05 圆锥的体积（导学案）六年级数学寒假自学课（北京版）

05 圆锥的体积 知识点精讲 知识点一 圆锥的体积 内容 圆锥的体积 1、圆锥的体积计算公式。 圆锥的体积=底面积×高×，圆锥的体积计算公式用字母表示是V=Sh。 2、圆柱和圆锥的关系。 （1）等底等高的圆柱与圆锥的体积比是3∶1，即圆柱的体积比圆锥的体积多2倍，也可以说圆锥的体积比圆柱的体积。 （2）等体积等高的圆柱与圆锥的底面积的比是1∶3。 （3）等体积等底面积的圆柱与圆锥的高的比是1∶3。 掌握好圆柱体积和圆锥体积的关系，能够相互运用求其中一个。 【典型例题1】一根圆柱形木料切掉0.6dm3后，正好切成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（ ）dm3。 【典型例题2】一个圆锥形小麦堆，底面周长是12.56米，高1.5米。如果每立方米小麦大约重700千克，这堆小麦大约重（ ）吨。（得数保留一位小数） 【典型例题3】计算下列圆锥的体积。 （1）    （2）    （3） 【典型例题4】据推断，陀螺产生于我国宋朝，相关古籍记载了当时流行于北京的一句童谣“杨柳儿活，抽陀螺同现代的陀螺玩法完全一样。如图，一个陀螺上面是圆柱，且圆锥的高是圆柱高的。已知圆柱的底面直径是10厘米，高是8厘米，这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 【变式训练1】如图，李师傅把一个棱长为3分米的正方体木块，削成一个最大的圆柱，要削去（ ）立方分米的木头，再把这个圆柱削成一个最大的圆锥，还要削去（ ）立方分米的木头。（结果用π表示） 【变式训练2】一个圆锥与一个圆柱的体积比是1∶1，圆柱底面积是圆锥的。如果圆柱高30厘米，那么圆锥高（ ）厘米；如果圆锥高30厘米，那么圆柱高（ ）厘米。 【变式训练3】计算下面图形的体积。 【变式训练4】下面是咖啡店老板制作某种奶咖的过程：（得数可用含有的式子表示） 第一步：在右边圆锥形的杯子中装满咖啡，倒入左边圆柱形杯子中； 第二步：再往圆柱形杯子中倒入牛奶，使奶咖的高度是杯子的。 （1）右边的杯子能装咖啡多少毫升？ （2）倒入的牛奶和咖啡（奶咖）有多少毫升？ 1．如图，圆锥形杯子与圆柱形容器的底面积相等。将圆柱形容器里装满的果汁全部倒入圆锥形杯子中，可以倒满（    ）杯。 A．3 B．6 C．9 D．12 2．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积与圆锥体积的比是（    ）。 A．1∶2 B．2∶1 C．1∶3 D．2∶3 3．把一个圆柱形的铝锭切削成一个最大的圆锥，切削掉的部分重600克，这个圆柱形的铝锭切削前重（    ）克。 A．300 B．400 C．900 D．1800 4．把一个圆柱体木块削成一个最大的圆锥，所得圆锥的体积是72立方厘米，被削去的木块有（    ）立方厘米。 A．24 B．72 C．144 D．216 5．一个圆锥与一个圆柱的底面积相等，已知圆锥与圆柱体积的比是1∶6，圆锥的高是4.8cm，圆柱的高是（    ）cm。 A．28.8 B．9.6 C．1.6 D．0.8 6．陀螺在我国至少有四五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一。聪聪有一个木质陀螺（如图），这个陀螺的体积大约是（ ）cm3。（π取3.14） 7．如图，一个圆锥的高是3厘米，沿着它的高平均切成两部分，表面积增加12平方厘米，原来圆锥的底面直径是（ ）厘米，体积是（ ）立方厘米。 8．如图，一个长方体容器内装有水，已知容器内壁的底面长厘米，宽厘米。现把一个圆柱和一个圆锥浸没于水中，水面上升了厘米，如果圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，圆锥的体积是（ ）立方厘米。若圆锥的底面积是60平方厘米，则圆锥的高为（ ）厘米。 9．如下图，三个量杯从里面量，高度都是9厘米。小冬先把圆锥形量杯盛满水，再把这杯水全部倒进圆柱形量杯中，圆柱形量杯的水面高度是（ ）厘米，接着他又把这些水全部倒进长方体量杯中，长方体量杯的水面高度应为（ ）厘米。（得数保留一位小数） 10．如果把一个圆柱形木块削成一个最大的圆锥后，圆锥的体积是30cm3，那么这个圆柱形木块的体积是（ ）cm3；如果把一个圆柱形木块削成一个最大的圆锥后，削去的体积是30 cm3，那么这个圆锥的体积是（ ）cm3。 11．计算下面图形的体积。（单位：分米） 12．求零件的体积。 13．一个杯子最上面部分是圆柱，中间部分是圆锥，下面是实心的杯挺和底座（如图）。一个底部内直径是10厘米的瓶子里，水的高度是7厘米，把这些水全部倒入图中的杯子里，圆锥顶点到水面的高度是多少厘米？（π取3） 14．近年来，各地积极推动人工智能技术在农业领域的深入应用，大大提高了小麦的收割效率。一个近似圆锥形的小麦堆，底面直径是4米，高是1.5米，每立方米的小麦重0.75吨。王叔叔用一辆空车质量是3吨的卡车一次性运走这堆小麦，能安全地从限重8吨的桥上通过吗？ 15．给一个底面直径是16cm的圆柱形容器装满水，将一个底面周长是25.12cm、高6cm的圆锥形铁块完全没入水中。当从水中取出这个铁块后，容器内的水面下降了多少厘米？ 16．我国农村地区有用竹箩筐装稻谷的习惯，如图，这是一个圆柱形的竹箩筐，从里面量高5分米，底面直径是6分米。 （1）编这个箩筐，要编织多少平方米的竹编？（用“进一法”保留一位小数） （2）在装稻谷时，除了把这个箩筐本身装满外，还可以把稻谷在这个箩筐的上面堆一个高相当于底面直径的圆锥形（如图），这样一共装了多少升的稻谷？ 知识点一： 【典型例题1】0.3 【分析】当从圆柱形木料中切出最大的圆锥时，这个圆锥与原来的圆柱是等底等高的。因为等底等高圆柱体积是圆锥体积的3倍，所以圆柱体积比圆锥体积多的部分就是圆锥体积的2 倍。切掉的就是圆柱体积比圆锥体积多的部分，即这部分体积等于圆锥体积的2倍，由此即可求出圆锥的体积。 【解答】由分析可知， （） 这个圆锥的体积是。 【典型例题2】4.4 【分析】分析题目，先根据圆的半径＝C÷π÷2求出圆锥的底面半径，再根据圆锥的体积＝πr2h求出圆锥的体积，再用圆锥的体积乘每立方米小麦的质量，最后根据1吨＝1000千克把单位换算成吨；注意：结果根据“四舍五入”法保留一位小数。 【解答】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米） 3.14×22×1.5× ＝3.14×4×1.5× ＝12.56×1.5× ＝18.84× ＝6.28（立方米） 6.28×700＝4396（千克） 4396千克＝4.396吨 4.396吨≈4.4吨 一个圆锥形小麦堆，底面周长是12.56米，高1.5米。如果每立方米小麦大约重700千克，这堆小麦大约重4.4吨。（得数保留一位小数） 【典型例题3】（1）60cm3 （2）200.96 cm3 （3）22.608 cm3 【分析】（1）已知圆锥的底面积为36cm2，高为5cm，根据圆锥体积解答即可。 （2）已知圆的底面半径为4cm，高为12cm，根据圆锥体积解答即可。 （3）已知圆的底面直径为4cm，根据半径＝直径÷2，求出圆的半径；根据圆锥的高为5.4cm，根据圆锥体积解答即可。 【解答】（1）（cm3） （2） （cm3） （3）半径：（cm） （cm3） 【典型例题4】785立方厘米 【分析】这个陀螺是圆柱和圆锥的组合体，且圆锥和圆柱的底面是同一个圆（半径相同）。已知圆柱的高，圆锥的高是圆柱高的，用乘法求出圆锥的高。直径除以2即可求得圆柱和圆锥的底面圆半径。根据圆柱体积公式和圆锥体积公式，求出两者体积并相加，即可求得陀螺的体积。 【解答】计算圆锥的高： 计算圆柱和圆锥底面圆半径： 计算圆柱体积： 计算圆锥体积： 求陀螺体积： 答：这个陀螺的体积是785立方厘米。 【变式训练1】27－6.75π 4.5π 【分析】正方体木块削成最大的圆柱形，即正方体的边长即为圆柱形的底面直径和高；圆柱形木头削成圆锥形，即圆柱形的高即为圆锥形的高，圆柱形的底面即为圆锥形的底面，由此即可计算圆柱和圆锥体积，再用原体积分别与计算得出的体积相减即可解得。 【解答】由题，把一个棱长为3分米的正方体木块， 该木块体积为（立方分米），将其削成一个最大的圆柱， 则圆柱的高为3分米，圆柱的底面直径为3分米，半径为3÷2＝1.5分米， 故所削成圆柱的体积为， 即要削去部分的体积为（27－6.75π）立方分米； 将该圆柱削成一个最大的圆锥， 要削成的最大圆锥与圆柱同底同高， 圆锥体积为（立方分米）， 即要削去部分的体积为6.75π－2.25π＝4.5π（立方分米）。 【变式训练2】60 15 【分析】一个圆锥与一个圆柱的体积比是1∶1，说明圆柱的体积与圆锥的体积相等，假设圆锥的底面积是3，则圆柱的底面积是3×，根据圆柱的体积＝底面积×高，求出圆柱的体积，也就是圆锥的体积，根据圆锥的高＝圆锥的体积×3÷底面积求出圆锥的高；如果圆锥高30厘米，用×圆锥的底面积×30，再除以圆柱的底面积即可求出圆柱的高。 【解答】假设圆锥的底面积是3。 3××30×3÷3 ＝2×30×3÷3 ＝60（厘米） ×3×30÷（3×） ＝1×30÷2 ＝15（厘米） 所以如果圆柱高30厘米，圆锥的高是60厘米，如果圆锥高30厘米，那么圆柱高15厘米。 【变式训练3】251.2cm3 【分析】据图可知，图形是由一个底面直径是8厘米高是2厘米的圆柱和一个底面直径是8厘米高是9厘米的圆锥组成，圆柱的体积＝π（d÷2）2h，圆锥的体积＝π（d÷2）2h，据此代入数据列式计算。 【解答】3.14×（8÷2）2×2＋3.14×（8÷2）2×9× ＝3.14×42×2＋3.14×42×9× ＝3.14×16×2＋3.14×16×9× ＝50.24×2＋50.24×9× ＝100.48＋150.72 ＝251.2（cm3） 图形的体积是251.2cm3。 【变式训练4】（1）毫升； （2）毫升 【分析】（1）由图可知，圆锥的底面直径是6厘米，高是8厘米，利用“”求出圆锥形杯子的容积，最后把体积单位转化为容积单位； （2）由题意可知，奶咖的高度＝圆柱形杯子的高度×，利用“”求出奶咖的体积，最后把体积单位转化为容积单位，据此解答。 【解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝（立方厘米） 立方厘米＝毫升 答：右边的杯子能装咖啡毫升。 （2） ＝ ＝ ＝（立方厘米） 立方厘米＝毫升 答：倒入的牛奶和咖啡（奶咖）有毫升。 1．C 【分析】一个等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，由题意可知，圆柱和圆锥的底面积相等，但圆柱的高是圆锥的3倍，相当于求3个等底等高的圆柱的体积是一个等底等高圆锥的几倍。 【解答】3×3＝9（杯） 因此将圆柱形容器里装满的果汁全部倒入圆锥形杯子中，可以倒满9杯。 故答案为：C 2．B 【分析】把一个圆柱削成一个最大的圆锥，此时圆锥与原来圆柱等底等高，则圆柱体积是圆锥体积的3倍；假设圆锥体积是1份，圆柱体积是3份，则削去部分的体积为3－1＝2份；因此削去部分的体积与圆锥体积的比是2∶1。 【解答】把一个圆柱削成一个最大的圆锥，此时圆锥与原来圆柱等底等高，则圆柱体积是圆锥体积的3倍； 3－1＝2 因此削去部分的体积是2份，则削去部分的体积与圆锥体积的比是2∶1。 故答案为：B 3．C 【分析】圆柱的体积＝πr2h，圆锥的体积＝πr2h，据此可知圆柱的体积是和它等底等高的圆锥体积的3倍，把一个圆柱切削成一个最大的圆锥，则切成的圆锥和圆柱等底等高，即切掉的部分占圆柱体积的（1－），根据已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法，用切掉的体积除以（1－）即可得到圆柱的体积。 【解答】600÷（1－） ＝600÷ ＝600× ＝900（克） 把一个圆柱形的铝锭切削成一个最大的圆锥，切削掉的部分重600克，这个圆柱形的铝锭切削前重900克。 故答案为：C 4．C 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝×底面积×高，所以，等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。把一个圆柱体木块削成一个最大的圆锥，此时圆柱与圆锥等底等高，圆锥的体积占圆柱体积的 ，被削去部分占圆柱体积的，则被削去的木块体积是圆锥体积的2倍，据此解答。 【解答】72×2＝144（立方厘米） 被削去的木块有144立方厘米。 故答案为：C 5．B 【分析】已知一个圆锥与一个圆柱的底面积相等，圆锥与圆柱体积的比是1∶6，设圆锥的体积是1cm3，则圆柱的体积是6cm3； 根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的底面积S＝3V÷h，据此求出这个圆锥的底面积，也是圆柱的底面积； 根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，圆柱的高h＝V÷S，据此求出这个圆柱的高。 【解答】设圆锥的体积是1cm3，则圆柱的体积是6cm3； 圆锥的底面积：1×3÷4.8＝0.625（cm2） 圆柱的高：6÷0.625＝9.6（cm） 所以，圆柱的高是9.6cm。 故答案为：B 6．197.82 【分析】分析题目，这个陀螺的体积等于一个底面直径是6厘米高是6厘米的圆柱的体积加上一个底面直径是6厘米高是3厘米的圆锥的体积，圆柱的体积＝π（d÷2）2h，圆锥的体积＝π（d÷2）2h，据此列式计算即可。 【解答】3.14×（6÷2）2×6＋3.14×（6÷2）2×3× ＝3.14×32×6＋3.14×32×3× ＝3.14×9×6＋3.14×9×3× ＝28.26×6＋28.26×3× ＝169.56＋84.78× ＝169.56＋28.26 ＝197.82（cm3） 这个陀螺的体积大约是197.82cm3。 7．4 12.56 【分析】由题意可知：增加的面积即两个以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的三角形的面积，那么一个三角形的面积为12÷2＝6平方厘米，三角形面积公式为：面积＝底×高÷2，则底＝面积×2÷高，已知高为3厘米，则底为6×2÷3＝4厘米（即圆锥的直径），所以圆锥的半径为4÷2＝2厘米，根据圆锥体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把半径2厘米，高3厘米代入公式计算即可。 【解答】12÷2×2÷3＝4（厘米） 4÷2＝2（厘米） 3.14×22×3 ＝3.14×4×3 ＝3.14×4 ＝12.56（立方厘米） 原来圆锥的底面直径是4厘米，体积是12.56立方厘米。 8．300 15 【分析】把一个圆柱和一个圆锥浸没于水中，水面上升了厘米，则上升的水的体积等于圆柱与圆锥的体积和，又知圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，则圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积是3份，它们的体积和是份，根据，代入数据求出上升的水的体积，再除以，得到每份的体积，即圆锥的体积，再根据圆锥的体积公式的逆运算，代入数据计算即可。 【解答】 （立方厘米） （立方厘米） （厘米） 如图，一个长方体容器内装有水，已知容器内壁的底面长厘米，宽厘米。现把一个圆柱和一个圆锥浸没于水中，水面上升了厘米，如果圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，圆锥的体积是300立方厘米。若圆锥的底面积是60平方厘米，则圆锥的高为15厘米。 9．3 2.4 【分析】由图可知，圆锥和圆柱的底面直径都是4厘米，则它们的底面半径相等，，那么圆锥和圆柱的底面积相等，把圆锥形量杯里面的水倒入圆柱形量杯中水的体积不变，由“”可知“”，由“”可知“”，，由此可知，当圆柱和圆锥的体积和底面积分别相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍，即圆锥形量杯的高度是圆柱形量杯水面高度的3倍；先根据“”求出圆柱形量杯中水的体积，长方体量杯的水面高度＝水的体积÷长方体量杯的底面积，据此解答。 【解答】当圆柱和圆锥的体积和底面积分别相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍。 9÷3＝3（厘米） 3.14×（4÷2）2×3÷（4×4） ＝3.14×22×3÷16 ＝3.14×4×3÷16 ＝12.56×3÷16 ＝37.68÷16 ≈2.4（厘米） 所以，圆柱形量杯的水面高度是3厘米，长方体量杯的水面高度应为2.4厘米。 10．90 15 【分析】先明确等底等高的圆柱与圆锥体积关系，用设份数法，根据题目给到的信息，求出一份的体积再求对应的圆柱或圆锥的体积； 把等底等高的圆柱和圆锥中的圆柱体积看成是3份，圆锥是1份，圆锥的体积是30cm³，那么圆柱就是等底等高圆锥体积的3倍； 把等底等高的圆柱和圆锥中的圆柱体积看成是3份，圆锥是1份，削去的体积就应该为（份），求出对应一份的体积即可得到圆锥体积。 【解答】（立方厘米） （份） （立方厘米） 所以，如果把一个圆柱形木块削成一个最大的圆锥后，圆锥的体积是30立方厘米，那么这个圆柱形木块的体积是90立方厘米；如果把一个圆柱形木块削成一个最大的圆锥后，削去的体积是30立方厘米，那么这个圆锥的体积是15立方厘米。 11．81.64立方分米 【分析】已知圆柱和圆锥的底面直径都是4分米，圆柱的高是8分米，圆锥的高是4.5分米，这个图形的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积。先用直径÷2求出半径，再根据圆柱的体积：V＝πr2h，圆锥的体积：V＝πr2h，分别代入数据计算，求出体积，再相减即可。 【解答】（4÷2）2×3.14×8－×（4÷2）2×3.14×4.5 ＝22×3.14×8－×22×3.14×4.5 ＝4×3.14×8－×4×3.14×4.5 ＝100.48－18.84 ＝81.64（立方分米） 这个图形的体积是81.64立方分米。 12．150.72cm3 【分析】观察图形可知，该零件的体积等于圆柱的体积加上圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此代入数值进行计算即可。 【解答】3.14×（4÷2）2×10＋3.14×（4÷2）2×6× ＝3.14×22×10＋3.14×22×6× ＝3.14×4×10＋3.14×4×6× ＝12.56×10＋12.56×6× ＝125.6＋75.36× ＝125.6＋25.12 ＝150.72（cm3） 零件的体积是150.72cm3。 13．13厘米 【分析】根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据，求出瓶子里水的体积；根据圆锥的体积＝底面积×高×，代入数据，求出杯子圆锥部分的体积，再用水的体积－杯子圆锥部分的体积，求出剩下的体积，再根据高＝剩下的体积÷杯子最上面部分的圆柱的底面积，求出它的高度，再加上圆锥部分的高度，即可解答。 【解答】3×（10÷2）2×7 ＝3×52×7 ＝3×25×7 ＝75×7 ＝525（立方厘米） 3×（10÷2）2×9× ＝3×52×9× ＝3×25×9× ＝75×9× ＝675× ＝225（立方厘米） （525－225）÷[3×（10÷2）2] ＝300÷[3×52] ＝300÷[3×25] ＝300÷75 ＝4（厘米） 4＋9＝13（厘米） 答：圆锥顶点到水面的高度是13厘米。 14．能 【分析】圆锥形小麦堆底面直径是4米，那么半径为4÷2＝2米，高是1.5米，根据圆锥体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入计算出体积，然后用体积乘每立方米小麦的重量0.75吨。最后加上卡车自重3吨，判断总重量是否小于桥的限重8吨。 【解答】4÷2＝2（米） ×3.14×22×1.5 ＝×3.14×4×1.5 ＝×3.14×6 ＝2×3.14 ＝6.28（立方米） 6.28×0.75＝4.71（吨） 4.71＋3＝7.71（吨） 7.71＜8 答：能安全地从限重8吨的桥上通过。 15．0.5厘米 【分析】由题意可知，铁块取出后容器里的水会下降，下降的水的体积就是圆锥形铁块的体积；根据圆锥的体积计算公式求出圆锥形铁块的体积，再根据圆柱的高＝体积÷底面积即可解答题目。 【解答】 （厘米） （立方厘米） （平方厘米） （厘米） 答：容器内的水面下降了0.5厘米。 【点睛】解答本题的关键是明白：下降的水的体积等于圆锥形铁块的体积。 16．（1）1.3平方米； （2）160.14升 【分析】（1）由图可知，这个箩筐没有盖子，计算要编织多少平方米的竹编就是计算圆柱的侧面积和一个底面积的和，利用“”求出需要编织竹编的面积； （2）由题意可知，装稻谷的体积等于下面圆柱的体积加上上面圆锥的体积，利用“”“”求出所装稻谷的体积，最后把体积单位转化为容积单位，据此解答。 【解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝122.46（平方分米） 122.46平方分米＝1.2246平方米 1.2246平方米≈1.3平方米 答：编这个箩筐，要编织1.3平方米的竹编。 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝160.14（立方分米） 160.14立方分米＝160.14升 答：一共装了160.14升的稻谷。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $