断结论； ④在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 4．临界值 忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得下面关系成立：P(χ2≥xα)＝α，我们称xα为α的临界值． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)列联表中的数据是两个事件的频数．(　　) (2)事件A与B的独立性检验无关，即两个事件互不影响．(　　) (3)χ2的大小是判断事件A与B是否相关的统计量.(　　) (4)在独立性检验中，χ2的值越大，判断事件A与B有关的把握就越大．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．用等高堆积条形图粗略估计两个分类变量是否相关，观察下列各图，其中两个分类变量关系最强的是(　　) 解析　由等高堆积条形图易知，D选项两个分类变量关系最强． 答案　D 3．以下关于独立性检验的说法中，错误的是(　　) A．独立性检验依据小概率原理 B．独立性检验得到的结论一定正确 C．样本不同，独立性检验的结论可能有差异 D．独立性检验不是判定两个分类变量是否相关的唯一方法 解析　独立性检验只是在一定的可信度下进行判断，不一定正确．故选B. 答案　B 4．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班学生的数学成绩优秀和及格统计人数后，得到如下列联表： 班别 数学成绩 总计 优秀 及格 甲班 11 34 45 乙班 8 37 45 总计 19 71 90 则随机变量χ2的值约为(　　) A．0.600 　 B．0.828　　 C．2.712　 D．6.004 解析　根据列联表中的数据， 可得χ2＝≈0.600.故选A. 答案　A 题型一　等高堆积条形图及应用 　为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关联，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下： 组别 尿棕色素 总计 阳性数 阴性数 铅中毒病人 29 7 36 对照组 9 28 37 总计 38 35 73 试画出列联表的等高堆积条形图，分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关联？ [解析]　等高条形图如图所示： 其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率． 由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比，尿棕色素为阳性的频率差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关联． 在等高条形图中，可以估计满足条件X＝x1的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例，也可以估计满足条件X＝x2的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例.两个比例的值相差越大，X与Y有关联成立的可能性就越大． [触类旁通] 1．网络对现代人的生活影响较大，尤其是对青少年，为了解网络对中学生学习成绩的影响，某地区教育主管部门从辖区初中生中随机抽取了1 000人调查，发现其中经常上网的有200人，这200人中有80人期末考试不及格，而另外800人中有120人不及格．利用图形判断学生经常上网与学习成绩有关联吗？ 解析　根据题目所给的数据得到如下2×2列联表： 期末成绩 网络 总计 经常上网 不经常上网 不及格 80 120 200 及格 120 680 800 总计 200 800 1 000 得出等高堆积条形图如图所示： 比较图中阴影部分的高可以发现经常上网不及格的频率明显高于经常上网及格的频率，因此可以认为经常上网与学习成绩有关联． 题型二　两个分类变量无关联的独立性检验 　[教材例3·拓展]有关研究表明，正确佩戴安全头盔，规范使用安全带能够将交通事故死亡风险大幅降低，对保护群众生命安全具有重要作用．某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，在随机调查的1 000名骑行人员中，年龄低于40岁的占60%，记录其年龄和是否佩戴头盔情况，得到2×2列联表如表所示． 年龄 头盔 合计 佩戴 未佩戴 低于40岁 540 不低于40岁 合计 880 1 000 (1)完成上面的列联表； (2)依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关？ 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 [解析]　(1)年龄低于40岁的有1 000×60%＝600(人)，完成2×2列联表如表所示． 年龄 头盔 合计 佩戴 未佩戴 低于40岁 540 60 600 不低于40岁 340 60 400 合计 880 120 1 000 (2)零假设为H0：遵守佩戴安全头盔与年龄无关， 由公式得 χ2＝＝≈5.682＜6.635＝x0.01， ∴根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立， 因此可以认为H0成立， 即认为遵守佩戴安全头盔与年龄无关． 根据题意列出2×2列联表，计算χ2的值，如果χ2的值很大，说明两个事件有关的可能性很大；如果χ2的值比较小，则认为没有充分的证据显示两个事件有关．这需要给出正确的计算，避免计算失误． [触类旁通] 2．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到下表数据： 生病 情况 种子 总计 种子处理 种子未处理 得病 32 101 133 不得病 61 213 274 总计 93 314 407 根据以上数据，依据小概率值α＝0.1的独立性检验，可得出(　　) A．种子是否经过处理跟是否生病有关联 B．种子是否经过处理跟是否生病无关联 C．种子是否经过处理决定是否生病 D．以上都是错误的 解析　由χ2＝≈0.164＜2.706＝x0.1，根据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有把握认为是否经过处理跟是否生病有关． 答案　B 题型三　两个分类变量有关联的独立性检验 　(2025·全国一卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表： 组别 超声波检查结果 合计 正常 不正常 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1 000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关． 附χ2＝， α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 [解析]　(1)由题表可知，检查结果不正常者有200人，检查结果不正常者中患有该疾病的有180人， 所以由样本估计总体得p＝＝0.9. (2)零假设H0：超声波检查结果与是否患该疾病无关． χ2＝＝765.625>10.828， 所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关． [素养聚焦]　解决此类问题的难点在于运算，所以在解题过程中重点培养数学运算核心素养． 1．先利用χ2＝求出χ2的值．再利用小概率值α以及对应的临界值来判断有多大的把握判断两个事件有关． 2．解题时应注意准确代数与计算，不可错用公式，准确进行比较与判断． [触类旁通] 3．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3), 得下表： 　　　SO2 PM2.5　　　 [0，50] (50，150] (150，475] [0，35] 32 18 4 (35，75] 6 8 12 (75，115] 3 7 10 (1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表． 　　　SO2 PM2.5　　　 [0，150] (150，475] [0，75] (75，115] (3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？ 附：χ2＝， P(χ2≥xα) 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解析　(1)根据抽查数据，该市100天空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为32＋18＋6＋8＝64，因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估计值为＝0.64. (2)根据抽查数据，可得2×2列联表： 　　　　SO2 PM2.5　　　　 [0，150] (150，475) [0.75] 64 16 (75，115] 10 10 (3)根据(2)的列联表得χ2＝≈7.484. 由于7.484＞6.635＝x0.010，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关． 知识落实 技法强化 1．分类变量． 2．2×2列联表． 3．等高堆积条形图． 4．独立性检验，χ2公式． 解题时常出现对独立性检验的原理不理解，导致不会用χ2分析问题． $