精品解析：天津市扶轮中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

数学（高三年级上学期第二次月考） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得集合，结合集合补集和交集的运算，即可求解. 【详解】由集合， 又由，可得，所以. 故选：C. 2. 设数列的公比为，则“且”是“是递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】由等比数列的通项公式可得，， 当且时，则，且单调递减，则是递减数列，故充分性满足； 当是递减数列，可得或，故必要性不满足； 所以“且”是“是递减数列”的充分不必要条件. 故选：A 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 越接近1，相关性越弱 D. 一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质、相关系数、百分位数计算方法逐项判断即可. 【详解】A：若，正态分布曲线关于对称. 表示在左侧的概率，表示在右侧的概率， 根据对称性，二者相等，A正确； B：，正态分布曲线关于对称，所以. ，正态分布曲线关于对称，所以. 因此，B错误； C：相关系数越接近1，变量间的线性相关性越强，越接近0，相关性越弱，C错误； D：将数据排序：7，8，8，9，11，13，15，17，20，22（共10个数据） 计算指数，因此第80百分位数为，D错误. 故选：A. 4. 函数部分图像如图，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察函数的图像，即可得到其定义域为，从而排除ACD，即可得到结果. 【详解】由图可知，函数的定义域为， 对于A，函数的定义域为，不符合题意，故A错误； 对于B，函数的定义域为，且， 故B正确； 对于C，函数的定义域为，不符合题意，故C错误； 对于D，函数的定义域为，不符合题意，故D错误； 故选：B 5. 设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直线，平面位置关系及其性质逐项分析判断. 【详解】对于A，若，则与可能会相交或平行，故A错误； 对于B，若，且，根据线面垂直的性质可知，故B正确； 对于C，若，则，可能会平行、相交或异面，故C错误； 对于D，若，则与可能会相交或平行，故D错误. 故选：B 6. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理计算判断即可. 【详解】函数是由指数函数和幂函数相减而成. 单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减. ， 因为为减函数，所以，即， ， 因在上为增函数，所以，即， 所以，所以该区间存在零点，C正确； 结合在上单调递减. 在、、无零点，故ABD错误. 故选：C. 7. 将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的有（ ）个 ①函数的最小正周期为； ②函数在区间上单调递增； ③函数在区间上的最小值为； ④是函数的一条对称轴. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得.对于①,由最小正周期计算公式可判断选项；对于②③，利用的单调性可判断选项正误；对于④，验证是否在处取最值可判断选项正误. 【详解】由题. 对于①，由题可得其最小正周期为，故①错误； 对于②，由，则， 因在上单调递增，在上单调递减， 则不在区间上单调递增，故②错误； 对于③，时，. 因在上单调递增，在上单调递减， 则此时.故③正确； 对于④，注意到，则不是的一条对称轴，故④错误. 故选：A 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，A为双曲线右支上一点，直线交y轴于点M，原点O到直线距离为，且﹐则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义结合条件，取的中点为，可得，进而可得，即得. 【详解】因为，， 所以，又， 所以， 取的中点为，连接，则， 因为为的中点，原点O到直线距离为， 所以，又， 所以， 所以， 所以，即. 故选：B. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 9. 是虚数单位，则，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法法则计算，进而利用复数相等的意义可求得，进而可求的值. 【详解】因为， 所以，所以. 故答案为：. 10. 二项式的展开式中含项的系数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据二项展开式的通项公式求出，即可得到答案； 【详解】因为， 当，即时，， 所以展开式中含项的系数为， 故答案为：. 11. 已知抛物线C：的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线l与C交于A，B两点，则以线段AB为直径的圆被y轴所截得的弦长为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得A，B两点的坐标，进一步得以线段AB为直径的圆的方程，令，即可求解. 【详解】由题意过点且垂直于x轴的直线l的方程为，将其与抛物线方程联立，得， 解得，不妨设， 则以线段AB为直径的圆即以点为圆心半径为的圆，它的方程为， 设以线段AB为直径的圆和y轴的交点为， 在中令，得， 所以以线段AB为直径的圆被y轴所截得的弦长为. 故答案为：. 12. 函数，则函数的单调增区间为______． 【答案】和 【解析】 【分析】利用导数求已知函数的单调增区间即可. 【详解】函数的定义域为. . 令，则. 解得，或. 所以函数的单调增区间为和. 故答案为：和. 13. 袋子中有个大小相同的球，其中个红球，个白球.每次从中任取个球，然后放回个红球.设第一次取到白球的个数为，则的数学期望___________；第二次取到个白球个红球的概率为___________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】分析可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可计算出的值；记事件第一次取到的白球有个，其中、、，记事件第二次取到个白球个红球，利用全概率公式可求得的值. 【详解】解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，. 记事件第一次取到的白球有个，其中、、， 则，，， 记事件第二次取到个白球个红球， 则，，， 由全概率公式可得. 故答案为：；. 14. 在平行四边形中，是线段的中点，点满足，若设，，则可用表示为_________；点是线段上一点，且，若，则的最大值为_________. 【答案】 ① ②. 【解析】 【分析】由向量的线性运算，可将可用，表示出来；再由，可得，从而得，代入向量夹角公式，利用基本不等式求得最值． 【详解】由，可得， 则 ； 由，可得， 则， 由，可得， 即， 整理得， 故， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为． 故答案为：；． 三、解答题：本大题共2小题，共30分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知列出方程组，求得公差和公比，然后求的数列的通项公式； （2）由（1）先求出，再利用错位相减法即可求出数列的前项和； （3）先根据已知条件整理得，设数列的前项和为，然后分组求和，利用等比数列求和公式以及裂项相消法求得结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，则由， 即，得 ， 解得 或，因为，故舍去， 所以，． 【小问2详解】 由（1）得，，所以， 令数列的前项和为，则， 即①， ②， 两式相减得： ， 所以. 【小问3详解】 设数列的前项和为 由，，得， 则，即； 故 . 16. 已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，直线：交椭圆C于M，N两点，当直线过点时，的周长为8. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设P为x轴上一点，是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，求直线的方程及点P的坐标. 【答案】（1） （2）直线方程为，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）由的周长借助椭圆的定义可求，再结合椭圆的离心率求得，进而求得椭圆C的标准方程； （2）联立直线和椭圆的方程，表示出的中点的坐标，根据，表示出点的坐标，再由列出等式，求出，即得解． 【小问1详解】 因为的周长为8，由椭圆的定义， ，所以， 又椭圆C的离心率为，即，∴， ∴， ∴椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 设，，的中点为，， 联立，整理得， 因为直线与椭圆C交于M，N两点，故，解得， ，， 则，代入，∴，故， 因为是以点P为直角顶点等腰直角三角形，∴， 故，即，解得，故， 由，故，即， 又，， 所以， 经计算，，因为，所以， 所以直线的方程为，点的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（高三年级上学期第二次月考） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设数列公比为，则“且”是“是递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 越接近1，相关性越弱 D. 一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17 4. 函数部分图像如图，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 5. 设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B 若，且，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的有（ ）个 ①函数的最小正周期为； ②函数在区间上单调递增； ③函数在区间上的最小值为； ④是函数的一条对称轴. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，A为双曲线右支上一点，直线交y轴于点M，原点O到直线距离为，且﹐则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 9. 是虚数单位，则，则的值为______． 10. 二项式的展开式中含项的系数为___________. 11. 已知抛物线C：的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线l与C交于A，B两点，则以线段AB为直径的圆被y轴所截得的弦长为______. 12. 函数，则函数的单调增区间为______． 13. 袋子中有个大小相同的球，其中个红球，个白球.每次从中任取个球，然后放回个红球.设第一次取到白球的个数为，则的数学期望___________；第二次取到个白球个红球的概率为___________. 14. 在平行四边形中，是线段中点，点满足，若设，，则可用表示为_________；点是线段上一点，且，若，则的最大值为_________. 三、解答题：本大题共2小题，共30分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列前项和； （3）若，求数列的前项和． 16. 已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，直线：交椭圆C于M，N两点，当直线过点时，的周长为8. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设P为x轴上一点，是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，求直线的方程及点P的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $