训练7 数的单调性与最值-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

班级： 姓名： 训练7 函数的单调性与最值 (总分：100分) 一、单项选择题（每小题5分，共30分）》 二、多项选择题（每小题6分，共18分）】 1.(2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，十∞)上 7.下列关于函数y=ax+1,x∈[0,1]的说法正确 单调递增的是 ( 的是 A.f(z)=-Inx A.当a<0时，此函数的最大值为1，最小值为a十1 &)-是 B.当a<0时，此函数的最大值为a+l,最小值为1 C.当a>0时，此函数的最大值为1，最小值为a+1 C.f(x)=-1 x D.当a>0时，此函数的最大值为a+1,最小值为1 D.f(x)=31 8.(2025·福建宁德开学考试)设函数f(x),g(x) 2.若奇函数f(x)在区间[a,b](a>0)上是增函数， 的定义域都为R,且f(x)>0,g(x)>0,f(x)是 则它在区间[-b,-a]上是 ( 减函数，g(x)是增函数，则下列说法错误的有 A.增函数且最大值是f(一a) ( B.增函数且最小值是f(一a) A.g(x)+f(x)是增函数 C.减函数且最大值是f(一b) B.f(x)一g(x)是减函数 D.减函数且最小值是f(一b) C.f(x)g(x)是增函数 3.设函数f(x)= 二2在区间[3,4]上的最大值和 2x D.f() g(x) 是减函数 最小值分别为M,m,则M十m= (x-a)2,x0, A.4 B.6 9.已知函数f(x) 1 下列命题正 C.10 D.24 x+1-2x≥0， 4.(2024·山东烟台模拟)若函数f(x)=x2-2x十 确的是 ( m在[3，十∞)上的最小值为1，则实数m的值是 A.f(x)的值域为R ( B.Hx∈R,f(x)>-2 A.-3 B.-2 C.若函数y=(x一a)2在(-∞，0)上单调递减，则 C.-1 D.1 a的取值范围为[0，+∞) 5.已知f(x)是R上的单调函数，若f(f(x) D.若f(x)在R上单调递减，则a的取值范围为 √x)=2,则g(x)= f(x)一2的值域为( f(x) [0,+∞) A.[-1,0) B.[-1,1) 三、填空题（每小题5分，共15分】 C.(-1,1) D.[-1,+∞) 10.y=一√x+2x的单调递增区间为 -x十ax-1,x≥1， 6.设函数f(x)= 是R上的 得分 2-(a+1)x,x<1 x2-ax-5,x≤1， 减函数，则实数a的取值范围是 11.已知函数f(x)= 是R A(1,副 B(←1，》 ,x>1 上的增函数，则a的取值范围是 C.(-1,2] 得分 (横线下方不可作答) 273 第二章 函数的概念与基本初等函数 ■ 12.若函数f(x)=x一a十1|在区间[1，+∞)上14.(20分)已知函数f(x)=|x+1|+a|x-a| 是增函数，则实数a的取值范围为 (a>0). 得分 得分 (1)若a=2,求f(x)的最小值； 四、解答题（共37分） (2)若f(x)的最小值为4，求a的值. 1.17分)讨论丽数f)=≠》在 (一2，+∞)上的单调性. 得分 红对勾·讲与练274 高三数学·基础版 ■2.A令2x-1=3,得x=2,则 f(3)=22-3=1.故选A. 3.A当x0≥1时，f(xo)=2x。-3, .2x0-3=1,解得x0=2；当x0<1 时，f(xo)=x。-2x0-2,∴x。 2x0-2=1,解得x。=3(舍去)或 x。=一1.故选A. 4.B若函数y=f(x)的定义域是[1， 2],则1≤√x2,解得1≤x≤4，故 函数y=f(Wx)的定义域是[1,4].故 选B. 5.B设t=√x+1,t≥1，则Wx=t 1,即x=(t一1)2，所以f(t)=(t 1)2+3,即f(x)=(x-1)2十3(x≥ 1),所以f(x+1)=(x+1-1)2 3=x2+3,由x十1≥1，得x≥0，所 以f(x十1)=x2十3(x≥0).故选B. 6.C:f(2x)=2f(x),且当1≤x<2 时fx)=x…f3)=2f(2）=2X ()广-故选C 7.BD对于A,f(x)=工+3)z-52的 x+3 定义域为(-∞，-3)U(-3,十∞) 此时f(x)=x-5,故两个函数是同 一个函数；对于B,f(x)=√x十1· √x-I的定义域为[1，十∞)g(x)= √(x+1)(x一1)的定义域为（一∞， 一1]U[1,十∞)，定义域不同，故不是 同一个函数；对于C,两个函数的定义 域都是R,f(x)=x|=√，故是 同一个函数；对于D,函数f(x)= （vy的定义线为[层十四） 函数g(x)=2x-5的定义域是R,定义 域不同，故不是同一个函数，故选BD. 8.AB要使y=√+3x+2有意 义，则x+3x十2=(+受)》 4≥0，故y=√+3x+2= 1 意w=x+=(+)广≥ 1 1 0,故B符合题意y=工>0，故C 不符合题意y=2x十1，则y∈R,故 D不符合题意.故选AB. 9.BC由函数f(x)= x十2，x-1, 2+1,-1<x<2知，定义城为 (一∞，2)，故A错误；当x≤一1时， f(x)=x十2∈(-o∞，1]，当-1 x<2时，x2∈[0,4)，故f(x)=x2+ 1∈[1,5)，故值域为（一∞，5），故B正 确；由B可知当f(x)=3时，x∈ (-1,2),即f(x)=x2十1=3，解得 x=√2或x=一√2（舍去），故C正确： 由B可知当f(x)=2时，x∈(-1， 2),即f(x)=x2十1=2，解得x=1 或x=一1（舍去），故(x)的图象与 直线y=2有一个交点，故D错误.故 选BC. 8 10.f(x)=4x- 解析：由3f(x)+2f(1一x)=4x①， 用1-x代替x可得3f(1-x) 2f(x)=4(1-x)②，由3×①-2× ②可得f(x)=4x-亏 8 11.[-1,1][0,2] 解析：由题意，令-x2十2x十3≥ 0台x2-2x-3≤0台(x-3)(x十 1)≤0，解得一1≤x≤3，故函数 f(x)的定义域为[一1,3].令t= 一x2十2x十3，则y=Wt.由于y= √t在[0，十∞)上单调递增，抛物线 t=一x2十2x十3开口向下，对称轴 为直线x=1,故t=一x2十2x十3在 [-1,1]上单调递增，在[1,3]上单调 递减，由复合函数的单调性知，函数 f(x)在[一1,1]上单调递增，在[1,3] 上单调递减.当x=1时，tmx=一1十 2十3=4，故0≤t4,故y=√t∈ [0,2],因此函数f(x)的值域为 [0,2]. 12.(-2,3) 解析：当a≥0， la2-2a<3时， fa≥0， -1<a<3.解得0≤a<3: a<0,解 当把201<g时，巳2. 得-2<a<0.综上所得，a的取值范 围是一2<a<3. 1一工(x∈R且 13.解：(1)因为f(x)=1十五 x≠-1)，g(x)=x2-1(x∈R), 所以f(2)=1+2= 1-2 1 3g(3)= 32-1=8. (2)由(1)得f(g(3)=f(8)= 1-8 7 1+8 一g f(g(x)=f(x2-1)= 1=+1=2-x 1+x2-1 R且x≠0). (3)因为f(x)=1-2 1十x 2-(1+x) 2 1十x =1十x -1≠-1， 所以f(x)的值域为（一o,一1）U (-1,+∞). 因为g(x)=x2-1≥-1， 所以g(x)的值域为[-1，十∞). 14.解：(1)因为A={x4一x2≥0}= [-2,2], B={x|x2十6x十8>0}= (-∞，-4)U(-2,十∞)， 所以A∩B=(一2,2]， 又因为“x∈A∩B”是“x∈C”的充 分条件，可得A∩B二C, 13-2m≤2十m, 则3-2m≤-2，解得m≥2， 5 2+m≥2， 所以m的取值范围为[是十∞) (2)因为BUC=R, 13-2m≤2十m, 7 则3-2m≤-4，解得m≥2， 2+m≥-2， 1 可得2十m≥ 23-2m≤-4. 由y= 6x-17 3-x, 可得x= 3y+17 y十6， 由x>2且x≠3可得3y+1>2且 y+6 3y+17 y+6 ≠3，解得y<-6或y>-5, 所以D=(-o∞，-6)U(-5,十∞)， 又因为C二D,则3-2m>-5,解得 m4. 综上可如m的取值范围为[子： 训练7函数的单调性与最值 1.C对于A,因为y=lnx在(0，十o∞) 上单调递增，所以f(x)=一lnx在 (0,十∞)上单调递减，故A错误；对于 B因为f)=是=（位）”在 1 (0,十∞)上单调递减，故B错误；对于 C,因为y=1在(0，十∞)上单调递 成，所以)=在0，十0)上 单调递增，故C正确；对于D,因为 f()=3=3=5f)= 31-1=3°=1，f(2)=32-1=3,显然 f(x)=3x1在(0，十∞)上不单调， 故D错误.故选C 2.A.f(x)为奇函数，且在区间[a,b] 上是增函数，∴f(x)在区间[-b,-a] 上是增函数，.f(x)在区间[一b, 一a]上的最小值为f(-b),最大值为 f(-a).故选A. 3.C因为fx)=2x-2)+4=2+ x-2 -2所以f(x)在[3,4]上是减函 4 数，所以m=f(4)=4,M=f(3)= 6,所以M+m=6十4=10.故选C. 4.B因为f(x)=(x-1)2十m-1在 [3,十∞)上为增函数，且f(x)在 [3,+∞)上的最小值为1，所以f(3)= 1,解得m=-2.故选B. 5.B令t=f(x)一√x,所以f(x)= t十Wx,则令x=t,所以f(t)=t十 VF,又因为f(f(x)-√E)=2,所以 f(t)=2,所以t十E=2,解得t=1, 所以f(x)=1十√丘，所以g(x)= 1+2=1-,2 二，因为x≥ 1十Wx 0,√E+1≥1,0< 1 1,-2 x+1 2」 <0,-1≤1- 2 <1. Va+1 √E+1 所以g(x)的值域为[-1,1).故选B. 参考答案511 6.A由题意可得， <1 a+1>0, 必 2-(a+1)×1≥-1+a-1, .3 得-1<a≤之，故实数a的取值范国 37 是(1,2」故选A 7.AD当a<0时，函数y=ax十1为 减函数，所以当x=0时，ymx=1,当 x=1时，ym=a十1，故A正确，B错 误；当a>0时，函数y=ax十1为增 函数，所以当x=0时，ymm=1,当 x=1时，ymx=a十1，故C错误，D正 确.故选AD. 8.AC对于A,若g(x)=2,f(x)= (分）广gD+)=号g-1D+ 5 5 f(-1)=2,g(x)十f(x)不单调，因 此函数g(x)十f(x)不一定为增函 数，A错误；对于B,g(x)是增函数， 则一g(x)为减函数，又f(x)是减函 数，则f(x)一g(x)=f(x)+ [一g(x门为减函教，B正确；对于C, 11x 若g(x)=2,f(x)=（2)· f(x）·g(x)=1,因此函数 f(x)g(x)不一定是增函数，C错误； 对于D,Hx1,x2∈R,x1<x2,由 g(x）是增函数，且g(x)>0,得0< 1 1 g(x1)<g(x2),则 之g由 f(x)>0,f(x)为减函数，得f(x1)> fx)>0,于是fx f(x2） > g（x1） g(x2)' f(x)是减函数，D正确.故选AC. g(x) 9.BCD当x<0时，y=(x-a)≥0， 千1一2>-2，所以 1 当x≥0时，y= Hx∈R,f(x)>-2,B正确，A错误： 若函数y=(x一a)2在(-o∞，0)上单 调递减，则a的取值范围为[0，十oo), C正确：若f(x)在R上单调递减，则 a≥0， 0-a≥0十7-2=-1.解得a 1 的取值范围为[0，十∞)，D正确.故 选BCD. 10.(-∞，-2] 解析：由x2十2x≥0，得x一2或 x≥0，则函数的定义域为（一∞， 一2]U[0,+∞).令t=x2十2x,则 y=-VF,因为t=x2+2x=(x十 1)2一1的图象是对称轴为直线 x=一1，开口向上的抛物线，在 (一0∞，一2]上单调递减，在[0，十∞) 上单调递增，又y=一√t在定义域内 为减函数，所以y=一√x2十2x在 (一∞，一2上单调递增，在[0，十∞) 上单调递减，所以y=一√十2工 的单调递增区间为（一∞，一2. 11.[-3,-2] 解析：f(x)= 1-x2-ax-5,x≤1， ,x>1 是R上的增 x 512红对闪·讲与练·高三数学· 1≤- 函数，则要满足 解 a<0, -1-a-5≤a, 得-3≤a≤-2. 12.(-0∞，2] 解析：由题设f(x)= x-a+1x≥a一1·显然f(x) a-1-x,x<a-1, 在[a一l,十o∞)上单调递增，要使函 数在区间[1，十∞)上是增函数，则 a-1≤1，即a2. 13,解：“函数f(x)=a十1 x十2 a(x+2)-2a+1 1-2a x+2 =a十x+2 .任取x1x2∈(-2，十∞)，且 x<x21 则fx)-f(x)=(a+1-2%)】 x1+2 (a+1-2a) 1-2a1-2a x2+2/ = x1十2x2十2 (1-2a)(x2-x1) （x1十2)(x2十2)， -2<x1<x2x2-x1>0, (x1十2)(x2十2)>0， 当1-2a>0,即a<2时， f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)> f(x2),·f(x)在(-2，十∞)上是减 函数： 当1-2a<0,即a>号时， f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) f(x2),.f(x)在（一2，十∞）上是增 函数. 14.解：(1)当a=2时，f(x)=|x+1+ 2|x-2, 当x<-1时，f(x)=-(x十1) 2(x-2)=-x-1-2x十4= -3x+3, 由x<-1,得-3x+3>6,即 f(x)>6; 当-1≤x<2时，f(x)=x十1 2(x-2)=-x十5， 由-1≤x<2,得3<-x十56， 即3<f(x)6: 当x≥2时，f(x)=x十1十2(x 2)=3x-3, 由x≥2，得3.x-3≥3，即f(x)≥3. 综上，f(x)≥3， 所以f(x)的最小值为3. (2)①当x<-1时，f(x)= 一(x十 1)-a(x-a)=-(a+1)x十a2-1, 由x<-1,得-(a+1)x十a2-1> a2十a,即f(x)>a2十a. ②当-1≤x<a时，f(x)=(x十 1)-a(x-a)=(1-a)x+a2+1, 当1-a>0,即0<a<1时，由-1 x<a,得-(1-a)十a2十1≤ f(x)<a(1-a)+a2+1, 即a十a≤f(x)<a+1； 当1一a=0,即a=1时，f(x)= a2十1=2； 当1-a<0,即a>1时，由-1≤ x<a,得a(1-a)+a2+1< f(x)≤-(1-a)十a2+1, 即a+1<f(x)≤a2十a. ③当x≥a时，f(x)=(x十1)+ 基础版 a(x-a)=(1+a)x-a2+1, 由x≥a,得f(x)≥(1+a)a-a2 1=a十1. 综上，当0<a<1时，f(x)≥a2+ a,当a=1时，f(x)≥2， 当a>1时，f(x)≥a十1. 因为f(x)的最小值为4，所以当0< a<1时，a2十a=4,解得a= 二1生应（合去）， 2 当a>1时，a十1=4，解得a=3. 综上，a=3. 训练8函数的奇偶性、 周期性、对称性 1.By= 1为奇函数：y=gx的定义 域为(0，十∞)，不具备奇偶性：y= (分)）在0，十∞)上为减画数： y=x一1在(0，十o∞)上为增函数， 且在定义域上为偶函数.故选B. 2.C因为函数f(x)=(x一a)3(x∈ R)为奇函数曰f(x)定义域为R,图象 关于点(0,0)对称.当a=0时， f(x)=x3,则f(-x)=(-x)= 一x=一f(x),故函数f(x)为奇函 数；当函数f(x)=(x一a)为奇函数 时，f(-x)=一f(x),即(-x a)3=-(x-a)3,解得a=0.所以 “a=0”是“函数f(x)=(x a)3(x∈R)为奇函数”的充要条件.故 选C. 3.A因为f(x)是定义在R上的奇函 数，所以f(1)=-f(-1)= 1-D2×(-D=白 3 21 故选A. 4.A根据奇函数的性质，得f(x)在R上 单调递减，且f(2)=一1.由f(2x) 1,得-1≤f(2x)≤1，即f(2)≤ f(2x)f(-2),所以2≥2x≥-2， 解得一1x1.故选A 5.C设g(x)=x(e十e),x∈[-2， 2],首先g(x)的定义域关于原点对 称，且g(-x)=-x(e十e)= 一g(x),所以g(x)是奇函数，不妨设 g(x0)=g(x)mx,则g(一x。)= g(x)mm,所以M十N=g(xo)十1十 g(-x0)十1=2.故选C. 4-x-1 6.Df4-x）=ln3-4-x+a4- x)+a+btan(4-x-2)-In a(4-x)+a+btan(2-x)= 十a(4-x)十a-btan(x 2),故f(4-x)十f(x)=a(4-x)十 a十ax十a=6a,故f(x)的图象关于 点(2,3a)中心对称.故选D. 7.ABDf(x)=21+2,f(2 x)=2十21=f(x),即f(2 x)=f(x),即f(x)的图象关于直线 x=1对称，故C正确，A,D错误； :f(x)=2l十2x的定义域为R, 但f0)=2+2≠0f(x)不是奇 函数，故B错误.故选ABD.