学易金卷：九年级数学上学期期末模拟卷（贵州专用，北师大版九上全部+九下第1～2章）

2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册全部内容+北师大版九年级下册第一、二章。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，水平放置的空心圆柱体的主视图为（    ） A． B． C． D． 2．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 3．下面四组线段中不能成比例线段的是（    ） A．3、6、2、4 B．4、6、8、10 C．1、、、 D．、、2、 4．设，是一元二次方程的两个根，则的值是（　　） A．3 B． C．4 D． 5．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，已知，点D为的中点，从A滑行至B的过程中，下列说法错误的是（    ） A． B．为等边三角形 C． D．整个过程中下降的高度为 6．“蒙超联赛”期间，1件乌兰察布市球迷队服的售价为80元，回馈球迷，经过两次降价，现在1件的售价为60元．设该衣服的售价每次平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知点，，是函数图象上的三点，则，，的大小关系是（   ）． A． B． C． D．无法确定 8．如图，在平行四边形中，E为上一点，与相交于点F，且，若的面积为3，则的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．27 9．如图，在平面直角坐标系中，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，若，且，则线段的长度为（    ） A．2 B． C．3 D． 10．关于的方程有实数根，那么a的值为（   ） A． B．且 C． D． 11．如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线交于点H．若，，则的长为（   ） A． B．4 C． D．6 12．二次函数（）的部分图象如图，图象过点，下列结论： ①；②；③，④若顶点坐标为，则方程没有实数根．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共114分） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．方程的实数解是 ． 14．在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表. 试验种子数n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频数m 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850 发芽频率 0 0.80 0.90 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95 根据表格，估计该麦种的发芽概率为 .（结果精确到0.01） 15．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，过点作平行轴交轴于点，在轴负半轴上取一点，使，连接，则的面积为 ． 16．如图1，在矩形中，是边上的一个动点，将沿折叠得到，记和矩形重叠部分的面积为，的长度为，与之间的函数关系如图2所示，则 ． 三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）（1）在下列4个代数式：①，②，③，④中任选3个求和； （2）解下列一元二次方程． ①；②． 18．（10分）如图，是由个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为厘米． (1)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）： ； (2)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． 19．（10分）如图，在中，，． (1) 求证：； (2)求的值． 20．（10分）如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（10分）打造书香校园，培养阅读习惯.河南省实验中学举办了读书活动，数学兴趣小组开展了“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，对学校部分学生进行了问卷调查，抽到的学生根据自己的爱好选择一类书籍（历史类，文学类，科技类，艺术类，其他类），兴趣小组根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图． (1)此次调查采用的调查方式是______， 样本容量为______，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，“科技类”所对应的圆心角度数是______度； (3)本次调查中，选择其他类的5人中有两名男生和三名女生，若从中随机抽取两人，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 22．（12分）周末天气晴好，热爱户外运动的黄老师去爬山．途中有一段山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，黄老师从起点A出发，沿走460米到B点，再沿到山顶C点，已知山高为392米，，，交的延长线于点F，．（图中所有点均在同一平面内） (1)求的长； (2)求黄老师从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：） 23．（10分）阅读材料，并解决问题： 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得新方程，所以原方程的正数解为． (1)上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是 ． A．分类讨论思想        B．数形结合思想            C．整体代换思想 (2)【实践】小明根据赵爽的办法解方程请你帮忙画出相应的图形，将其求解过程补充完整： 第一步：将原方程变形为 ； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在图2中画出示意图），则新构图中大正方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即 （用式子表示即可） 第三步：得新方程 ．因为表示边长，解得 ． (2) 【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么此方程的正根为 ． 24．（12分）小明为了研究过山车项目中的数学知识，将某游乐场过山车滑道的一部分抽象出来，如图所示建立平面直角坐标系（以1米为一个单位长度），使点在轴上，点在轴上．已知滑道是抛物线的一部分，滑道是抛物线的一部分，点和点到轴的距离都为2米，滑道的最高点到轴的距离为4米，且点到轴的距离为2米． (1)求抛物线的解析式； (2)将过山车看作一个点，当过山车距离水平地面的高度为3米时，求此时过山车与点之间的水平距离； (3)若、间的水平距离不得少于2米，但又不大于4米，求的取值范围． 25．（12分）综合与探究： 旋转是几何图形的一种变换，通过与特殊平面几何图形结合起来，综合运用全等三角形知识来解决实际问题．某校“绿洲”数学兴趣小组在研究线段旋转的过程中，进行了如下探究：在边长为4的正方形中，为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． 【初步尝试】 （1）如图1，若点与点重合，则_______度，此时_____； 【问题探究】 （2）如图2，在点的运动过程中，探究与的数量以及位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在点的运动过程中，设正方形的对称中心为，连接，求线段的最小值． / / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册全部内容+北师大版九年级下册第一、二章。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，水平放置的空心圆柱体的主视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的主视图，解决本题的关键在于理解主视图的定义． 根据主视图的定义，从物体的前面向后面投影所得的视图即可得解． 【详解】解：对于水平放置的空心圆柱体，从主视方向看，它的上下底面是两条水平的线段，左右侧面是两条竖直的线段， 所以整体呈现出矩形的形状． 由于空心圆柱体内部是空心的，在主视图中需要用虚线来表示内部的结构， 所以中间会有两条虚线． 故选：C． 2．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 【答案】C 【分析】本题考查的简单随机事件的概率，掷硬币是一种随机事件，正面和反面出现的概率相等，均为，从而确保双方机会均等，体现公平性． 【详解】∵抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的可能性相同，概率均为， ∴这种方法使比赛双方在场地和发球权的选择上具有同等机会，因此主要原因是体现比赛的公平性． 故选：C． 3．下面四组线段中不能成比例线段的是（    ） A．3、6、2、4 B．4、6、8、10 C．1、、、 D．、、2、 【答案】B 【分析】本题考查了成比例线段的概念．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段． 根据成比例线段的概念，对选项进行一一分析，即可得出答案． 【详解】解：A．，能成比例； B．，不能成比例； C．能成比例； D．，能成比例． 故选B 4．设，是一元二次方程的两个根，则的值是（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的两根之和为；利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和即可． 【详解】解：∵方程中，，， ∴． 故选：D． 5．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，已知，点D为的中点，从A滑行至B的过程中，下列说法错误的是（    ） A． B．为等边三角形 C． D．整个过程中下降的高度为 【答案】D 【分析】本题主要考查了含直角三角形的性质，直角三角形斜边的一半等于斜边的一半，等边三角形的判定，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．根据含直角三角形的性质，直角三角形斜边的一半等于斜边的一半，等边三角形的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴整个过程中下降的高度为， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形，故A、B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意． 故选：D． 6．“蒙超联赛”期间，1件乌兰察布市球迷队服的售价为80元，回馈球迷，经过两次降价，现在1件的售价为60元．设该衣服的售价每次平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，根据两次降价且每次平均下降率相同，设每次下降率为x，则第一次降价后价格为，第二次降价后价格为，等于60元，据此列方程即可． 【详解】解：∵ 初始价格为80元，经过两次降价，每次下降率为x， ∴ 第一次降价后价格：， 第二次降价后价格：， 又∵ 最终售价为60元， ∴， 故选A． 7．已知点，，是函数图象上的三点，则，，的大小关系是（   ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，可以利用函数的增减性来判断，也可以代入后比较．把点的横坐标代入函数解析式求出各纵坐标后再比较大小． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，． ∴． 故选：B． 8．如图，在平行四边形中，E为上一点，与相交于点F，且，若的面积为3，则的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．27 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为3， ∴； 故选D． 9．如图，在平面直角坐标系中，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，若，且，则线段的长度为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标系中图形的位似变换，熟练掌握位似三角形的有关性质是解题的关键．根据题意知，由，知位似比为，又由，根据对应边的比等于位似比即可求解的长． 【详解】解： ∵，， ∴，． ∵与是以坐标原点为位似中心的位似图形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：D． 10．关于的方程有实数根，那么a的值为（   ） A． B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及对含参方程的分类讨论，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 方程可能为一次或二次方程，需分类讨论，最后合并结果． 【详解】解：∵ 方程 有实数根， 当 时，方程化为 ，解得 ，有实数根； 当 时，方程为二次方程，判别式 ， 解得 ； 综上， 时方程有实数根． 故选：A． 11．如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线交于点H．若，，则的长为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，作垂线(尺规作图)，等腰三角形的性质，解题关键是掌握锐角的余弦定义． 由锐角的余弦定义得到关于的方程求解． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ∴． 故选：B． 12．二次函数（）的部分图象如图，图象过点，下列结论： ①；②；③，④若顶点坐标为，则方程没有实数根．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的对称性，抛物线与坐标轴的交点，抛物线与各项系数的符号关系，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性，抛物线与一元二次方程的关系等解答即可． 【详解】解：根据图象过点，对称轴为直线，设抛物线与x轴的另一个交点为， 则， 解得， 故图象过点， 故抛物线与x轴有两个不同的交点，即有两个不同的实数根， 故，即，故①正确， ∵二次函数开口向下， ∴， ∵对称轴在x轴的正半轴上， ∴, ∴，， ∴, 故②正确； 根据抛物线的性质，得时，， ∴， ∴, 故③错误； 由抛物线的顶点坐标为，， 故该二次函数的最大值为4，即直线与抛物线有唯一交点， 由， 故直线与抛物线无交点，即方程没有实数根． 故④正确； 故选：C． 第二部分（非选择题 共114分） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．方程的实数解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法：通过直接开平方法求解方程即可． 【详解】解：方程移项得， 两边开平方，得， 即． 故答案为：，． 14．在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表. 试验种子数n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频数m 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850 发芽频率 0 0.80 0.90 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95 根据表格，估计该麦种的发芽概率为 .（结果精确到0.01） 【答案】0.95 【分析】本题主要考查频率估算概率，解题的关键是理解题意；因此此题可根据利用频率估算概率的方法进行求解即可． 【详解】解：观察表格数据可知，随着试验种子数的不断增大，发芽频率的值在附近波动，并趋于稳定，故可估计该麦种的发芽概率约为． 故答案为0.95． 15．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，过点作平行轴交轴于点，在轴负半轴上取一点，使，连接，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查反比例函数的图像的性质，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． 连接，求出，由，得到，则，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵点在函数的图象上，过点作平行轴交轴于点，在轴负半轴上取一点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 16．如图1，在矩形中，是边上的一个动点，将沿折叠得到，记和矩形重叠部分的面积为，的长度为，与之间的函数关系如图2所示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．当时，如图所示中的位置，根据，可求出的值，当最大时，与重合，即如图示位置，此时，，即，证明，得到，设，则，根据勾股定理求出，得到，再求出，即可求解． 【详解】解：如图： 当时，如图示中的位置， 由题意和矩形及折叠的性质可得，四边形是正方形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）； ∴， 当最大时，与重合，即如图所示位置， 此时，， ∴， 由折叠可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）（1）在下列4个代数式：①，②，③，④中任选3个求和； （2）解下列一元二次方程． ①；②． 【答案】（1）选择①②③，；选择①②④，3；选择①③④，；选择②③④，；（2）① ；② 【分析】本题主要考查实数的混合运算，利用平方根解方程，解一元二次方程，掌握其运算法则是关键． （1）根据乘方，绝对值，二次根式，零指数幂的计算方法得到结果，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）①利用平方根的性质计算即可；②利用因式分解法计算即可． 【详解】解：（1）选择①②③，； 选择①②④，； 选择①③④，； 选择②③④，； （2）①， ， 解得：； ②， ， ， 解得：． 18．（10分）如图，是由个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为厘米． (1)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）： ； (2)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． 【答案】(1) (2)见解析． 【分析】本题考查的是从不同方向看组合图形，求组合图的表面积． （1）由不同方向看到的小正方形的数量乘以小正方形的面积即可得到答案； （2）分别画出从三个方向看到的平面图形即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：根据三视图的画法，画出相应的图形如下： 19．（10分）如图，在中，，． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行直接证明相似即可； （2）根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 20．（10分）如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）在矩形中，，，由平行线的性质可得，由题意可得，再利用“”证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，再由勾股定理可得，即可得解． 【详解】（1）证明：在矩形中，，， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ． 在中，， ∴ ． 21．（10分）打造书香校园，培养阅读习惯.河南省实验中学举办了读书活动，数学兴趣小组开展了“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，对学校部分学生进行了问卷调查，抽到的学生根据自己的爱好选择一类书籍（历史类，文学类，科技类，艺术类，其他类），兴趣小组根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图． (1)此次调查采用的调查方式是______， 样本容量为______，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，“科技类”所对应的圆心角度数是______度； (3)本次调查中，选择其他类的5人中有两名男生和三名女生，若从中随机抽取两人，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)抽样调查；100；见解析 (2)144 (3) 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键． （1）根据的人数及所占比值求出总人数，总人数减去、、、的人数，可求出的人数，再补全统计图即可； （2）乘以所占总人数的比值，即可求出“科技类”所对应的圆心角度数； （3）画树状图，共20种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有12种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵对学校部分学生进行了问卷调查， ∴调查方式是抽样调查； 被调查的学生总人数为：（人）； ∴艺术类人数为：（人）， 补全条形统计图如图所示： 故答案为：抽样调查；100． （2）解：“科技类”所对应的圆心角度数为：， 故答案为：144． （3）解：设用、表示两名男生，用、、表示三名女生， 画树状图如下： 共20种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有12种， ∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 22．（12分）周末天气晴好，热爱户外运动的黄老师去爬山．途中有一段山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，黄老师从起点A出发，沿走460米到B点，再沿到山顶C点，已知山高为392米，，，交的延长线于点F，．（图中所有点均在同一平面内） (1)求的长； (2)求黄老师从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：） 【答案】(1)230米 (2)670米 【分析】本题考查了解直角三角形应用．熟练掌握含30度的直角三角形的性质，矩形的判定和性质，正弦函数，是解题的关键． （1）在中，根据，可得，即可求解； （2）根据，，得出，再根据四边形是矩形，结合即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， 故的长为230米； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴． 故黄老师从山脚A点到达山顶点的路程约为670米． 23．（10分）阅读材料，并解决问题： 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得新方程，所以原方程的正数解为． (1)上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是 ． A．分类讨论思想        B．数形结合思想            C．整体代换思想 (2)【实践】小明根据赵爽的办法解方程请你帮忙画出相应的图形，将其求解过程补充完整： 第一步：将原方程变形为 ； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在图2中画出示意图），则新构图中大正方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即 （用式子表示即可） 第三步：得新方程 ．因为表示边长，解得 ． (3)【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么此方程的正根为 ． 【答案】(1)B (2)图见解析，，，，， (3) 【分析】本题考查构造图形解一元二次方程，解题的关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，运用了数形结合的思想． （1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是数形结合思想； （2）仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，即可解决问题； （3）根据题意可得， ，进而根据阅读材料构造大正方形，即可求解． 【详解】（1）解：上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是数形结合思想， 故答案为：B； （2）第一步：将原方程变形为， 第二步：新构图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即， 第三步：得新方程，因为表示边长，解得； 故答案为：，，，，； 画出示意图如下： （3） ， ， 根据题意可得，， ， 该方程为， ， 解得方程的正根为， 故答案为：． 24．（12分）小明为了研究过山车项目中的数学知识，将某游乐场过山车滑道的一部分抽象出来，如图所示建立平面直角坐标系（以1米为一个单位长度），使点在轴上，点在轴上．已知滑道是抛物线的一部分，滑道是抛物线的一部分，点和点到轴的距离都为2米，滑道的最高点到轴的距离为4米，且点到轴的距离为2米． (1)求抛物线的解析式； (2)将过山车看作一个点，当过山车距离水平地面的高度为3米时，求此时过山车与点之间的水平距离； (3)若、间的水平距离不得少于2米，但又不大于4米，求的取值范围． 【答案】(1) (2)米或米 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）根据题意，求出的坐标，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，求出的值即可得出结果； （3）由对称性求出点坐标，分别求出、间的水平距离为和时，点的坐标，待定系数法求出的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，，，且点为抛物线的顶点， ∴设，把代入，得， 解得， ∴； （2）解：当， 解得或， ∴当过山车距离水平地面的高度为3米时，此时过山车与点之间的水平距离为米或米； （3）解：∵，点和点到轴的距离都为2米， ∴抛物线的对称轴为直线，且关于对称轴对称， ∴， ∴当、间的水平距离为米时，，当、间的水平距离为米时，， 把，，代入，得 ，解得； 把，，代入，得 ，解得； ∵、间的水平距离不得少于2米，但又不大于4米， ∴． 25．（12分）综合与探究： 旋转是几何图形的一种变换，通过与特殊平面几何图形结合起来，综合运用全等三角形知识来解决实际问题．某校“绿洲”数学兴趣小组在研究线段旋转的过程中，进行了如下探究：在边长为4的正方形中，为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． 【初步尝试】 （1）如图1，若点与点重合，则_______度，此时_____； 【问题探究】 （2）如图2，在点的运动过程中，探究与的数量以及位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在点的运动过程中，设正方形的对称中心为，连接，求线段的最小值． 【答案】（1）45，；（2）；（3）6 【分析】（1）根据正方形的性质，勾股定理进行求解即可； （2）延长，交于点，证明，得到，，等角的余角相等，得到，对顶角相等得到，进而得到，即可得出结论； （3）作于点，作，交的延长线于点，作于点，作于点，则四边形，四边形均为矩形，得到，，，证明，得到，进而得到长为定值，得到点在射线上运动，根据垂线段最短，得到当点与点重合时，的值最小，为的长，进行求解即可． 【详解】（1）∵正方形， ∴，， ∴， ∴当点与点重合时，，， ∴； 故答案为：45，； （2），理由如下： 延长，交于点，如图， ∵正方形， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）作于点，作，交的延长线于点，作于点，作于点，则四边形，四边形均为矩形， ∴，，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长为定值， ∴点在射线上运动， ∴当点与点重合时，的值最小，为的长， ∵正方形的边长为，为正方形的对称中心， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即的最小值为6． / / 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册全部内容+北师大版九年级下册第一、二章。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，水平放置的空心圆柱体的主视图为（    ） A． B． C． D． 2．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 3．下面四组线段中不能成比例线段的是（    ） A．3、6、2、4 B．4、6、8、10 C．1、、、 D．、、2、 4．设，是一元二次方程的两个根，则的值是（　　） A．3 B． C．4 D． 5．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，已知，点D为的中点，从A滑行至B的过程中，下列说法错误的是（    ） A． B．为等边三角形 C． D．整个过程中下降的高度为 6．“蒙超联赛”期间，1件乌兰察布市球迷队服的售价为80元，回馈球迷，经过两次降价，现在1件的售价为60元．设该衣服的售价每次平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知点，，是函数图象上的三点，则，，的大小关系是（   ）． A． B． C． D．无法确定 8．如图，在平行四边形中，E为上一点，与相交于点F，且，若的面积为3，则的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．27 9．如图，在平面直角坐标系中，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，若，且，则线段的长度为（    ） A．2 B． C．3 D． 10．关于的方程有实数根，那么a的值为（   ） A． B．且 C． D． 11．如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线交于点H．若，，则的长为（   ） A． B．4 C． D．6 12．二次函数（）的部分图象如图，图象过点，下列结论： ①；②；③，④若顶点坐标为，则方程没有实数根．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共114分） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．方程的实数解是 ． 14．在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表. 试验种子数n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频数m 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850 发芽频率 0 0.80 0.90 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95 根据表格，估计该麦种的发芽概率为 .（结果精确到0.01） 15．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，过点作平行轴交轴于点，在轴负半轴上取一点，使，连接，则的面积为 ． 16．如图1，在矩形中，是边上的一个动点，将沿折叠得到，记和矩形重叠部分的面积为，的长度为，与之间的函数关系如图2所示，则 ． 三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）（1）在下列4个代数式：①，②，③，④中任选3个求和； （2）解下列一元二次方程． ①；②． 18．（10分）如图，是由个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为厘米． (1)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）： ； (2)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． 19．（10分）如图，在中，，． (1) 求证：； (2)求的值． 20．（10分）如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（10分）打造书香校园，培养阅读习惯.河南省实验中学举办了读书活动，数学兴趣小组开展了“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，对学校部分学生进行了问卷调查，抽到的学生根据自己的爱好选择一类书籍（历史类，文学类，科技类，艺术类，其他类），兴趣小组根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图． (1)此次调查采用的调查方式是______， 样本容量为______，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，“科技类”所对应的圆心角度数是______度； (3)本次调查中，选择其他类的5人中有两名男生和三名女生，若从中随机抽取两人，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 22．（12分）周末天气晴好，热爱户外运动的黄老师去爬山．途中有一段山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，黄老师从起点A出发，沿走460米到B点，再沿到山顶C点，已知山高为392米，，，交的延长线于点F，．（图中所有点均在同一平面内） (1)求的长； (2)求黄老师从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：） 23．（10分）阅读材料，并解决问题： 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得新方程，所以原方程的正数解为． (1)上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是 ． A．分类讨论思想        B．数形结合思想            C．整体代换思想 (2)【实践】小明根据赵爽的办法解方程请你帮忙画出相应的图形，将其求解过程补充完整： 第一步：将原方程变形为 ； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在图2中画出示意图），则新构图中大正方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即 （用式子表示即可） 第三步：得新方程 ．因为表示边长，解得 ． (2) 【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么此方程的正根为 ． 24．（12分）小明为了研究过山车项目中的数学知识，将某游乐场过山车滑道的一部分抽象出来，如图所示建立平面直角坐标系（以1米为一个单位长度），使点在轴上，点在轴上．已知滑道是抛物线的一部分，滑道是抛物线的一部分，点和点到轴的距离都为2米，滑道的最高点到轴的距离为4米，且点到轴的距离为2米． (1)求抛物线的解析式； (2)将过山车看作一个点，当过山车距离水平地面的高度为3米时，求此时过山车与点之间的水平距离； (3)若、间的水平距离不得少于2米，但又不大于4米，求的取值范围． 25．（12分）综合与探究： 旋转是几何图形的一种变换，通过与特殊平面几何图形结合起来，综合运用全等三角形知识来解决实际问题．某校“绿洲”数学兴趣小组在研究线段旋转的过程中，进行了如下探究：在边长为4的正方形中，为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． 【初步尝试】 （1）如图1，若点与点重合，则_______度，此时_____； 【问题探究】 （2）如图2，在点的运动过程中，探究与的数量以及位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在点的运动过程中，设正方形的对称中心为，连接，求线段的最小值． 试题 第1页（共4页 ） 试题 第2页（共4页 ） 试题 第1页（共4页 ） 试题 第2页（共4页 ） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C C B D D A B D D A B C 第二部分（非选择题 共114分） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．， 14．0.95 15． 16. 三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分） 【详解】解：（1）选择①②③，； 选择①②④，； 选择①③④，； 选择②③④，；（任选一组：6分） （2）①， ， 解得：； ②， ， ， 解得：．（12分） 18．（10分） 【详解】（1）解：， 故答案为：．（4分） （2）解：根据三视图的画法，画出相应的图形如下： （10分） 19．（10分） 【详解】（1）证明：∵， ∴；（4分） （2）解：∵， ∴．（10分） 20．（10分） 【详解】（1）证明：在矩形中，，， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴；（5分） （2）解：∵， ． 在中，， ∴ ．（10分） 21．（10分） 【详解】（1）解：∵对学校部分学生进行了问卷调查， ∴调查方式是抽样调查； 被调查的学生总人数为：（人）； ∴艺术类人数为：（人）， 补全条形统计图如图所示： 故答案为：抽样调查；100．（3分） （2）解：“科技类”所对应的圆心角度数为：， 故答案为：144．（6分） （3）解：设用、表示两名男生，用、、表示三名女生， 画树状图如下： 共20种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有12种， ∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．（10分） 22．（12分） 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， 故的长为230米；（5分） （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴． 故黄老师从山脚A点到达山顶点的路程约为670米．（12分） 23．（10分） 【详解】（1）解：上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是数形结合思想， 故答案为：B；（2分） （2）第一步：将原方程变形为， 第二步：新构图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即， 第三步：得新方程，因为表示边长，解得； 故答案为：，，，，； 画出示意图如下： （6分） （3） ， ， 根据题意可得，， ， 该方程为， ， 解得方程的正根为， 故答案为：．（10分） 24．（12分） 【详解】（1）解：由题意，，，且点为抛物线的顶点， ∴设，把代入，得， 解得， ∴；（4分） （2）解：当， 解得或， ∴当过山车距离水平地面的高度为3米时，此时过山车与点之间的水平距离为米或米；（6分） （3）解：∵，点和点到轴的距离都为2米， ∴抛物线的对称轴为直线，且关于对称轴对称， ∴， ∴当、间的水平距离为米时，，当、间的水平距离为米时，， 把，，代入，得 ，解得； 把，，代入，得 ，解得； ∵、间的水平距离不得少于2米，但又不大于4米， ∴．（12分） 25．（12分） 【详解】（1）∵正方形， ∴，， ∴， ∴当点与点重合时，，， ∴； 故答案为：45，；（3分） （2），理由如下： 延长，交于点，如图， ∵正方形， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴；（7分） （3）作于点，作，交的延长线于点，作于点，作于点，则四边形，四边形均为矩形， ∴，，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长为定值， ∴点在射线上运动， ∴当点与点重合时，的值最小，为的长， ∵正方形的边长为，为正方形的对称中心， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即的最小值为6．（12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 肖 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 典 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题3分，共36分）》 1[A[B][C][D] 5[A]B][C]D] 9[A][B][CD] 2 [A][B][C][D] 6[A]B][C][D] 10[A][B][C]D] 戡 3[AB][C][D] 7[A]B][C][D] 11[A][B][CD] 4[A[B][C][D] 8 [A][B][C][D] 12A][B][C]D] 二、 填空题（每小题4分，共16分） 13. 14. 16 三、解答题（共98分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(12分) 舸 茶 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(10分) 从正面看 从左面看 从上面看 19.(10分) D E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(10分) M D A B 21.(10分) 不人数/名 40 40------ 35 30 ⊙ 10% 25 A 20 20 0 B 15 10 10 5 5 C 0 B C D E类别 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) C 2 B E D 图① 图② 23.（10分) x+5 x+5 x+5 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第了页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) A(E) D B 图1 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6贝（共6贝)一 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题3分，共36分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11[A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共16分） 13．____________________ 14．____________________ 15.____________________ 16．____________________ 三、解答题（共98分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（10分） 19．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（10分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分） 23． （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24． （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $