1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动 学案 -2025-2026学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

该高中物理导学案聚焦带电粒子在匀强磁场中的运动，引导学生理解垂直入射时的匀速圆周运动，推导半径和周期公式，通过“三定”（定圆心、半径、圆心角）方法分析运动轨迹，衔接洛伦兹力知识，搭建公式推导与几何分析的学习支架。 资料以“三定”法为核心，通过典例解析几何关系培养科学推理能力，多解问题分类讨论渗透质疑创新意识，当堂达标题梯度设计助力模型建构，有效提升学生分析磁场中粒子运动的物理观念与科学思维。

第3节 带电粒子在匀强磁场中的运动学案 核心素养目标 1.理解带电粒子的初速度方向与磁感应强度的方向垂直时，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。 2.会推导带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径、周期公式，知道它们与哪些因素有关，并能熟练应用。 基础知识： 知识点一　带电粒子在匀强磁场中的运动 1．带电粒子垂直于磁场方向进入磁场时，由于带电粒子初速度的方向和洛伦兹力的方向都在与磁场方向垂直的平面内，所以粒子在这个与磁场方向垂直的平面内运动。 2．带电粒子在匀强磁场中运动时，洛伦兹力不改变粒子的速度大小，只改变粒子的速度方向。洛伦兹力提供向心力，即沿着与磁场垂直方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动。 知识点二　带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 1．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径 (1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径与它的质量、速度成正比，与电荷量、磁感应强度成反比。 (2)公式：r＝。 2．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期 (1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期跟轨道半径和运动速度无关。 (2)公式：T＝。 重难点理解： 一、带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动 1．带电粒子垂直进入匀强磁场中，只受洛伦兹力，洛伦兹力提供带电粒子做匀速圆周运动所需的向心力，运动半径r＝，运动周期T＝。 2．分析方法：“三定”，即一定圆心，二定半径，三定圆心角。 (1)圆心的确定：因为洛伦兹力始终与电荷运动方向垂直，洛伦兹力为粒子做圆周运动提供了向心力，总是指向圆心。确定圆心的位置有两种方法： ①画出粒子运动中的任意两点(一般是射入和射出磁场的两点)的洛伦兹力的方向，其延长线的交点即为圆心，如图甲所示。 ②通过入射点或出射点作速度方向的垂线，再连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图乙所示。 (2)求轨道半径的方法 ①根据半径公式r＝求解。 ②根据几何知识求解，如图丙所示。 若已知出射点相对于入射点侧移距离x，则满足r2＝d2＋(r－x)2。 若已知出射速度方向与水平方向的夹角θ和磁场的宽度d，则有r＝。 (3)确定圆心角时，常用角度关系，如图丁所示 ①速度的偏向角φ等于圆心角θ。 ②圆心角θ等于弦切角α的2倍。 ③相对的弦切角相等；相邻的弦切角互补， 即α＋α′＝180°。 ④进出同一直边界时速度方向与该边界的夹角相等，如图戊所示。 (4)求运动时间的方法 ①利用圆心角求解，求出这部分圆弧对应的圆心角，有t＝T。 ②利用弧长s和速度v求解，有t＝。 “三步法”处理带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动 典例1：如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°，不计重力，则为(　　) A.　　　　　　　　B. C. D. 解析　根据题意作出粒子的运动轨迹如图所示。设圆形磁场区域的半径为R，根据几何关系，第一次的半径r1＝R，第二次的半径r2＝R，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝，可得v＝， 所以＝＝，故选B。 答案　B 二　带电粒子在有界磁场中的运动问题 带电粒子在三类有界磁场中的运动轨迹特点 (1)直线边界：进出磁场具有对称性。 (2)平行边界：存在临界条件。 (3)圆形边界：沿径向射入必沿径向射出。 带电粒子在不同边界匀强磁场中的运动特点 (1)带电粒子在有界磁场中运动的对称性 ①从某一直线边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度方向与边界的夹角相等。 ②在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。 (2)带电粒子在磁场中的运动时间 ①当速度v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 ②当速率v变化时，必须看圆心角，圆心角越大的，运动时间越长。 典例2：如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场，经过Δt时间从C点射出磁场，OC与OB成60°角。现将带电粒子的速度变为，仍从A点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为(　　) A.Δt　　　　　　 B．2Δt C.Δt D．3Δt 解析　设带电粒子以速度v进入磁场做圆周运动，圆心为O1，半径为r1，则根据qvB＝，得r1＝，根据几何关系得＝tan，且φ1＝60°，如图所示。当带电粒子以v的速度进入时，轨道半径r2＝＝＝r1，圆心在O2，则＝tan。即tan＝＝＝3tan＝。故＝60°，φ2＝120°；带电粒子在磁场中运动的时间t＝T，所以＝＝，即Δt2＝2Δt1＝2Δt，故选项B正确，A、C、D错误。答案　B 三　带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 带电粒子在匀强磁场中运动多解问题的分析思路 (1)带电粒子在匀强磁场中运动造成多解的常见情况如下。 ①带电粒子的电性不确定形成多解 当粒子具有相同速度时，正、负粒子在磁场中运动的轨迹不同，导致多解。如图甲所示。 ②磁场方向的不确定形成多解 若未说明磁感应强度的方向，则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解。如图乙所示。 ③临界状态不唯一形成多解 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，带电粒子有从不同边界飞出的可能，如图丙所示，于是形成多解。 ④运动的往复性形成多解 带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间中运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解，如图丁所示。 (2) 解决带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题的关键是充分考虑问题的各种可能性，认真分析其物理过程，画出各种可能的运动轨迹，找出隐含的几何关系，综合运用数学、物理知识求解。 典例3：如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界。现有质量为m，电荷量为q的带电粒子(不计重力)沿图示方向垂直磁场射入，要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少。 解析　题目中只给出粒子“电荷量为q”，未说明是带哪种电荷。若q为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN′相切的圆弧， 由洛伦兹力提供向心力知：qvB＝m 得轨道半径：R＝ 又d＝R－ 解得v＝(2＋)。 若q为负电荷，轨迹如图所示的下方与NN′相切的圆弧， 则有：R′＝，d＝R′＋，解得v′＝(2－)。 答案　(2＋)(q为正电荷)或(2－)(q为负电荷) 当堂达标： 1．两个粒子所带电荷量相等，在同一匀强磁场中只受洛伦兹力而做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　) A．若速率相等，则半径必相等 B．若质量相等，则周期必相等 C．若质量相等，则半径必相等 D．若动能相等，则周期必相等 2．质子p(11H)和α粒子(24He)以相同的速率在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，轨道半径分别为Rp和Rα，周期分别为Tp和Tα，则下列选项正确的是(　　) A．Rp∶Rα＝1∶2；Tp∶Tα＝1∶2 B．Rp∶Rα＝1∶1；Tp∶Tα＝1∶1 C．Rp∶Rα＝1∶1；Tp∶Tα＝1∶2 D．Rp∶Rα＝1∶2；Tp∶Tα＝1∶1 3．洛伦兹力演示仪的结构示意图如图所示。由电子枪产生电子束，玻璃泡内充有稀薄的气体，在电子束通过时能够显示电子的径迹。前后两个励磁线圈之间产生匀强磁场，磁场方向与两个线圈中心的连线平行。电子速度的大小和磁感应强度可以分别通过电子枪的加速电压U和励磁线圈的电流I来调节。适当调节U和I，玻璃泡中就会出现电子束的圆形径迹。下列调节方式中，一定能让圆形径迹半径增大的是(　　) A．同时增大U和I B．同时减小U和I C．增大U，减小I D．减小U，增大I 4.如图所示，匀强磁场宽L＝ m，磁感应强度大小B＝1.67×10－3 T，方向垂直纸面向里，一质子以水平速度v＝1.6×105 m/s垂直磁场边界从小孔C射入磁场，打到照相底片上的A点。已知质子的质量m＝1.67×10－27 kg，带电荷量e＝1.6×10－19 C。不计质子的重力。求： (1)质子在磁场中运动的轨迹半径r； (2)A点距入射线方向上的O点的距离H； (3)质子从小孔C射入至到达A点所需的时间。 参考答案： 1.解析：B　粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有Bqv＝m，得r＝，T＝＝。由于带电粒子的带电荷量相等，同一匀强磁场B相同，对两粒子的圆轨迹，若速率相等而质量不等，或者质量相等而速率不等，则半径r不同，故A、C错误。两粒子若质量相等，则周期必相等；若动能相等，而速率不等，则二者质量不等，周期不相等，故B正确，D错误。 2.解析：A　质子p(11H)和α粒子(24He)的带电荷量之比qp∶qα＝1∶2，质量之比mp∶mα＝1∶4。由带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的规律可知，轨道半径R＝，周期T＝，因为两粒子速率相同，代入q、m可得Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶2，故选项A正确。 3.解析：C　电子在加速电场中加速，由动能定理得eU＝mv02；电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力，有eBv0＝。联立以上两式得r＝＝ ，可知增大电子枪的加速电压，减小励磁线圈中的电流使电流产生的磁场减弱，都可以使电子束的轨迹半径变大，故C正确。 4.解析：(1)质子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力， 有evB＝，解得r＝ 代入数据得r＝1 m。 (2)设圆弧对应的圆心角为θ，则由几何关系可得 sin θ＝，H＝r(1－cos θ) 解得θ＝60°，H＝0.5 m。 (3)质子在磁场中转动的角度θ＝60°，则运动的时间为 t＝T 又T＝ 解得t＝×10－5 s(或6.54×10－6 s)。 答案：(1)1 m　(2)0.5 m　(3)×10－5 s(或6.54×10－6 s) 学科网（北京）股份有限公司 $