精品解析：甘肃省武威市部分学校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷

甘肃省武威市部分学校2024-2025学年高二下学期期中联考 数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分.） 1. 已知点关于轴的对称点为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中对称点的性质求解即可. 【详解】因为点关于轴的对称点为， 所以，故C正确. 故选：C 2. 已知函数，若，则实数的值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法一：根据导数的定义及极限的运算得，求解即可； 解法二：求出导函数，根据导数的定义及极限的运算得，求解即可. 【详解】解法一：函数， 则， 所以，解得． 解法二：，而， 所以，解得． 故选：A 3. 某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为.则时，弹簧振子的瞬时速度为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式化简函数，然后求出导函数，代入计算即可求解. 【详解】由题可得位移是关于时间的函数，且满足， 则， 则该弹簧振子在时的瞬时速度是. 故选：C 4. 某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解. 【详解】同时爱好两项的概率为， 记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件， 则， 所以. 故选:. 5. 已知，，，若共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，从而得到方程组，解得即可． 【详解】因为，，，且共面， 则存在实数满足，即， 所以，解得． 故选：B 6. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 是函数的极小值点 B. 是函数的极大值点 C. 函数在上单调递增 D. 函数在处的切线斜率小于零 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数图象，求得函数单调性，结合极值点定义，即可容易判断选择. 【详解】由图象得时，，时，， 故在单调递减，在单调递增， 故是函数的极小值点，即选项A、B错误，C正确； 对选项D：显然，故D错误. 故选：C． 7. 同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为6，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别算出，，结合公式即可求解. 【详解】同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对，则总共有种可能， 所以事件包含的样本点个数有个， 所以， 事件包含的基本事件有：， 所以， 所以. 故选：A. 8. 已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，令，根据在上不单调，由在上有变号零点求解. 【详解】， 令， 因为在上不单调， 在上有变号零点，即在上有变号零点， 当 时， ，不成立； 当 时，只需 ，即 ， 解得 或 ， 所以 在上不单调的充要条件是或 ， 所以在上不单调的一个充分不必要条件是， 故选：B 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分，两个选项的对一个得3分，三个选项的对一个得2分，有错误选项不得分.） 9. 在正方体中，，为正方形内（包括边界）一动点，为的中点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得 C. 若，则的最大值为 D. 满足的点的轨迹长度为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用锥体体积公式可判断A选项；以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，设点，其中、，利用空间向量法可判断BC选项；根据可得出、的关系式，确定点的轨迹，并求其长度，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为平面平面，平面， 所以点到平面的距离等于， 因为四边形是边长为的正方形，故， 因此为定值，A对； 对于B选项，取的中点，的中点，连接． 以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、． 设，其中、，则，， ， 因为，所以， 所以，不存在点，使得，B错； 对于C选项，，， 所以，即， 因为，所以， 故当时，的最大值为，C错； 对于D选项，，， 由得，即， 又因为、，所以、， 所以点的轨迹为平面内的线段， 即图中的线段，由图知， 故满足的点的轨迹长度为，D正确． 故选：AD. 10. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 函数在上递减，在上递减 B. 函数在上递增，在上递增 C. 函数有极大值和极小值 D. 函数有极大值和极小值 【答案】BD 【解析】 【分析】结合函数图象，对分区间讨论与大小关系，从而推导出在区间上的单调性即可； 【详解】解：由图可知：当时，，故在上单调递增； 当时，，故在上单调递减； 当时，，故在上单调递减； 当时，，故在上单调递增； 故函数在时取得极大值，在时取得极小值， 即函数有极大值和极小值； 故选：BD． 11. 若数列满足，则称其为“数列”.给定数列，若为“数列”，定义上的变换：从中任取两项，将添加在所有项的最前面，然后删除，记新数列为（约定：一个数也视作数列），下列结论正确的有（ ） A. 若，则数列为“数列” B. 若，则数列为“数列” C. 若无穷数列为“数列”，则为“数列” D. 若数列为，则为 【答案】BCD 【解析】 【分析】取特值，求解，由可得A项错误；构造，利用导函数研究单调性求解值域可得B项；证明，都有，由“数列”定义与结论可得C项；D项由几个特殊取值寻找规律猜想结论，并用数学归纳法证明. 【详解】A项，若，取， 由，则， 则，故A错误； B项，若， 设， 则， 故在单调递增，所以，即. 故任意，则， 由，依次递推可知， 故数列满足，则数列为“数列”，故B正确； C项，首先证明，都有. 证明：对， 则有， 且， 所以，即， 故由所证结论可知，若无穷数列为“数列”， 则数列中任意项，都满足，则任意两项，都有. 依次类推可知经过任意次变换操作后，新数列仍为“数列”，故C正确； D项，由于每次变换操作中都是增加一项，删除两项， 所以对数列经过变换一次，则项数减少一项， 故对项的数列可进行次变换操作，且最后数列只剩下一项. 对于任意，定义运算. 下面证明这种运算满足交换律与结合律. 证明：由，则， 所以，即该运算满足交换律； 由； 且； 故，即该运算满足结合律. 由上所证结论可知，中的项与实施的变换具体操作顺序无关， 不妨选择的依序操作过程求. 由当时，，由，则； 当时，，则由，，则； 当时，，则由，，， 则； 当时，，则由，，， ，则； ； 由数列， 故猜想：. 记为最后数列中仅剩的一项（），设， 则由题意可知数列满足，. 下面用数学归纳法证明：. （i）当时，，又， 故当时，成立； （ii）假设当时，成立， 即，下面证明当时，也成立. 则当时， ， 故当时，也成立，得证. 综合（i）（ii）可得，对任意，成立，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键有以下几点，一是运算性质的探究，对，都有；二是运算律的探究，运算满足交换律与结合律；三是数列的归纳、猜想与证明. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用导数分析函数的图象，再利用数形结合，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】，，得， 当，，单调递增，，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 如图，当与直线平行的直线与的图象相切时，此时切点到直线的距离最小， ，得，即切点， 点到直线的距离为. 故答案为： 13. 已知，，，点，若平面ABC，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用线面垂直得线线垂直，即，结合坐标运算求解即可 【详解】因为，，，，所以，，， 因为平面ABC，平面ABC， 所以 所以点的坐标为． 故答案为： 14. 若不等式对恒成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，，利用导数知识求得函数值域及单调性可得答案. 【详解】不等式对恒成立， 则对恒成立， ，. 令，，. ；，则在上单调递减，在上单调递增， 从而.令，则. 令，，则. 注意到，则，. 则在上单调递增，在上单调递减， 则，从而. 故答案为： 四、解答题（本题共5个小题，共77分） 15. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. （1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率； （2）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算出答案； （2）求出乙考生通过某校强基招生面试的概率，从而分两种情况，求出甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求出丙考生通过某校强基招生面试的概率，先求出无人通过强基招生面试的概率，利用对立事件求概率公式得到答案. 【小问1详解】 甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是， 甲考生通过某校强基招生面试的概率为. 【小问2详解】 乙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为： . 【小问3详解】 丙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为： . 16. 已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有． 【答案】（Ⅰ）（i）；（ii）函数g(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)；的极小值为，无极大值；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可； (ii)首先求得的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可； （Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论. 【详解】(Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. (ii) 依题意，. 从而可得， 整理可得：， 令，解得. 当x变化时，的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)； g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值. （Ⅱ）证明：由，得. 对任意的，且，令，则 . ① 令. 当x>1时，， 由此可得在单调递增，所以当t>1时，，即. 因为，，， 所以 . ② 由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即， 故 ③ 由①②③可得. 所以，当时，任意的，且，有 . 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 17. 如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是，BC的中点． （1）求证：平面ABD； （2）求异面直线AC与BD所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）取AB的中点F，连接DF，EF，可证得四边形是平行四边形，进而得到，根据线面平行的判定定理可证得结论； （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据线线角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】 如图，取AB的中点F，连接DF，EF， 因为E是的中点，所以，且， 又，，D是的中点， ∴，，∴四边形是平行四边形． ∴，又平面ABD，平面ABD， ∴平面ABD． 【小问2详解】 以B为坐标原点，BA，BC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 从而，． ∴， ∴直线AC与BD所成角的余弦值为． 18. 如图，在正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，D为棱的中点，E是棱上的动点（不与B、重合），连接BD． （1）证明：． （2）已知直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面ABC夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质，结合正三棱柱的结构特征推理得证. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法列式求出坐标，进而求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 在正三棱柱中，取中点，连接，则， 由D为棱的中点，得，而平面，则平面， 又平面，于是，由平面， 得平面，而平面，因此，而， 所以. 【小问2详解】 由（1）得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设，则， 平面平面，则平面与平面的一个法向量均为， 由直线与平面所成角的正弦值为， 得，解得， ，而，设平面的法向量为， 则，取，得， 所以平面与平面ABC夹角的余弦值为. 19. 已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）证明见解析；（ii），证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先由题意求得，接着构造函数，利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时的正负情况即可得证在区间上存在唯一零点； （2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到，再结合得即可得证； （ii）由函数在区间上单调递减得到，再结合， 和函数的单调性以以及函数值的情况即可得证. 【小问1详解】 由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. 【小问2详解】 （i）由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省武威市部分学校2024-2025学年高二下学期期中联考 数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分.） 1. 已知点关于轴的对称点为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，若，则实数的值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 3. 某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为.则时，弹簧振子的瞬时速度为（ ） A. B. 0 C. D. 4. 某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 5. 已知，，，若共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 是函数的极小值点 B. 是函数的极大值点 C. 函数在上单调递增 D. 函数在处的切线斜率小于零 7. 同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为6，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分，两个选项的对一个得3分，三个选项的对一个得2分，有错误选项不得分.） 9. 在正方体中，，为正方形内（包括边界）一动点，为的中点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得 C. 若，则的最大值为 D. 满足的点的轨迹长度为 10. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 函数在上递减，在上递减 B. 函数在上递增，在上递增 C. 函数有极大值和极小值 D. 函数有极大值和极小值 11. 若数列满足，则称其为“数列”.给定数列，若为“数列”，定义上的变换：从中任取两项，将添加在所有项的最前面，然后删除，记新数列为（约定：一个数也视作数列），下列结论正确的有（ ） A. 若，则数列为“数列” B. 若，则数列为“数列” C. 若无穷数列为“数列”，则为“数列” D. 若数列为，则为 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为______. 13. 已知，，，点，若平面ABC，则点的坐标为______． 14. 若不等式对恒成立，则的取值范围是__________. 四、解答题（本题共5个小题，共77分） 15. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. （1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率； （2）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 16. 已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有． 17. 如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是，BC的中点． （1）求证：平面ABD； （2）求异面直线AC与BD所成角的余弦值． 18. 如图，在正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，D为棱的中点，E是棱上的动点（不与B、重合），连接BD． （1）证明：． （2）已知直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面ABC夹角的余弦值. 19. 已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $