1.1.2 数列的函数特性-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习（北师大版）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列四个命题中，正确的有(　　) A．数列的第k项为1＋ B．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的第7项 C．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝2n－1 D．数列{an}的通项公式为an＝，则数列{an}是递增数列 解析　对于A，数列的第k项为＝1＋，A正确；对于B，令n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，B正确；对于C，将3，5，9，17，33，…的各项均减去1，得2，4，8，16，32，…，设该数列为{bn}，则其通项公式为bn＝2n，因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝bn＋1＝2n＋1，C错误；对于D，an＝＝1－，则an＋1－an＝－＝＞0，因此数列{an}是递增数列，D正确．故选ABD. 答案　ABD 2．(多选题)数列{an}的通项公式为an＝2n2－22n，则数列{an}各项中最小项是(　　) A．第4项　　　　　　　 B．第5项 C．第6项 D．第7项 解析　an＝2n2－22n＝2－， 故当n＝5或n＝6时， an的值最小，最小值为a5＝a6＝－60. 答案　BC 3．(多选题)(2025·江苏南通期末)若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n，关于该数列，以下四种说法正确的是(　　) A．该数列有无限多个正数项 B．该数列有无限多个负数项 C．该数列的最大项就是函数f(x)＝－2x2＋13x的最大值 D．－70是该数列中的一项 解析　令－2n2＋13n>0，得0<n<，故数列{an}有6项是正数项，有无限个负数项，所以A错误，B正确；当n＝3时，数列{an}取到最大值，而当x＝3.25时，函数f(x)取到最大值，所以C错误； 令－2n2＋13n＝－70， 解得n＝10或n＝－(舍去). 即－70是该数列的第10项，所以D正确．故选BD. 答案　BD 4．(2025·福建福州期中)已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的最大项的值为(　　) A． B． C． D． 解析　由题意可知an＝＝，易知y＝在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，而2＜＜3，经计算可知a2＝a3＝，所以该数列的最大项的值为，故选B. 答案　B 5．已知数列{an}的通项公式为an＝n－，则an的最小值为 ． 解析　因为an＝n－＝＝－，易知数列{an}为递增数列，则数列{an}的最小项为a1，即最小值为1－. 答案　1－ 6．(2025·山东聊城高二期末)已知数列{an}满足an＝，则|a2－a1|＋|a3－a2|＋…＋|a10－a9|＝ ． 解析　因为an＋1－an＝－＝， 当n＝1时，a2－a1＝2>0； 当n≥2时，an＋1－an＜0， 所以|a2－a1|＋|a3－a2|＋…＋|a10－a9| ＝a2－a1＋a2－a3＋a3－a4＋…＋a9－a10 ＝2a2－a1－a10 ＝2－(－1)－＝3－＝. 答案　 7．数列{(25－2n)2n-1}的最大项的项数为 ． 解析　令an＝(25－2n)2n-1，当n≥2时，设an为最大项，则即解得≤n≤.因为n∈N＋，所以n＝11.又当n＝1时，a1＝23＜42＝a2，所以数列{(25－2n)·2n-1}的最大项的项数为11. 答案　11 8．在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，请回答下列问题． (1)这个数列共有几项为负？ (2)这个数列从第几项开始递增？ (3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由． 解析　(1)因为an＝n(n－8)－20＝(n＋2)·(n－10)，所以当0<n<10时，an<0，所以数列{an}共有9项为负． (2)因为an＋1－an＝2n－7，所以当an＋1－an>0时，n>，故从第4项开始数列{an}递增． (3)an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，根据二次函数的性质知，当n＝4时，an取得最小值－36，即数列中有最小值，最小值为－36. [关键能力·综合提升] 9．(2025·天津五校期中联考)已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn，则“k≥－2”是“{an}为递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 解析　由题意得数列{an}为递增数列等价于对任意n∈N＋，an＋1－an＝2n＋k＋1>0恒成立，即k>－2n－1对任意n∈N＋恒成立，故k>(－2n－1)max＝－3，所以“k≥－2”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．故选A. 答案　A 10．在数列{an}中，“|an＋1|＞an”是“数列{an}为递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析　“|an＋1|＞an”⇔an＋1＞an或－an＋1＞an，充分性不成立；数列{an}为递增数列⇔|an＋1|≥an＋1＞an成立，必要性成立，所以“|an＋1|＞an”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件．故选B. 答案　B 11．已知数列{an}满足an＝n＋(n∈N＋)，且对任意n∈N＋，an<an＋1恒成立，则正数m满足 ． 解析　∵an<an＋1恒成立，∴{an}是递增数列，当≤1时符合题意； 当>1时得1<m<2， 综上所述0<m<2. 答案　0<m<2 12．数列{an}的通项公式为an＝其中n∈N＋，若a5是{an}中的最大值，则a的取值范围是 ． 解析　当n≤4时，an＝2n－1单调递增， 因此n＝4时取最大值，a4＝24－1＝15. 当n≥5时， an＝－n2＋(a－1)n＝－2＋. 因为a5是{an}中的最大值， 所以解得9≤a≤12， 所以a的取值范围是[9，12]. 答案　[9，12] 13．已知数列{an}满足an＝＋＋＋…＋. (1)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？ (2)证明：an≥对一切正整数恒成立． (1)解析　数列{an}是递增数列． 理由如下： 因为an＝＋＋＋…＋， 所以an＋1－an＝＋－ ＝－＝. 又n∈N＋，所以an＋1－an＞0. 所以数列{an}是递增数列． (2)证明　由(1)知数列{an}为递增数列， 所以数列{an}的最小项为a1＝. 所以an≥a1＝， 即an≥对一切正整数恒成立． [学科素养·探索创新] 14．(多选题)对于数列{an}，若存在正整数k(k≥2)，使得ak＜ak－1，ak＜ak＋1，则称ak是数列{an}的“谷值”，k是数列{an}的“谷值点”．在数列{an}中，若an＝，则数列{an}的“谷值点”为(　　) A．2 B．3 C．5 D．7 解析　因为an＝，所以a1＝2，a2＝，a3＝2，a4＝，a5＝，a6＝，a7＝，a8＝.当n≥7，n∈N＋时，n＋－8＞0，所以an＝＝n＋－8，此时数列单调递增，a2<a1，a2＜a3，a7<a6，a7<a8，所以数列{an}的“谷值点”为2，7. 答案　AD 15．(2025·福州高二质检)已知在数列{an}中，an＝1＋(n∈N＋，a∈R且a≠0). (1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立，求实数a的取值范围． 解析　(1)法一　因为a＝－7， 所以an＝1＋. 结合函数f(x)＝1＋的单调性， 可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N＋)， 所以数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0. 法二　因为a＝－7，所以an＝1＋. 设数列中的最大项为an，则 (n≥2且n∈N＋)， 即 解得＜n＜. 又n≥2且n∈N＋，所以n＝5，即数列{an}中的最大项为a5＝2. 同理可得，数列{an}中的最小项为a4＝0. (2)an＝1＋＝1＋. 因为对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立， 所以结合函数f(x)＝1＋的单调性， 知5＜＜6，所以－10＜a＜－8. 故实数a的取值范围为(－10，－8). 学科网（北京）股份有限公司 $