训练16 函数模型的应用-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

班级： 姓名： 训练16 函数模型的应用 (总分：100分) 一、单项选择题（每小题5分，共30分） 6.某灭活疫苗的有效保存时间T(单位：h)与储藏的 1.某种细菌在培养过程中，每15min分裂一次（由1 温度t(单位：℃)满足的函数关系为T=e+(k,b 个分裂成2个)，这种细菌由1个分裂成4096个需 为常数，其中e=2.71828…,是自然对数的底数)， 经过的时间是 ( 超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在0℃时 A.12 h B.4 h C.3 h D.2 h 的有效保存时间是1080h,在10℃时的有效保存 2.兔子和乌龟赛跑，领先的兔子看着慢慢爬行的乌 时间是120h,则该疫苗在15℃时的有效保存时 龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快 间为 到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是 A.15h B.30h C.40h D.60h 先到达了终点.若S1,S2分别表示乌龟和兔子所 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 行的路程，t表示时间，则下列图象中与故事情节 7.某单位准备印制一批证书， /仟元 相吻合的是 ) 现有两个印刷厂可供选择， 甲 甲厂费用分为制版费和印 刷费两部分，先收取固定的 2 制版费，再按印制数量收取 6x/千个 印刷费，乙厂直接按印制数 3.“学如逆水行舟，不进则退”是勉励人们专心学习 量收取印刷费，甲厂的总费用y(单位：千元)、乙 的话，如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后 厂的总费用y2(单位：千元)与印制数量x(单位： 是(1+1%)365=1.01365：如果每天的“退步”率都 千个)的函数关系如图所示，则下列说法中正确的 是1%，那么一年后是(1-1%)365=0.9965，一年 是 () 099/八.011 后“进步”的是“退步”的01 A.甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元 ≈ 10.99 B.甲厂的总费用y1与印制数量x之间的函数解 1481倍.若每天的“进步”率和“退步”率都是 析式为y1=0.5x+1 20%,则要使“进步”的是“退步”的100倍以上，最 C.当印制数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均 少要经过（参考数据：lg2≈0.301,1g3≈0.477） 每个为1元 ( D.当印制数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与 A.10天B.11天C.12天D.13天 4.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的 印制数量之间的函数解析式为y,=子十 问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记 8.预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法” 录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的 使用的公式是Pm=P(1+)"(k>-1),其中P 数据L和小数记录法的数据V满足L=5+1gV. 为预测期人口数，P。为初期人口数，k为预测期内 已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其 人口年增长率，n为预测期间隔年数(n∈N),则 视力的小数记录法的数据约为(V10≈1.259) () ( A.当k∈（一1,0）时，这期间人口数呈下降趋势 A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 B.当k∈（一1,0）时，这期间人口数呈摆动变化 5.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三 年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.4万 C.当k三3P≥2P。时，n的最小值为3 公顷和0.76万公顷，则沙漠面积增加值y(单位： 万公顷)关于年数x(单位：年)的函数关系较为接 D当女=-名P,≤P,时a的最小值为3 近的是 ( ) 9.某同学根据牛顿的物体冷却模型：若物体原来的 A.y=0.2x B.y=0.1x2+0.1x 温度为0，（单位：℃），环境温度为01(01<0。，单 2 位：℃)，物体的温度冷却到0(0>01，单位：℃)需 C.y=0.2+logax D.y一10 用时t(单位：min),推导出函数关系为t=f(0)= (横线下方不可作答) 291☐ 第二章函数的概念与基本初等函数 名[in0,-0,)-1a0-0,],&为正的常数.现有 销售收入为g18x+9》+号万元 一壶开水(100℃)放在室温为20℃的房间里，根 得分 据该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情 (1)求该团队的月销售利润f(x)(单位：万元)与 况，则（参考数据：ln2≈0.7） () x之间的函数解析式。 A.函数关系0=01+(0。一01)e:也可作为这壶开 (2)当月销售量为何值时，该团队的月销售利润 水的冷却模型 最小？最小利润为多少万元？ B.当k=时，这壶开水冷却到40℃大约需要 20 28 min C.若f(60)=10,则f(30)=30 D.这壶水从100℃冷却到70℃所需时间比从 70℃冷却到40℃所需时间短 三、填空题（每小题5分，共15分）》 10.某购物网站在2024年11月开展“全部6折”促销 活动，在11日当天购物还可以享受“每张订单金 额(6折后)满300元时可减免100元”.某人在11 14.(19分)某制药厂临床试验 ↑y/(mg/mL) 日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件， 一批新药的疗效（α-因子是 1.2 为使花钱总数最少（不考虑购买商品数多于42件 主要成分)，根据国家规定： 的情况)，他最少需要下的订单张数为 0.3 服用新药后100mL血液中 00.25 x/h 得分 a-因子含量达到20mg但 11.一个容器装有细沙acm3,细沙从容器底下一个 低于80mg认定为有效I级，80mg及以上认定 细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细 为有效Ⅱ级，20mg以下认定为无效.经过大量 沙量为y=ae cm3,经过8min后发现容器内还 试验得知，服用该药后一开始血液中α-因子的浓 有一半的沙子，则再经过 min,容器中的 度呈线性增长，当其上升到1.2mg/mL时，血液 沙子只有开始时的八分之一. 得分 中α-因子的浓度将会以每小时20%的速度减少 12.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL (函数模型如图). 得分 血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽 (1)请写出服用该药后血液中α-因子浓度y(单 车，酒精含量达到20mg但低于80mg的驾驶员 位：mg/mL)随时间x(单位：h)变化的函数解 即为酒后驾车，酒精含量达到80mg及以上认定 析式； 为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血 (2)服用该药后，至少要经过几小时血液中α-因 液中的酒精含量上升到100mg/100mL.如果在 子才能降至无效？（结果取整数，参考数据：g2≈ 停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 0.30,1g3≈0.48) 20%的速度减少，那么他至少经过 个小 时才能驾驶汽车.（结果取整数，参考数据： 1g0.2≈-0.699，lg0.3≈-0.523，lg0.7≈ -0.155,1g0.8≈-0.097) 得分 四、解答题（共37分） 13.(18分)某大学毕业生团队主动创业，计划销售轻 食，每个月的店租和水电等成本为2万元，且每销 售1份轻食，成本为5元.已知该团队轻食的月销 售量为x(x>0)万份，该团队每个月保底能够 销售5000份轻食，且当0.5≤x≤4时，月销售 收入为学十年+骨》万元：当>4时，月 红对勾·讲与练 292 高三数学·基础版 ■1 则函数的零点就是y=工-1 和 y=2cosπx图象交点的横坐标，可得 y=z-1和y=2c0s元x的图象 都关于直线x=1对称，则交点也关 于直线x=1对称，画出两个函数的 图象，如图所示， 3 y=2cos TA 2 4-3-2-101 -3 观察图象可知y=x一1 和y= 2c0sπx的图象在[-3,5]上有8个交 点，即f(x)有8个零，点，且关于直线 x=1对称，故所有零点的和为4X 2=8. 13.解：(1)因为函数f(x)=a(a>0, 且a≠)的图象经过点(，号） 1 所以a3= 1 8解得a= 1 (2)因为a=2,所以f(x)= (3), 所以f(x)在区间 [2]上单调 递减， 所以f在区间[号，]上的最 大值为f()=(位) =2 (3)证明：因为g(x)=f(x)-x,所 以g(x）= () -x 1 因为g(0)=1>0,g(1)=一 2 0,所以g(0)g(1)<0, 又y=g(x)在区间[0,1]上的图象 是一条连续的曲线， 由函数零点存在定理可得，g(x)在 区间(0,1)内存在零点. 14.解：(1)当x=0时，f(x)=0;当x∈ (-4,0)时，有一x∈(0,4)，此时 f(x)=-f(-x)=-log(-x). 故函数f(x)的解析式为(x)= (log2x,0<x<4, 0,x=0, -log2-x),-4<x<0. 当0<x<1时，f(x)=-log2x,函 数f(x)单调递减； 当1<x<4时，f(x)=log2x,函数 f(x)单调递增； 由奇函数的性质，当一1<x<0时， 函数f(x)单调递减； 当-4<x<-1时，函数f(x)单调 递增. 故函数的单调递增区间为（一4，一1）， (1,4)； 单调递减区间为（一1,0），(0,1). (2)作出f(x)的图象如图， y -4 当x∈(-4，-1)时，f(x)∈(-2， 0),f(-1)=0; 当x∈(-1,0)时，f(x)∈(-∞， 0),f(0)=0; 当x∈(0,1)时，f(x)∈(0，+∞)， f(1)=0: 当x∈(1,4)时，f(x)∈(0,2). 故m∈(-2,0)U(0,2). 训练16函数模型的应用 1.C设这种细菌由1个分裂成4096个 需经过x次分裂，则4096=2，解得 x=12,故所需时间4=12X15 60 3(h).故选C. 2.B选项A表示乌龟和兔子同时到达； 选项C表示兔子没有追赶乌龟；选项D 表示兔子先到达终，点.故选B. 3.C设经过x天后，“进步”的是“退步” 的100倍以上，则100×(1一0.2)x 1+0.2),即(3 0.8 ≥100，.x≥ 2 1og10= 1g100 Ig 3-1g 2 0.176心1.36.故最少要经过12天. 2 故选C. 4.C由题意知4.9=5十lgV,得 lgV=-0.1,得V=10而≈0.8，所 以该同学视力的小数记录法的数据约 为0.8.故选C. 5.D由题意，最近三年测得沙漠面积增 加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和 0.76万公顷，即(1,0.2)，(2,0.4)，(3， 0.76).对于A,函数y=0.2x,当x= 3时，y=0.6,和0.76相差较大：对于 B,函数y=0.1x2十0.1x,当x=2 时，y=0.6,和0.4相差较大；对于C, 函数y=0.2十log1x,当x=2时，y= 0.7,和0.4相差较大；对于D,函数y= 0,当x=1时y=0.2,当x=2时， 2 y=0.4,当x=3时，y=0.8,和0.76 相差0.04，综合可得，选用函数关系 二较为接近.故选D。 y≠10 6.CT=e,当t=0时，T=e= 1080,当t=10时，120=e10·e= e1oX1080,解得e= =15 时，T=e5t.e=(e)·e=27× 1080=40.故选C. 7.ABD由题图，设甲厂的总费用y1与 印制数量x满足的函数解析式为y= kx十b,代入，点(0,1)，(6,4)，可得 =4部得么5…所以甲 b=1, 厂的总费用y1与印制数量x满足的函 数解析式为y1=0.5x十1，则甲厂制 版费为1千元，印刷费平均每个为0.5 元，故A,B正确：当印制数量不超过2 千个时，乙厂的印刷费平均每个为3： 2=1.5(元)，故C不正确；设当x>2 时，y2与x之间的函数解析式为y,= mx十n,代入点(2,3)，(6,4)，可得 m= 1 2m十n=3,解得} 6m十n=4, 4’所以当 5 n=2' x>2时，y2与x之间的函数解析式为 1 5 y:=4x十之，故D正确.故选ABD, 8.AC当k∈(-1,0)时，P。>0,0< 1十k<1,由指数函数的性质可知 P,=P。(1十k)”(k∈(-1,0))是关 于n的单调递减函数，即人口数呈下降 趋势，故A正确，B不正确；当k= 1 3 时p.=P() ≥2P。,所以 (3）≥2，解得n≥1og12(n∈N). 10g12∈(2,3)，所以n的最小值为3， 故C正确：当=一子时，P. P()≤P,所以（号）”≤ 解得n≥1bg:2(n∈N,log:2= 1og2∈(1,2)，所以n的最小值为2， 故D不正确.故选AC. 9.BCD对于A,由t=f(0)= n0。-0)-1h0-8小，得t 0。一8，所以9-01 0。-81 1n-1 =e“,整理得 日=91十(0。一日1)，故A错误；对于 B.由题意可知t=f0)=名n(10 80 20)-ln(8-20)]= 80 f(40）=20ln40-20=201n4 40ln2≈28，故B正确；对于C,由 f60)=10,得2n 80 =10,得k= 10 80 1h2,则f30)三n2·n30二20 ln8=30,故C正确：对于D,设这 壶水从100℃冷却到70℃所需时间 为有mi,剩1=名n0”20 80 右(ln8-lh5),设这壶水从70℃冷却 到40℃所需时间为t2min,则t2= 名n8器=名血5-血2，周为 t1-t2= (ln8+n2=2n5) 6 友l血25<0，所以t4<t,故D正确. 故选BCD. 参考答案521 10.3 解析：为使花钱总数最少，需使每张 订单满足“每张订单金额(6折后)满 300元时可减免100元”，即每张订单 打折前原金额不少于500元.由于每 件原价为48元，因此每张订单至少 11件，又42=11×3+9，所以最少需 要下的订单张数为3. 11.16 解析：当t=0时，y=a;当t=8时， 1 y=ae”=2a,故e"=2当容 器中的沙子只有开始时的八分之一 1 时，即y=ae"= 8a,e"= (e%)3=e25,解得t=24,所以再经 过16min容器中的沙子只有开始时 的八分之一， 12.8 解析：因为1小时后血液中酒精含量 为(1-20%)mg/mL,所以x小时后血 液中酒精含量为(1-20%)广mg/mL,由 题意可知100mL血液中酒精含量低 于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，所 以(1-20%)x<0.2,即0.8<0.2， 两边取对数得1g0.8<1g0.2,即 >8 ≈7.2，所以他至少经过8 个小时才能驾驶汽车， 13.解：(1)由题意，当0.5≤x≤4时， 11 2 18-5x fx)=2x+十+ 2=+ 2 8 当x>4时，f(x)=log(18x十9)十 2x-5x-2=1og18x+9)十 11 1 2x-2. 所以f(x)= x 2 8 +千+505≤x≤4， log:18x+9)+2x-2,x>4 (2)当0.5≤x≤4时，fx)=2+ 2 +8=+1+2十 11 x+1十5 2+1+10≥ ,1131 x+1+10=10' 、2 当且仅当十1 2 十即x-1时 取等号： 当x>4时，f(x)=log:(18x十9)十 2x-2>10g:(18×4+9)+7×4 2=4> 因此，当月销售量为1万份时，该团队 的月销售利涧最小，最小利润为。 万元. 14.解：(1)开始时，血液中α-因子浓度呈 线性增长时，设y=kx十b(k≠0)， 将(0,0)，(0.25,0.3)代入，得 6,0中6解得合二2因此 0=b, y=1.2x; 5222对构·讲与练·高三数学· 当y=1.2时，x=1,又当a-因子浓 度上升到1.2mg/mL时，以每小时 20%的速度减少， 则当x>1时，y=1.2(1 0.2)1=1.2×0.8-1, 所以所求函数解析式为 1.2x,0≤x≤1， y=1.2×0.8-z≥1 (2)设至少要经过x小时血液中-因 子降至无效，即1.2×0.81<0.2， 整理得0.8<6，两边取常用对 1 数，得g0.81<1g6则x-1> 1 1g6 -(1g3+lg2) lg0.8 -1+31g2 -(0.48+0.30) =7.8,解得x>8.8, -1+3×0.30 所以至少要经过9小时血液中α-因子 才能降至无效. 第三章 一元函数的导数 及其应用 训练17导数的概念及其 意义、导数的运算 1.A因为lim f(2+△x)-f(2-△x) △x lim f2+△x)-f2)+f(2)-f(2-△x) lim f(2+Ax)-f(2) △x lim f2-△x)-f2=2f'(2)= △ -△x 一2，所以'(2)=-1，则曲线y= f(x)在，点(2，f(2))处的切线的斜率 为一1.故选A. 2.A因为f(x)=x,所以f'(x)= 3x2,又f'(x。）=3,所以3x8=3,所 以x。=士1，故选A 3.C由f(x)=ln(ax)(a>0),则 f'(z)三1，所以fna f'(1)=1,即切线方程为y=x-1十 lna,又函数f(x)的图象在x=1处 的切线过原，点，所以lna一1=0，即 a=e.故选C. 4.C设曲线的切点坐标为(xoyo), y=lnx十x2,则y'= 1+2x,因为 x。>0,y'x=。= 十2x0=3,所 x0=2’ 以 y。=-n2+4 以切点坐标为(1,1)或(2，-1血2十 1 日），故所求的切线方程为3x-y-2 0或3x-y-4 -ln2=0.故选C. 5.D设切点为(x0,(x。-1)e0), y'=xe,.切线的斜率k=xoe0, 切线方程是y-(x。-1)e= xoe0(x-xo),切线过点A(a,0), 基础版 -(x0-1)e0=xe°(a-xo),即 x8-(a十1)x。十1=0，过点A(a, 0)可以作两条切线，∴.方程x号一(a十 1)x0十1=0有两个不同的根，∴.△= (a十1)2-4>0，解得a>1或a< 一3.故选D. 6.D设两个切点分别为P1(x1,e1), P,(x2,e2-2),(e-1)/=e-1,(e 2)'=e,曲线y=e1在点P1处的切 线方程为y-e=e1'(x-, 整理得y=e1x十(1-x1)e1,曲 线y=e一2在，点P,处的切线方程为 y-(e2-2)=e2(x-x2),整理得 y=e2x十(1-x2)e2-2,因为直线 y=kx十b是两函数图象的公切线，所以 k=e1=e2①， b=(1-x1)e1=(1-x2)e?-2@, 由①可得x1一1=x2,代入②得 -x2e2=(1-x2)e2-2,整理得 e2=2,所以x2=ln2,代入②得b= (1-ln2)e2-2=-21n2.故选D. 7.BD对于A,B,例如：曲线y=cosx 在(0,1)处的切线为直线y=1,且直 线y=1和曲线y=cOsx有无数个公 共点，故A错误，B正确；对于C,D,令 y=f(x)=x3,可得f'(x)=3x2≥ 0,即曲线y=x在某，点处的切线的斜 率不可能小于零，因为f'(0)=0,所以 曲线y=x3在原点处的切线方程是 y=0,即为x轴，故C错误，D正确.故 选BD. 8.BCy=x3-x求导得y’=3x2-1, 设切点为(m,m3一m),则切线斜率 k=3m2-1,切线方程为y-(m3 m)=(3m2-1)(x-m),又切线过点 M(1,0),所以一(m-m)=(3m2- 1)(1-m),整理得(m-1)2(2m十 1)=0,解得m=1或m=-2当 1 m=1时，k=2,切线方程为2x-y一 2=0,当m=号时，6=子切线 方程为x十4y-1=0.故选BC. 9.BC设与直线y=之x一2平行的直 线和曲线y三)相切，则斜率为k户 1 e 因为y=号，所以y= e 2,令 2=k= 可得切点为0，合）故 1 A结误，B正确；则点(0，)到直线 工-2y-4=0的距高就是向线y=月 上的，点到直线x一2y一4=0的最短距 离，由，点到直线的距离公式知最短距 1 0-2× 离为 4 =√5，故C正 √/12+22 确，D错误.故选BC 10.-1 解析：求导得到y=a(cosx一xsin x), 将x=0代入导数，运用导数的几何