2.4 解三角形（教学设计）--北师大版《数学 拓展模块一上册》《上好课》

北师大版《数学拓展模块一 上册》 第二章 三角计算 2.4 解三角形（第1课时） 一、教材 北京师范大学出版社《数学》（拓展模块一上册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节 “解三角形”是三角计算章节的实践应用核心内容，聚焦正弦定理、余弦定理的推导与实际运用，是三角函数知识从理论计算到实际测量的延伸。核心知识点包括正弦定理、余弦定理的适用条件及公式应用，为后续解决实际问题提供了数学工具基础。教材以“三角形边长与角度的数量关系”为逻辑主线，既衔接了任意角三角函数的前置知识，又强化了“数学工具服务实际问题”的思维，帮助学生建立“已知三角形元素求未知元素”的认知链条，培养数学建模与实际应用的能力。 五、学情分析 多数学生已掌握三角形的基本性质与三角函数的基础计算，这对他们学习解三角形打下一定的基础，但在解三角形的定理适用场景判断、实际问题向三角形模型转化的环节可能存在不足，因此在本节课教学中，学生容易出现混淆正弦定理与余弦定理的适用条件、难以将实际测量问题抽象为三角形模型的困难。此外，中职学生对纯公式推导的学习兴趣较低，但对建筑测距等生活应用场景关注度较高，需通过具象案例强化定理的实际意义，同时弥补其“定理辨析、场景建模”的思维薄弱点。 六、教学目标 1.理解并掌握正弦定理、余弦定理的具体内容； 2.能根据三角形的已知边 / 角，选择合适的定理求解未知边或角，完成三角形的边长、角度计算； 3.能结合生活中的测量问题，运用正弦定理或余弦定理解决实际计算问题，提升知识的迁移与应用能力。 七、教学重点 正弦定理、余弦定理。 八、教学难点 选择合适的定理求解未知边或角，完成三角形的边长、角度计算。 九、教学方法 讲授法：对正弦定理、余弦定理进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 探究法：引导学生自主探究正弦定理、余弦定理，培养学生的类比推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 问题提出： 同学们已经学过直角三角形的边角关系.如图所示，在中，是直角.今后我们就用角的顶点的字母表示这个角，的对边记作等. 根据锐角三角函数的定义得 ， 从而 由于是直角，因此，于是从上式得 上式是直角三角形中边与角的一个关系式. 任意三角形中，边与角的关系又是怎样的呢？上式是否成立？ 分析理解： 对任意，我们分别用，，表示边，，，用，，表示，，. 当为锐角三角形时，如图所示， 设为边上的高.根据三角函数的定义，得 ，， 即 ， 所以 同理， 所以 当为钝角三角形时，同理上式依然成立. 通过案例讲解得出新知识点：正弦定理。 导入新知 1.正弦定理 在任意三角形中，各边和它所对的角的正弦的比值相等，即 这个结论称为正弦定理. 在三角形中，如果已知两角和一边，或已知两边和其中一边所对的角，那么我们就可以用正弦定理求出这个三角形的其他元素. 像这种根据任意三角形的已知边、角，计算未知边、角的过程，叫作解三角形. 利用正弦定理解三角形，主要适用于以下两种情形. （1）已知两角和一边，求其余两边与第三个角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其余两角与第三条边. 总结正弦定理。 案例分析 【例题】在中，已知，，，求，，. 【解析】. 由正弦定理，得 ， 即 同理由可得 特别提示 通过案例来帮助学生更好地理解正弦定理。 学以致用 【练习】的内角的对边分别为a，b，c，且，求． 【解析】已知，所以， 于是由正弦定理可知，， 又，所以，即， 又为内角，故． 【练习】在中，已知 ，求. 【解析】已知 根据正弦定理有， 所以. 通过及时练习进一步加强学生对正弦定理的记忆。 教学引入 正弦定理解决的是已知三角形的两角一边或已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角的问题，那么已知三角形的两边及其夹角或已知三边，如何求其他的边和角？ 如图所示，在中，作于点D，则 即 同理可得 ， 可以证明，对于任意三角形上述结论都成立。 通过案例讲解得出新知识点：余弦定理 导入新知 2.余弦定理 三角形中任意一边的平方等于其余两边的平方和减这两边与其夹角余弦乘积的两倍. 这个结论称为余弦定理. 经变形可以写成 利用余弦定理解三角形，主要适用于以下两种情形. （1）已知三角形的两条边和它们的夹角，求第三边和其余两个角； （2）已知三角形的三边，求三个角. 总结余弦定理。 案例分析 【例题】在中，，，，求. 【解析】因为 ， 所以. 【例题】在中，，，. （1）求最大角的余弦值； （2）判断三角形的形状. 【解析】（1）由于，所以最大. 根据余弦定理的变形公式，有 （2）因为，所以为钝角，因此为钝角三角形. 通过案例来帮助学生更好地理解余弦定理。 学以致用 【练习】已知在中，，，求b的值． 【解析】已知在中，，， 由余弦定理可得 ，所以． 【练习】在中，，，，求． 【解析】在中，，，， 由余弦定理，得. 因为是三角形内角，所以． 通过及时练习进一步加强学生对余弦定理的应用。 课堂练习 【练习1】在中，，，，则等于（ ） A．2 B．3 C． D． 【解析】由正弦定理得，故. 故选：C. 【练习2】在中，若，则等于（ ） A． B． C． D． 【解析】因为在中，若， 又，所以. 即. 故选：D. 【练习3】在△ABC中，所对的边分别为，若则（ ） A．4 B． C．2 D． 【解析】因为，所以. 因为，所以. 故选：B. 【练习4】在中，角A，，所对的边分别是，，，若，则角A的大小为（ ） A． B． C． D． 【解析】，即， 由余弦定理的推论，可得， 又 ， . 故选：B. 同学们，咱们校园里的旗杆很高，没法直接爬上去量高度——如果站在离旗杆底部20米的地方，测得旗杆顶部的仰角是60°，怎么算出旗杆的高度？这时候能用解三角形的知识解决吗？ 答案： 把旗杆、地面、视线连成直角三角形，由题可知，BC=20米，∠C=60°，∠A=30°, ,根据求出AB=BC×=20米. 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺 知识梳理 1正弦定理 2.余弦定理 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 1正弦定理 2.余弦定理 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在本节课教学中，通过案例推导对解三角形定理进行推导，多数学生能初步识别正弦定理、余弦定理的形式。但在课堂检测中也发现：部分学生仍难准确区分正弦定理与余弦定理的适用场景。在课后练习中中，需增加专项匹配练习，引导学生用边角条件对应定理类型的逻辑分析问题，提升学生的数学建模与实际应用能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $