精品解析：湖南省常德市多校2026届高三上学期第一次模拟考试数学试卷

湖南省常德市多校2026届高三上学期第一次模拟考试 数学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效． 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分．每小题只有一个答案符合题目要求） 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】由题意知， 又，所以． 故选：A． 2. 复数的虚部为（ ） A. -3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数除法运算和复数虚部概念即可求解. 【详解】由题复数， 所以复数的虚部为. 故选：C 3. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得是偶函数，则结合即可得解. 【详解】由题意是偶函数， 所以，解得， 又，所以. 故选：A. 4. 已知圆柱的底面半径为1，体积为，则该圆柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆柱的体积公式和侧面积公式即可求解. 【详解】设圆柱的高为，底面半径为1，由圆柱的体积为可得：， 所以该圆柱的表面积为， 故选：C. 5. 光束是由一粒一粒运动着的粒子流组成的，这种粒子被称为光量子，简称光子．已知在某次光学实验中，实验组相关人员用感光设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子A，B，通过数学建模与数据分析得知，在平面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为，设光子相对光子的位移为，则在上的投影向量的坐标表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量坐标的线性运算先求，再利用投影向量的定义即可求解. 【详解】由向量，可得， 所以在上的投影向量为．． 故选：C． 6. 盒中有5个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并放入同色球2个，再从盒中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设第一次取到黑球为事件A，第二次取到黑球为事件B，根据题意可得，结合全概率公式运算求解. 【详解】设第一次取到黑球为事件A，第二次取到黑球为事件B， 则， 所以. 故选：C. 7. 已知函数，数列满足，，则“为递增数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】已知函数，数列满足，结合分段函数的性质讨论，若为递增数列，则，与矛盾，不满足充分性；若，满足，可以推出为递增数列，故满足必要性，所以“为递增数列”是“”的必要不充分条件. 【详解】已知函数，数列满足. ①充分性： 若为递增数列，则对于所有，满足，即. 当时，成立，即 ：， ：， ：， ：需要满足，即， 当，，要使在时单调递增，则. 综上，若数列递增，则， 所以“数列递增”不能推出“”，不满足充分性. ②必要性： 若，则，由①知当时为递增数列， 所以“”能满足“数列递增”， 即“数列递增”是“”的必要条件. 所以“为递增数列”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 8. 已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设为圆上一点，得到的中点，求得，结合直线与圆有公共点，得到，求得，进而求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】因为双曲线的右焦点为，则，即， 且双曲线的渐近线方程为， 设为圆上一点，且圆心为，半径， 则的中点在其渐近线上，可得， 即，所以点在直线上， 因为圆心到直线的距离为， 因为圆上存在点满足条件，所以直线与圆有公共点， 所以，即，可得，可得，所以， 又因为双曲线的离心率，所以， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分，两个选项的对一个得3分，三个选项的对一个得2分，有错误选项不得分．） 9. 人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为，A型的基因类型为或，B型的基因类型为或，型的基因类型为，其中，a和b是显性基因，i是隐性基因.则下列说法正确的是（ ） A. 若父亲的血型为型，则孩子的血型可能为O型 B. 若父母的血型不相同，则父母血型的基因类型组合有26种 C. 若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，孩子与父亲血型相同的概率为 D. 若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，则孩子也是型的概率为 【答案】BC 【解析】 【分析】若父亲的血型为型，母亲的血型任意，列出孩子的基因类型所有情况，即可判断A；若父母的血型不相同，列出所有情况计算即可判断B；若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，可得父亲的基因类型及计算出相应概率，再根据父亲、母亲的基因类型可得孩子的基因类型及计算出相应概率，进而可判断C，D. 【详解】若父亲的血型为型，即基因类型为， 则母亲的可以是：，，，，，， 则孩子的血型的基因类型为，，，，，没有，即孩子的血型不可能为O型，故A错误； 若父母的血型不相同， 当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，，共5种； 当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种； 当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种； 当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种； 当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种； 当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，，共5种， 所以父母血型的基因类型组合有种，故B正确； 若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，即基因类型为， 则父亲血型的基因类型可能是，，，其对应的概率分别为，，， 当父亲血型的基因类型是，母亲的为，则孩子的可能是，， 对应的概率分别为，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为； 当父亲血型的基因类型是，母亲的为，则孩子的可能是，， 对应的概率分别为，，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为； 当父亲血型的基因类型是，母亲的为，则孩子的可能是，， 对应的概率分别为，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为； 综上，若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，孩子与父亲血型相同的概率为，故C正确，D错误. 故选：BC. 10. 已知无穷数列满足，设其前n项和为，记，则（ ） A. 存在等差数列，使得是递增数列； B. 存在等比数列，使得是递增数列； C. 若是递减数列，则且； D. 若是递减数列，则可能存在且，使得． 【答案】BC 【解析】 【分析】利用等差求和公式，结合作差即可求解A,据特例即可求解B，利用单调性得，即可由迭代法求解C，根据单调性得，即可判断D. 【详解】对于A,当为等差数列时，设首项和公差分别为，则， 则，当时，， 由于， 由于，故当时，， 故，不满足为递增数列，故A错误， 对于B, 当为等比数列时，设，则， ，由于单调递减，故为递增数列，故B正确， 对于C, 是递减数列，则时，， 即，故，故C正确， 对于D, 是递减数列，则时，， 即， 故不存在且，使得．故D错误， 故选：BC 11. 已知函数，下列选项正确的是（ ） A. 有最大值 B. C. 若时，恒成立，则 D. 设为两个不相等的正数，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：求导，利用导数判断原函数的单调性和最值；对于B：利用作差法比较大小；对于C：利用定点分析判断；对于D：利用极值点偏离分析证明. 【详解】对于选项A：由题意可得：函数的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以有最大值，故A正确； 对于选项B：因为， 则， 所以，故B错误； 对于选项C：构建，则， 因为，且当时，恒成立， 则，解得， 若，则当时恒成立， 则在上单调递减，则，符合题意 综上所述：符合题意，故C正确； 对于选项D：因为， 整理得，即， 由选项A可知：函数在上单调递增，在上单调递减， 当x趋近于0时，趋近于0，且令，解得， 不妨设， 构建， 因为在上恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以，即， 可得， 注意到在上单调递减，且， 所以，即，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分．） 12. 的展开式中，常数项为_____（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】由二项式展开式通项公式即可计算求解. 【详解】由题可得二项式展开式通项公式为， 所以当时得展开式常数项为. 故答案为： 13. 已知椭圆的上顶点为，直线交于两点.若的重心为，则实数的值是__________. 【答案】##0.75 【解析】 【分析】根据椭圆方程求出上顶点的坐标，再设出，，利用三角形重心坐标公式得到与的值，然后联立直线与椭圆方程，根据韦达定理求出与关于、的表达式，进而求出的值. 【详解】已知椭圆，上顶点坐标为. 设，，因为的重心为，所以，. 由可得；由可得. 直曲联立，将直线代入椭圆，可得. 展开并整理得. 根据韦达定理可知. 又因为，，所以. 由可得 ①；由可得 ②. 由②可得，将其代入①可得： ，则，解得. 当时，代入②可得， ，此时直线与椭圆有两个交点，符合题意. 故答案为：. 14. 函数 的值域为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】换元，化简得，再换元得， 令，利用得出的最大值与最小值，进而得到的值域 【详解】 令，则， 由于是奇函数且周期为，只需考虑 （值域对称）. 令，，则，（时，） 变为 令 对求导得： ， 令，得或， 当时，， 当时，， 当时， 的最大值是， 的最大值为 由于是奇函数， 故最小值为， 值域为 故答案为： 四、解答题（本题共5个小题，共77分） 15. 已知向量，函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）在中，分别是角的对边，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式与辅助角公式可得，再利用正弦型函数性质计算即可得解； （2）由计算可得，再利用面积公式与余弦定理计算即可得解. 【小问1详解】 ， 令，解得， 故函数的单调递减区间为； 【小问2详解】 ，则，则， 即，又，故， 则，故， ， 即，则， 即有，故的周长为. 16. 如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． （1）证明：平面； （2）求面与面夹角的正弦值． 【答案】（1） 设，所以，因为为中点，所以， 因为，，所以是平行四边形， 所以，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先应用线面平行判定定理得出平面及平面， 再应用面面平行判定定理得出平面平面，进而得出线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用已知条件将点的坐标表示出来，然后将平面及平面的法向量求出来，利用两个法向量的数量积公式可将两平面的夹角余弦值求出来，进而可求得其正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以，又因为，所以， 以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 因为，平面与平面所成二面角为60° ， 所以. 则，，，，，. 所以. 设平面的法向量为，则 ，所以，令，则，则. 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，所以. 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. 17. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为分别是的左、右焦点，是上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点.当轴时，. （1）求椭圆的方程. （2）证明：为定值. （3）记点的轨迹为，动直线与交于两点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）证明：延长交椭圆于点，由对称性可知关于原点对称， 设，，所以， 联立，可得，且， 所以， 所以，所以， 所以，所以，所以， 因为，，即， 联立的方程可解得， 所以， 因为在轴上方，所以且，所以， 又因为，所以，解得，所以， 又因为时，恒成立， 所以， 所以为定值. （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件列出关于的方程组，由此可求解出椭圆的方程； （2）延长交椭圆于点，设出点坐标，联立与椭圆的方程，可得点坐标，则点坐标可知，联立的直线方程可得点坐标，根据点到点的距离公式进行化简计算，即可完成证明； （3）判断出的轨迹并求出轨迹方程，计算出到的距离并通过弦长公式表示出，由此可表示出的面积，结合基本不等式求解出面积的最大值. 【小问1详解】 当轴时，，所以， 此时由对称性可知， 因为轴，为的中点，所以为的中点， 所以，且， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知，为以为焦点，以为长轴长的半椭圆， 设半椭圆的方程为，所以， 所以，设， 联立和的方程，可得， 则， 且，即， 到直线的距离为， ， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值为. 18. 已知函数. （1）若函数在点处的切线与轴平行，求的值； （2）当时，设的极大值为，求证：； （3）设，若函数与共有4个不同的零点，是否存在实数，使得这4个零点在调整顺序后成为等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2） ， 当时，令，则或， 则当，；当，， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故. 当时，在上递增，不存在极大值. 当时，令，则或， 则当，；当，， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故. ， 设，，， 当，；当，； 则在上单调递减，在上单调递增. .证毕！ （3）不存在，理由： 由于， 所以与的零点个数相同. 依题意共有个不同的零点，所以有两个零点. ， 当，则在上恒成立，则在上单调递增，不符合题意. 当，则在上，在上； 则在上单调递增，在上单调递减， 而， 所以有 不妨设的两个零点为， 的两个零点为， 则有，. 若四个零点成等差数列，则有两种情况. ①当时， 有 可得① 即，可得. 即，② 代回原式可得 代入①可得，即 这与②矛盾，故不存在. ②当时， 有 可得③ 即，可得. 即，④ 代回原式可得 代入③可得，即 这与④矛盾，故不存在. 综上所述，不存在实数使得四个零点成等差数列. 【解析】 【分析】（1）直接求导得，解出即可； （2）求导得，分，和讨论即可； （3）首先分析得有两个零点，再假设相关零点，分和讨论即可. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 设函数，证明： （1）对每个，存在唯一的，满足； （2）对于任意，由（1）中构成数列满足. 【答案】（1）证明：对每个，当时，， 则在内单调递增， 而，当时，， 故， 又， 所以对每个，存在唯一的，满足 （2）证明：当时，，并由（1）知 由在内单调递增知，，故为单调递减数列， 从而对任意, 对任意， ① ② ① ②并移项，利用，可得 . 综上可得，对于任意，由（1）中构成数列满足. 【解析】 【分析】（1）根据判断得函数在0,+∞上是增函数再根据零点存在性定理可证； （2）由在内单调递增知，，故为单调递减数列，再减变形化简，利用放缩法得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是数列函数，而且含双变量，考生在做题的过程中需要冷静的处理好每个变量.第（1）题考查函数的零点问题，要证明对每个，函数在某个区间上只有一个零点，一方面要证明函数是单调的，求导即可，另一方面要判断的正负问题，此题难点在于判断的正负时，要利用放缩的思想，将这个数列函数放缩到可以利用等比数列求和，从而证明此函数在指定区间内只有一个零点；第（2）题要将数列从数列函数中分离出来，就要通过函数的单调性，由，在内单调递增，确定，则不等式左半边成立，右半边通过作差，数列放缩确定最终.本题属于较难题. 【考点定位】考查函数的导数及其应用，函数零点的判定，等比数列的求和，不等式的放缩等知识. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市多校2026届高三上学期第一次模拟考试 数学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效． 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分．每小题只有一个答案符合题目要求） 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. -3 B. C. D. 3. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆柱的底面半径为1，体积为，则该圆柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 光束是由一粒一粒运动着的粒子流组成的，这种粒子被称为光量子，简称光子．已知在某次光学实验中，实验组相关人员用感光设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子A，B，通过数学建模与数据分析得知，在平面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为，设光子相对光子的位移为，则在上的投影向量的坐标表示为（ ） A. B. C. D. 6. 盒中有5个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并放入同色球2个，再从盒中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，数列满足，，则“为递增数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 8. 已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分，两个选项的对一个得3分，三个选项的对一个得2分，有错误选项不得分．） 9. 人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为，A型的基因类型为或，B型的基因类型为或，型的基因类型为，其中，a和b是显性基因，i是隐性基因.则下列说法正确的是（ ） A. 若父亲的血型为型，则孩子的血型可能为O型 B. 若父母的血型不相同，则父母血型的基因类型组合有26种 C. 若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，孩子与父亲血型相同的概率为 D. 若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，则孩子也是型的概率为 10. 已知无穷数列满足，设其前n项和为，记，则（ ） A. 存在等差数列，使得是递增数列； B. 存在等比数列，使得是递增数列； C. 若是递减数列，则且； D. 若是递减数列，则可能存在且，使得． 11. 已知函数，下列选项正确的是（ ） A. 有最大值 B. C. 若时，恒成立，则 D. 设为两个不相等的正数，且，则 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分．） 12. 的展开式中，常数项为_____（用数字作答）. 13. 已知椭圆的上顶点为，直线交于两点.若的重心为，则实数的值是__________. 14. 函数 的值域为_____________． 四、解答题（本题共5个小题，共77分） 15. 已知向量，函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）在中，分别是角的对边，的面积为，求的周长. 16. 如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． （1）证明：平面； （2）求面与面夹角的正弦值． 17. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为分别是的左、右焦点，是上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点.当轴时，. （1）求椭圆的方程. （2）证明：为定值. （3）记点的轨迹为，动直线与交于两点，求面积的最大值. 18. 已知函数. （1）若函数在点处的切线与轴平行，求的值； （2）当时，设的极大值为，求证：； （3）设，若函数与共有4个不同的零点，是否存在实数，使得这4个零点在调整顺序后成为等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 设函数，证明： （1）对每个，存在唯一的，满足； （2）对于任意，由（1）中构成数列满足. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $