训练15 函数与方程-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

班级： 姓名： 训练15 函数与方程 (总分：100分) 一、单项选择题（每小题5分，共30分） 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 1.函数y=x-4·（2 的零点所在的区间是 7.(2025·山东济宁模拟)已知函数f(x)= log2x,0<a<b<c,f(a)f(b)f(c)<0,实数d A.(0,1) B.(1,2) 是函数f(x)的一个零点.给出下列四个判断，其 C.(2,3) D.(3,4) 中可能成立的是 /2-1,x≤1， 2.已知函数f(x)= 则函数f(x) A.d<a B.d>b 1+l1og2x,x>1, C.dc D.d<c 的零点为 ( log2x|,0<x≤2， A.2 B.-2,0 8.已知函数f(x) 若方程 c x2-6x+9,x>2, D.0 f(x)=k有四个不同的实数根x1,x2,x3,x4,且 3.用二分法求函数f(x)=ln(x+1)+x一1在区间 x1<x2<x3<x4,则下列结论正确的是() (0,1)上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分 A.0<k<1 区间的次数最少为 ( ) B.2x1+x2≥2√2 A.5 B.6 C.7 D.8 C.x1x2十x3十x4=6 4.(2024·陕西西安模拟)函数y=x3和y= D.3<x1+2x2<9 2 的图象存在公共点P(xo,y。),则x。的取值范 x2-2x+t,x≤0， 9.已知函数f(x)= 若函数 围为 2ln(x+1)-1,x>0, A.(0,1) B.(1,2) y=f(f(x)恰好有4个不同的零点，则实数t的 C.(2,3) D.(3,4) 取值可以是 ( 5.(2024·广东珠海一模)已知函数f(x)= A.-3 B.-2 2r+a,x≤0， a∈R)在R上没有零 C.0 D.2 log1(x+1)+a,x>0 三、填空题（每小题5分，共15分） 点，则a的取值范围是 10.若函数f(x)=2十x-5在(t,1+1)上存在零 A.(-∞，-1)U{0) 点，则整数1的值为 得分 B.(-∞，-1) 11.若关于x的方程|2x十4一x2|=a恰有三个不 C.(-1,+o∞) D.(0,十∞) 同实数解，则实数a的值为 6.已知三个函数f(x)=2十x,g(x)=x一1， 得分 h(x)=logx十x的零点依次为a,b,c,则() 12.函数f(x)= 2cosπx在区间[-3,5] A.a<b<c B.b<a<c x-1 C.c<a<b D.a<c<b 上所有零点的和等于 得分 (横线下方不可作答) 289☐ 第二章 函数的概念与基本初等函数 四、解答题（共37分）】 14.(19分)已知函数f(x)是定义在(-4,4)上的奇 13.(18分)已知函数f(x)=a(a>0,且a≠1)的 函数，且当x∈(0,4)时，f(x)=|1og2x1. 图象经过点，日)】 得分 得分 (1)求函数f(x)的解析式和单调区间； (1)求a的值； (2)若关于x的方程f(x)=m有两个不相等的 (2)求f(x)在区间 32 上的最大值； 实数根，求实数m的取值范围. (3)若函数g(x)=f(x)-x,求证：g(x)在区间 (0,1)内存在零点. 红对勾·讲与练 290 高三数学·基础版 ■y=f(x)9 y=alx-1l 当a≤0时，f(x)≥0，g(x)≤0，两 个函数的图象不可能有4个交点，不 满足条件； 则a>0,此时g(x)=ax-1= a(x-1),x≥1，当-3<x<0 -a(x-1),x<1, 时，f(x)=一 x2-3x,g(x)= -a(x-1), 由图知，直线和抛物线相切时，两个 函数的图象有3个交点，令一x 3x=-a(x-1),即x2+(3-a)x十 a=0, 则△=(3-a)2-4a=0,即a2 10a十9=0，解得a=1或a=9,当 a=9时，g(x)=-9(x-1), g(0)=9,此时不成立，故a=1, 要使两个函数的图象有4个交点，则 此时0<a<1, 若a>1,则当x<1时，g(x) 一a(x-1)与f(x)的图象有2个交 点，此时只需要当x>1时，f(x)= g(x)有2个不同的实根即可， 即x2十3x=a(x-1),整理得x2十 (3-a)x十a=0, 令h(x)=x2+(3-a)x+a, 则 h(1)=4>0, 4 3一4>1， 2 解得a>9. 综上，a的取值范围是(0,1)U (9,+∞). 训练15 函数与方程 1.B令y=f(x)=x- 4(） x- ,则函数在R上连续且单 调递增，f(1)=1-2<0,f(2)=2 1>0,所以f(1)f(2)<0,故函数y 工-4·（号）厂的零点所在的区间为 (1,2).故选B. 2.D:函数fz=1+1ogxd>1, 2-1,x≤1， 当x≤1时，令f(x)=2一1=0，解 得x=0.当x>1时，令f(x)=1十 1ogx=0,解得x=2（含去).综上， 函数的零点为0.故选D. 3.C开区间(0,1)的长度等于1，每经 过一次操作，区间长度变为原来的一 半，经过n(n∈N“)次操作后，区间长 度变为了 1 <0.01,解得n≥7， 2” 且n∈N,故所需二分区间的次数最 少为7.故选C 5202对沟·讲与练·高三数学· 4B题，合)=-（份）。 则f(x)=0有解，f(0)=一4， f(1)=-1,f(2)=7,因为f(x)在R 上连续且单调递增，有f(1)f(2)<0, 则x。的取值范围为(1,2).故选B. (2,x0, 5.A设g(x)= log1(x+1),x>0, g(x)的图象如图所示， ↑y 3 1 -4-3-2-10123元 -2 问题转化为g(x)的图象与直线y=一a 没有交点，所以-a=0或-a>1,解 得a=0或a<-1.故选A 6.D令f(x)=2十x=0,解得x< 0,令g(x)=x-1=0,解得x=1, 由h(x)=logx十x在(0，十o∞)上单 调递培，得A(侣）=-1+号<0， 1 h(1)=1>0,因此h(x)的零点c∈ (合)则b>(>a,故选D 7.ABD由y= (日)广在0，+)上 单调递减，y=1og2x在(0，十o∞)上单 调递增，可得f(x)= () -log2 在定义域(0，十∞)上是减函数，当0 a<b<c时，f(a)>f(b)>f(c),因 为f(a)f(b)f(c)0,f(d)=0,所以 ①f(a),f(b),f(c)都为负值，则a,b,c 都大于d;②f(a)>0,fb)>0,f(c)< 0,则a,b都小于d,c大于d.综合①②可 得d>c不可能成立.故选ABD. 8.ABD如图所示，在同一坐标系内作 出函数f(x)= 10gx,0<x≤2'和y=k的图 x2-6x+9,x>2 象.对于A,由图象知，要使得方程 f(x)=k有四个不同的解，只需0< k<1,所以A正确；对于B,因为 1 f(）=: =1,f(2)= 11og22=1,f(4)=4-6×4+9= 1,且函数y=x2一6x+9的图象关于 直线工=3对称，由图象得2 x1< 1<x2<2<x3<3<x1<4,且 -log2x1=l0g2x2,x3十x1=6,所以 log2x2十log2x1=log2(x1x2）=0,可 得x1x2=1,则x1= -,所以2x1十 x2= 2十x,其中1<正：<2，令 gx)=x+ …三=2. 2≥2 x 当且仅当x=√2时，取得最小值2√2， 所以2x1十x2≥2V2,所以B正确：对 于C,由B可得x1x2=1,十x1=6, 所以x1x2十x3十x1=7,所以C不正 确；对于D,由x1x2=1,可得x1十 基础版 2x,=1+2x,(1<x,<2),令 b(2)=2z+上1<z<2),可得通 数h(x)在(1,2)上单调递增，所以 h(x)>h(1)=3,h(x)<h(2)= 9 9 ,所以3<x1十2x,<2,所以D正 确.故选ABD. =f) _y=k 01623名456x 9.BC如图，由题意可知，当x≤0时， f(x)单调递减，则f(x)≥f(0)=t: 当x>0时，f(x)单调递增，则 f(x)>2ln1-1=-1.若函数y= f(f(x))恰好有4个不同的零点，令 u=f(x),则y=f(u)有两个零，点， 可得当u>0时，则2ln(u十1)-1=0， 解得u=√e一1>0；当u<0时，则 u一2u十t=0,可得 t≤0， 可得方程f(x)= lu=1-√/1-t √-1和f(x)=1-√1-t均有两个 不同的实根，即y=f(x)与y=E-1, y=1一√1一t的图象均有两个交点，则 -1>1且1->-1 wWe-1≥t, 1-1-t≥t. 解得一3<t0.综上所述，实数t的 取值范围为（一3,0]. )=x) O/J-1 10 -3(-3,0],-2∈(-3,0]，0∈ (-3,0],2(-3,0],故A,D错误，B, C正确.故选BC 10.1 解析：f(x)=2十x一5在R上单调 递增，由函数零点存在定理可知， f(t)<0,f(t十1)>0，由于f(1) 0,f(2)>0,故整数t=1. 11.5 解析：问题等价于函数y=2x十4 x2|的图象和直线y=a恰有三个不 同的公共，点，y=2x十4一x2|的图 象如图，数形结合可得a=5. y=a )y=2x+4-x2 01 12.8 1 解析：因为f代x)=x-1一2ou, 令f(x)=0,则工-1 1 =2c0sπx, 1 则函数的零点就是y=工-1 和 y=2cosπx图象交点的横坐标，可得 y=z-1和y=2c0s元x的图象 都关于直线x=1对称，则交点也关 于直线x=1对称，画出两个函数的 图象，如图所示， 3 y=2cos TA 2 4-3-2-101 -3 观察图象可知y=x一1 和y= 2c0sπx的图象在[-3,5]上有8个交 点，即f(x)有8个零，点，且关于直线 x=1对称，故所有零点的和为4X 2=8. 13.解：(1)因为函数f(x)=a(a>0, 且a≠)的图象经过点(，号） 1 所以a3= 1 8解得a= 1 (2)因为a=2,所以f(x)= (3), 所以f(x)在区间 [2]上单调 递减， 所以f在区间[号，]上的最 大值为f()=(位) =2 (3)证明：因为g(x)=f(x)-x,所 以g(x）= () -x 1 因为g(0)=1>0,g(1)=一 2 0,所以g(0)g(1)<0, 又y=g(x)在区间[0,1]上的图象 是一条连续的曲线， 由函数零点存在定理可得，g(x)在 区间(0,1)内存在零点. 14.解：(1)当x=0时，f(x)=0;当x∈ (-4,0)时，有一x∈(0,4)，此时 f(x)=-f(-x)=-log(-x). 故函数f(x)的解析式为(x)= (log2x,0<x<4, 0,x=0, -log2-x),-4<x<0. 当0<x<1时，f(x)=-log2x,函 数f(x)单调递减； 当1<x<4时，f(x)=log2x,函数 f(x)单调递增； 由奇函数的性质，当一1<x<0时， 函数f(x)单调递减； 当-4<x<-1时，函数f(x)单调 递增. 故函数的单调递增区间为（一4，一1）， (1,4)； 单调递减区间为（一1,0），(0,1). (2)作出f(x)的图象如图， y -4 当x∈(-4，-1)时，f(x)∈(-2， 0),f(-1)=0; 当x∈(-1,0)时，f(x)∈(-∞， 0),f(0)=0; 当x∈(0,1)时，f(x)∈(0，+∞)， f(1)=0: 当x∈(1,4)时，f(x)∈(0,2). 故m∈(-2,0)U(0,2). 训练16函数模型的应用 1.C设这种细菌由1个分裂成4096个 需经过x次分裂，则4096=2，解得 x=12,故所需时间4=12X15 60 3(h).故选C. 2.B选项A表示乌龟和兔子同时到达； 选项C表示兔子没有追赶乌龟；选项D 表示兔子先到达终，点.故选B. 3.C设经过x天后，“进步”的是“退步” 的100倍以上，则100×(1一0.2)x 1+0.2),即(3 0.8 ≥100，.x≥ 2 1og10= 1g100 Ig 3-1g 2 0.176心1.36.故最少要经过12天. 2 故选C. 4.C由题意知4.9=5十lgV,得 lgV=-0.1,得V=10而≈0.8，所 以该同学视力的小数记录法的数据约 为0.8.故选C. 5.D由题意，最近三年测得沙漠面积增 加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和 0.76万公顷，即(1,0.2)，(2,0.4)，(3， 0.76).对于A,函数y=0.2x,当x= 3时，y=0.6,和0.76相差较大：对于 B,函数y=0.1x2十0.1x,当x=2 时，y=0.6,和0.4相差较大；对于C, 函数y=0.2十log1x,当x=2时，y= 0.7,和0.4相差较大；对于D,函数y= 0,当x=1时y=0.2,当x=2时， 2 y=0.4,当x=3时，y=0.8,和0.76 相差0.04，综合可得，选用函数关系 二较为接近.故选D。 y≠10 6.CT=e,当t=0时，T=e= 1080,当t=10时，120=e10·e= e1oX1080,解得e= =15 时，T=e5t.e=(e)·e=27× 1080=40.故选C. 7.ABD由题图，设甲厂的总费用y1与 印制数量x满足的函数解析式为y= kx十b,代入，点(0,1)，(6,4)，可得 =4部得么5…所以甲 b=1, 厂的总费用y1与印制数量x满足的函 数解析式为y1=0.5x十1，则甲厂制 版费为1千元，印刷费平均每个为0.5 元，故A,B正确：当印制数量不超过2 千个时，乙厂的印刷费平均每个为3： 2=1.5(元)，故C不正确；设当x>2 时，y2与x之间的函数解析式为y,= mx十n,代入点(2,3)，(6,4)，可得 m= 1 2m十n=3,解得} 6m十n=4, 4’所以当 5 n=2' x>2时，y2与x之间的函数解析式为 1 5 y:=4x十之，故D正确.故选ABD, 8.AC当k∈(-1,0)时，P。>0,0< 1十k<1,由指数函数的性质可知 P,=P。(1十k)”(k∈(-1,0))是关 于n的单调递减函数，即人口数呈下降 趋势，故A正确，B不正确；当k= 1 3 时p.=P() ≥2P。,所以 (3）≥2，解得n≥1og12(n∈N). 10g12∈(2,3)，所以n的最小值为3， 故C正确：当=一子时，P. P()≤P,所以（号）”≤ 解得n≥1bg:2(n∈N,log:2= 1og2∈(1,2)，所以n的最小值为2， 故D不正确.故选AC. 9.BCD对于A,由t=f(0)= n0。-0)-1h0-8小，得t 0。一8，所以9-01 0。-81 1n-1 =e“,整理得 日=91十(0。一日1)，故A错误；对于 B.由题意可知t=f0)=名n(10 80 20)-ln(8-20)]= 80 f(40）=20ln40-20=201n4 40ln2≈28，故B正确；对于C,由 f60)=10,得2n 80 =10,得k= 10 80 1h2,则f30)三n2·n30二20 ln8=30,故C正确：对于D,设这 壶水从100℃冷却到70℃所需时间 为有mi,剩1=名n0”20 80 右(ln8-lh5),设这壶水从70℃冷却 到40℃所需时间为t2min,则t2= 名n8器=名血5-血2，周为 t1-t2= (ln8+n2=2n5) 6 友l血25<0，所以t4<t,故D正确. 故选BCD. 参考答案521