高二数学上学期期末模拟卷（北师大版选修一全部：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+计数原理+概率统计）

高二数学上学期期末模拟卷 分值： 150分 考试时间： 120 分钟 班级_______ 姓名_____________ 考号________________ 1、 单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．直线在轴上的截距为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据斜截式的知识确定正确答案. 【详解】直线在轴上的截距为. 故选：A 2．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两向量平行的坐标关系，即可得答案. 【详解】因为，所以，解得. 故选：B. 3．若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点与圆的位置关系，代入求解，即可得答案. 【详解】由在圆内，得，解得． 故选：A 4．某人计划去四川南江旅游，打算从光雾山、米仓山、十八月潭、元顶山、诺水河这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（   ） A．60 B．20 C．12 D．10 【答案】D 【分析】根据组合数的计算公式即可求解. 【详解】从5个景点中选3个景点去游玩，是组合问题， 不同的选择方法种数为. 故选：D. 5．已知为抛物线上的动点，为的焦点，点，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义将转化为点到准线的距离，结合几何意义，求得的最小值为点到抛物线准线的距离. 【详解】抛物线的准线方程为． 设到准线的距离为到准线的距离为， 则 ， 则的最小值为6． 故选：C 6．一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任取2球，若在其中一个球为红色的条件下，另一个球也为红色的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用条件概率公式即可解出答案. 【详解】设事件为“从箱子中任取两球均为红色”， 事件为“从箱子中任取两球至少有一球为红色”． 则由题意知， ,， 所求概率为. 故选：B． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上且位于第一象限，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，联立直线与的方程求出，同理求出，代入并借助基本不等式求出最大值. 【详解】椭圆的焦点，设， 直线的方程为：，由消去， 得，则，同理， 因此. ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C. 8．《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有“阳马”如下图所示，其中平面，，点在棱上运动.下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．点到平面距离的最大值为 D．当时，三棱锥的体积是四棱锥体积的 【答案】C 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AB；利用空间向量求出点到平面距离判断C；确定体积关系判断D. 【详解】依题意，直线两两垂直，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 令，， 对于A，，若，则，必有， 此时与不共线，矛盾，A错误； 对于B，， ，则不成立，即不垂直，B错误； 对于C，设平面的法向量，而， 则，令，得， 点到平面距离，当且仅当，即与重合时取等号，C正确； 对于D，当时，，点到平面与平面的距离都为， 而，则，D错误. 故选：C 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的是（   ） A．数据，，3，7，8，9，11，15的下四分位数是1 B．若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数越大的模型，拟合效果越好 C．已知随机变量，若，，则 D．依据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为两个变量没有关联 【答案】ABC 【分析】根据百分位数的计算公式即可求解A，根据决定系数的定义即可求解B，根据二项分布的方差和期望的公式即可求解C，根据独立性检验的性质即可求解D. 【详解】A：8个数从小到大排列，因为，且，可得下四分位数是1，故A正确； B：由决定系数越大，残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，B对； C：因为，，， 则，解得：，，故C正确； D：由，依据的独立性检验，可以认为两个变量有关联的可信度越高，错. 故选：ABC 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，，的渐近线方程为，是上的动点，则（   ） A．的离心率为 B． C．与直线有交点 D．与双曲线无交点 【答案】ABD 【分析】根据双曲线的焦距、渐近线方程得双曲线的的值，根据双曲线的离心率、定义、直线与双曲线交点性质、双曲线与双曲线交点性质逐项判断即可. 【详解】因为，所以， 又双曲线的渐近线方程为， 所以，又，从而可得， 则的离心率为，故A正确； 由双曲线的定义可得，故B正确； 直线过原点，且斜率为，而双曲线其中一条渐近线方程为，斜率为， 所以与直线无交点，故C不正确； 双曲线为，其渐近线方程为，且其焦点在轴上，所以与双曲线无交点，故D正确. 故选：ABD. 11．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ） A．为对立事件 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分别由对立事件、条件概率定义结合古典概型和全概率公式逐项进行分析计算即可得解. 【详解】对于A，因为甲罐中只有红球和白球，即，所以为对立事件，故A正确； 对于B，当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时，故B正确； 对于CD，当发生时，乙罐中有2个红球，9个白球，此时， 所以，， 故C正确，D不正确. 故选：ABC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知圆A：和圆B：有3条公共切线，则实数m的值是 . 【答案】或5 【分析】根据两圆方程求出圆心和半径，结合题意可得两圆外切，进而列式计算即可. 【详解】由圆A：，则圆心为，半径为， 圆B：，圆心为，半径为， 由于两圆有3条公共切线，则两圆外切， 所以，则，解得或5. 故答案为：或5. 13．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.假设甲､乙､丙是三位投壶游戏参与者，且甲､乙､丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的且互不影响.若甲､乙､丙各投壶1次，则这3人中至多有1人投中的概率为 . 【答案】/0.5/50% 【分析】由重复独立试验的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为甲､乙､丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的且互不影响， 则这3人中至多有1人投中的概率为. 故答案为： 14．已知是抛物线的焦点，是准线，过作圆的切线，与抛物线交于点、两点（在的上方），过作的垂线，垂足为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】切线方程为：,利用点到直线的距离公式可得切线方程为，与抛物线联立方程可得点,从而得到点坐标，求得的面积. 【详解】由题可得抛物线的焦点，准线方程为：， 过作圆的切线，显然切线的斜率存在，不妨设切线方程为：, 由于圆的圆心为,半径, 则，解得：, 根据对称性，不妨取切线斜率为，则切线方程为， 联立，得：, 解得：或, 因为在的上方，所以点, 由于过作的垂线，垂足为，则， 所以,点到直线的距离, 则, 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分） 的顶点的坐标分别为. (1)过点A与直线平行的直线方程； (2)的外接圆方程； (3)已知过点的直线l与的外接圆相交的弦长为6，求直线l的方程. 【详解】（1）由题意得， 所以的方程为，即：， 因为所求直线过点A与直线平行，所以设其为， 代入点可得， 所以直线的方程： （2）设所求圆的方程为， 因点在圆上，则有，解得：， 故的外接圆的方程是 （3）圆的方程为，圆心，半径为5， 因为过点的直线l与的外接圆相交的弦长为6， 则圆心到直线的距离为， 所以当直线的斜率不存在时，可得直线l的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时设为，则直线l的方程为， 所以，解得， 所以直线l的方程为， 综上直线l的方程或. 16．（15分） 人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 总计 30 20 50 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ (2)从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【详解】（1）零假设 : 这次成绩是否优秀与性别无关. 根据表中数据，计算得到 根据小概率值的独立性检验，推断成立，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. （2）的可能取值为. ; ; ; 的分布列为： 0 1 2 数学期望. 17．（15分） 如图，在三棱柱中，为的中点，，且平面. (1)求证：平面； (2)若点在线段上运动（包括端点）， （i）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围. 【详解】（1）因为是的中点，，所以. 在中，因为， 所以，所以. 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面； （2）以为原点，为轴，过作平行于的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，则， 又，则， 设，所以， （i）当即时，，所以， 因为平面的法向量为， 所以直线与平面所成角的正弦值为 ； （ii）设平面的一个法向量为， 因为， 所以， 令，则，得， 又平面的法向量为， 所以平面与平面的夹角的余弦值为， 因为，所以，则， 故平面与平面的夹角的余弦值取值范围为. 18．（17分） 已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由. 【详解】（1）因为双曲线的离心率为，可得，则， 则，可得，则， 因此，双曲线的方程为. （2）若直线与轴重合，则点、为双曲线实轴的端点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，可得， 由韦达定理可得， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得 ，解得. 因此，点在定直线上. 19．（17分） 在乒乓球比赛中，一个发球回合时长是指从运动员发球开始，到其中一方得分为止的时间．现记录一场比赛中运动员连续10个发球回合时长（单位：秒），数据如下：3.2，4.7，5.3，4.1，5.8，9.6，12.4，6.5，7.2，8.9． (1)求这组数据的极差和中位数； (2)如果定义一个发球回合时长超过5.0秒为“长发球回合”，那么从这10个发球回合时长中随机抽取3个，求至少有2个是“长发球回合”的概率； (3)假设甲乙运动员相约进行一次比赛，比赛有两种赛制可选：①一局定胜负：只打一局，胜者赢得比赛；②三局两胜：先赢得两局者为胜，最多打三局．若甲在一局中获胜的概率为．从甲的角度考虑，哪种赛制对他更有利？请说明理由． 【详解】（1）将题中数据按从小到大的排序排列得： 3.2，4.1，4.7，5.3，5.8，6.5，7.2，8.9，9.6，12.4． 故极差为；中位数为. （2）因为长发球回合数，短发球回合数， 所以从 10 个中随机抽取 3 个，至少有 2 个是长发球回合的概率为： ； （3）对于甲来说，一局定胜负的情况下，赢得比赛的概率为， 三局两胜的情况下，赢得比赛的概率为， 则， 因为，所以，即， 所以一局定胜负对甲更有利. 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学上学期期末模拟卷 分值： 150分 考试时间： 120 分钟 班级_______ 姓名_____________ 考号________________ 1、 单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．直线在轴上的截距为（   ） A． B．1 C． D． 2．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3．若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．某人计划去四川南江旅游，打算从光雾山、米仓山、十八月潭、元顶山、诺水河这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（   ） A．60 B．20 C．12 D．10 5．已知为抛物线上的动点，为的焦点，点，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任取2球，若在其中一个球为红色的条件下，另一个球也为红色的概率为（ ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上且位于第一象限，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有“阳马”如下图所示，其中平面，，点在棱上运动.下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．点到平面距离的最大值为 D．当时，三棱锥的体积是四棱锥体积的 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的是（   ） A．数据，，3，7，8，9，11，15的下四分位数是1 B．若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数越大的模型，拟合效果越好 C．已知随机变量，若，，则 D．依据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为两个变量没有关联 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，，的渐近线方程为，是上的动点，则（   ） A．的离心率为 B． C．与直线有交点 D．与双曲线无交点 11．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ） A．为对立事件 B． C． D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知圆A：和圆B：有3条公共切线，则实数m的值是 . 13．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.假设甲､乙､丙是三位投壶游戏参与者，且甲､乙､丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的且互不影响.若甲､乙､丙各投壶1次，则这3人中至多有1人投中的概率为 . 14．已知是抛物线的焦点，是准线，过作圆的切线，与抛物线交于点、两点（在的上方），过作的垂线，垂足为，则的面积为 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分） 的顶点的坐标分别为. (1)过点A与直线平行的直线方程； (2)的外接圆方程； (3)已知过点的直线l与的外接圆相交的弦长为6，求直线l的方程. 16．（15分） 人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 总计 30 20 50 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ (2)从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 0 1 2 17．（15分） 如图，在三棱柱中，为的中点，，且平面. (1)求证：平面； (2)若点在线段上运动（包括端点）， （i）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围. 18．（17分） 已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由. 19．（17分） 在乒乓球比赛中，一个发球回合时长是指从运动员发球开始，到其中一方得分为止的时间．现记录一场比赛中运动员连续10个发球回合时长（单位：秒），数据如下：3.2，4.7，5.3，4.1，5.8，9.6，12.4，6.5，7.2，8.9． (1)求这组数据的极差和中位数； (2)如果定义一个发球回合时长超过5.0秒为“长发球回合”，那么从这10个发球回合时长中随机抽取3个，求至少有2个是“长发球回合”的概率； (3)假设甲乙运动员相约进行一次比赛，比赛有两种赛制可选：①一局定胜负：只打一局，胜者赢得比赛；②三局两胜：先赢得两局者为胜，最多打三局．若甲在一局中获胜的概率为．从甲的角度考虑，哪种赛制对他更有利？请说明理由． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $