数学期末复习讲义（立体几何）-2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》

编写说明：2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》精准覆盖期末考试核心考点，紧密贴合职教高考题型，专辑内包含章节复习讲义（配课件）和4份训练卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》 期末复习讲义—立体几何 核心考点 复习目标 考情规律 平面基本性质 理解并掌握平面的三大公理及其推论； 会用数学符号表达点、线、面的位置关系 基础考点，一般出现在选择题、填空题中 直线与直线位置关系 理解空间中两条直线的三种位置关系（平行、相交、异面）；掌握异面直线的定义，并会判断两条直线是否异面；掌握平行公理（平行线的传递性） 基础考点，一般出现在选择题、填空题中 异面直线所成的角 会求异面直线所成的角． 基础考点，一般出现在选择题、填空题中 线面平行 掌握线面平行的判定定理与性质定理；会运用判定定理证明直线与平面平行 高频重点考点，一般出现在选择题解答题中 面面平行 掌握面面平行的判定定理与性质定理；会运用判定定理证明平面与平面平行 高频重点考点，一般出现在选择题、解答题中 线面垂直 掌握线面垂直的判定定理与性质定理；会运用判定定理证明直线与平面垂直 高频重点考点，一般出现在选择题解答题中 面面垂直 掌握面面垂直的判定定理与性质定理；会运用判定定理证明平面与平面垂直 高频重点考点，一般出现在选择题解答题中 线面所成角 掌握求线面角几何法；会运用几何法（找射影）在简单几何体中求线面角 高频考点，一般出现在选择题、填空题中 二面角 会运用定义法在简单几何体中找出二面角的平面角 高频难点考点，一般出现在选择题、填空题、解答题中，解答题中更常见 第四章 立体几何 知识点1 平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 知识点2 空间点、直线之间的位置关系 直线与直线 平行 关系 图形语言 符号语言 a∥b 相交 关系 图形语言 符号语言 a∩b＝A 独有 关系 图形语言 符号语言 a，b是异面直线 知识点3 空间两条直线的位置关系 (1)相交直线——同一平面内，有且只有一个公共点． (2)平行直线——同一平面内，没有公共点． (3)异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点． 知识点4 异面直线所成角、平行公理及等角定理 (1)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角． ②范围：. (2)平行公理 平行于同一条直线的两条直线平行. (3)等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 知识点5 直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α＝∅ a⊂α，b⊄α， _a∥b__ _a∥α__ a∥α，a⊂β， _α∩β＝b__ 结论 a∥α b∥α a∩α＝∅ _a∥b__ 知识点6 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 _α∩β＝∅__ _a⊂β，b⊂β， a∩b＝P，a∥α，b∥α__ _α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b__ α∥β，a⊂β 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α 重要结论: 1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即“若a⊥α，a⊥β，则α∥β”．　 2．垂直于同一个平面的两条直线平行，即“若a⊥α，b⊥α，则a∥b”．　 3．平行于同一个平面的两个平面平行，即“若α∥β，β∥γ，则α∥γ”． 知识点7 直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直 ①定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直． ②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l⊥α. ③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.即：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)直线与平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角． 若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为0，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为. ②线面角θ的范围：θ∈. 知识点8 平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． ③二面角θ的范围：θ∈[0，π]． (2)平面与平面垂直 ①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． ②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. ③性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒a⊥β.　 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏·期中）下面能确定一个平面的是（   ） A．一条直线和一个点 B．三条两两相交的直线 C．两条相交直线 D．四条长度相等且首尾相连的线段 2．（25-26高二上·江苏·期中）已知直线a，b，平面，，若，且，，则直线a与b的位置关系是（   ） A．一定平行 B．一定异面 C．不可能异面 D．不可能相交 3．（24-25高三·全国·模拟预测）在正方体中，异面直线与所成角为（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25高二下·全国·课后作业）下列选项中，一定能得出直线与平面平行的是（   ） A．直线在平面外 B．直线与平面内的两条直线平行 C．平面外的直线与平面内的一条直线平行 D．直线与平面内的一条直线平行 5．（24-25高二下·全国·单元测试）若直线平面，直线平面，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．与垂直且异面 D．与垂直且相交 6．（2025高三·全国·专题练习）直线l与平面所成的角为，直线，则m与所成的角等于（　　） A． B． C． D． 7．（22-23高二下·山东潍坊·阶段练习）与同一平面平行的两条直线（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．平行、相交、异面 8．（24-25高二下·全国·课前预习）直线平面平面，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．可能重合 C．相交且垂直 D．相交不垂直 9．（23-24高二下·浙江丽水·期末）下列命题正确的是（    ） A．垂直于同一直线的两个平面平行 B．垂直于同一平面的两个平面垂直 C．垂直于同一直线的两条直线平行 D．垂直于同一平面的两条直线垂直 10．（2013高三·山西·学业考试）如图正方体中，二面角的平面角是（    ） A． B． C． D． 答案 1．C 【分析】根据题意，结合平面的基本性质及推论，即可判断求解. 【详解】一条直线和直线外一点能确定一个平面，故选项A不符合题意； 空间内的三条两两相交的直线不能确定一个平面，如正方体中共顶点的三条棱所在直线，故选项B不符合题意； 两条相交直线可确定一平面，故选项C符合题意； 四条长度相等且首尾相连的线段也不能确定一平面，如空间四边形的四条边，故选项D不符合题意； 故选：C. 2．D 【分析】根据题意结合直线与直线的位置关系即可得解. 【详解】直线a，b，平面，，若，且，， 则直线a与b的位置关系是平行或异面，不可能相交，所以错误，正确， 故选：. 3．C 【分析】根据正方体的性质以及异面直线所成角的概念求解即可. 【详解】因为，所以四边形为平行四边形，进而. 所以为异面直线与所成角. 设正方体的边长为，则. 因此三角形为等边三角形，进而. 故选：C. 4．C 【分析】根据直线与平面平行的判定定理求解. 【详解】A选项，因为直线在平面外也包括直线与平面相交，故A不符合题意； B，D选项，因为缺少条件；故B与D不符合题意； C选项，由直线与平面平行的判定定理，平面外的直线与平面内的一条直线平行，知直线与平面平行，故C符合题意. 故选：C. 5．B 【分析】根据线面平行和线面垂直的性质定理即可求解. 【详解】因为直线平面，过直线作平面，使，则； 直线平面，而，所以,所以， 当a不在过b且与垂直的平面内时，直线a与直线b可能异面，当a在过b且与垂直的平面内时，a与b不异面 故只有B选项正确， 故选：B 6．B 【分析】根据直线平行的性质得到直线与平面所成角. 【详解】∵，∴直线l与平面所成的角等于m与所成的角， 又直线l与平面所成的角为， ∴m与所成的角为， 故选：B. 7．D 【分析】根据线面平行的概念和性质定理，即可判断求解. 【详解】 根据线面平行的概念和性质定理，可得与同一平面平行的两条直线平行、相交、异面都有可能，如图： 假设，直线都在平面内，直线l在平面内， 则，此时,相交，异面. 故选：D. 8．C 【分析】由面面垂直的判定定理判断即可. 【详解】直线平面平面，由面面垂直的判定定理，得与垂直. 故选：C. 9．A 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系判断易得答案. 【详解】A：垂直于同一直线的两个平面平行，故正确； B：垂直于同一平面的两个平面有可能相交，也有可能平行，所以两个平面不一定垂直，故错误； C：垂直于同一直线的两条直线有可能相交，异面，平行，故错误； D：垂直于同一平面的两条直线平行，故错误， 故选：A. 10．B 【分析】根据二面角的概念即可求解. 【详解】如图： 连接，在正方体中，底面， 所以， 又， 所以二面角的平面角， 由正方体的性质可知，. 故选：B. 题型一 平面基本性质、直线与直线位置关系 【典例1】（2024高三·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．三点可以确定一个平面 B．一条直线和一个点可以确定一个平面 C．四边形是平面图形 D．两条相交直线可以确定一个平面 【答案】D 【分析】由平面的基本事实（公理）及其推论进行辨析即可. 【详解】对于A，不共线的三点确定一个平面，故选项A错误； 对于B，经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面，故选项B错误； 对于C，空间四边形不是平面图形，故选项C错误； 对于D，由基本事实（公理）推论，经过两条相交直线，有且只有一个平面，故选项D正确. 故选：D. 【典例2】（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据空间中两条直线的位置关系结合充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】若“两条直线没有公共点”，则两条直线可能平行或异面， 所以“两条直线没有公共点”不能推出“两条直线平行”， 若“两条直线平行”，则“两条直线没有公共点”， 所以“两条直线平行”能推出“两条直线没有公共点”， 所以“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的必要不充分条件. 故选：B. 【典例3】（23-24高二上·河南南阳·月考）正方体中，与对角线AC成异面直线的棱有（   ） A．3条 B．4条 C．6条 D．8条 【答案】C 【分析】由异面直线的定义结合正方体的结构特征判断即可. 【详解】如图，正方体，    由异面直线的定义， 与对角线AC成异面直线的棱有：共条. 故选：C. 解｜题｜技｜巧 1、确定平面的条件 不共线的三点确定一个平面。 推论：① 直线和直线外一点；② 两条相交直线；③ 两条平行直线。 应用场景： 确定唯一平面：题目问“确定一个平面”意思是“有且只有一个平面”。 寻找或构造辅助平面：为了将空间问题转化为平面问题，常需先确定一个平面。 证明共面：先由部分点、线确定一个平面，再证其余元素在此平面内。 关键注意：“确定”意味着“有且只有”，如果只问“过…有一个平面”则可能不止一个，但“确定”就是唯一。 2、异面直线判定 观察两条直线，选择其中一条所在的合适平面。 检查另一条直线上的两个点：是否一个在面内，一个在面外？ 检查面内直线是否不经过外面那个点。 若都满足，则异面。 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）下列条件中能确定一个平面的是（    ） A．空间任意三个点 B．空间相交于一点的三条直线 C．两条平行直线 D．一条直线和一个点 【变式2】（23-24高二上·河南洛阳·期中）平行于同一条直线的两条直线一定（    ） A．垂直 B．平行 C．异面 D．平行或异面 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）若，，则直线，的位置关系是（    ） A．平行或异面 B．平行或相交 C．相交或异面 D．平行、相交或异面 答案 1、【答案】C 【分析】根据公理及其推论结合特例法，逐个选项分析符合题意的选项. 【详解】对于:若三点共线,则三点无法确定一个平面,错误; 对于:空间中相交于一点的三条直线,可能确定一个平面,也可能确定三个不同的平面,错误; 对于:两条平行直线可以确定唯一的一个平面,正确; 对于:若一个点在直线上,则无法确定一个平面,错误. 故选:. 2、【答案】B 【分析】利用平行线的传递性解答即可. 【详解】根据平行线的传递性可知，平行于同一条直线的两条直线一定平行， 故选：. 3、【答案】D 【分析】根据线面平行推断直线与直线的位置关系即可解得. 【详解】如图所示，设平面为平面， 若，，故，，，相交； 若，，故，，，异面； 若，，故，，，平行， 故直线的位置关系为平行、相交或异面. 故选：D. 题型二 异面直线所成的角 【典例1】（24-25高二下·浙江绍兴·月考）在正方体中，和所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意作出图像，找出异面直线所成的角结合正方体的性质即可得解. 【详解】 如图所示，根据题意作出正方体，连接，，，， 因为∥，所以和所成的角为与所成角即， 又因为，所以为等边三角形， 所以， 则和所成的角为， 故选：. 解｜题｜技｜巧 求异面直线所成角 1. 基本步骤 第1步：平移 将其中一条（或两条）直线平移，使它们相交。常用平移方法： 中位线法：利用三角形中位线平行于底边。 平行四边形法：构造平行四边形，将对边平移。 补形法：将几何体补成熟悉的图形（如长方体），使异面直线变为相交直线。 第2步：定角 平移后得到的相交直线所成的锐角（或直角）就是异面直线所成角。 范围：(0°, 90°]。 第3步：计算 将角放在一个可解的三角形中，利用余弦定理、勾股定理、三角函数等求解。 【变式1】（2025高三下·河北·学业考试）如图，在直三棱柱中，，则直线与的夹角（    ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】B 【分析】利用异面直线所成角的定义，结合直三棱柱的结构特征即可得解. 【详解】在直三棱柱中，， 所以为直线与的夹角， 因为在直三棱柱中，， 又，所以. 故选：B. 题型三 线面平行、面面平行 【典例1】（2025高三·河北·专题练习）若一直线上有相异三个点到平面的距离相等，那么直线与平面的位置关系是（　　） A． B． C．与相交且不垂直 D．或 【答案】D 【分析】根据已知条件，利用直线与平面的位置关系即可求解. 【详解】当时，直线上任意点到的距离都相等； 当时，直线上任意点到的距离都为0； 当与相交时，直线上只有一点到的距离为0； 距离不为0时，也只能有两点到的距离相等； 所以，若一直线上有相异三个点到平面的距离相等， 那么直线与平面的位置关系或. 故选：D. 【典例2】（2025高三·河北·专题练习）下列命题正确的是（    ） A．平行于同一平面的两个平面平行 B．平行于同一平面的两条直线平行 C．平行于同一直线的两个平面平行 D．平行于同一平面的两条直线相交 【答案】A 【分析】利用线面的位置关系逐一分析各选项即可得解. 【详解】对A：由面面平行的性质可知，平行于同一平面的两个平面平行，故A项正确； 对B、D：平行于同一平面的两条直线，可以平行，可以异面，也可以相交，故B、D项错误； 对C：平行于同一条直线的两个平面的位置关系可以是平行或相交，故C项错误； 故选：A. 【典例3】（2025高三·全国·专题练习）平面与平面平行的充分条件是（    ） A．内有无穷多条直线都与平行 B．直线，直线，且 C．内的任何一条直线都与平行 D．直线，且直线不在内，也不在内 【答案】C 【分析】根据两个平面平行的判定定理解题即可. 【详解】A选项，虽然内有无穷多条直线都与平行，但这无穷多条直线可能互相平行，不一定能保证平面与平面平行，所以A选项错误； B选项，直线，直线，且，但是与的关系可能平行也可能异面，不能保证平面与平面平行，所以B选项错误； C选项，内的任何一条直线都与平行，这就满足了平面平行的判定定理，因为任何一条直线都平行于，那么一定可以找到两条相交直线平行于，所以可以得出C选项正确； D选项，直线，且直线不在内，也不在内，仅一条直线与两个平面平行，不能得出这两个平面与平行，所以D选项错误. 故选：C． 解｜题｜技｜巧 　1．线面平行的证明技巧 利用线线平行证线面平行（最常用） 步骤： 在平面内找（或作）一条直线。 证明该直线与平面外的已知直线平行。 根据判定定理得线面平行。 关键：如何找平面内的这条直线？ 中位线法：当条件中有中点时，构造中位线。 平行四边形法：构造平行四边形，利用对边平行。 比例线段法：利用相似得平行（如 AM:AB = AN:AC ⇒ MN∥BC）。 线面平行性质法：如果已知某直线平行于平面，可用性质定理得过该直线的截面与平面的交线与该直线平行。 2．面面平行的证明技巧 方法 1：利用相交直线平行（判定定理 1，最常用） 步骤： 在一个平面内找两条相交直线。 分别证明这两条直线平行于另一个平面。 根据判定定理得面面平行。 关键： 必须保证两条直线相交（共点且不平行），否则不一定成立。 证明每条线平行于另一个平面时，又转化为线面平行问题。 方法 2：利用垂直于同一直线 a⊥α, a⊥β ⇒ α∥β 适用于图形中有明显的垂直关系时。 方法 3：传递性 α∥γ, β∥γ ⇒ α∥β 但注意：没有“平行于同一平面的两个平面平行”这个定理！它们可能相交。 只有三个平面两两平行于第三个平面时，才平行。 所以此法慎用，除非题目给出 α∥γ 且 β∥γ。 【变式1】（2024高三·专题练习）已知是不同的直线,是不同的平面,下列命题中真命题为（    ） A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则 【变式2】（24-25高二上·浙江·期末）下列命题正确的是（    ） A．若直线平行于平面内的一条直线，则 B．若直线垂直于平面内的无数条直线，则 C．若平面内的任何一条直线都平行于平面，则 D．若平面内有三个点到平面的距离相等，则 【变式3】（2025高三·河北·专题练习）已知为不同的平面，a，b为不同的直线，那么下列条件中能推出与平行的是（ ） A．内有无数条直线与平行 B． C．直线，且 D．内任何直线都与平行 答案 1、【答案】C 【分析】可放在长方体中排除错误选项,选出正确选项. 【详解】解:由题知,不妨将, 放在长方体中可知, 关于选项A,如图所示可知A错误, 关于选项B,如图所示可知B错误, 关于选项D,如图所示可知D错误, 根据面面平行的性质定理可知,选项C正确. 故选:C 2、【答案】C 【分析】根据直线与平面平行、直线与平面垂直及平面与平面平行的性质判定即可求得． 【详解】A选项中，若直线平行于平面内的一条直线，则或，故A项错误； B选项中，定理“直线与平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直”， 选项中“若直线垂直于平面内的无数条直线”，若无数条直线都平行，则不成立，故B项错误； C选项中，根据面面平行的定义可得若平面内的任何一条直线都平行于平面，则，故C项正确； D选项中，若平面内有三点到平面的距离相等，则或平面与平面相交，故D项错误； 故选：C. 3、【答案】D 【答案】D 【分析】由平面与平面平行的判定定理逐项分析即可得解. 【详解】对于A，内有无数条直线与平行，则与相交或平行，故A错误； 对于B，若，则与相交或平行，故B错误； 对于C，若直线，且，则与相交或平行，故C错误； 对于D，若内任何直线都与平行，则与平行，故D正确. 故选：D. 题型四 线面垂直、面面垂直 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）已知是两条不重合的直线，是一个平面，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据线面垂直的判定定理及性质定理即可判断. 【详解】由线面垂直的性质知，若，，则成立，即充分性成立； 根据线面垂直的判定定理知，必须垂直平面内的两条相交直线，才有，即必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【典例2】（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）给出如下命题：①若，则②若，则③若，则.其中正确的命题是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据面面平行，和面面垂直的判定定理结合图形逐个分析即可. 【详解】若，则，故①正确， 若，则，故②正确， 若，则或与相交，故③不正确， ， 所以正确的有①②， 故选：A. 解｜题｜技｜巧 一、线面垂直的证明技巧 方法 1：利用判定定理（证与平面内两条相交直线垂直） 步骤： 在平面内找两条相交直线 a, b。 证明已知直线 l 与 a 垂直，且 l 与 b 垂直。 得出结论 l⊥α。 方法 2：利用面面垂直的性质定理 如果两个平面垂直 (α⊥β)，那么在其中一个平面 (α) 内，作垂直于它们交线 l 的直线 a，则 a⊥β。 所以：要证线面垂直，有时先证面面垂直，再用此性质。 步骤： 证 α⊥β。 在 α 内作直线 a⊥l（l=α∩β）。 得 a⊥β。 方法 3：利用平行线传递垂直关系 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 符号：a∥b, a⊥α ⇒ b⊥α 用途：当直接证明目标直线垂直平面困难时，可作一条与它平行的直线，证明那条辅助线垂直平面，再传递回来。 二、面面垂直的证明技巧 方法 1：利用判定定理（一个平面包含另一个平面的垂线） 步骤： 找一条直线 l，证明 l⊥α。 证明 l⊂β。 得 β⊥α。 关键：这是最常用方法，核心是先证线面垂直。 方法2：利用平行平面传递 如果一个平面与另一个平面垂直，那么平行于第一个平面的平面也与第二个平面垂直。 符号：α∥γ, α⊥β ⇒ γ⊥β 注意：此方法需要先有面面垂直和面面平行，条件较强，不常用。 【变式1】（2025高三·河北·专题练习）已知两条不同直线、，两个不同平面、，在下列条件中，可得出的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线垂直于第二个平面内的一条直线，那么（   ） A．直线垂直于第二个平面 B．直线垂直于第一个平面 C．直线不一定垂直于第二个平面 D．过的平面必垂直于过的平面 答案 1、【答案】D 【详解】对每一个答案进行逐一判定，将由条件可能推出的其它的结论也列举出来．即可得到答案． 【分析】对于，，，，与可以平行，相交，故不正确． 对于，，，，与相交但不一定垂直，故不正确． 对于，，，则，又，所以，故不正确． 对于，，，则，又，所以，故正确， 故选：． 2、【答案】C 【分析】根据面面垂直的性质求解. 【详解】根据面面垂直的性质：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面， 题干中在第一个平面内的一条直线垂直于第二个平面内的一条直线，但直线与直线均不一定为两面的交线， 故直线不一定垂直于第二个平面，直线也不一定垂直于第一个平面，过的平面也不一定垂直于过的平面， 故ABD均不正确，C正确； 故选：C. 题型五 线面所成角、二面角 【典例1】（2025高三·河北·专题练习）把正三角形沿高折成二面角后，，则二面角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据于，易得沿折成二面角后，即为二面角的平面角，解即可求出二面角的大小． 【详解】∵， ∴沿折成二面角后，，，    故即为二面角的平面角， 又∵， ∴， 故选：C． 【典例2】在正方体中，与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合正方体的结构特征，易得平面，继而可得是与平面所成角，结合解直角三角形，即可求解. 【详解】 因为在正方体中，平面， 所以是与平面所成角， 设正方体的棱长为1，则, 在中，, 即与平面所成角的正切值为. 故选：C. 解｜题｜技｜巧 1.求线面角（几何法） 找斜足（直线与平面的交点）。 由直线上某点向平面作垂线，得垂足。 连接斜足与垂足，得射影。 斜线与射影夹角即线面角，在直角三角形中计算 2．求二面角（几何法）： 找棱。 在棱上取合适点。 在两个面内分别作棱的垂线。 两条垂线的夹角即平面角，放入三角形求解。 【变式1】（21-22高二下·山东枣庄·期末）在正方体中，二面角的大小是（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【变式2】在正方体中，直线与平面所成角为（   ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】B 【分析】确定二面角的平面角为，根据正方体的特征，即可求解. 【详解】 ∵是正方体， ∴平面,而平面， 得到， 即二面角的平面角是. 而是正方形的对角线，故. 故选：B. 【答案】A 【分析】根据正方体内线线和线面的关系求解即可. 【详解】 ∵为正方体， ∴平面垂足为，为平面的一条斜线， ∴为斜线在平面的射影， 就是直线与平面所成的角． ∵且，∴． 即直线与平面所成角为. 故选：A. 题型六 立体几何综合题 【典例1】（2025高三·河北·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，．    (1)求异面直线与的距离； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用线面垂直判定定理证明平面，然后取中点，可得即为异面直线与的距离； （2）由（1）可知，证明，则即为所求角，求余弦值即可． 【详解】（1），，，，即． 平面，平面，, 又，平面． 平面． 取的中点，连接，如图所示，   平面，则， 又，为等腰三角形， ， 即为异面直线与的距离． ， ∴． （2）连接，如图所示，    由（1）可知． 又，，，， ． 为等边三角形，， 则即为二面角的平面角． ，，， ． ∴二面角的余弦值为． 【典例2】（2024高三·专题练习）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点.    (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）首先证明平面，即可得到平面，从而得证. 【详解】（1）取的中点，连接、，因为，分别为，的中点， 所以且，又三棱柱是正三棱柱，所以，， 所以且， 所以为平行四边形，所以，因为平面，平面， 所以平面.    （2）在正三棱柱中为的中点， 所以，又平面，平面，所以， ，平面，所以平面， 又，所以平面，又平面， 所以平面平面. 解｜题｜技｜巧 解答题的典型结构与命题规律 第（Ⅰ）问：证明平行或垂直关系（如线面平行、面面垂直）。 第（Ⅱ）问：求空间角（线面角、二面角）或距离（点面距、异面直线距离）。 具体技巧 第（Ⅰ）问：平行与垂直证明 几何法证明要点： 线面平行：在面内找一线与已知直线平行（中位线、平行四边形）。 面面垂直：在一个面内找一条直线垂直于另一个面（转化为线面垂直）。 线面垂直：与面内两条相交直线垂直（常用勾股逆定理、等腰三角形三线合一）。 第（Ⅱ）问：空间角的计算 线面角：找射影，在直角三角形中求正弦。 二面角：作棱的垂线得平面角，在三角形中求解。 【变式1】（24-25高三上·浙江·阶段练习）如图所示，在三棱锥中，已知，，，求：    (1)二面角的大小； (2)三棱锥的体积. 【变式2】（2024高三·专题练习）在正方体中．为底面中心，为中点，为中点．证明：平面平面PAO． 答案 1、 【答案】(1)60°. (2) 【分析】（1）根据两个等腰三角形共公共边，利用垂面法即可作出二面角的一个平面角并利用解三角形求解； （2）分解为两个全等的三棱锥即可求解. 【详解】（1）如图所示，取AB的中点D，连接PD，CD．    ∵，，即， ∴是等腰直角三角形，且，. 又∵，，即， ∴是等腰直角三角形，且，. ∴是二面角的一个平面角. 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 所以二面角的大小为. （2）由（1）知， 且面， ∴平面，即有： . 所以三棱锥的体积为. 2、 【答案】证明见详解 【分析】根据线面、面面平行的判定定理分析证明. 【详解】由题意可得：分别为的中点，则， 平面，平面， ∴平面， 连接，由题意可得：分别为的中点，则，且， ∵，且， 则，且， 故为平行四边形，则， 平面，平面， ∴平面， ，平面， 故平面平面PAO. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $