精品解析：广东省兴宁市第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

兴宁一中高二年级第二次月考数学试题 2025.12.26 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过和两点，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 设的倾斜角为，则，解得. 故选：D 2. 在等差数列中，，则的值为（ ） A. 15 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】借助等差数列等差中项的性质计算即可得. 【详解】等差数列中，解得， 则. 故选：D. 3. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加法和减法的定义及题设几何条件即可求解. 【详解】由点在上，且，知； 由为的中点，知. 所以. 故选：C. 4. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出已知圆的圆心关于直线对称的点，再利用轴对称的性质求出半径，即得对称圆的方程. 【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径为． 设点关于直线对称的点， 则，解得，． 由轴对称的性质得新圆的半径为， 对称的圆的方程为，故A正确. 故选：A 5. 已知抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则＝（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求得参数． 【详解】由题意到准线的距离减去到轴距离等于1，所以，． 故选：B． 6. 在等差数列中，若，，则（ ） A. 10 B. 18 C. 26 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列片段和的性质求解. 【详解】因为数列为等差数列，所以等差数列的片段和： ，，，仍为等差数列. 又，， 所以， . 故选：D 7. 已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断点在椭圆内，利用点差法求出直线的斜率即可得其方程． 【详解】椭圆，由，得点在椭圆内， 设，则， 两式相减得，而， 因此，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 故选：A 8. 已知双曲线左、右顶点分别为．若直线与两条渐近线分别交于，且，则双曲线的离心率为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将双曲线渐近线分别与直线联立，求得两点的横坐标，结合可得，运算得解. 【详解】因为渐近线方程，所以，解得，同理， 由，则，即，整理得， 所以离心率. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对给6分，部分选对的给部分分，有错选的给0分. 9. 已知直线，则（ ） A. 直线过定点 B. 当时， C. 当时， D. 当时，两直线与之间的距离为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据直线过定点、两直线垂直和平行的条件以及两平行直线的距离公式进行判断计算即可. 【详解】对于A：变形为， 令得，因此直线过定点，故A错误； 对于B：当时，，， 因为，所以两直线不垂直，故B错误； 对于C：当时，， 因为，所以两直线平行，故C正确； 对于D：当时，则满足，得， 此时，， 则两直线间的距离为，故D正确. 故选：CD. 10. 如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点（不包括端点），平面交棱于点，则下列命题中正确的是（ ） A. 不存在点，使得为直角 B. 对于任意点，都有直线平面 C. 对于任意点，都有平面平面 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量数量积计算判断A；利用线面平行的性质推理判断B；利用线面垂直、面面垂直的判定推理判断C；利用等体积法推理判断D. 【详解】对于A，在正方体中， ， 因此与不垂直，即不存在点，使得为直角，A正确； 对于B，连接，则平面平面， 若平面，且平面，则， 显然仅当和为所在棱的中点时与才平行，B错误； 对于C，连接， 由平面，平面， 得，由为正方形，得， 而，平面，则平面， 又平面，于是，同理， 而，平面，则平面， 又平面，因此平面平面，C正确； 对于D，由，平面，平面，则平面， 则点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 因此三棱锥的体积为定值，D正确. 故选：ACD 11. 已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为 C. 若，则 D. 若，则直线的斜率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即得；对于B，利用抛物线上点的性质进行转化再结合图象，三点共线时，对应线段和最小即得；对于C，由条件推理得点的坐标，根据抛物线的定义可得可判断C的真假；对于D，设出直线的方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，将条件转化成坐标代入化简，可求直线的斜率，判断D的真假. 【详解】如图， 对于A，根据抛物线的性质，所有的焦点弦中，通径最短，为， 所以，，抛物线，焦点，故A正确； 对于B，根据抛物线的定义，，所以， 当三点共线时等号成立，取得最小值，故B正确； 对于C，记准线与轴的交点为，过作于.因为，，所以，所以. 根据抛物线的定义：，，所以，故C错误； 对于D，当，直线斜率存在且不为0，设直线即. 代入抛物线得，整理得. 设则， 由，点在第一象限，得.解得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再根据可得，利用空间向量垂直的坐标运算列式可求的值. 【详解】因为，，所以， 由得，又， 所以，解得. 故答案为： 13. 已知椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点，使得，则该椭圆离心率的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设条件和距离三角不等式可得的关系，进而求椭圆离心率的取值范围. 【详解】由椭圆焦点三角形的性质可得，， 所以， 即. 又椭圆的离心率，所以. 故答案为： 14. 《孙子算经》提出了“物不知其数”问题的解法，被称为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后来经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在正整数中，把被3除余数为2，被4除余数为2的数，按照由小到大的顺序排列，分别得到数列，，将，中不同的数放在一起，再按照由小到大的顺序排列，得到数列，则_____. 【答案】239 【解析】 【分析】根据题意可得数列，的通项公式，再分析数列，结合周期性可知，即可得结果. 【详解】因为， 可知数列是首项为2，公差为3的等差数列，是首项为2，公差为4的等差数列， 可得， 又因为数列，的相同的数组成的数列为， 可知数列是首项为2，公差为12的等差数列，可得， 则数列依次为， 可得，所以. 故答案为：239. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前20项和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用，可求得数列的通项公式； （2）代入的通项公式，利用裂项相消求和法，化简整理，即可得答案. 【小问1详解】 ，. 当时，满足上式，所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 ， 故. 16. 已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程并与已知直线联立求得圆心，即可求解； （2）按直线的斜率存在与不存在分情况讨论，根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以线段的中点坐标为，直线的斜率， 因此线段的垂直平分线方程是. 联立，解得， 所以圆心的坐标. 圆的半径长 所以圆心为的圆的标准方程是； 【小问2详解】 因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆到直线的距离. ①当直线的斜率不存在时，此时圆心到直线的距离为，不符合题意. ②当直线的斜率存在时，设， 即. 所以，解得或. 直线的方程为或 17. 已知递增等差数列满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前2n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解得，即，从而求解通项公式. （2）解法一：结合等差数列求和公式和等比数列求和公式，利用分组求和求解即可；解法二：利用并项求和法求和即可. 【小问1详解】 设递增等差数列的公差为d，则， 因为，所以， 即， 因为，，所以，所以，所以， 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 解法一： . 解法二： . 18. 如图（1），在直角梯形中，，，过的中点作交于点，，现将四边形沿着翻折至位置，使得，如图（2）所示． （1）证明：平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ，，，， 又，，，； ，，四边形为平行四边形，， 即图（2）中，，又，，， ，，平面，平面， 平面，， ，平面，平面. （2）存在，点位于线段靠近点的三等分点，理由如下： 由（1）得：平面，又，两两互相垂直， 以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，，， 设在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，且，， ， 设平面的法向量， 则，令，解得：，， ； 轴平面，平面的一个法向量， ， 解得：（舍）或，， 当点位于线段靠近点的三等分点时，平面与平面的夹角的余弦值为. 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可分别证得，，根据线面垂直的判定可证得结论； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据面面角的向量求法可构造方程求得的值，进而得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，不过点的直线与椭圆相交于两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若弦的中点的纵坐标为，求面积的最大值； （3）若，求证：直线过定点. 【答案】（1） （2） （3） ，， 即， ，， 代入（*）式，得， 即， 化简得， 即 ， 或， 当时，则直线，此时直线过点，不合题意舍去， 当时，则直线，此时直线过定点， 当直线斜率不存在时，直线交椭圆于，， 此时，显然成立. 直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据离心率公式，可得，将点坐标代入椭圆方程，结合a，b，c的关系，即可求得答案. （2）分析可得直线l斜率存在，设方程为，与椭圆联立，根据韦达定理，可得、表达式，代入弦长公式，可得表达式，再求得O到直线MN的距离，代入面积公式，结合m的范围，即可得答案. （3）由，可得，将直线方程代入，结合韦达定理，化简可得或，分别讨论，分析检验，即可得答案. 【小问1详解】 由题意得：，解得，椭圆方程为： 【小问2详解】 因为弦的中点的纵坐标为，所以直线斜率存在. 设直线，代入，可得， 设，，则，， 因为弦的中点的纵坐标为， 所以，即， ， O到直线MN的距离， ， 由，，可得， 当即时，取得最大值. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴宁一中高二年级第二次月考数学试题 2025.12.26 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过和两点，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，，则的值为（ ） A. 15 B. 20 C. 30 D. 40 3. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 4. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则＝（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 在等差数列中，若，，则（ ） A. 10 B. 18 C. 26 D. 32 7. 已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（    ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线左、右顶点分别为．若直线与两条渐近线分别交于，且，则双曲线的离心率为（　　） A. B. C. 2 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对给6分，部分选对的给部分分，有错选的给0分. 9. 已知直线，则（ ） A. 直线过定点 B. 当时， C. 当时， D. 当时，两直线与之间的距离为 10. 如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点（不包括端点），平面交棱于点，则下列命题中正确的是（ ） A. 不存在点，使得为直角 B. 对于任意点，都有直线平面 C. 对于任意点，都有平面平面 D. 三棱锥的体积为定值 11. 已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为 C. 若，则 D. 若，则直线的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，若，则的值为______. 13. 已知椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点，使得，则该椭圆离心率的取值范围为________． 14. 《孙子算经》提出了“物不知其数”问题的解法，被称为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后来经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在正整数中，把被3除余数为2，被4除余数为2的数，按照由小到大的顺序排列，分别得到数列，，将，中不同的数放在一起，再按照由小到大的顺序排列，得到数列，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前20项和． 16. 已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程. 17. 已知递增等差数列满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前2n项和. 18. 如图（1），在直角梯形中，，，过的中点作交于点，，现将四边形沿着翻折至位置，使得，如图（2）所示． （1）证明：平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 19. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，不过点的直线与椭圆相交于两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若弦的中点的纵坐标为，求面积的最大值； （3）若，求证：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $