训练18 导数与函数的单调性-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

意义，得a(cos0-0Xsin0)=a= -1. 1.- 解析：因为f(x)的图象在(1，f(1)) 处的切线方程为x一2y十1=0，所以 了(=子，又了u)为%画教，图象 关于y轴对称，所以'（一1）= -f'1)=-2 1 12.(e2,e) 解析：函，数f(x)=alnx的定义域为 0.+o)fx)=是g)= ，设曲线y=f(x)=anx与 2√x 曲线y=g(x)=√五的公共点为 （x0y0),x。>0,由于在公共点处有 共同的切线，所以1 口，所以 2√0 x0=4a2(a>0),由f(xo) g(xo),可得alnx。=√x。,联立 x0=4a, 解得x。=e,所以 aln zo=√ao, y。=e,所以公共点坐标为(e2,e). 18解：1y=之e2-12z+5. y=2×2十4 1 25×2x+5)'三2e2×2→ 2x十5×2=e心州-2z5 2 (2)由(1)知y'=e2+1 2 2x十5’ yx=-2=1-2=-1该函数 的图象在x=一2处的切线的倾斜角 为 14.解：设曲线y=f(x)=lnx十1，曲线 y=g(x)=e-1的切点分别为 (x1f(x1）),(x2g(x2）), 因为f(x)=正g'x)=e, 故曲线y=f(x)=lnx十1，曲线 y=g(x）=e一1在切点处的切线 方程分别为y=（:一) lnx1+1→y=—x十lnx1, y=e2(x-x2)+e2-1→y= e2x-x2e2十e2-1,则需满足 1 =e2, In zi =-z2e"2 +e-1, 故1n。=e3+e3-1(e 1)(x2-1)=0,解得x2=0或x2= 1,因此曲线y=f(x)与曲线y g(x)有两条不同的公切线. 训练18导数与函数的单调性 1.B由题意得y=f'(x)>0,则由题 图可知e(1)U(停号)改 y=fx)的单调递增区间为(-1,2小 (告，）选B 2.B由函数f(x)=x2(x-3),可得 f(x)的定义域为(-∞，十∞)，且 f(x)=3x2-6x=3x(x-2),令 f(x)<0,可得0<x2,令 f(x)>0,可得x0或x>2,所以 f(x)在区间(0,2)内单调递减，在 (-∞，0)和(2，十∞)内单调递增，由 (侵十四)正2.十0)，所以A错误： 由（合，）0,2)，所以B正确：由 (-2,1)车（一∞，0），所以C错误；由 (-∞，一2)二（一∞，0），所以D错误. 故选B. 3 3.B由题意可得f'(x)=之x-a≤ 0在[1,4幻上恒成立，故a≥ x在 3 [1,41上恒成主，由（停）=会× 3、 max 42=24,故a≥24.故选B. 4.C“f'(x)=2x-2 2(x十1)(x-1D,又画教f(x)的定 义域是(0，十∞)，当0<x<1时， f'(x)<0,当x>1时，f'(x)>0,故 函数f(x)在(0,1)上单调递减，在 (1,十∞)上单调递增， }1释1≤<E 故选C. 5.C由题意可得f'(x)=a-x+22 0在区间(2,3)上恒成立，所以a≥ x十2，设画教g(x)=x十2x∈(2， 3),易得g(x)在(2,3)上单调递减，故 1 a≥g2)=子，即a的最小值为子.故 选C. 6.D设fx)=血二，则f'(x) 1-ln工，当x>e时，lnx>1,可得 f'(x)<0,可知f(x)在(e,+∞)上 单调递减，因为a= In e 2 e2 f(e'),b=In2=In4 =f(4),c 2 4 ln3=f(3),且e2>4>3>e,则 3 f(e)f(4)f(3),所以ab c.故选D. 7.AC由f(x)=e十x→f(x)= e十1>0，所以f(x)在定义域R上是 增函数，故A正确；由(x)= xe→f'(x)=(x十1)e,当x<-1 时，f'(x)<0,当x>-1时，f'(x) 0,所以f(x)在定义域R上不是增函 数，故B错误；由f(x)=x sinx→f'(x)=1-cosx≥0，所以 f(x)在定义域R上是增函数，故C正 确；f(zx)=x2一lnx的定义域为 (0,十∞)f'(x)=2x-1= 1xe(6号)时f< x 0当e(停+)时f)>0 所以∫(x)在定义域内不是增函数，故 D错误.故选AC. 8.ABD因为f'(x)=-3x2十8x-4, 令f(x)<0可得-3x2+8x-4< 0,解得x>2或x< 号，所以f)的 单调递减区问为（©，号）和(2， +),且(2，号)e(号） (2,-)=(0,）2,)s (2,十∞).故选ABD. 9.BD令g(x)=x2f(x),则g'(x)= x[xf'(x)十2f(x)],因为x>0时， xf'(x)十2f(x)>0,所以g'(x)> 0,则g(x)=x2f(x)在(0，十∞)上 单调递增，又y=x”是偶函数，且 f(x)是定义在R上的奇函数，所以 g(x)=x2f(x)是定义在R上的奇函 数，且g(0)=0,则g(x)在R上单调 递增，所以g(2)>g(1),即4f(2)> f(1),故A错误；g(-1)>g(-2),即 f(-1)>4f(-2),故B正确：g(3)> g(2),即9f(3)>4f(2),故C错误： g(-2)>g(-3),即4f(-2)> 9f(-3),故D正确.故选BD. 10.(2,十∞) 解析：函数f(x)的定义域为R,求导 得f'(x)=(x-2)e,由f'(x)>0, 解得x>2,所以f(x)的单调递增区 间是(2，十∞). 11.(-0,0] 解析：因为函数y=ax3一x在R上是 减函数，所以y=3ax2-1≤0恒成 立，当a=0时，y=-1<0成立，符 合题意；当a≠0时，要使y'=3ax2 1≤0恒成立，由二次函数的性质，只 需a<0.综上所述，a≤0. 12.(0,十∞) 解析：构造F(x)=f(x)·e,所以 F'(x)=f'(x)·er十f(x)·2e= e2[f'(x)十2f(x)]>0,所以F(x) 在R上单调递增，且F(0)=f(0)· e=1,不等式fx)>。云可化为 f(x)e2r>1,即F(x)>F(0),所以 x>0,所以原不等式的解集为 (0,十0∞). 13.解：(1)f'(x)=2e2r-(a+b),由题 知f(0)=2-(a十b)=2-2a, 整理得a=b. (2)由(1)知，f'(x)=2e2-2a, 当a≤0时，f'(x)>0恒成立，此时 f(x)在R上单调递增； 当a>0时，令f'(x)=2er-2a= 0,解得z-之h… 当x<na时f'x)<0,当x> 2lna时f'(x)>0 参考答案523 所以f(x)在（∞，2lna）上单调 递减，在(21na,十∞）上单调递增. 综上，当a≤0时，f(x)在R上单调 递增； 当a>0时.fx)在(-，na） 上单调递减，在（分1na,十∞）上单 调递增。 14解：f()=a(1-）- z-1)ax=2(z>0),由fx) u-(层)) 0→x1=1,x2= ①当0<a<2时√a >1, x∈(0,1)或x∈ f'(x)>0,x∈ √)时 f'(x)<0, 所以f(x)在(0,1)上单调递增，在 (√层)上单谓递诚，在（√ 2 十∞)上单调递增. =1 ②当a=2时√a x∈(0，十∞)时，f'(x)≥0，所以 f(x)在(0，十∞)上单调递增. ∠1 ③当a>2时0<√ e(o层)或xe1,+)时。 f'(x)>0,x f'(x)<0, 所以)在(0√层)上单调适培。 在（√侣）上单调递减，在1 十∞)上单调递增。 训练19导数与函数的 极值、最值 1.Af'(x)>0,函数f(x)单调递增， f'(x)<0,函数f(x)单调递减，由题 中导函数f'(x)的图象知，导函数'(x) 的图象在(a,b)内与x轴有四个交点： 从左向右看，第一个，点处导数值左正 右负，是极大值点，第二个点处导数值 左负右正，是极小值点，第三个点处导 数值左正右正，没有变号，所以不是极 值点，第四个点处导数值左正右负，是 极大值，点，所以函数f(x)在区间(a, b)内的极小值，点有1个.故选A. 524红对构·讲与练·高三数学· 2.D由题意得f(x)=2z十2-1= 2x2-x+2,且x∈(0，十∞)，令 g(x)=2x2-x+2,x∈(0，+o∞)， 而△=(-1)2-4×2X2<0,故 g(x)>0恒成立，所以f'(x)>0在 (0,十∞)上恒成立，即f'(x)=0无 解，故函数没有极值点.故选D. 3.Cf(x)定义域为(-o∞，1)U(1,十o∞)， 且f'(x)= x(2x-3) (x-1)e,由f)>0, 可得x∈(-00U(含+)，所 以f)在(-0,0.（侵+∞）上单 调递增；由f'(x)<0,可得x∈(0， DU(1,2）,所以fx)在0,1. (1,）上单调递减.所以fx)有极 大值f(0),有极小值（三）.故选C. 4.Df'(x)= (2.x-1)x-(x2-x十3) x-3=(x十5)(x-5) T? ,x>0, x 所以在区间(0，√)上，f(x)<0, f(x)单调递减，在区间（√3，十∞）上， f(x)>0,f(x)单调递增，所以 f(x)在区间(0，十∞)上的最小值为 fw5)=3-5+3-6-5=2 √5 √3 1.故选D. 5.Cf'(x)=-x2+(2-2m)x-1. .f(x)在R上没有极值，.△=(2 2m)2-4≤0，即4m2-8m=4m(m- 2)≤0，解得0≤m≤2，即实数m的取 值范围为[0,2].故选C. 6.Af(x)的定义域为R,f'(x)= 4e2r+(a-2)e十1，要使f(x)有两 个极值点，则f'(x)有两个变号零，点， 即方程f'(x)=4e2x十(a-2)e 1=0有两个不同的实数根，令e”= t,则t>0,因为函数y=e在R上单 调递增，所以对任意入>0，存在唯一 x。∈R使得e。=入，故只需方程 4t+(a-2)t十1=0在(0，+∞)有 两个不同的实数根，即2一a=4t十 1 =4,当 且仪声1=，甲1=子时等号成 立，所以2-a>4,即a<-2.故选A 7.AC对于A,因为y= t(x) =x,其定义城为{红x≠0}，所 e 以y三{号是偶函数，故A正确：对 于B,因为g(x)=x2e的定义域为 基础版 R,g(x)=(x2十2x)e,令g'(x)= 0,得x=0或x=-2,令g'(x)>0, 得x>0或x<-2,令g(x)<0, 得一2<x<0,所以g(x)在（一o, 一2)和(0，十∞)上单调递增，在（一2， 0)上单调递减，当x→一∞时，g(x)→ 0,当x→十∞时，g(x)→十∞，所以 g(x)仅有最小值无最大值，故B不正 确：对于C,因为(x)=e(x-D (x≠0)，x∈(1，十o∞)时，t'(x)> 0,x∈(-o∞，0)U(0,1)时，t'(x) 0,所以t(x)在(1，十o∞)上单调递增， 在（一∞，0）和(0,1)上单调递减，故C 正确：对于D,因为h'(x)=12。 x∈(1，十o∞)时，h'(x)<0,x∈ (-∞，1)时，h'(x)>0,所以h(x)在 (1,十o∞)上单调递减，在（一∞，1）上 单调递增，所以h(x)的最大值为 h(1)= 上，而当x<0时，t(x)<0, 所以t(x)=三无最小值，故D不正 确.故选AC. 8.AD .f(x)= 1,∴.f'(x)=x2十x-2=(x十 2)(x-1),当-2<x<1时，f'(x)< 0,故f(x)在（一2,1）上单调递减，当 x<-2或x>1时，f(x)>0,故 f(x)在(-o∞，-2)，(1，十∞)上单调 递增，.函数f(x)在x=1处取得极 小值，在x=一2处取得极大值.令 f(x)=f(1),解得x=1或x= 一2，”函数f(x)在(2a,2a十3)上 存在最小值，且(2a,2a十3)为开区间， -≤2a<1<2a+3,解得-1 .1 a<2故选AD, 9.AB由f)=aa+bx2+号求号 得f'(x)=3a.x2+2bz,f"(x)= 6ax+2b,令f"(x)=0,得x=一3a 由函数f(z)=Qx十bx”号图象的 对称中心为11)，得一品 b=1,且 f1D=a十b十号=1，解得a=3 5 1 b=-1.A正确：于是)=子 5 x2+号f'x)=x-2x=xx 2),当x<0或x>2时，f'(x)>0, 当0<x<2时，f'(x)<0,则函数 f(x)在（一oo,0),(2,十∞）上单调递 增，在(0,2)上单调递减，因此函数 3,又有极 f(x)既有极大值f(0)= 小值f(2)三。，B正确；由于极小值班级： 姓名： 训练18 导数与函数的单调性 (总分：100分) 一、单项选择题（每小题5分，共30分） 6.三个数a=2, 1.函数y=f(x)在定义域 62。的大小顺序为 3 y=f'(x) (←多3)内可导，记y A.b<c<a B.b<a<c f(x)的导函数为y 28 C.c<a<b D.a<b<c f(x),y=f'(x)的图象 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 如图所示，则y=f(x)的单调递增区间为( 7.下列函数在定义域上为增函数的有 A(-2-112) A.f(x)=e+x B(1,2)() B.f(x)=xe" C.f(x）=x-sinx c.(1,-3)(待2 D.f(x)=x2-Inx D.(多，-()(3) 8.下列区间中能使函数f(x)=一x3十4x2一4x单 调递减的是 () 2.已知函数f(x)=x2(x一3)，则 Af)在（号+∞）内单调递增 A(2》 B(2-) B.f(z 在（分）内单调递诚 c(2) D.(2,+∞) 9.f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，有 C.f(x)在(-2,1)内单调递增 D.f(x)在（一∞，一2）内单调递减 xf'(x)+2f(x)>0恒成立，则 1 A.f(1)>4f(2) 3.若函数f(x)= 2x-ax+4在区间[1,4]上单调 B.f(-1)>4f(-2) 递减，则a的取值范围是 C.4f(2)>9f(3) A.(24,+∞) B.[24,+o∞) D.4f(-2)>9f(-3) c.(+) n[+) 三、填空题（每小题5分，共15分） 4.已知函数f(x)=x2-21nx在区间(k2-1,k+1) 10.(2025·广东东莞四中阶段测试)函数f(x)= 上不单调，则k的取值范围是 (x一3)e,则f(x)的单调递增区间是 A.(1,2) B.(W2,2) 得分 C.[1,√2) D停w 11.函数y=ax3一x在R上是减函数，则实数a的取 值范围是 得分 5.已知函数f(x)=a.x-1n(x+2)在区间(2,3)上 12.若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)十 单调递增，则a的最小值为 ) A.1 B.2 2f(x)>0,且f(0)=1,则不等式f(x)> 的 C. D号 解集为 得分 (横线下方不可作答) 295 第三章 一元函数的导数及其应用 ■ 四、解答题（共37分） 14.(20分)已知f(x)=a(x-1nx)+2-1 13.(17分)(2025·广西桂平模拟)已知函数f(x)= e2r-(a+b)x+2,且曲线y=f(x)在点(0， 0),讨论f(x)的单调性。 得分 f(0)处的切线的斜率为2-一2a. 得分 (1)比较a和b的大小： (2)讨论f(x)的单调性. 红对勾·讲与练296] 高三数学·基础版 ■