训练20 导数的综合应用-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

f(2)=号>0，因此函数f(x)不可 3 能有三个零点，C错误；显然f(一1) 号，若(1，子)是切点，则f(-1 0= 3,切线方程为y- 1 =3(x十1)，若 (1,号)不是切点，设过点P(-1 的直线与y=f(x)的图象相切 于点Q(… 3 -1,由f'(x0) =x0 一 2x0 1 3 3 (-1) 解得x。=2, X- 即切点Q(2,),切线方程为y 言周此过(1，写）只可以作两条克 线与y=f(x)的图象相切，D错误.故 选AB. 10.21n2+2 解析：f'(x)=2-e,令f'(x)=0, 得x=ln2,当x∈(-o∞，ln2)时， f'(x)>0,f(x)单调递增，当x∈ (ln2,十∞)时，f(x)<0,f(x)单 调递减，∴.当x=ln2时，f(x)取得 最大值，且最大值为f(ln2)=2n2十2. 11.-4 解析：f'(x)=3x2十2a.x十b,若函数 f(x)在x=一1处有极值8，则 f(-1)=8,f'(-1)=0, 即 -1 d 一b十a2=8解 a=3, 3-2 +b=0, b=3 或 0=二2，当。=3b=3时， b=-7, f(x)=3x2十6x十3=3(x+1)2≥0， 此时x=一1不是极值点，故舍去；当 a=-2,b=-7时，f(x)=3x2 4x-7=(3x-7)(x十1)，当x> 73 或x<-1时，f'(x)>0,当-1< x<号时x)<0,故x=-1是 极值，点，故a=一2，b=一7符合题 意，故f(x)=x-2x2一7x十4，故 f(1)=-4. 2.(号-] 解析：因为(x)=一4x3十3x,所以 f'(x)=-12x2十3，令f'(x)=0, 得x=士声x∈(0，-》 时，f'(x)<0,f(x)单调递减，当 x∈（22）时fx)>0, f(x)单调遂增，当x∈（分，十∞） 时，f(x)<0,f(x)单调递减，所以当 x=- 时，)有极小值，因为品数 f(x)=-4x3十3.x在(a,a+2)上存在 最小值，又f1)=f(号)=-1，所 以a<一子<a+2≤1，解得-号< a≤-1，所以实数a的取值范围是 (-] 13.解：(1)f'(x)= +2x十a,则 x 号+2×2+a=2+a, f(2)= 9 由题意可得（侣+）×（号） -1,解得a=-3. (2)由a=-3,得f(x)=lnx+ x2-3x+2,则f'(x)=1+2x 3=2x-3x+1-2x-10x-1) x x>0,故当0<x<z时，f(x)> 0,当2<x<1时f'(x)<0,当 x>1时，f'(x)>0,故f(x)的单调 递增区间为(0,2），1，十©)，单调 递减区间为（分1），故了x)有极大 值(号)=+（） -3× +2=-n2极小值/= 4 1n1+1-3X1+2=0. 14.解：(1)当a=1,b=-2时，f(x)= h-是-则r)=+ x x? 1=x+x+2x∈0，十0， 令x)=二x+x+2=2,化简 x 得3x2-x-2=0,解得x=1或 (舍去) x=一3 又f(1)=一3，所以曲线y=f(x) 的斜率为2的切线方程为y十3 2(x-1),即2x-y-5=0. (2)由题可得f(x)的定义域为 0,+,Px)=2-名1 -x2+ax-b,因为x=1是f(x) 2 的极小值点，所以f'(1)=-1十a- b=0→a=b十1，所以f'(x)= -x2+6+1)x-b x -(x-1Dx-》,若b≤0，令 x f'(x)>0→x∈(0,1)，令f'(x)< 0→x∈(1，+∞)，则f(x)在(0,1) 上单调递增，在(1，十∞)上单调递 减，得x=1是f(x)的极大值点，不 满足题意；若0<b<1,令f'(x)> 0→x∈(b,1),令f'(x)<0→x∈ (0,b)U(1,十∞)，则f(x)在(b,1) 上单调递增，在(0，b),(1,十∞)上单 调递减，得x=1是(x)的极大值 点，不满足题意；若b=1,则'(x) -(x-1) r? 0(当且仅当x=1时 等号成立)，f(x)在(0，十∞)上单调 递减，无极值点，不满足题意；若b> 1,令f'(x)>0→x∈(1，b),令 f'(x)<0→x∈(0,1)U(b,+∞)， 则f(x)在(1，b)上单调递增，在(0， 1),(b,十∞)上单调递减，得x=1是 f(x)的极小值点，满足题意.综上，若 x=1是f(x)的极小值点，则b>1. 训练20导数的综合应用 ,证明：要证明当a≤分时，fx)< e-sin9,即证明当a≤子时，lnx中 a<e-sin 1 即证明当a≤2时，lnx十a一e十 sin0<0,构造函数h(x)=lnx十a 。+sn0(>0,a≤） 则h'(x)= 一e,函数h(x)= -8 -e在(0，十o∞)上为减函数， )=1-e<0,(号)=2-E> 0,所以存在x。 ∈（，使 h'(zo)= -e0=0,即1=e0, 0 所以在区间(0，x。)上，h'(x)>0, h(x)单调递增，在区间(x。,十∞)上， h'(x)<0,h(x)单调递减，所以 h(x)≤h(xo)=lnx。-e0十a+ sing=ne。-1+a十sin9= 1 -2√2。·+a+m9=-2+a+ sin<0, 即hx)<0,所以当a<时，lnx十 a-e+sin <0, 所以当a≤名时，f(x)<e-sin9. 2.解：(1)由题意得，f(x)=elnx e=e(lnx-1)=0,解得x=e, 即函数f(x)的零点为e. (2).f(x)=elnx-e十a, e[: (z)-elnx+le-= e(nx+1-1）, 令h(x)=lnx十 -1we[] 则h'(x)= 、11=x二1≤0， )在[日1]上单递减， 参考答案525 .h(x)≥h(1)=0,.f'(x)≥0，故 )在[，]上单调遥猫。 ∴.f(x)mx=f(1)=a-e,.a-e≥ 0,即a≥e 3.解：由f(x)≤-er可得lnx-ax ≤-eur, x 则1nx-1 ≤ax-e",即lnx一 x ≤lne 1 x 1 令g(x)=lnx- x>0, 则g(x)≤g(e), :g(x)在(0，十∞)上单调递增， x≤er, 则<aa≥（侣） 令h(x)= ln工，x>0, 则h'(x)= 1-In x 当x∈(0，e)时，h'(x)>0,h(x)单调 递增， 当x∈(e,十o∞)时，h'(x)<0,h(x) 单调递减， ih()m=h(e)= 1 a≥ e 即a的取值范围是 e,+∞). 厂1 4.解：f(x)=aer+(a-2)e-x, 则f'(x)=2ae2+(a-2)e-1= (2e+1)(ae-1), ①当a≤0时，ae-1<0, 即∫'(x)<0,所以f(x)在R上单调 递减，至多有一个零点，不合题意. ②当a>0时，令f(x)>0,则x>-lna, 令f'(x)<0,则x<-lna, 则f(x)在(-lna,十∞)上单调递增， 在(-o∞，一lna)上单调递减. 故当x=-lna时，f(x)取得最小值 f(-lna)=1-1+Ina, 设g(x)=1-1+1nx,x>0,则 x g'(x)= 1+1=+1>0. x 1 故g(x)=1-正+lnx在(0，+∞) 上单调递增，又g(1)=0, (i)当a∈[l,十∞)时，f(-lna)= 1-上十1na≥0，故此时f(x)没有两 a 个零点： (i)当a∈(0,1)时，f(-1na)=1- 1+lna<0, 又f(-2)=ae+(a-2)e2+2> -2e2+2>0, 故f(x)在(-∞，-lna)上有一个零 点， 当x>n3时，由e>e,可得 526红对构·讲与练·高三数学· e>3,即ae>3,得ae-3>0,则 ae+a-3>0, 故e(ae十a-3)>0,即ae2r十ae 3e>0,又易知e>x, 则ae2r+ae2-3e+e-x>0,即 ae2+(a-2)e-x>0, 因此f(x)在（一lna,十o∞）上也有一 个零点 综上，若f(x)有两个零点，则实数a 的取值范围为(0,1). 第四章 三角函数、 解三角形 训练21任意角和弧度制、 三角函数的概念 1.B由受<行<可得，号是第二象 限角.故选B. 2.D设扇形的半径为rcm,则孤长为 1=4rcm,周长为C=1+2r=4r十 2r=6r=12cm,解得r=2,则此扇形 r21 的面积为S=2 ×4×2×2= 8(cm).故选D. 3.C当k=2n(n∈Z)时，2nπ十≤ a≤2nπ十之，n∈Z,此时a表示的范 国与牙≤a≤受表示的范国一样：当 =2n十1(n€Z)时，2n元十π十年号 a≤2nπ十π十2，n∈Z,此时a表示 的范周与x十子<“<x十受表示的 范围一样.故选C. 4.B因为360°=2πrad,所以1°= 180rad.所以-210°=-210× 7π 180rad=-6rad.故选B 5.D由三角函数的定义可知，c0s日>0 时，0的终边在第一、四象限及x轴的 正半轴上，tan00时，0的终边在第 二、四象限，所以cos日>0且tan日<0 时，日为第四象限角.故选D. 6.C由题意得AO=80cm,C为AO的 中点，又45°= ,rad,则该扇形窗子 4 的面积为宁×子0A-0C)=2× 1 X(802-402)=600x(cm2).故 选C. 7.BD对于A选项，1孤度的角就是长 为半径的孤所对的圆心角，故A错误； 对于B选项，若α是第一象限角，则一α 是第四象限角，所以一《十受是第一象 限角，故B正确；对于C选项，当a= 30°，9=390°时，a与B终边重合，但两 个角不相等，故C错误；对于D选项，不 基础版 论是用角度制还是孤度制度量角，由角 度值和孤度值的定义可知角的大小与 所取圆的半径无关，故D正确.故选D. 8.BC依题意日= 5π+2kπ，k∈Z, 当北=1时0=经当6=2时0 11,故选BC, 9.AB由题意知sina<0,cosa>0, tana<0,则in>0,故A正确； tan a cosa-sina>0,故B正确；sina· cosa<0,故C错误；sina十cosa的符 号不确定，故D错误.故选AB. 0.6 5 -1 解析：由题意sina= √2+(-1) √ 5 cos a 36 √22+(-1) 所以sina十cosa= 5 5 .a=x+吾ez 解折：直线y=气的领针角是名。 所以终边落在直线y= x上的角 3 的取值集合为{aa=kπ十石， k∈Z. 12.8 解析：设扇环ABCD所对的圆心角为 a,可得l1=a·OA,l2=Q·OB,因为 =3，所以0A =3,又因为 l2 OB S扇形A0D= 21·OA,S都月 之40B,所以-：00 S扇形B0r l2·OB 9,所以S四=8，即三=8. S角wBOC S. 13.解：(1)因为a=1200°=1200× g-警+8×2 180=3 所以角a与号的终边相同， 又号<答<，所以角。是第二家 3 限角， (2)因为与角a终边相同的角（含角α 在内)为2+2k元，k∈Z. 3 所以由一4怀≤答十2kx≤0，得 7 1 3 ≤k≤-3 因为k∈Z,所以k=一2或k=一1. 当k=一2时， 2+2×(-2)元=-10m, 3 当k=-1时，班级： 姓名： 训练20 导数的综合应用 (总分：60分) 1.(13分)已知函数f(x)=lnx+a(a∈R),求证： 2.(13分)已知函数f(x)=elnx-e十a. 当a≤时，f)<e-sin0. 得分 得分 (1)若a=0,求函数f(x)的零点； 2)若3x。∈1，使得f(xo)≥0成立，试求 a的取值范围. (横线下方不可作答)299]第三章一元函数的导数及其应用 ■ ■ 3.(17分)已知函数f(x)=1nx-ax-1.若 4.(17分)已知函数f(x)=ae2+(a-2)e-x.若 f(x)有两个零点，求实数a的取值范围， f(.x)≤一ea恒成立，求实数a的取值范围. 得分 得分■ 红对勾·讲与练300] 高三数学·基础版 ■