2.3 正弦型函数（教学设计）--北师大版《数学 拓展模块一上册》《上好课》

北师大版《数学拓展模块一 上册》 第二章 三角计算 2.3 正弦型函数 一、教材 北京师范大学出版社《数学》（拓展模块一上册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节“正弦型函数”是三角计算章节的核心应用内容，聚焦正弦型函数sin()的图像和性质，是三角函数知识从“单一函数”到“模型应用”的延伸。核心知识点包括正弦型函数的参数解读、图像特征，为后续用三角模型描述周期性现象提供了工具基础。教材以的推导为逻辑主线，既衔接了正弦函数的前置知识，又强化了“数学模型服务实际问题”的思维，帮助学生建立正弦型函数sin()的认知链条，培养数学建模与应用的能力。 五、学情分析 多数学生已掌握正弦函数的基本性质，这对他们进一步学习正弦型函数的性质有一定的帮助，但在正弦型函数的参数意义理解环节可能存在不足，因此在本节课教学中，学生容易出现从生活中的周期现象抽象出正弦型函数模型的困难。此外，中职学生对纯函数图像的学习兴趣较低，但对生活中的波动现象关注度较高，需通过具象案例强化参数的实际意义，同时弥补其“数学建模、场景抽象”的思维薄弱点。 六、教学目标 1.理解并掌握掌握正弦型函数sin()的定义； 2.能识别函数的参数与图像特征，会根据已知参数写出简单的正弦型函数表达式； 3.体会正弦型函数对生活中周期性变化现象的描述价值，增强用数学模型解决实际问题的意识。 七、教学重点 两角和的正弦、余弦和正切公式。 八、教学难点 区分公式结构与符号规则。 九、教学方法 讲授法：对两角和的正弦、余弦、正切公式进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 探究法：引导学生自主探究绘制两角和的正弦、余弦、正切公式，培养学生的类比推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 我们知道在的图像需要通过5个关键点，，，，，来作简图. 下面我们通过“五点法”作图来研究与的关系. 【案例】在同一平面直角坐标系中作出函数和在一个周期内的简图. 【分析】 1.列表 2.描点、作图. 以表中每组对应的，值为坐标，描出点，用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数和在一个周期内的简图(如图所示). 思考，与的关系. 由图可以看出，可以看作由图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到，它的最大值为2，最小值为. 同理，可以看作由图像上所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）而得到，它的最大值为，最小值为. 通过案例讲解得出新知识点：的图像和性质。 导入新知 1.，的图像和性质 一般地，可以看作由图像上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变）而得到.，的值域为，它的最大值为，最小值为. 总结的图像和性质。 案例分析 【例题】将函数的纵坐标伸长为原来的2倍，再将纵坐标向上平移2个单位，得到的函数的解析式为（ ） A． B． C． D．. 【解析】由题意，将函数的纵坐标伸长为原来的2倍得到函数解析式为， 再将纵坐标向上平移2个单位得到函数解析式为． 故选：A. 通过案例来帮助学生更好地理解的图像和性质。 学以致用 【练习】将函数的纵坐标伸长为原来的2倍，再将纵坐标向上平移1个单位，得到的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意，将的纵坐标伸长为原来的2倍得到解析式为； 再将纵坐标向上平移1个单位得到函数解析式为． 故选：A. 通过及时练习进一步加强学生对的图像和性质的记忆。 教学引入 想一想： 我们如何通过的图像变换得到？ 我们将通过“五点法”作图来比较研究。 【案例】分别作出函数和在一个周期内的简图。 【分析】1.列表 2. 描点、作图。 以表中每组对应的，值为坐标，描出点，用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数和在一个周期内的简图(如图)。 探究发现 思考，与的关系. 由图可以看出，可以看作由图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）而得到，它的最大值为1，最小值为，周期为. 同理，可以看作由图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）而得到，它的最大值为1，最小值为，周期为. 通过案例讲解得出新知识点：的图像和性质。 导入新知 2.的图像和性质 一般地，（）可以看作由图像上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）而得到，其中，决定函数的周期， . 总结的图像和性质。 案例分析 【例题】将函数图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，所得函数图像的解析式为（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意，将函数图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图像， 纵坐标伸长为原来的3倍，得到的图像． 故选：C. 通过案例来帮助学生更好地理解的图像和性质。 学以致用 【练习】若函数的图像向右平移1个单位，则图像对应的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 【解析】根据正弦型函数图像的变换规律可得，函数的图像向右平移1个单位，可得到函数. 故选：C. 通过及时练习进一步加强学生对的图像和性质的应用。 教学引入 想一想： 如何通过的图像变换得到？ 通过“五点法”作图来比较研究. 例 作函数和在一个周期内的简图. 解 1.列表 2. 描点、作图. 以表中每组对应的，值为坐标，描出点，用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数和在一个周期内的简图(如图所示). 探究发现 思考，与 的关系. 由图可以看出，的图像可以看作由图像上所有点向右平移 个单位长度而得到. 同理，的图像可以看作由图像上所有点向左平移 个单位长度而得到. 通过案例讲解得出新知识点：的图像和性质。 导入新知 3.的图像和性质 一般地，的图像可以看作由 图像上所有点向左（）或向右（）平移个单位长度而得到. 的图像和性质。 案例分析 【例题】要得到函数的图像，只要将函数的图像（ ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【解析】将函数的图像上所有点向左平移个单位，就可得到函数的图像. 故选：A． 通过案例来帮助学生更好地去理解 的图像和性质。 学以致用 【练习】函数的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 【解析】因为正弦型函数的最小正周期， 由函数可知， 所以函数的最小正周期， 故选：D. 通过及时练习进一步加强学生对 的图像和性质的记忆。 教学引入 随着三角函数学习的深入，我们常常会遇到形如sin()的函数 （，）。下面我们通过“五点法”作出sin()在一个周期内的简图，并讨论它和的关系. 【案例】作函数 在一个周期内的简图. 【解析】列表 2.描点、作图 以表中每组对应的，值为坐标，描出点，用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数在一个周期内的简图（如图所示）. 可以看作由图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可以得到；将图像上所有点向左平移个单位长度，可以得到；将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，可以得到. 通过案例讲解得出新知识点：sin()的图像和性质。 导入新知 4.sin()的图像和性质 一般地，的图像可以看作由通过下面的方法得到. ①将正弦曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）； ②把所得的曲线向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度； ③把所得曲线上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变）. 我们把形如的函数的图像叫作正弦型曲线，其中，为振幅，为角速度，为初相，周期为（频率），最大值为，最小值为. 特别提示 如何将函数化成正弦型函数的形式？ 一般地，有 = 其中，，。 总结 sin()的图像和性质。 案例分析 【例题】求下列函数的周期、最大值和最小值. （1）； （2）. 【解析】（1）因为在函数中，，，所以函数的周期为，最大值为，最小值为. （2）因为在函数中，，，所以函数的周期为，最大值为，最小值为. 通过案例来帮助学生更好地理解 sin()的图像和性质。 学以致用 【练习】把函数图像上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线上的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A． B． C． D． 【解析】图像上所有点的横坐标变为的2倍后为， 再向右平移个单位长度得， 故选：B． 通过及时练习进一步加强学生对 sin()的图像和性质的记忆。 课堂练习 【练习1】已知和分别表示函数的最大值和最小值，则（ ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以， 所以函数的最大值，最小值， 所以， 故选：. 【练习2】为了得到的图像，只需把的图像上的所有点（ ） A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 【解析】函数的图像上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，即可得到函数的图像. 故选：A. 【练习3】函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 【解析】因为的最小正周期. 故选：B. 同学们，其实生活里很多现象和正弦型函数一样是“周期性重复变化”的，所以请思考： 家里的空调温度，设定26℃后，会在25℃-27℃之间来回波动——为啥用正弦型函数能精准描述这个温度变化，而普通函数不行？ 答案： 温度是“周期性上下波动”的，和正弦曲线的“重复波浪形”特征一致；普通函数（比如一次函数）是单调变化的，没法体现“来回重复”的规律，正弦型函数刚好能描述这种周期性变化！ 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺 知识梳理 sin()的图像和性质 ①将正弦曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）； ②把所得的曲线向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度； ③把所得曲线上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变）. 我们把形如的函数的图像叫作正弦型曲线，其中，为振幅，为角速度，为初相，周期为（频率），最大值为，最小值为. 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 sin()的图像和性质 ①将正弦曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）； ②把所得的曲线向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度； ③把所得曲线上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变）. 我们把形如的函数的图像叫作正弦型曲线，其中，为振幅，为角速度，为初相，周期为（频率），最大值为，最小值为. 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在本节课教学中，通过案例对正弦型函数进行推导，多数学生能初步识别正弦型函数的参数，对函数描述周期变化有了认知。但在课堂检测中也发现：部分学生仍难准确掌握、等参数。在课后练习中，需增加参数与生活特征的专项匹配练习，引导学生用“波动幅度对应、重复快慢对应”的逻辑分析问题，提升学生的数学建模能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $