专题03 函数的概念与性质（期末复习讲义）高一数学上学期湘教版

专题03 函数的概念与性质（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1：函数的定义域 掌握常见函数定义域的求解方法； 题型：选择/填空或辅助考查 难度：基础题； 特点：结合不等式考查，多为基础铺垫. 2：函数解析式 .掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点；理解分段函数 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础为主（80%），含参数中档（20%）； 特点：高频，多结合函数性质、指对函数命题. 3：函数值域 会求常见函数的值域，掌握简单函数值域的求法； 题型：选择/填空或辅助考查； 难度：基础（60%）、含参数中档（40%）； 特点：高频，多结合函数性质、指对函数命题. 4：函数的单调性与最值 在理解函数单调性概念的基础上，理解函数单调性的作用，掌握函数单调性的应用；借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义 题型：选择/填空或解答题小问； 难度：中档题； 特点：必考重点，解答题高频命题点 5：函数的奇偶性及其应用 了解函数奇偶性的概念和几何意义；能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题； 题型：选择/填空或解答题第二问； 难度：基础（60%）、含参数中档（40%）； 特点：必考重点，解答题高频命题点 6：函数的周期性与对称性 熟练掌握函数的周期性；了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件 题型：选择/填空或解答题； 难度：基础（30%）、中档（50%）、难题（20%）； 特点：必考重点，解答题高频命题点. 知识点01 函数的定义域 1.核心概念 定义域： 函数的定义域是自变量的取值范围2.核心公式与法则 （1）求给定解析式的函数定义域的方法： 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 示例：函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 易错点：对的限制条件考虑不全致错. （2）求抽象函数定义域的方法： ①若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. ②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 示例：已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 易错点：对抽象函数定义域理解不到位致错. 知识点02 函数解析式 1.解析式 定义：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 解析法的优点：概括了变量间的关系，利用解析式可求任一函数值． （1）配凑法 由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. 示例：已知，求； 易错点：忽视定义域致错. （2）待定系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. 示例：已知是二次函数，且，若，则的解析式为 . 易错点：忽略利用待定系数法结合整体代入求解. （3）换元法（期末必考） 已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. 示例：已知函数，则（  ） A． B． C． D． 易错点：换元法时不注意新元的取值范围致错. （4） 解方程组法（期末高频） 已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 示例：已知函数满足，且，则 . 易错点：忽略利用替换,构建方程组求解. 知识点03 函数值域 定义：所有输出值y组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域 示例：函数的值域为（  ） A． B． C． D． 易错点：换元法时不注意新元的取值范围致错. 知识点04 函数的单调性与最值 1.函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的. (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. 注意： 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 示例：下列函数中，在区间上是减函数的是（ ） A． B． C． D． 2.单调函数的运算性质： 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的单调性. ③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. ④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. ⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)· g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)· g(x)在区间D上单调递减(增). (5)复合函数的单调性判定： 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 示例：函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 易错点：不注意单调区间是函数定义域的子区间致错. 3.最大值、最小值的概念： 一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)；如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0). (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 函数最值的几何意义：从函数的图象上看，函数的最大值就是函数图象最高点的纵坐标；函数的最小值就是函数图象最低点的纵坐标。 示例：对，，记，则函数的最小值为 ． 易错点：不注意借助图像分析最值问题致错. 知识点05 函数的奇偶性及其应用 1.偶函数和奇函数 定义： 设函数y＝f(x)的定义域为A. (1)如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数； (2)如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数； (3)如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们称函数f(x)具有奇偶性； 注意：①利用性质法来判断奇偶性（以函数的定义域关于原点对称为前提，所有奇偶函数都非零函数） ②对于含参函数中参数的求值问题，在填空题与选择题中，掌握以下两个结论，会给解题带来方便： (i)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．(ii)若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0. 示例：下列函数中，是偶函数的是（  ） A．（） B． C． D． 易错点：不注意函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件致错. 2.偶函数和奇函数图象的特点 根据函数奇偶性的定义可知，偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称． 说明：奇函数与偶函数的定义域的特征：定义域关于原点对称． 注意： ①奇函数图像关于原点对称f(－x)＝－f(x) ②偶函数图像关于轴对称f(－x)＝f(x) ③奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．(重要） 示例：函数的图像大致是（  ） A．   B． C．     D．   易错点：不注意奇偶函数图像具有对称性致错. 知识点06 函数的周期性与对称性 1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b); 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 示例：知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（    ） A．的周期为2 B．图象关于直线对称 C．为偶函数 D．为奇函数 易错点：不注意函数奇偶性与与条件结合破解函数的周期性致错. 题型一 求具体函数的定义域 答｜题｜模｜板 求函数定义域时，要注意应用下列原则： (1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R. (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合. (3如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合. (4)如果f(x)是由几部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，也就是使各部分有意义的实数的集合的交集. (5)如果f(x)是根据实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合. 易错提醒 定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接. 【典例1】函数的定义域是（  ） A． B． C． D． 【典例2】函数的定义域是（  ） A． B．或 C．或 D． 【变式1】函数的定义域是（  ） A．R B． C． D． 【变式2】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式3】函数的定义域是____________ 题型二 求抽象函数的定义域 答｜题｜模｜板 1、若函数的定义域为，则中，从中解出的解集即的定义域． 2、若的定义域为，则由可确定的范围，设，则，又与是同一函数，所以的范围即为的定义域． 3、已知的定义域，求的定义域，先由的取值范围求出的取值范围，即中的取值范围，即的取值范围，再根据的取值范围求出的取值范围，即的定义域． 【典例1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·江苏镇江·模拟校考）若函数的定义域为，则的定义域为（     ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·江西九江·模拟校考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·山西·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型三 利用函数的定义域求参数 答｜题｜模｜板 （1）需要明确函数的定义域，即自变量的取值范围． （2）根据函数的表达式，确定函数中可能存在的限制条件．这些限制条件可能包括分母不为零、根式内的表达式非负、对数的真数大于零等． （3）根据函数表达式中的限制条件，建立关于参数的不等式． （4）解不等式，得到参数的取值范围． 【典例1】已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【典例2】已知函数的定义域是，则的取值范围是 . 【变式1】函数的定义域为，则（  ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 【变式2】已知函数． （1）若的定义域为，求实数的值； （2）若的定义域为，求实数的取值范围． 【变式3】已知函数 (1)若，求实数m及； (2)若，求的定义域； (3)若的定义域为，求实数m的取值范围. 题型四 函数值域及应用 答｜题｜模｜板 (1)求函数值的方法 ①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值； ②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则. (2)函数的值域即为函数定义域中的每一个x对应的函数值的集合. （2）利用函数的值域求参数 ①注意调整思维方向，根据值域的含义，将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集的问题； ②根据方程的解或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围． 易错提醒 忽视将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集的问题致错. 【典例1】求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典例2】若函数的值域为，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【变式2】函数的值域是，则实数的取值范围是_______ . 【变式3】已知． (1)若时，求的值域； (2)函数，若函数的值域为，求a的取值范围． 题型五 单调性及其应用 答｜题｜模｜板 （1）若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，即先设出函数的解析式，再利用已知条件列出关于待定系数的方程（组），解之确定系数，即可得函数的解析式 （2）已知复合函数的表达式时，可用换元法，这时要注意换元必换范围 ①令根据，求出关于的表达式 ②根据求出的取值范围 ③将求出的关于的表达式代入的表达式中，求出的表达式，再换元为 （3）在已知式子中,若含有两个不同变量,这两个变量又有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,联立这两个式子,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式, 这种方法叫作解方程组法或消元法. 易错提醒 不注意函数定义域导致错误. 【典例1】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期中）求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知是一次函数，且，求； (4)定义在区间上的函数满足，求的解析式． 【变式1】已知，则的解析式是（  ） A． B． C． D． 【变式2】若函数，则 ． 【变式3】已知函数满足，则函数的解析式为 . 题型六 最值及其应用 答｜题｜模｜板 （1）通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的最值，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的最值； （2）求函数最值时，如果能够先判断函数的单调性，可以利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求最值 （3）利用函数图像求函数的最值，先作出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出答案，体现了数形结合的思想 （4）形如的函数，可用基本不等式法求最值，利用基本不等式法求函数的最值时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①；②（或）为定值；③取等号的条件为，三个条件缺一不可； 【典例1】如图是函数的图象，则下列说法正确的是（  ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 【典例2】（1）函数在区间上的最小值为，最大值为，则 （2）已知函数，则函数的值域是 . 【变式1】函数在上的最小值为（  ） A．1 B． C． D． 【变式2】对，，记，则函数的最小值为 ． 【变式3】已知函数，且. (1)求； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 题型七 函数单调性与奇偶性的综合应用 答｜题｜模｜板 1、灵活运用数形结合的思想：根据函数的性质，如奇偶性、对称性等，先画出函数在某个基本区间上的图象，然后利用对称性等性质，将图象进行平移、翻转或复制，得到函数在整个定义域上的大致图象； 2、代数推导与运算：根据题目给出的函数性质条件，进行代数推导，得到函数的其他性质或具体表达式，若题目给出了函数的具体表达式，可根据表达式进行代数运算，如因式分解、配方等，以求解相关问题； 3、分类讨论与转化思想：当题目中的条件或结论存在多种可能性时，需要进行分类讨论；将复杂的问题转化为简单的问题，或将陌生的问题转化为熟悉的问题． 【典例1】已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)解不等式． 【典例2】已知函数的定义域，对，，都有，且对，都有.若，则的取值范围是 . 【变式1】（多选）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 题型八 周期性、对称性及其应用 答｜题｜模｜板 1、函数的对称性 （1）对称轴：若函数关于直线对称，则． （2）对称中心：若函数关于点对称，则． 2、周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. 3、最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. 常用结论： 1．周期性的常用结论—对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝,则T＝2a(a>0)． (3)若f(x＋a)＝－,则T＝2a(a>0)．(4)若,则T＝6a(a>0)． (5)若f(x＋a)＝,则T＝2a(a>0)．(6)若f(x＋a)＝,则T＝4a(a>0)． （7）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （8）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （9）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 【典例1】（多选）已知定义域为的函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．为奇函数 C．是周期为4的函数 D． 【典例2】已知函数. （1）判断并证明函数的奇偶性： （2）用定义证明函数在上为减函数： （3）已知，且，求x的值. 【变式1】（多选）已知函数，则（    ） A．函数的图象关于对称 B．，都有 C．函数的值域为 D．、，都有 【变式2】（多选）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于对称 C．是以2为周期的周期函数 D． 【变式3】已知函数，是定义在R上的奇函数，且当时，，且对任意，都有． (1)求使得成立的x的取值集合； (2)求证：为周期为4的周期函数，并直接写出在区间上的解析式； (3)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 期末基础通关练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．下列函数中与是同一函数的为（  ） A．， B．， C．， D．， 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（多选）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（  ） A． B．若，则x的值是 C．的解集为 D．的值域为 4．（多选）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（  ） A． B． C． D． 5．（多选题）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于对称 C．是以2为周期的周期函数 D． 三、填空题 6．若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为 ． 7．已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是_________- 8．若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是_____________ 四、解答题 9．已知函数 (1)求实数a值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求函数的单调区间． 10．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象． (1)画出在轴右侧的图象并写出函数的增区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值． 期末重难突破练（测试时间：45分钟） 一、单选题 1．下列函数中，值域是的是（  ） A． B．（） C．（） D． 2．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知是定义在上的奇函数，当且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 6．已知函数对，都有，若在上存在最大值M和最小值m，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．0 二、多选题 7．已知函数的定义域为，且，函数在上单调递增，则下列命题为真命题的是（    ） A．的图象关于点对称 B．为偶函数 C．的图象关于直线对称 D．若，则 8．已知定义域为的函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．为奇函数 C．是周期为4的函数 D． 三、填空题 9．已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为__________ 10．已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为____________ 四、解答题 11．若定义在上的函数对任意实数x，y恒有，当时，，且. (1)求证：为奇函数； (2)证明函数为上的减函数； (3)若，不等式恒成立，求的取值范围. 12．已知函数，是定义在R上的奇函数，且当时，，且对任意，都有． (1)求使得成立的x的取值集合； (2)求证：为周期为4的周期函数，并直接写出在区间上的解析式； (3)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 期末综合拓展练（测试时间：60分钟） 一、单选题 1．是定义在上的奇函数，且关于直线对称，当时，，则（   ） A． B． C． D． 2．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数 是定义域上的奇函数，则（     ） A． B． C．3 D． 4．若定义在上的奇函数在上是增函数，且，则的解集为（    ） A． B．或 C．或 D．或 5．若是定义在上的偶函数，对，当时，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．函数是奇函数 C．若，则0 D．函数在单调递减 三、填空题 7．已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为____________ 8．已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则 四、解答题 9．已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 10．如果函数满足：对定义域内的所有，存在常数，，都有，那么称是“中心对称函数”，对称中心是点. （1）证明点是函数的对称中心； （2）已知函数（且，）的对称中心是点. ①求实数的值； ②若存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围. 49 / 108 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1：函数的定义域 掌握常见函数定义域的求解方法； 题型：选择/填空或辅助考查 难度：基础题； 特点：结合不等式考查，多为基础铺垫. 2：函数解析式 .掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点；理解分段函数 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础为主（80%），含参数中档（20%）； 特点：高频，多结合函数性质、指对函数命题. 3：函数值域 会求常见函数的值域，掌握简单函数值域的求法； 题型：选择/填空或辅助考查； 难度：基础（60%）、含参数中档（40%）； 特点：高频，多结合函数性质、指对函数命题. 4：函数的单调性与最值 在理解函数单调性概念的基础上，理解函数单调性的作用，掌握函数单调性的应用；借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义 题型：选择/填空或解答题小问； 难度：中档题； 特点：必考重点，解答题高频命题点 5：函数的奇偶性及其应用 了解函数奇偶性的概念和几何意义；能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题； 题型：选择/填空或解答题第二问； 难度：基础（60%）、含参数中档（40%）； 特点：必考重点，解答题高频命题点 6：函数的周期性与对称性 熟练掌握函数的周期性；了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件 题型：选择/填空或解答题； 难度：基础（30%）、中档（50%）、难题（20%）； 特点：必考重点，解答题高频命题点. 知识点01 函数的定义域 1.核心概念 定义域： 函数的定义域是自变量的取值范围2.核心公式与法则 （1）求给定解析式的函数定义域的方法： 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 示例：函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别根据这两个部分对的限制条件列出不等式组，求解不等式组即可得到函数的定义域. 【解析】函数，定义域满足不等式组. 解不等式，可得. 解不等式，可得. 所以不等式组的解为且. 用区间表示函数的定义域为. 函数的定义域是. 故选：D. 易错点：对的限制条件考虑不全致错. （2）求抽象函数定义域的方法： ①若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. ②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 示例：已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法即可. 【解析】函数的定义域为， 则，则且， 则函数的定义域为. 故选：D. 易错点：对抽象函数定义域理解不到位致错. 知识点02 函数解析式 1.解析式 定义：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 解析法的优点：概括了变量间的关系，利用解析式可求任一函数值． （1）配凑法 由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. 示例：已知，求； 【答案】 【分析】利用配凑法，结合已知函数解析式，即可求得； 【解析】函数，又的值域为， . 易错点：忽视定义域致错. （2）待定系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. 示例：已知是二次函数，且，若，则的解析式为 . 【答案】 【分析】设，结合已知条件利用待定系数法即可求解. 【解析】由已知设， 因为，所以， 因为， ， 所以，解得， 所以. 易错点：忽略利用待定系数法结合整体代入求解. （3）换元法（期末必考） 已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. 示例：已知函数，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，得，表示出即可得到的解析式. 【解析】令，则，， ∴， ∴. 故选：B. 易错点：换元法时不注意新元的取值范围致错. （4） 解方程组法（期末高频） 已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 示例：已知函数满足，且，则 . 【答案】 【分析】用替换,再解方程组可得答案. 【解析】由①， 用替换，得②， ①×2－②，得，得. 故答案为：. 易错点：忽略利用替换,构建方程组求解. 知识点03 函数值域 定义：所有输出值y组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域 示例：函数的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域. 【解析】令，，则， 所以函数，函数在上单调递增， 时，有最小值， 所以函数的值域为. 故选：C. 易错点：换元法时不注意新元的取值范围致错. 知识点04 函数的单调性与最值 1.函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的. (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. 注意： 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 示例：下列函数中，在区间上是减函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用函数单调性定义可判断得结果. 【解析】选项A：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为减函数，故A正确； 选项B：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故B错误； 选项C：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故C错误； 选项D：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故D错误； 故选：A. 2.单调函数的运算性质： 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的单调性. ③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. ④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. ⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)· g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)· g(x)在区间D上单调递减(增). (5)复合函数的单调性判定： 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 示例：函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数定义域，由复合函数单调性可知，只需求解在内的单调递增区间，结合开口方向和对称轴，得到答案. 【解析】由题意得，解得，故的定义域为， 由于在上单调递减，由复合函数单调性可知， 故只需求解在内的单调递增区间， 开口向下，对称轴为，故即为所求. 故选：B. 易错点：不注意单调区间是函数定义域的子区间致错. 3.最大值、最小值的概念： 一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)；如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0). (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 函数最值的几何意义：从函数的图象上看，函数的最大值就是函数图象最高点的纵坐标；函数的最小值就是函数图象最低点的纵坐标。 示例：对，，记，则函数的最小值为 ． 【答案】/1.5 【解析】函数是函数与函数同一个取得的两个函数值的较大的值， 作函数与函数的图象如下， 由图象可知，令，得或， 故当时，的最小值为． 故答案为：． 易错点：不注意借助图像分析最值问题致错. 知识点05 函数的奇偶性及其应用 1.偶函数和奇函数 定义： 设函数y＝f(x)的定义域为A. (1)如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数； (2)如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数； (3)如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们称函数f(x)具有奇偶性； 注意：①利用性质法来判断奇偶性（以函数的定义域关于原点对称为前提，所有奇偶函数都非零函数） ②对于含参函数中参数的求值问题，在填空题与选择题中，掌握以下两个结论，会给解题带来方便： (i)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．(ii)若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0. 示例：下列函数中，是偶函数的是（  ） A．（） B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的定义，逐项分析即可得解. 【解析】对于A选项，()定义域不关于原点对称，故A错误； 对于B选项，，所以不是偶函数，故B错误； 对于C选项，函数定义域为R，且，所以是偶函数，故C正确； 对于D选项，，所以不是偶函数，故D错误. 故选：C 易错点：不注意函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件致错. 2.偶函数和奇函数图象的特点 根据函数奇偶性的定义可知，偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称． 说明：奇函数与偶函数的定义域的特征：定义域关于原点对称． 注意： ①奇函数图像关于原点对称f(－x)＝－f(x) ②偶函数图像关于轴对称f(－x)＝f(x) ③奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．(重要） 示例：函数的图像大致是（  ） A．   B． C．     D．   【答案】B 【解析】由函数，可得， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称， 又由时，，所以函数图象为B选项. 故选：B. 易错点：不注意奇偶函数图像具有对称性致错. 知识点06 函数的周期性与对称性 1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b); 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 示例：知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（    ） A．的周期为2 B．图象关于直线对称 C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性、对称性及周期性对选项逐一分析即可. 【解析】为奇函数，得， 即，则为奇函数，故C错误； 且图象关于点中心对称，故B错误； 可知，函数周期为4，故A错误； ，又图象关于点中心对称，知， 所以，得关于点对称， 则关于点对称，所以为奇函数，故D正确. 故选：D. 易错点：不注意函数奇偶性与与条件结合破解函数的周期性致错. 题型一 求具体函数的定义域 答｜题｜模｜板 求函数定义域时，要注意应用下列原则： (1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R. (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合. (3如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合. (4)如果f(x)是由几部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，也就是使各部分有意义的实数的集合的交集. (5)如果f(x)是根据实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合. 易错提醒 定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接. 【典例1】函数的定义域是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，且，即可求得结果. 【解析】由题意得，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 【典例2】函数的定义域是（  ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】由函数特征得到不等式，求出定义域. 【解析】由题意得且，即， 等价于，解得或， 故定义域为或. 故选：C. 【变式1】函数的定义域是（  ） A．R B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，得到，解得且.故定义域是. 故选：D. 【变式2】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数有意义得，解该不等式即可得解. 【解析】要使函数有意义，则，即， 所以或，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：D. 【变式3】函数的定义域是____________ 【答案】且且 【分析】根据题意由求解 【解析】由题意得：， 解得且且， 所以函数的定义域为且且. 故答案为：且且 题型二 求抽象函数的定义域 答｜题｜模｜板 1、若函数的定义域为，则中，从中解出的解集即的定义域． 2、若的定义域为，则由可确定的范围，设，则，又与是同一函数，所以的范围即为的定义域． 3、已知的定义域，求的定义域，先由的取值范围求出的取值范围，即中的取值范围，即的取值范围，再根据的取值范围求出的取值范围，即的定义域． 【典例1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法即可. 【解析】函数的定义域为， 则，则且， 则函数的定义域为. 故选：D 【典例2】（2024·江苏镇江·模拟校考）若函数的定义域为，则的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数的定义域，对于函数，可列出关于的不等式组，由此可得出函数的定义域. 【解析】因为函数的定义域为，则，可得， 所以，函数的定义域为， 对于函数，则有，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：C. 【变式1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合复合函数定义域列式求解即得. 【解析】由函数的定义域为，得，则， 即的定义域为，在函数中，由，解得， 所以所求函数的定义域为. 故选：A. 【变式2】（2024·江西九江·模拟校考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知解即可得答案. 【解析】解：因为函数的定义域为， 所以，，即，解得， 所以，函数的定义域为 故选：C. 【变式3】（24-25高一上·山西·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽象函数求定义域的方法计算即可. 【解析】因为的定义域为，所以在中，，则， 则在中，，则． 又，所以的定义域为． 故选：B. 题型三 利用函数的定义域求参数 答｜题｜模｜板 （1）需要明确函数的定义域，即自变量的取值范围． （2）根据函数的表达式，确定函数中可能存在的限制条件．这些限制条件可能包括分母不为零、根式内的表达式非负、对数的真数大于零等． （3）根据函数表达式中的限制条件，建立关于参数的不等式． （4）解不等式，得到参数的取值范围． 【典例1】已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用题给条件列出关于的不等式，解之即可求得实数的取值范围. 【解析】由题意得对任意恒成立， 当时，不等式可化为，其解集不是R，不符合题意； 当时，由该不等式恒成立可得 ，解之得， 综上，实数的取值范围是， 故选：A. 【典例2】已知函数的定义域是，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可知在上恒成立，分为与两种情况求解即可. 【解析】由题意可知在上恒成立. 当时，，符合题意； 当时，则，解得. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 【变式1】函数的定义域为，则（  ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 【答案】A 【分析】根据定义域知不等式的解集，再由不等式解集得出对应方程的根，即可得解. 【解析】因为的定义域为， 所以的解集为， 得 ，解得，，故. 故选：A． 【变式2】已知函数． （1）若的定义域为，求实数的值； （2）若的定义域为，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据题意，由二次型不等式的解集，即可求得参数的取值； （2）根据题意，不等式在上恒成立，即可求得参数范围. 【解析】（1）的定义域为，即的解集为， 故， 解得； （2）的定义域为，即恒成立， 当时，，经检验满足条件； 当时，解得， 综上，． 【变式3】已知函数 (1)若，求实数m及； (2)若，求的定义域； (3)若的定义域为，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，；(2)；(3). 【分析】（1）根据求出m的值，然后即可求出的值； （2）根据可得出的解析式，让解析式有意义即可求出的定义域； （3）根据的定义域可得出的最小值，从而得出m的范围. 【解析】（1），解得，所以，则， 所以； （2）当时，，要使有意义，则， 解得，所以的定义域为； （3）因为的定义域为， 所以在上恒成立， 所以的最小值，解得， 所以m的取值范围为. 题型四 函数值域及应用 答｜题｜模｜板 (1)求函数值的方法 ①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值； ②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则. (2)函数的值域即为函数定义域中的每一个x对应的函数值的集合. （2）利用函数的值域求参数 ①注意调整思维方向，根据值域的含义，将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集的问题； ②根据方程的解或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围． 易错提醒 忽视将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集的问题致错. 【典例1】求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】（1）根据即可求出函数的值域； （2）（3）分离常数，结合反比例函数的性质即可得解； （4）根据二次函数的性质求出被开方数的范围即可得解. 【解析】（1）由，即所求函数的值域为； （2）由， ∵，∴， 即函数的值域为； （3）由，∴函数的定义域为， ， 即，∴， 即函数的值域为； （4）由，得， ∴所求函数的值域为． 【典例2】若函数的值域为，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意由二次函数值域利用判别式即可求得实数m的取值范围. 【解析】因为函数的值域为， 所以能取遍所有大于或等于零的实数， 即方程在实数范围内有解． 所以，解得． 故选：B． 【变式1】已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】首先利用二次函数最值求出，则得到其单调性，则，代入计算即可. 【解析】的对称轴为，则，解得， 则在上单调递增， 所以，即， 所以，为方程的两个根， 即为方程的两个根，所以. 故选：D. 【变式2】函数的值域是，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据题意知，函数可以取到0； 函数和轴有交点；；解得，或； 实数的取值范围为：． 故答案为： 【变式3】已知． (1)若时，求的值域； (2)函数，若函数的值域为，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据函数解析式，采用分离常数项的方法，结合不等式性质，可得答案； （2）根据二次根式的定义，结合二次函数的性质，可得答案. 【解析】（1）由，则， 由不等式性质，则，，，，， 故，即的值域为. （2）由题意，， 由函数的值域为，则有解且无最大值， 当时，符合题意； 当时，根据二次函数的性质，可得， 其中，，，，解得或， 综上，故. 题型五 单调性及其应用 答｜题｜模｜板 （1）若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，即先设出函数的解析式，再利用已知条件列出关于待定系数的方程（组），解之确定系数，即可得函数的解析式 （2）已知复合函数的表达式时，可用换元法，这时要注意换元必换范围 ①令根据，求出关于的表达式 ②根据求出的取值范围 ③将求出的关于的表达式代入的表达式中，求出的表达式，再换元为 （3）在已知式子中,若含有两个不同变量,这两个变量又有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,联立这两个式子,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式, 这种方法叫作解方程组法或消元法. 易错提醒 不注意函数定义域导致错误. 【典例1】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用换元法，令，解出，代入解析式，即可得到答案. 【解析】令，所以， 结合，得， 所以： 即. 故选：D. 【典例2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期中）求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知是一次函数，且，求； (4)定义在区间上的函数满足，求的解析式． 【答案】(1)；(2)；(3)或;(4) 【分析】（1）利用配凑法求解即可； （1）利用配凑法或换元法求解即可； （3）利用待定系数法求解即可； （4）利用方程组法求解即可. 【解析】（1）因为， 所以． （2）解法一（换元法）：令，，则， 所以， 所以． 解法二（配凑法）：， 因为，所以． （3）设， 则， 所以，解得或， 所以或． （4）对任意的有， 由，① 得，② 联立①②解得，． 【变式1】已知，则的解析式是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法求出函数的解析式. 【解析】令，则，而，于是， 因此， 所以的解析式是. 故选：A 【变式2】若函数，则 ． 【答案】或 【分析】根据函数的性质，令，解出相应的值，把原函数变形为，代入相应的值求解. 【解析】令，解得或， 又， 所以：当时，； 当时，． 故答案为：或. 【变式3】已知函数满足，则函数的解析式为 . 【答案】 【分析】根据题意，用代替，得到，联立方程组，即可求解. 【解析】由， 用代替，可得， 联立方程组，解得， 所以函数的解析式为. 故答案为：. 题型六 最值及其应用 答｜题｜模｜板 （1）通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的最值，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的最值； （2）求函数最值时，如果能够先判断函数的单调性，可以利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求最值 （3）利用函数图像求函数的最值，先作出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出答案，体现了数形结合的思想 （4）形如的函数，可用基本不等式法求最值，利用基本不等式法求函数的最值时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①；②（或）为定值；③取等号的条件为，三个条件缺一不可； 【典例1】如图是函数的图象，则下列说法正确的是（  ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 【答案】A 【分析】根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果. 【解析】A选项，由函数图象可得，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A正确； B选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故B错； C选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故C错； D选项，由图象可得，为使直线与函数的图象有交点，只需，故D错. 故选：A 【典例2】（1）函数在区间上的最小值为，最大值为，则 【答案】 【分析】结合函数的单调性计算即可得. 【解析】由在上单调递减，故，， 即. 故答案为： （2）已知函数，则函数的值域是 . 【答案】 【分析】将解析式变形为，然后利用基本不等式即可求解. 【解析】因为， 因为，所以，则有， 当且仅当，即时取等号， 所以， 因为，所以，则函数的值域为， 故答案为：. 【变式1】函数在上的最小值为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在上单调递增，且恒成立， 可知函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上的最小值为. 故选：B. 【变式2】对，，记，则函数的最小值为 ． 【答案】/1.5 【解析】函数是函数与函数同一个取得的两个函数值的较大的值， 作函数与函数的图象如下， 由图象可知，令，得或， 故当时，的最小值为． 故答案为：． 【变式3】已知函数，且. (1)求； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)；(2)函数在上单调递增，证明见解析；(3)最大值为，最小值为6. 【分析】（1）直接由代入，即可求得； （2）利用定义法作差计算，即可证明函数的单调性； （3）利用函数的单调性计算最值即可. 【解析】（1）函数，因为， 所以，则. （2）函数在上单调递增， 由（1）知，， 下面证明单调区间， 设，则， 由，则， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（2）可知在区间上单调递增，则在区间上单调递增， 所以， 则函数在上的最大值为，最小值为6 题型七 函数单调性与奇偶性的综合应用 答｜题｜模｜板 1、灵活运用数形结合的思想：根据函数的性质，如奇偶性、对称性等，先画出函数在某个基本区间上的图象，然后利用对称性等性质，将图象进行平移、翻转或复制，得到函数在整个定义域上的大致图象； 2、代数推导与运算：根据题目给出的函数性质条件，进行代数推导，得到函数的其他性质或具体表达式，若题目给出了函数的具体表达式，可根据表达式进行代数运算，如因式分解、配方等，以求解相关问题； 3、分类讨论与转化思想：当题目中的条件或结论存在多种可能性时，需要进行分类讨论；将复杂的问题转化为简单的问题，或将陌生的问题转化为熟悉的问题． 【典例1】已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得， 因为，所以，所以， 所以当时，， 当时，， 则， 综上所述，． （2）任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以，即， 故在上为增函数； 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又由在上为增函数， 所以， 解得， 故原不等式的解集为． 【典例2】已知函数的定义域，对，，都有，且对，都有.若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分别令，，，可求出，即可判断函数的奇偶性，再根据对，都有可判断函数在上的单调性，即可得出函数在上单调性，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【解析】在中， 令，得， 令，得， 令，，得， 又的定义域为，所以为偶函数， 又对，都有， 即对，都有， 所以在上为减函数，所以在上为减函数， 又，，为偶函数， 所以，解得或， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式1】（多选）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，的定义域为，且，即为奇函数，A错误； 对于B，的定义域为，， 则为偶函数， 当时，函数在上单调递增，B正确； 对于C，的定义域为，，即为偶函数， 函数在上单调递增，C正确； 对于D，的定义域为，且， 为偶函数，在上单调递减，D错误. 故选：BC 【变式2】已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对任意的，，且，都有成立，所以在单调递增， 又因为函数是定义域为的奇函数，所以在单调递增， 由， 当时，，即； 当时，，即； 由可得. 故选：D. 【变式3】已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)为奇函数；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）由，且定义域关于原点对称，故为奇函数. （2）任取，且， ， 因为，且， 故，，，，， 所以，， 故函数在上单调递增； （3）由（1）（2）为奇函数，且在上单调递增， 变形为， 则要满足，解得：， 故不等式的解集为 题型八 周期性、对称性及其应用 答｜题｜模｜板 1、函数的对称性 （1）对称轴：若函数关于直线对称，则． （2）对称中心：若函数关于点对称，则． 2、周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. 3、最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. 常用结论： 1．周期性的常用结论—对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝,则T＝2a(a>0)． (3)若f(x＋a)＝－,则T＝2a(a>0)．(4)若,则T＝6a(a>0)． (5)若f(x＋a)＝,则T＝2a(a>0)．(6)若f(x＋a)＝,则T＝4a(a>0)． （7）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （8）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （9）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 【典例1】（多选）已知定义域为的函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．为奇函数 C．是周期为4的函数 D． 【答案】ACD 【分析】运用奇函数性质和对称性得到原函数的周期性，借助赋值可解. 【解析】为奇函数，得到，向右平移1个单位得到，则的图象关于点中心对称,则A正确. 则，的图象关于直线对称, 则，则, 则，则是周期为4的函数.则C正确. 令，则由，知，则..故D正确. 前面式子推不出，故B错误. 故选：ACD. 【典例2】已知函数. （1）判断并证明函数的奇偶性： （2）用定义证明函数在上为减函数： （3）已知，且，求x的值. 【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）或. 【分析】（1）由已知得函数的定义域关于原点对称，再由，可得结论； （2）任取，作差，判断其差的符号，可得证； （3）由三角函数的值域和（1），（2）的结论可得在也是减函数，由此可得，解之可得答案． 【解析】（1）奇函数；证明： 函数，定义域，关于原点对称，又， 故为奇函数； （2）任取， ， 因为，，，所以， 则， 所以在上为减函数. （3），，， 又在R上为奇函数且在为减函数，所以在也是减函数， 所以， 又，则或. 【变式1】（多选）已知函数，则（    ） A．函数的图象关于对称 B．，都有 C．函数的值域为 D．、，都有 【答案】ABD 【分析】利用函数对称性的定义可判断A选项；分析函数的单调性，可判断B选项；利用反比例函数的单调性求出函数的值域，可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项。 【解析】对于A选项，对任意的，，故函数的定义域为， 因为， 故函数的图象关于对称，A对； 对于B选项，当时，，故函数在上单调递减， 当时，，故函数在上单调递减， 由于函数在上连续，故函数在上单调递减， ，不妨设，则，即，B对； 对于C选项，当时，，则，此时， 当时，，则，此时. 综上所述，函数的值域为，C错； 对于D选项，当时，， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 故，即，D对. 故选：ABD. 【变式2】（多选）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于对称 C．是以2为周期的周期函数 D． 【答案】ABD 【分析】利用赋值法，结合奇函数的性质，可判断A的真假；探索与的关系，可判断B的真假；探索与的关系，可判断C的真假；根据函数的奇偶性可得，结合，可得，可判断D的真假. 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，且. 是定义在上的偶函数，所以. 对A：因为，令得，，所以，故A正确； 对B：由. 所以， 所以，所以的图象关于成轴对称，故B正确； 对C：因为，所以2不是函数的周期，故C错误； 对D：因为可得， 所以， 所以. 又，所以，所以，依次类推，可得，. 所以，故D正确. 故选：ABD 【变式3】已知函数，是定义在R上的奇函数，且当时，，且对任意，都有． (1)求使得成立的x的取值集合； (2)求证：为周期为4的周期函数，并直接写出在区间上的解析式； (3)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；(2)证明见解析，；(3) 【分析】（1）根据题意结合对数函数、正切函数运算求解； （2）根据题意结合周期的定义分析证明，再根据函数的性质求解析式； （3）先利用换元令，结合二次函数求得，再根据的性质求的最大值，再利用基本不等式求得，结合恒成立问题分类讨论分析求解. 【解析】（1）由题意可得：， 则，解得，则， 故使得成立的x的取值集合. （2）∵，即，则， ∴为周期为4的周期函数， 又∵是定义在R上的奇函数，则，即， 当时，则，故； 又∵是定义在R上的奇函数，则有： 当时，则，故； 当时，则，故； 综上所述：当时，则. （3）对于， 令，则的对称轴为， 故当时，取到最大值，故当时，取到最小值， 故， 由（2）可知：在上单调递减，在上单调递增，且， 故当时，则的最大值为， 又∵为周期为4的周期函数，则当时，则的最大值为， ∴的最大值为，则对任意恒成立， 又∵，当且仅当，即时等号成立，则有： 当时，则，不合题意，舍去； 当时，则，解得， 综上所述：实数a的取值范围为. 期末基础通关练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．下列函数中与是同一函数的为（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】A，定义域是，定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，错误； B，与定义域都是，两个函数的定义域相同，对应法则相同，是同一函数，正确； C，与对应法则不同，不是同一函数，错误； D，定义域是，定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，错误. 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数有意义，列出不等式组求解即得定义域. 【解析】函数的意义，则，解得且， 所以所求定义域为. 故选：D 二、多选题 3．（多选）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（  ） A． B．若，则x的值是 C．的解集为 D．的值域为 【答案】ABD 【解析】对于A，因为，则， 所以，故A正确； 对于B，当时，，解得：（舍）； 当时，，解得：（舍）或； 的解为， 故B正确； 对于C，当时，，解得：； 当时，，解得：； 的解集为，故C错误； 对于D，当时，； 当时，； 的值域为， 故D正确. 故选：ABD. 4．（多选）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，的定义域为，且，即为奇函数，A错误； 对于B，的定义域为，， 则为偶函数， 当时，函数在上单调递增，B正确； 对于C，的定义域为，，即为偶函数， 函数在上单调递增，C正确； 对于D，的定义域为，且， 为偶函数，在上单调递减，D错误. 故选：BC 5．（多选题）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于对称 C．是以2为周期的周期函数 D． 【答案】ABD 【分析】利用赋值法，结合奇函数的性质，可判断A的真假；探索与的关系，可判断B的真假；探索与的关系，可判断C的真假；根据函数的奇偶性可得，结合，可得，可判断D的真假. 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，且. 是定义在上的偶函数，所以. 对A：因为，令得，，所以，故A正确； 对B：由. 所以， 所以，所以的图象关于成轴对称，故B正确； 对C：因为，所以2不是函数的周期，故C错误； 对D：因为可得， 所以， 所以. 又，所以，所以，依次类推，可得，. 所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 6．若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】设，代入题干等式，化简，即可求得. 【解析】设一次函数， ， 化简得：， 因为对任意，上式都满足，取和代入上式得： ，解得：， 所以. 故答案为： 7．已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是_________- 【答案】 【解析】当时，是单调递减的，即有，解得；当时，函数是单调递减的，分界点处的值应满足，解得．综上，． 故答案为： 8．若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是_____________ 【答案】 【解析】由题意，定义在R上的奇函数在上单调递减，且， 则在上单调递减，且，， 所以当时，， 当时，， 所以由可得： 或或， 解得或或，即或， 所以满足的的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 9．已知函数 (1)求实数a值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求函数的单调区间． 【答案】(1)；(2)单调递增，证明见解析；(3)增区间是，单调递减区间是和 【解析】（1）由条件可知，，得； （2）， 设， ， ， 因为，所以，，且，则， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增； （3）由（2）可知，， 当时，，，，则， 所以，，即， 所以函数在上单调递减， 当，，，，则， 所以，，即， 所以函数在上单调递减， 综上可知，函数的增区间是，单调递减区间是和 10．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象． (1)画出在轴右侧的图象并写出函数的增区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值． 【答案】(1)图象见解析，递增区间为， (2) (3) 【解析】（1） 函数是定义在上的偶函数， 即函数的图象关于轴对称，其递增区间为，； （2）根据题意，令，则，则， 又由函数是定义在上的偶函数， 则，则； （3）根据题意，，则， 则，其对称轴为， 当时，即时，在区间上为增函数，； 当时，即时，； 当时，即时，在区间上为减函数，， 则． 期末重难突破练（测试时间：45分钟） 一、单选题 1．下列函数中，值域是的是（  ） A． B．（） C．（） D． 【答案】D 【分析】分别求出各函数的值域即可. 【解析】因为，所以函数值域为，故A错误； 因为时，，故B错误； 因为时，函数的值域为集合，不是区间．故C错误； 因为，所以函数的值域为，故D正确. 故选：D． 2．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【分析】根据给定条件，结合奇函数的性质求出函数的周期，进而求出函数值. 【解析】由是定义在上的奇函数，得， 则，即， 由，得，于是， 即，因此， 函数是以4为周期的周期函数，又当时，， 所以. 故选：A 3．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据奇偶性的定义，可得为奇函数，根据二次函数性质，可得的单调性，将条件变形为，根据的单调性，可得，设，分析可得或，化简计算，即可得答案. 【解析】设，， 则，所以为奇函数， 当时，，为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增，则在上也单调递增， 由， 可得， 即， 因为单调递增， 所以，即， 设，则存在，使成立， 所以只需或，即或， 解得，则实数的取值范围是. 故选：C 4．已知是定义在上的奇函数，当且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，分析函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质解不等式. 【解析】因为，且，， 所以. 设，则，且， 所以在上单调递增. 又是定义在上的奇函数，所以为偶函数，且定义域为. 所以在上单调递减. 因为，即，且. 由. 当时，即； 当时，即. 所以不等式的解集为. 故选：D 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【答案】C 【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可. 【解析】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 故选：C. 6．已知函数对，都有，若在上存在最大值M和最小值m，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．0 【答案】B 【分析】根据赋值法可得，进而根据奇函数的性质得为奇函数，即可根据奇函数的性质求解. 【解析】令，则，得； 令，则， 所以；令， 则， 所以为奇函数，故，即， 所以． 故选：B． 二、多选题 7．已知函数的定义域为，且，函数在上单调递增，则下列命题为真命题的是（    ） A．的图象关于点对称 B．为偶函数 C．的图象关于直线对称 D．若，则 【答案】ACD 【分析】由可判断A，根据平移变换得为奇函数判断B，由题干等量函数关系得判断C，根据单调性及对称性列不等式求解判断D. 【解析】由知，故的图象关于点对称，A正确； 的图象由的图象向左平移一个单位得到， 故的图象关于点对称，即为奇函数，B错误； 由，知：， 所以的图象关于直线对称，C正确； 因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递减， 若，且，由的图象关于直线对称知， 平方化简得，解得，D正确. 故选：ACD 8．已知定义域为的函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．为奇函数 C．是周期为4的函数 D． 【答案】ACD 【分析】运用奇函数性质和对称性得到原函数的周期性，借助赋值可解. 【解析】为奇函数，得到，向右平移1个单位得到，则的图象关于点中心对称,则A正确. 则，的图象关于直线对称, 则，则, 则，则是周期为4的函数.则C正确. 令，则由，知，则..故D正确. 前面式子推不出，故B错误. 故选：ACD. 三、填空题 9．已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为__________ 【答案】 【分析】已知时，根据指数和对数函数的性质可知在上单调递增，根据零点讨论的范围，得出当时，；根据函数的奇偶性，即为定义在上的奇函数，得出当时，，合并确定不等式的解集. 【解析】当时，，易得在上单调递增， 又， 所以当时，，当时，， 又为定义在上的奇函数， 所以当时，，当时，，当或时，. 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 10．已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为____________ 【答案】 【分析】根据题意利用定义证明函数在R上单调递增，继而转化不等式，求解即可. 【解析】任取， 从而 , 因为，所以， 所以， 则在R上单调递增． 不等式等价于不等式 ， 即． 因为在R上单调递增， 所以，解得． 故答案为：   四、解答题 11．若定义在上的函数对任意实数x，y恒有，当时，，且. (1)求证：为奇函数； (2)证明函数为上的减函数； (3)若，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明详见解析；(2)证明详见解析；(3). 【分析】（1）通过赋值法求得及与的关系即可证明； （2）通过定义法证明函数的单调性，根据已知条件可知需要用到的正负； （3）根据奇函数的性质、及将不等式中的进行转化，结合减函数的性质列出不等式，由对勾函数性质即可求解. 【解析】（1）因为， 令，可得，解得； 令，可得，即，所以，即. 综上，为奇函数. （2），且，则， 因为当时，，所以. 又，且为奇函数， 所以，即， 所以函数为上的减函数. （3）因为为奇函数，且， 所以. 所以，即，亦即. 因为函数为上的减函数，所以，即. 因为，恒成立， 当时，恒成立； 当时，恒成立，即恒成立，所以. 由对勾函数的性质知函数在上单调递增， 所以，所以，所以的取值范围为. 12．已知函数，是定义在R上的奇函数，且当时，，且对任意，都有． (1)求使得成立的x的取值集合； (2)求证：为周期为4的周期函数，并直接写出在区间上的解析式； (3)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1);(2)证明见解析， (3) 【分析】（1）根据题意结合对数函数、正切函数运算求解； （2）根据题意结合周期的定义分析证明，再根据函数的性质求解析式； （3）先利用换元令，结合二次函数求得，再根据的性质求的最大值，再利用基本不等式求得，结合恒成立问题分类讨论分析求解. 【解析】（1）由题意可得：， 则，解得，则， 故使得成立的x的取值集合. （2）∵，即，则， ∴为周期为4的周期函数， 又∵是定义在R上的奇函数，则，即， 当时，则，故； 又∵是定义在R上的奇函数，则有： 当时，则，故； 当时，则，故； 综上所述：当时，则. （3）对于， 令，则的对称轴为， 故当时，取到最大值，故当时，取到最小值， 故， 由（2）可知：在上单调递减，在上单调递增，且， 故当时，则的最大值为， 又∵为周期为4的周期函数，则当时，则的最大值为， ∴的最大值为，则对任意恒成立， 又∵，当且仅当，即时等号成立，则有： 当时，则，不合题意，舍去； 当时，则，解得， 综上所述：实数a的取值范围为. 期末综合拓展练（测试时间：60分钟） 一、单选题 1．是定义在上的奇函数，且关于直线对称，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】首先根据函数是定义在上的奇函数且关于直线对称可证明出是周期为的周期函数，然后利用函数的周期性和奇偶性即可求出. 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以①， 又关于直线对称，所以②， 联立①②可得，即③， 把用替换可得④， 联立③④可得，所以是周期为的周期函数， 所以. 故选：C 2．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由奇偶性和特殊点函数值即可判断. 【解析】的定义域为， ，故函数为奇函数，排除CD， 又，排除B， 故选：A 3．已知函数 是定义域上的奇函数，则（     ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】应用函数是奇函数，通过赋值法计算求解. 【解析】因为函数 是定义域上的奇函数，定义域为 所以 ，所以， 所以函数 ，满足 ，满足题意， 则. 故选：A. 4．若定义在上的奇函数在上是增函数，且，则的解集为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】找到临界点，由函数的奇偶性与单调性求解即可. 【解析】由是奇函数，且定义域为，则， ，则， 又因为其在内是增函数，则有： 当或时，， 当或时，， 的解集为或， 故选：C 5．若是定义在上的偶函数，对，当时，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知不等式和偶函数性质判断出在定义域上的单调性，将转化为，，结合含绝对值不等式的解法求解即可. 【解析】由可知：当时，， 即当时，， 可得在上单调递增， 因为是定义在上的偶函数，偶函数的图象关于轴对称， 所以在上单调递减，且，， 可得，即， 又因为，， 所以， 易知，恒成立，因此，，即，, 的值域是，的值域是， 解得. 故选：D. 二、多选题 6．已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．函数是奇函数 C．若，则0 D．函数在单调递减 【答案】BC 【分析】对A，赋值法令求解；对B，赋值法结合奇函数的定义判断；对C，令求得函数的周期求解；对D，利用单调性定义结合赋值法求解判断. 【解析】对于A，令，可得，解得，故A错误； 对于B，令，可得，又， 则，所以函数是奇函数，故B正确； 对于C，令，得，则是周期函数，周期为2，所以，故C正确； 对于D，令，，且，则， 即，而时，与2大小不定，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 7．已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为____________ 【答案】 【分析】根据题意利用定义证明函数在R上单调递增，继而转化不等式，求解即可. 【解析】任取， 从而 , 因为，所以， 所以， 则在R上单调递增． 不等式等价于不等式 ， 即． 因为在R上单调递增， 所以，解得． 故答案为： 8．已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则 【答案】2 【分析】将函数解析式化为，令，则，设，，可判断是奇函数，根据奇函数性质及，求得答案. 【解析】因为，， 令， 则， 设，，则， 所以是奇函数，最大值为，最小值为， 则，由，解得. 四、解答题 9．已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）由， 则， 又当时，， 则， ； （2）令，则，即， 当时，，且， 即， 即在上恒成立， 由，可知， 令，，且，即， 则， 所以， 即在上单调递增； （3）由已知， 又由（1）得， 所以， 又函数在上单调递增， 则恒成立， 所以恒成立， 又， 即， 解得. 10．如果函数满足：对定义域内的所有，存在常数，，都有，那么称是“中心对称函数”，对称中心是点. （1）证明点是函数的对称中心； （2）已知函数（且，）的对称中心是点. ①求实数的值； ②若存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）见解析； （2）①， ②. 【分析】（1）求得，根据函数的定义，即可得到函数的图象关于点对称. （2）①根据函数函数的定义，利用，即可求得. ②由在上的值域，得到方程组，转化为为方程的两个根，结合二次函数的性质，即可求解. 【解析】（1）由题意，函数，可得， 所以函数的图象关于点对称. （2）①因为函数（且，）的对称中心是点， 可得，即，解得（舍）. ②因为，∴，可得， 又因为，∴. 所以在上单调递减， 由在上的值域为 所以，， 即，即， 即为方程的两个根，且， 令， 则满足，解得，所以实数的取值范围. 49 / 108 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $