2.4 解三角形（教学课件）--北师大版《数学 拓展模块一上册》《上好课》

2.4 解三角形 （第1课时） 第二章 三角计算 北师大版 拓展模块一 上册 学习目标 1.理解并掌握正弦定理、余弦定理的具体内容； 2.能根据三角形的已知边或角，选择合适的定理求解未知边或角，完成三角形的边长、角度计算； 3.能结合生活中的测量问题，运用正弦定理或余弦定理解决实际计算问题，提升知识的迁移与应用能力。 教学引入 同学们已经学过直角三角形的边角关系.如图所示，在中，∠是直角. 今后我们就用角的顶点的字母表示这个角，∠的对边记作α等.根据锐角三角函数的定义得 ， 从而 教学引入 由于∠是直角，因此，于是从上式得 想一想： 上式是直角三角形中边与角的一个关系式. 任意三角形中，边与角的关系又是怎样的呢？上式是否成立？ 教学引入 分析理解： 对任意，我们分别用，，表示边，，，用，，表示∠，∠，∠. 当为锐角三角形时，如图所示: 教学引入 设为边上的高.根据三角函数的定义，得 , 即 所以 教学引入 同理， 所以 当为钝角三角形时，同理上式依然成立. 导入新知 在任意三角形中，各边和它所对的角的正弦的比值相等，即 这个结论称为正弦定理. 在三角形中，如果已知两角和一边，或已知两边和其中一边所对的角，那么我们就可以用正弦定理求出这个三角形的其他元素. 1.正弦定理 导入新知 像这种根据任意三角形的已知边、角，计算未知边、角的过程，叫作解三角形. 利用正弦定理解三角形，主要适用于以下两种情形. （1）已知两角和一边，求其余两边与第三个角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其余两角与第三条边. 1.正弦定理 案例分析 案例分析 案例分析 学以致用 学以致用 教学引入 想一想： 正弦定理解决的是已知三角形的两角一边或已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角的问题，那么已知三角形的两边及其夹角或已知三边，如何求其他的边和角？ 教学引入 教学引入 导入新知 三角形中任意一边的平方等于其余两边的平方和减这两边与其夹角余弦乘积的两倍. 2.余弦定理 这个结论称为余弦定理. 导入新知 经变形可以写成 2.余弦定理 导入新知 利用余弦定理解三角形，主要适用于以下两种情形. （1）已知三角形的两条边和它们的夹角，求第三边和其余两个角； （2）已知三角形的三边，求三个角. 2.余弦定理 案例分析 案例分析 学以致用 学以致用 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 答案： 把旗杆、地面、视线连成直角三角形，由题可知，BC=20米，∠C=60°，∠A=30°, ,根据“”求出米. 师生交流 错题1：点A(2, -1)到直线l：2x - y + 3 = 0的距离——小明解答：d=(2×2 - (-1) + 3)/√(2²+(-1)²)=(4+1+3)/√5=8/√5=8√5/5 错题2：点B(3, 4)到直线l：y = -x + 1的距离——小明解答：d=|3 + 4 + 1|=8。 拓展思考互动 同学们，咱们校园里的旗杆很高，没法直接爬上去量高度——若已知一名同学站在离旗杆底部20米的地方，测得旗杆顶部的仰角是60°，怎么算出旗杆的高度？这时候能用解三角形的知识解决吗？ 60° A B C 课堂小结 正弦定理 余弦定理 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 【例题】在中，已知，，，求，，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 . 由正弦定理，得，即 同理由可得 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 特别提示 = =+ = 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】在中，已知，，，求，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由正弦定理得 即. 所以或. 当时，. 当时，，与三角形内角和定理矛盾，舍去. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】的内角的对边分别为a，b，c，且，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 已知，所以， 于是由正弦定理可知，， 又，所以，即， 又为内角，故． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】在中，已知 ，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 已知 根据正弦定理有， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 如图所示，在中，作于点D，则 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 即 同理可得 ， 可以证明，对于任意三角形上述结论都成立。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】在中，，，，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为 ， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】在中，，，. （1）求最大角的余弦值； （2）判断三角形的形状. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1）由于，所以最大. 根据余弦定理的变形公式，有 （2）因为，所以为钝角，因此为钝角三角形. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知在中，，，求b的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 已知在中，，， 由余弦定理可得 ，所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】在中，，，，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 在中，，，， 由余弦定理，得. 因为是三角形内角，所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】在中，，，，则等于（ ） A．2 B．3 C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由正弦定理得，故. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】在中，若，则等于（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为在中，若， 又，所以.即. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】在△ABC中，所对的边分别为，若则（ ） A．4 B． C．2 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为，所以.因为，所以. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】在中，角A，，所对的边分别是，，，若，则角A的大小为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ，即， 由余弦定理的推论，可得， 又 ， . 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $