63.ax = loga x型图象交点个数判定（0 小于a 大于1情况）【拔高】专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学函数类特色专项训练 专题63：型图象交点个数判定（情况）【拔高】（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】方程（）的图象交点意义 · 定义表述：方程（）的实数解个数，等价于一次函数与对数函数图象的交点个数；两个函数的单调性与图象走向是判定交点个数的核心依据。 · 数学符号/表达式：设（），（），则方程的解的个数函数与图象的交点个数。 · 关键特征：时，是上的减函数且过原点，函数值恒正；是上的减函数，过定点，时，时。 · 跨章节关联：需结合函数单调性、零点存在定理、导数的几何意义分析，是一次函数与对数函数图象和性质的综合应用。 2. 【概念2】时的临界切线条件 · 定义表述：当直线（）与对数函数（）的图象相切时，对应的值为临界值，此时方程有且仅有一个实数解，该临界值是判定交点个数的分界点。 · 数学符号/表达式：设切点为，则满足（），解得临界值。 · 关键特征：临界值，当时方程有两个实数解，当时方程有一个实数解，当时方程无实数解。 · 跨章节关联：与导数的几何意义（切线斜率）、方程联立求解紧密相关，需注意的符号对计算的影响。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 交点存在的区间限制 时，方程的解必在区间内 错误认为解可能在内，忽略时而的符号差异 分析的解时，错误讨论的情况，实际时左边为，右边为，不可能相等 临界值的取值范围 时的临界值为，与时的临界值互为倒数 混淆与两种情况的临界值，将当作时的临界值 判定的交点个数时，错误用作为分界点 导数公式的符号处理 函数（）的导数为，切点处切线斜率为负数 求导时遗漏的负号，错误认为，导致切线斜率符号判断错误 求在处的切线斜率时，错误得出斜率为，实际为 三、题型分类与例题精析 题型1：判定具体值（）对应的交点个数 题型特征：已知的具体数值，判定方程的实数解个数（即两函数图象的交点个数）。 解题步骤： 1. 确定时的临界值。 2. 比较已知值与临界值的大小关系。 3. 根据结论判定交点个数：时个；时个；时个。 例题1 判定方程的实数解个数。 举一反三1-1 判定方程的实数解个数。 举一反三1-2 判定方程的实数解个数。 举一反三1-3 判定方程的实数解个数。 题型2：已知交点个数（），求参数的取值范围 题型特征：已知方程（）的实数解个数，反求参数的取值范围。 解题步骤： 1. 明确时交点个数对应的与临界值的关系：个；个；个。 2. 结合已知交点个数，直接写出的取值范围。 3. 验证边界值是否符合题意。 例题2 已知方程（）无实数解，求实数的取值范围。 举一反三2-1 已知方程（）有两个不同的实数解，求实数的取值范围。 举一反三2-2 已知方程（）有且仅有一个实数解，求实数的值。 举一反三2-3 已知方程（）至少有一个实数解，求实数的取值范围。 题型3：结合导数证明时的交点个数结论 题型特征：利用导数分析函数单调性与最值，证明时方程的交点个数结论。 解题步骤： 1. 构造辅助函数（，），将交点个数转化为的零点个数。 2. 求导，分析的单调性与极值点（注意）。 3. 计算极值（为极值点），结合零点存在定理判定零点个数。 例题3 设，（），证明：当时，无零点。 举一反三3-1 证明：当（）时，函数有且仅有一个零点。 举一反三3-2 证明：当（）时，函数有两个不同的零点。 举一反三3-3 求函数（）的最小值，并判定其零点个数。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 方程的实数解个数为（） A. B. C. D. 无数个 2. 多选题 已知，方程有实数解的条件可能是（） A. B. C. D. 3. 填空题 已知方程（）有且仅有一个实数解，则______ 4. 解答题 (1) 判定方程的实数解个数（已知） (2) 已知方程（）有两个不同实数解，求的取值范围 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 设，若函数与的图象相切，则的值为（） A. B. C. D. 2. 多选题 关于函数（，），下列说法正确的有（） A. 在定义域内有唯一的极值点 B. 的极小值点为 C. 当时，的最小值大于 D. 当时，有两个零点 3. 填空题 函数的零点个数为______ 4. 解答题 (1) 已知方程（）无实数解，求的取值范围 (2) 求函数在切点处的切线方程（已知切线斜率为） （三）拔尖拓展卷（5题） 1. 单选题 已知，且方程有两个不同的实数解（），则下列关系成立的是（） A. B. C. D. 无确定关系 2. 多选题 已知（），则关于函数和的说法正确的有（） A. 两函数图象相切于点 B. 切线方程为 C. 与在上均为减函数 D. 方程有唯一解 3. 填空题 若方程（）的实数解个数为，则函数的最小值为______ 4. 解答题 (1) 证明：当（）时，函数在上有两个不同的零点 (2) 已知，函数，，若对任意，都有不恒成立，求的取值范围 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学函数类特色专项训练 专题63：型图象交点个数判定（情况）【拔高】（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】方程（）的图象交点意义 · 定义表述：方程（）的实数解个数，等价于一次函数与对数函数图象的交点个数；两个函数的单调性与图象走向是判定交点个数的核心依据。 · 数学符号/表达式：设（），（），则方程的解的个数函数与图象的交点个数。 · 关键特征：时，是上的减函数且过原点，函数值恒正；是上的减函数，过定点，时，时。 · 跨章节关联：需结合函数单调性、零点存在定理、导数的几何意义分析，是一次函数与对数函数图象和性质的综合应用。 2. 【概念2】时的临界切线条件 · 定义表述：当直线（）与对数函数（）的图象相切时，对应的值为临界值，此时方程有且仅有一个实数解，该临界值是判定交点个数的分界点。 · 数学符号/表达式：设切点为，则满足（），解得临界值。 · 关键特征：临界值，当时方程有两个实数解，当时方程有一个实数解，当时方程无实数解。 · 跨章节关联：与导数的几何意义（切线斜率）、方程联立求解紧密相关，需注意的符号对计算的影响。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 交点存在的区间限制 时，方程的解必在区间内 错误认为解可能在内，忽略时而的符号差异 分析的解时，错误讨论的情况，实际时左边为，右边为，不可能相等 临界值的取值范围 时的临界值为，与时的临界值互为倒数 混淆与两种情况的临界值，将当作时的临界值 判定的交点个数时，错误用作为分界点 导数公式的符号处理 函数（）的导数为，切点处切线斜率为负数 求导时遗漏的负号，错误认为，导致切线斜率符号判断错误 求在处的切线斜率时，错误得出斜率为，实际为 三、题型分类与例题精析 题型1：判定具体值（）对应的交点个数 题型特征：已知的具体数值，判定方程的实数解个数（即两函数图象的交点个数）。 解题步骤： 1. 确定时的临界值。 2. 比较已知值与临界值的大小关系。 3. 根据结论判定交点个数：时个；时个；时个。 例题1 判定方程的实数解个数。 解析： 1. 已知，临界值。 2. 比较大小：。 3. 根据结论，当时，函数与的图象有个交点，因此方程有个实数解。 答案：个 举一反三1-1 判定方程的实数解个数。 解析： 1. 已知，临界值。 2. 比较大小：。 3. 根据结论，当时，两函数图象无交点，因此方程无实数解。 答案：个 举一反三1-2 判定方程的实数解个数。 解析： 1. 已知，恰好为时的临界值。 2. 根据结论，当时，直线与对数函数的图象相切，有个交点。 3. 因此方程有个实数解。 答案：个 举一反三1-3 判定方程的实数解个数。 解析： 1. 已知，临界值。 2. 比较大小：。 3. 根据结论，两函数图象有个交点，方程有个实数解。 答案：个 题型2：已知交点个数（），求参数的取值范围 题型特征：已知方程（）的实数解个数，反求参数的取值范围。 解题步骤： 1. 明确时交点个数对应的与临界值的关系：个；个；个。 2. 结合已知交点个数，直接写出的取值范围。 3. 验证边界值是否符合题意。 例题2 已知方程（）无实数解，求实数的取值范围。 解析： 1. 方程无实数解等价于两函数图象无交点，对应时的条件为。 2. 验证边界值：当时方程有个解，符合边界不包含的要求。 3. 因此实数的取值范围是。 答案： 举一反三2-1 已知方程（）有两个不同的实数解，求实数的取值范围。 解析： 1. 方程有两个不同实数解等价于两函数图象有个交点，对应时的条件为。 2. 因此实数的取值范围为。 答案： 举一反三2-2 已知方程（）有且仅有一个实数解，求实数的值。 解析： 1. 方程有且仅有一个实数解等价于两函数图象相切，对应时的条件为。 2. 因此实数的值为。 答案： 举一反三2-3 已知方程（）至少有一个实数解，求实数的取值范围。 解析： 1. 方程至少有一个实数解等价于交点个数为或，对应时的条件为。 2. 因此实数的取值范围为。 答案： 题型3：结合导数证明时的交点个数结论 题型特征：利用导数分析函数单调性与最值，证明时方程的交点个数结论。 解题步骤： 1. 构造辅助函数（，），将交点个数转化为的零点个数。 2. 求导，分析的单调性与极值点（注意）。 3. 计算极值（为极值点），结合零点存在定理判定零点个数。 例题3 设，（），证明：当时，无零点。 解析： 1. 求导：，因为，所以，则，令，解得（注意）。 2. 分析单调性：当时，，单调递减；当时，，单调递增；因此在处取得极小值（也是最小值）。 3. 计算极小值：当时，，代入得；当时，的最小值，因此无零点。 答案：证明见解析 举一反三3-1 证明：当（）时，函数有且仅有一个零点。 解析： 1. 由例题3可知，在处取得最小值。 2. 当时，，代入计算得，。 3. 因此的最小值为，当且仅当时，即有且仅有一个零点。 答案：证明见解析 举一反三3-2 证明：当（）时，函数有两个不同的零点。 解析： 1. 在处取得最小值，当时，。 2. 分析端点趋势：当时，，，因此；当时，；当时，，，因此。 3. 根据零点存在定理，在和上各有一个零点，即有两个不同的零点。 答案：证明见解析 举一反三3-3 求函数（）的最小值，并判定其零点个数。 解析： 1. 求导：，令，解得。 2. 分析单调性：在递减，在递增，最小值为。 3. 因为，所以，结合端点趋势可知有个零点。 答案：最小值为，零点个数为个 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 方程的实数解个数为（） A. B. C. D. 无数个 解析： 临界值，，对应交点个数为个。 答案： 2. 多选题 已知，方程有实数解的条件可能是（） A. B. C. D. 解析： 方程有实数解的条件是，选项中和符合。 答案： 3. 填空题 已知方程（）有且仅有一个实数解，则______ 解析： 有且仅有一个实数解的条件是。 答案： 4. 解答题 (1) 判定方程的实数解个数（已知） 解析： ，对应交点个数为个。 答案：个 (2) 已知方程（）有两个不同实数解，求的取值范围 解析： 有两个不同实数解的条件是。 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 设，若函数与的图象相切，则的值为（） A. B. C. D. 解析： 时两函数图象相切的临界值为。 答案： 2. 多选题 关于函数（，），下列说法正确的有（） A. 在定义域内有唯一的极值点 B. 的极小值点为 C. 当时，的最小值大于 D. 当时，有两个零点 解析： 求导后可知有唯一极值点且为极小值点；结合临界值结论，C、D正确。 答案： 3. 填空题 函数的零点个数为______ 解析： ，对应零点个数为个。 答案： 4. 解答题 (1) 已知方程（）无实数解，求的取值范围 解析： 无实数解的条件是。 答案： (2) 求函数在切点处的切线方程（已知切线斜率为） 解析： 设切点为，，解得，；切线方程为。 答案： （三）拔尖拓展卷（5题） 1. 单选题 已知，且方程有两个不同的实数解（），则下列关系成立的是（） A. B. C. D. 无确定关系 解析： 是的极小值点，两个零点分别在极小值点两侧，因此。 答案： 2. 多选题 已知（），则关于函数和的说法正确的有（） A. 两函数图象相切于点 B. 切线方程为 C. 与在上均为减函数 D. 方程有唯一解 解析： 代入临界值计算可知切点为，切线方程为，方程有唯一解；时和均为减函数。 答案： 3. 填空题 若方程（）的实数解个数为，则函数的最小值为______ 解析： 实数解个数为时，的最小值为。 答案： 4. 解答题 (1) 证明：当（）时，函数在上有两个不同的零点 解析： ①求导得，极值点；②在递减，递增，最小值；③时，时；④由零点存在定理得证。 答案：证明见解析 (2) 已知，函数，，若对任意，都有不恒成立，求的取值范围 解析： 不恒成立等价于有解，对应条件为。 答案： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $