2026年吉林省长春市中考数学复习专题（第24题）-二次函数综合

2026年吉林省长春市中考数学复习专题（第24题） -二次函数综合 1.(2025年吉林省长春市中考数学)在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线 y=x2+bx经过点(3,3)·点AB是该抛物线上的两点，横坐标分别为m、m十1，已知 点M(1,1),作点A关于点M的对称点C,作点B关于点M的对称点D,构造四边形ABCD (I)求该抛物线所对应的函数表达式： (2)当A,B两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点C的坐标； (3)设抛物线在AB两点之间的部分（含A、B两点）为图象G:当0<m<1时，若图象G 的最高点与最低点的纵坐标之差为号·求m的值； (4)连结0A、OB,当∠AOB=∠OAD+∠0BC时，直接写出m的取值范围（这里∠AOB、 ∠0AD、∠0BC均是大于0且小于180o的角). 【详解】(1)将点(3,3)代入y=x2+bx中得： 3=9+3b 解得：b=-2, 'y=x2-2x. (2)根据抛物线对称轴公式x=会可知： 抛物线y=x2-2x的对称轴为x=- =1, 2a “AB关于对称轴对称，且横坐标分别为m、m十1 AB中点在对称轴上， 试卷第40页，共40页 i.mt(mri)=1' 2 2m+1=2, 解得：m=支 ~点A是该抛物线上的点， 将m=专代入抛物线解析式得， y=- 即行到 设C(x,y)是A关于M(I,1)的对称点，则： =1,=1 2 期药x=多 C点坐标为（月号）： (3)抛物线顶点为(1，-1)开口向上，Amm2-2mB(m+l,m2-), 当0<m<1时，m≤x≤m+1包含x=1,最低点为y=-1。 当0<m≤号时，y,≥yg'最高点为4，纵坐标差为： (m2-2m-(-1)=(m-12= 解：m=1号 最高点为B,纵坐标差为：(m2-1)-(-1)=m2=专， 解俐：m=号 统上能为.线号 (4)“点C是点A关于点M的对称点，点D是点B关于点M的对称点，结合题意可知： =1=1=1=1 2 A(m,m2-2m),B(m+1,m2-1),C(2-m,-m2+2m+2),D(1-m,-m2+3) 如图，四边形ABCD是平行四边形，当点0在AD,BC之间，AB的左侧，过点O作 OH II AD 试卷第40页，共40页 D ADIBCIIOH ∠OAD=∠HOA∠OBC=∠BOH ∠AOB=∠HOA+HOB=∠OAD+∠OBC 当点O在AD上时， KAO=KOD 爱=爱 m22如=4超 1-m 解得m=,m≠0,1 当点O在BC上时 *kBo=kco 爱=是 器-2 2m 解得m=4,m≠-1,2， 其中m=0,m=1,m=2时，如图，经检验符合∠A0B=∠0AD十∠0BC, B H 4 D 试卷第40页，共40页 综上号<m<4: 2.(吉林省长春市朝阳2025年毕业年级第一次模拟)在平面直角坐标系中，0为坐标原点， 抛物线y=x2+bx+c经过点(3,1)，其对称轴为直线x=1·点P、Q是该抛物线上的点 (点P不与点Q重合)，其横坐标分别为m、4-m,过点Q作直线QA1y轴交该抛物线于点 A(点A不与点Q重合)，直线PO与y轴交于点C,以QA、QC为邻边作口ABCQ: ()求该抛物线对应的函数关系式。 (②)当点P与点C重合时，求线段P2的长， (3)当该抛物线在口ABCQ内部的点的纵坐标y随x的增大而减小，或者y随x的增大而增大 时，求m的取值范围， (④)设口ABCQ的边与该抛物线的交点为点D,点D不与口ABCQ的顶点重合，作直线AD 当口ABCQ的面积被直线AD分成1：2两部分时，直接写出m的值。 【详解】(1)解：抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1, 号=1y ∴.b=-2, y=x2-2x+C, 其图象经过点(3,1)， 1=9-2×3+c,解得c=-2, 抛物线对应的函数关系式为y=x2-2x-2: (2)解：当点P与点C重合时，m=0,当x=0时，y=-2, 试卷第40页，共40页 y “点p的坐标为(0，-2)： m=0, 4-m=4, 当x=4时y=42.2×4-2=6’ 点Q的坐标为(4,6)， PQ=V(4-0)2+(6+2)=45 (3)解：由y=x2-2x-2=(x-1)23得顶点坐标为(1，-3)， 如图，当点P与顶点重合时，此时m=1, A A :当m<1时，抛物线在□ABCQ内部的 B 点的纵坐标y随x的增大而减小： 如图，当m>1时，抛物线在☐ABCQ内部的点的纵坐标y随x的增大而减小也存在y随x的 增大而增大，此情况不符合题意； 试卷第40页，共40页 B 如图，当点Q与点C重合时，点A与点B也重合，此时4-m=0,即m=4: P ·当m>4时，抛物线在☐ABCQ内部的点的纵 B (9C A(B) 坐标y随x的增大而增大； 综上，当m≤1时，抛物线在口ABCQ内部的点的纵坐标y随x的增大而减小，当m>4时， 抛物线在口ABCQ内部的点的纵坐标y随x的增大而增大； (4)①当P在QC延长线上，即m<0时， A A :Q(4-mm2-6m+6),P(m,m2-2m-2), .C(0,m2-4m-2), .CD=BC, 3 试卷第40页，共40页 D(2g9,m2-4m-2）: (.1)2-3=m2-4m-2 :5m2=72, m=要m,=便《舍去) 6W10 ②当点P在Q,C之间，即0<m<2时，点P与点D重合，且CP:PQ=1:2,口ABCQ的 面积被直线AD分成12两部分， S△ADQ:S四边形ABCD=1:2 CP:CQ=1:3, …器=者 XQ=3Xp .4-m=3m, ÷m=1, PD B ③当C在PO延长线上，即m>2时，CD=专BC' 试卷第40页，共40页 D(2,m2-4m-2), à(2.1)2-3=m2.4m-2 .5m2=72 m=-10（舍去)，m2=0, 综上m=1成m=士 . 5 3.(2025年吉林省长春市中考二模数学)在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，抛物线 y=x2+bx(b是常数)经过点(1，-3)，点M在抛物线上，其横坐标是m.当点M不在 x轴上时，作点M关于点O的对称点A,作点M关于点(2,0)的对称点B,连接AB. (1)求该抛物线对应的函数表达式： (②)试说明线段AB的长度为4； (③)当直线AB与抛物线y=x2+bx(b是常数)有两个公共点时，设这两个点分别为P、Q (点P在点Q左侧). ①当PQ=2时，求m的值； 试卷第40页，共40页 ②当点P、Q在线段AB上时，连结MA,过点P作MA的平行线交x轴于点N.若 ∠PQN>∠ABM,直接写出m的取值范围. 【详解】(1)解：~抛物线y=x2+bx(b是常数)经过点(1，-3)， 六-3=12+b 解得：b=-4, ∴该抛物线对应的函数表达式为y=x2-4x; (2)证明：~点M在抛物线上，其横坐标是m, “点M的纵坐标为m2-4m 点M的坐标为(mm2-4m): ~作点M关于点0的对称点A,作点M关于点(2,0)的对称点B, 点A的坐标为(-m,-m2+4m),点B的坐标为(4-m,-m2+4m), AB=V-m-(4-m)]2+[(-m2+4m)-（-m2+4m)]下-4' 即线段AB的长度为4； (3)解：①抛物线y=x2-4x=(x-2)2-4 点A的坐标为(-m-m2+4m),点B的坐标为(4-m-m2+4m), ∴点A和点B的纵坐标相同， AB‖x轴， ~直线AB与抛物线y=x2-4x(b是常数)有两个公共点， ∴关于x的方程-m2+4m=x2-4x有两个不相等的实数根， 关于x的方程x2-4x十m2-4m=0有两个不同的实数根， 4=(-4)2.4(m2-4m)>0' m2-4m<4, 2-2V2<m<2+2V2 设x1,x2是关于x的方程x2.4x十m2-4m=0的两个根， 81+X2=4,X182=m2-4m, 试卷第40页，共40页 (x1x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=42-4(m2-4m)=16-4(m2-4m) 当PQ=2时，81x2=2, (x182)2=4 16-4(m2-4m)=4,解得：m=2-V万或m=2+万 ②当NQ‖BM时，此时∠PQN=∠ABM, 当点M向上运动时，∠PON>∠ABM; 当点M向下运动时，∠PQN<∠ABM: 连接MN交AB于点R, 解方程x2.4x+m2.4m=0得x=竺四=2士N4+4m-m2 点p的坐标为(-4+4m-m2+2,-m2+4m),点Q的坐标为 (V4+4m-m2+2,-m2+4m)' 要保证P、Q都在线段AB上， (-m≤-V4+4m-m2+2, V4+4m-m2+2≤4-m 解得m≤0， 又：点M不在坐标轴上， m<0: ~抛物线解析式为y=x2.4x=(x-2)2.4, 顶点坐标为(2，-4)， 抛物线与直线AB有两个不同的交点， 六-m2+4m>-4 ÷m2-4m<-4, m2-4m+4<8, (m-2)2<8 2-2V2<m<2+22, 试卷第40页，共40页 · 2026年吉林省长春市中考数学复习专题（第24题） · -二次函数综合 1．（2025年吉林省长春市中考数学）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； (3)设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象．当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值； (4)连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）． 2．（吉林省长春市朝阳2025年毕业年级第一次模拟）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线．点、是该抛物线上的点（点不与点重合），其横坐标分别为、，过点作直线轴交该抛物线于点（点不与点重合），直线与轴交于点，以、为邻边作． (1)求该抛物线对应的函数关系式． (2)当点与点重合时，求线段的长． (3)当该抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时，求的取值范围． (4)设的边与该抛物线的交点为点，点不与的顶点重合，作直线．当的面积被直线分成1∶2两部分时，直接写出的值． 3．（2025年吉林省长春市中考二模数学）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点在抛物线上，其横坐标是．当点不在轴上时，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连接． (1)求该抛物线对应的函数表达式： (2)试说明线段的长度为4； (3)当直线与抛物线（是常数）有两个公共点时，设这两个点分别为、（点在点左侧）． ①当时，求的值； ②当点、在线段上时，连结，过点作的平行线交轴于点．若，直接写出的取值范围． 4．（2025年吉林省长春市长春汽车经济技术开发区中考一模）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点．点、均在抛物线上，横坐标分别为，过点作垂直于轴的直线，过点作垂直于轴的直线，两直线交于点，以为对角线作． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)当线段与抛物线有异于点的交点时，记这个交点为，连结．①当将分成两部分图形的面积比为时，求的值；②当时，直接写出的取值范围． 5．（2025年吉林省长春市绿园区九年级中考一模）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点、是抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为、． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)当点恰好与该抛物线的顶点重合时，连结，设与轴交于点，过点作轴于点，求此时的值； (3)已知直线是与轴平行的一条直线，当直线不经过点时，过点作于点，连结，以、为邻边构造平行四边形． ①若点恰好在直线上，当该抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围； ②若直线恰好经过该抛物线的顶点，设直线与直线相交于点，当直线分平行四边形的面积为两部分时，直接写出的值． 6．（2025年吉林省长春市东北师范大学附属中学明珠学校中考一模）在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于点和．点、、均在该抛物线上，横坐标分别为、、． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)在该抛物线上、两点之间的部分任取一点，在、两点之间的部分任取一点（点、均不与端点重合），若点的纵坐标总大于点的纵坐标，则的取值范围是___________； (3)过点作垂直于直线于点，过点作垂直于直线于点． 当的面积是的面积的倍时，求的值； 连结、，当此抛物线在四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 7．（2025年吉林省长春市朝阳区二模数学）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的顶点的横坐标为1，点、点均在该抛物线的对称轴上，其纵坐标分别为、．点是该抛物线上的点，其横坐标为，点关于点和点的对称点分别为点和点． (1)求该抛物线对应的函数关系式及点的坐标． (2)试说明长为6． (3)设线段与该抛物线的交点为，当点为的中点时，求的值． (4)点是的边与抛物线的交点，点与在对称轴的两侧，设与的面积比为，当点在对称轴左侧，且时，直接写出的取值范围． 8．（2025学吉林省长春市新区中考二模）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点．点，、，当点不在轴上时，连结，，，得到．    (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当时，求证：是等腰直角三角形． (3)当抛物线在三角形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，求的取值范围； (4)当时，若抛物线与有交点，设交点为．当点与的顶点所连的直线恰好平分的面积时，直接写出的值． 9．（2025年吉林省长春市宽城区中考二模）在平面直角坐标系中，抛物线（、是常数）经过点、．点是这条抛物线上一点，其横坐标为． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式及顶点坐标； (2)当时，函数值先随的增大而减小，后随的增大而增大，求的取值范围； (3)当时，抛物线在、两点之间（包含、两点）的图象的最低点到轴的距离比最高点到轴的距离大1，求的取值范围； (4)点是坐标平面内一点，当时，四边形的面积被抛物线的对称轴分成两部分，直接写出的值． 10．（2025年吉林省长春市二道区中考二模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（b是常数）经过点，点M在抛物线上，横坐标为m，点N的横坐标为，纵坐标与点M的纵坐标相同，点A在y轴上，纵坐标为m．当点M和点A的纵坐标不相等时，作点A关于点M的对称点B，作点A关于点N的对称点C，连结、、． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)试说明线段的长度为4； (3)当直线与抛物线（b是常数）有两个交点时，设这两个交点分别为P、Q（点P在点Q左侧）． ①若点M在对称轴左侧，点P在线段上，当此抛物线在内部（包括边）的点的纵坐标最大值与最小值的差为2时，求m的值； ②连结、，若点M在对称轴右侧，当时，直接写出m的值． 11．（2025年吉林省长春市东北师范大学附属中学明珠学校中考二模）已知抛物线的顶点坐标为，点为抛物线上一点，横坐标为，点为平面中一点（、不重合），横坐标为，轴，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连结． (1)求、的值； (2)当点在抛物线上时，求的值； (3)延长至点使得，连结． ①若点在第四象限，且，则当抛物线在内的部分（包含边界）最大值与最小值之差为时，求的值． ②设直线与抛物线的交点为，点在抛物线对称轴右侧，连接，当点到直线的距离为点到直线距离的倍时，直接写出的值． 12．（2025年吉林省长春市东北师范大学附属中学明珠学校中考三模）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点是该抛物线在第四象限上的点，点在轴上，点、点的横坐标分别为、，射线交轴于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当点在该抛物线的顶点时，求的面积； (3)当是等腰直角三角形时，求点的坐标； (4)当线段和抛物线有公共点时，设公共点为（点不与点、、重合），连接．若，则的值为___________．（写出一个即可） 试卷第12页，共12页 试卷第12页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $