训练19 导数与函数的极值，最值-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

班级： 姓名： 训练19 导数与函数的极值、最值 (总分：100分) 一、单项选择题（每小题5分，共30分） A.y=fx是偶函数 1.函数f(x)的定义域为(a,b),导 i(x) =f'(x) 函数f'(x)在(a,b)内的图象如 B.g(x)既有最大值又有最小值 图所示，则函数f(x)在(a,b)内 C.t(x)的单调递增区间为(1，+∞)，单调递减区 极小值点的个数是 间为(-∞，0)和(0,1) A.1 B.2 D.h(x)的最大值等于t(x)的最小值 C.3 D.4 8.已知函数f(x)= +-2x十1，若两数 2.函数f(x)=x2+2lnx一x的极值点有( A.无数个 B.2个 f(x)在(2a,2a+3)上存在最小值，则a的可能取 C.1个 D.0个 值为 () 3卫知数)-二e,则 1 A.一2 B专 A.f(x)有极大值，无极小值 C.-1 D.0 B.f(x)无极大值，有极小值 9.定义：设f'(x)是f(x)的导函数，"(x)是函数 C.f(x)既有极大值，也有极小值 f'(x)的导函数，若方程f”(x)=0有实数解xo, D.f(x)既无极大值，也无极小值 则称点(xo,f(xo)为函数y=f(x)的“拐点”.经 4函数fx)=-x十3在区间(0，十0)上的最 过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐 点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数 小值为 f(x)=ax+x2+5（(ab≠0)图象的对称中心 A.22 B.25 3 C.22-1 D.2√5-1 为(1,1)，则下列说法中正确的有 5卫知f0)=-+1-mx-十2没有按 1 A.a=3b=-1 值，则实数m的取值范围为 ( B.函数f(x)既有极大值又有极小值 A.(0,2) C.函数f(x)有三个零点 B.(-∞，0)U(2,十∞) D.过(1，写)可以作三条直线与y=x)的图 C.[0,2] D.(-∞，0]U[2,+∞) 象相切 6.若函数f(x)=2e2x十(a一2)e十x有两个极值 三、填空题（每小题5分，共15分） 点，则a的取值范围是 10.已知函数f(x)=2(x+2)一e,则f(x)的最大 A.(-∞，-2) B.(-∞，-1) 值为 得分 C.(-o∞，1) D.(-∞，2) 11.已知函数f(x)=x3+a.x2+bx十a2在x=-1 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 处有极值8，则f(1)= 得分 7.已知f(x)=xe,g(x)=xe,h(x)= e ,t(x) 12.若函数f(x)=一4x3+3x在(a,a+2)上存在最 小值，则实数a的取值范围是 e,则下列说法正确的是 得分 (横线下方不可作答) 297 第三章一元函数的导数及其应用 四、解答题（共37分） 14.(19分)(2025·八省联考)已知函数f(x)= 13.(18分)(2024·九省联考)已知函数f(x) alnx+ x 得分☐ 1nx+x2+a.x+2的图象在点(2，f(2)处的切 线与直线2x+3y=0垂直. 得分 (1)设a=1,b=-2,求曲线y=f(x)的斜率为 2的切线方程； (1)求a的值： (2)若x=1是f(x)的极小值点，求b的取值 (2)求f(x)的单调区间和极值. 范围 红对勾·讲与练298 高三数学·基础版 ■所以f(x)在（∞，2lna）上单调 递减，在(21na,十∞）上单调递增. 综上，当a≤0时，f(x)在R上单调 递增； 当a>0时.fx)在(-，na） 上单调递减，在（分1na,十∞）上单 调递增。 14解：f()=a(1-）- z-1)ax=2(z>0),由fx) u-(层)) 0→x1=1,x2= ①当0<a<2时√a >1, x∈(0,1)或x∈ f'(x)>0,x∈ √)时 f'(x)<0, 所以f(x)在(0,1)上单调递增，在 (√层)上单谓递诚，在（√ 2 十∞)上单调递增. =1 ②当a=2时√a x∈(0，十∞)时，f'(x)≥0，所以 f(x)在(0，十∞)上单调递增. ∠1 ③当a>2时0<√ e(o层)或xe1,+)时。 f'(x)>0,x f'(x)<0, 所以)在(0√层)上单调适培。 在（√侣）上单调递减，在1 十∞)上单调递增。 训练19导数与函数的 极值、最值 1.Af'(x)>0,函数f(x)单调递增， f'(x)<0,函数f(x)单调递减，由题 中导函数f'(x)的图象知，导函数'(x) 的图象在(a,b)内与x轴有四个交点： 从左向右看，第一个，点处导数值左正 右负，是极大值点，第二个点处导数值 左负右正，是极小值点，第三个点处导 数值左正右正，没有变号，所以不是极 值点，第四个点处导数值左正右负，是 极大值，点，所以函数f(x)在区间(a, b)内的极小值，点有1个.故选A. 524红对构·讲与练·高三数学· 2.D由题意得f(x)=2z十2-1= 2x2-x+2,且x∈(0，十∞)，令 g(x)=2x2-x+2,x∈(0，+o∞)， 而△=(-1)2-4×2X2<0,故 g(x)>0恒成立，所以f'(x)>0在 (0,十∞)上恒成立，即f'(x)=0无 解，故函数没有极值点.故选D. 3.Cf(x)定义域为(-o∞，1)U(1,十o∞)， 且f'(x)= x(2x-3) (x-1)e,由f)>0, 可得x∈(-00U(含+)，所 以f)在(-0,0.（侵+∞）上单 调递增；由f'(x)<0,可得x∈(0， DU(1,2）,所以fx)在0,1. (1,）上单调递减.所以fx)有极 大值f(0),有极小值（三）.故选C. 4.Df'(x)= (2.x-1)x-(x2-x十3) x-3=(x十5)(x-5) T? ,x>0, x 所以在区间(0，√)上，f(x)<0, f(x)单调递减，在区间（√3，十∞）上， f(x)>0,f(x)单调递增，所以 f(x)在区间(0，十∞)上的最小值为 fw5)=3-5+3-6-5=2 √5 √3 1.故选D. 5.Cf'(x)=-x2+(2-2m)x-1. .f(x)在R上没有极值，.△=(2 2m)2-4≤0，即4m2-8m=4m(m- 2)≤0，解得0≤m≤2，即实数m的取 值范围为[0,2].故选C. 6.Af(x)的定义域为R,f'(x)= 4e2r+(a-2)e十1，要使f(x)有两 个极值点，则f'(x)有两个变号零，点， 即方程f'(x)=4e2x十(a-2)e 1=0有两个不同的实数根，令e”= t,则t>0,因为函数y=e在R上单 调递增，所以对任意入>0，存在唯一 x。∈R使得e。=入，故只需方程 4t+(a-2)t十1=0在(0，+∞)有 两个不同的实数根，即2一a=4t十 1 =4,当 且仪声1=，甲1=子时等号成 立，所以2-a>4,即a<-2.故选A 7.AC对于A,因为y= t(x) =x,其定义城为{红x≠0}，所 e 以y三{号是偶函数，故A正确：对 于B,因为g(x)=x2e的定义域为 基础版 R,g(x)=(x2十2x)e,令g'(x)= 0,得x=0或x=-2,令g'(x)>0, 得x>0或x<-2,令g(x)<0, 得一2<x<0,所以g(x)在（一o, 一2)和(0，十∞)上单调递增，在（一2， 0)上单调递减，当x→一∞时，g(x)→ 0,当x→十∞时，g(x)→十∞，所以 g(x)仅有最小值无最大值，故B不正 确：对于C,因为(x)=e(x-D (x≠0)，x∈(1，十o∞)时，t'(x)> 0,x∈(-o∞，0)U(0,1)时，t'(x) 0,所以t(x)在(1，十o∞)上单调递增， 在（一∞，0）和(0,1)上单调递减，故C 正确：对于D,因为h'(x)=12。 x∈(1，十o∞)时，h'(x)<0,x∈ (-∞，1)时，h'(x)>0,所以h(x)在 (1,十o∞)上单调递减，在（一∞，1）上 单调递增，所以h(x)的最大值为 h(1)= 上，而当x<0时，t(x)<0, 所以t(x)=三无最小值，故D不正 确.故选AC. 8.AD .f(x)= 1,∴.f'(x)=x2十x-2=(x十 2)(x-1),当-2<x<1时，f'(x)< 0,故f(x)在（一2,1）上单调递减，当 x<-2或x>1时，f(x)>0,故 f(x)在(-o∞，-2)，(1，十∞)上单调 递增，.函数f(x)在x=1处取得极 小值，在x=一2处取得极大值.令 f(x)=f(1),解得x=1或x= 一2，”函数f(x)在(2a,2a十3)上 存在最小值，且(2a,2a十3)为开区间， -≤2a<1<2a+3,解得-1 .1 a<2故选AD, 9.AB由f)=aa+bx2+号求号 得f'(x)=3a.x2+2bz,f"(x)= 6ax+2b,令f"(x)=0,得x=一3a 由函数f(z)=Qx十bx”号图象的 对称中心为11)，得一品 b=1,且 f1D=a十b十号=1，解得a=3 5 1 b=-1.A正确：于是)=子 5 x2+号f'x)=x-2x=xx 2),当x<0或x>2时，f'(x)>0, 当0<x<2时，f'(x)<0,则函数 f(x)在（一oo,0),(2,十∞）上单调递 增，在(0,2)上单调递减，因此函数 3,又有极 f(x)既有极大值f(0)= 小值f(2)三。，B正确；由于极小值 f(2)=号>0，因此函数f(x)不可 3 能有三个零点，C错误；显然f(一1) 号，若(1，子)是切点，则f(-1 0= 3,切线方程为y- 1 =3(x十1)，若 (1,号)不是切点，设过点P(-1 的直线与y=f(x)的图象相切 于点Q(… 3 -1,由f'(x0) =x0 一 2x0 1 3 3 (-1) 解得x。=2, X- 即切点Q(2,),切线方程为y 言周此过(1，写）只可以作两条克 线与y=f(x)的图象相切，D错误.故 选AB. 10.21n2+2 解析：f'(x)=2-e,令f'(x)=0, 得x=ln2,当x∈(-o∞，ln2)时， f'(x)>0,f(x)单调递增，当x∈ (ln2,十∞)时，f(x)<0,f(x)单 调递减，∴.当x=ln2时，f(x)取得 最大值，且最大值为f(ln2)=2n2十2. 11.-4 解析：f'(x)=3x2十2a.x十b,若函数 f(x)在x=一1处有极值8，则 f(-1)=8,f'(-1)=0, 即 -1 d 一b十a2=8解 a=3, 3-2 +b=0, b=3 或 0=二2，当。=3b=3时， b=-7, f(x)=3x2十6x十3=3(x+1)2≥0， 此时x=一1不是极值点，故舍去；当 a=-2,b=-7时，f(x)=3x2 4x-7=(3x-7)(x十1)，当x> 73 或x<-1时，f'(x)>0,当-1< x<号时x)<0,故x=-1是 极值，点，故a=一2，b=一7符合题 意，故f(x)=x-2x2一7x十4，故 f(1)=-4. 2.(号-] 解析：因为(x)=一4x3十3x,所以 f'(x)=-12x2十3，令f'(x)=0, 得x=士声x∈(0，-》 时，f'(x)<0,f(x)单调递减，当 x∈（22）时fx)>0, f(x)单调遂增，当x∈（分，十∞） 时，f(x)<0,f(x)单调递减，所以当 x=- 时，)有极小值，因为品数 f(x)=-4x3十3.x在(a,a+2)上存在 最小值，又f1)=f(号)=-1，所 以a<一子<a+2≤1，解得-号< a≤-1，所以实数a的取值范围是 (-] 13.解：(1)f'(x)= +2x十a,则 x 号+2×2+a=2+a, f(2)= 9 由题意可得（侣+）×（号） -1,解得a=-3. (2)由a=-3,得f(x)=lnx+ x2-3x+2,则f'(x)=1+2x 3=2x-3x+1-2x-10x-1) x x>0,故当0<x<z时，f(x)> 0,当2<x<1时f'(x)<0,当 x>1时，f'(x)>0,故f(x)的单调 递增区间为(0,2），1，十©)，单调 递减区间为（分1），故了x)有极大 值(号)=+（） -3× +2=-n2极小值/= 4 1n1+1-3X1+2=0. 14.解：(1)当a=1,b=-2时，f(x)= h-是-则r)=+ x x? 1=x+x+2x∈0，十0， 令x)=二x+x+2=2,化简 x 得3x2-x-2=0,解得x=1或 (舍去) x=一3 又f(1)=一3，所以曲线y=f(x) 的斜率为2的切线方程为y十3 2(x-1),即2x-y-5=0. (2)由题可得f(x)的定义域为 0,+,Px)=2-名1 -x2+ax-b,因为x=1是f(x) 2 的极小值点，所以f'(1)=-1十a- b=0→a=b十1，所以f'(x)= -x2+6+1)x-b x -(x-1Dx-》,若b≤0，令 x f'(x)>0→x∈(0,1)，令f'(x)< 0→x∈(1，+∞)，则f(x)在(0,1) 上单调递增，在(1，十∞)上单调递 减，得x=1是f(x)的极大值点，不 满足题意；若0<b<1,令f'(x)> 0→x∈(b,1),令f'(x)<0→x∈ (0,b)U(1,十∞)，则f(x)在(b,1) 上单调递增，在(0，b),(1,十∞)上单 调递减，得x=1是(x)的极大值 点，不满足题意；若b=1,则'(x) -(x-1) r? 0(当且仅当x=1时 等号成立)，f(x)在(0，十∞)上单调 递减，无极值点，不满足题意；若b> 1,令f'(x)>0→x∈(1，b),令 f'(x)<0→x∈(0,1)U(b,+∞)， 则f(x)在(1，b)上单调递增，在(0， 1),(b,十∞)上单调递减，得x=1是 f(x)的极小值点，满足题意.综上，若 x=1是f(x)的极小值点，则b>1. 训练20导数的综合应用 ,证明：要证明当a≤分时，fx)< e-sin9,即证明当a≤子时，lnx中 a<e-sin 1 即证明当a≤2时，lnx十a一e十 sin0<0,构造函数h(x)=lnx十a 。+sn0(>0,a≤） 则h'(x)= 一e,函数h(x)= -8 -e在(0，十o∞)上为减函数， )=1-e<0,(号)=2-E> 0,所以存在x。 ∈（，使 h'(zo)= -e0=0,即1=e0, 0 所以在区间(0，x。)上，h'(x)>0, h(x)单调递增，在区间(x。,十∞)上， h'(x)<0,h(x)单调递减，所以 h(x)≤h(xo)=lnx。-e0十a+ sing=ne。-1+a十sin9= 1 -2√2。·+a+m9=-2+a+ sin<0, 即hx)<0,所以当a<时，lnx十 a-e+sin <0, 所以当a≤名时，f(x)<e-sin9. 2.解：(1)由题意得，f(x)=elnx e=e(lnx-1)=0,解得x=e, 即函数f(x)的零点为e. (2).f(x)=elnx-e十a, e[: (z)-elnx+le-= e(nx+1-1）, 令h(x)=lnx十 -1we[] 则h'(x)= 、11=x二1≤0， )在[日1]上单递减， 参考答案525