专题05 相似三角形中母子型模型与手拉手模型（6大题型）（专项训练）数学人教版五四制九年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05相似三角形中母子型模型与手拉手模型 目录 A题型建模·专项突破 题型一、“母子”模型（斜射影模型) 题型二、双垂直模型（射影模型）… 3 题型三、“母子”模型（变形）… .8 题型四、三角形中的手拉手模型 .11 题型五、矩形中的手拉手模型 16 题型六、正方形中的手拉手模型… 22 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、“母子”模型（斜射影模型) 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角 形寓于大三角形中，恰似子依母怀)，也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对 应成比例就可以判定这两个三角形相似. “母子”模型（斜射影模型）条件：如图，∠C=LABD;结论：△ABD一△ACB,AB=ADAC L.如图，在△ABC中，点D在AB上，连接CD.已知AC=6,AD=4,BD=5,求证，△ACD△ABC. 2如离，在A1BC中，D是C上的点，F是0一点，且是-铝BD=BC4, 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D (I)求证：AC2=BC.CD: (2)若E是△ABC的重心，求AC2:AD的值. 题型二、双垂直模型（射影模型) 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角 形寓于大三角形中，恰似子依母怀)，也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对 应成比例就可以判定这两个三角形相似. D 双垂直模型（射影模型）条件：如图，∠ACB=90°，CD⊥AB; 结论：△ACD-△ABC-△CBD:CA=ADAB,BC=BDBA,CD=DADB. 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D. D (I)求证：△ACD∽△CBD: (2)若CD=V2,BD=1,求AD 4.(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D.求证：AB=AD·AC: D 图① 图② (2)如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=9O°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E,延长BE交AC于点 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F若D AF BC DC 1,求货和积的值： (3)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B,C重合），直线BE⊥AD于 AB BD AF 点E,交直线4C于点上，若8COC=”,，请直接写出下C的所有可能的值（用含n的式子表示）· 题型三、“母子”模型（变形) 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角 形寓于大三角形中，恰似子依母怀)，也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对 应成比例就可以判定这两个三角形相似： D B E “母子”模型（变形）条件：如图，∠D=∠CAE,AB=AC;结论：△ABD一△ECA: 5.如图，在△ABC中，D,E是BC上的点，已知△ADE是等边三角形，BD=1,DE=2,CE=4. B D (I)证明：△ABD∽△CAE: (2)求∠BAC的度数. 6.(24-25八年级下·四川成都期末)在△ABC中，AB=AC,∠BAC=Q,点D为BC边上一动点（不与 B,C重合)，连接AD,以AD为始边顺时针作∠ADE=P(Q+B=18O)，DF平分∠ADE· 图1 图2 图3 D 【初步探究】如图1DE与4C的延长线交于点E:若a&=60'B=120,CD=2BD,求 F的值. 3/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CE 【类比迁移】如图2'DB与4C的延长线交于点E,若a=B=90,CD=2BD,求C行的值. BC 8 【拓展应用】如图3”DB与直线AC交于点E:AB5· BD (,)当EC=ED且点E在线段AC上时，CD的值. BD (2)当cD=CE且点E在4C的延长线上时，求CD的值. 题型四、三角形中的手拉手模型 【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小（这个顶点 不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形 的旋转相似三角形。 1)手拉手相似模型（任意三角形） AD AE EC =k 条件：如图，∠BAC=∠DAE=C,ABAC :结论：△4DE-△1BC,△4Bn-△MCE:BDk 2)手拉手相似模型（直角三角形） OC OD 条件：如图，∠AOB=∠COD=90°，OAOB =k (即△COD-△AOB): BD 1 =k 结论：△4OC-△B0D:AC,AC⊥BD, S.=ABxCD 7.(2025广东深圳二模)如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=12,点D,E分别是边 BC,AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为. 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 备用图 AE 【问题发现】①当。=0时，BD AE ②当a=180时， BD AE 【拓展探究】试判断：当0≤a<360时，DB的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明。 【问题解决】当△EDC旋转至A,D,E三点共线时，直接写出线段BD的长 8.(2025·贵州模拟预测)如图1，在△ABC中，DB=90°，点D、E分别是边BC、AC上的点，连接 DE,且DE∥AB.将△CDE绕点C逆时针方向旋转，旋转角为a. 图1 图2 备用图 (1)问题发现 如图2，在旋转过程中，当0°<a<I80°时，证明△BCD∽△ACE: (2)拓展探究 AE 若AB=2,BC=1时，在旋转过程中，试求BD的值。 (3)问题解决 在2的条件下，且CDBC,当ACDE绕点C时针旋转至、。、F亨点在同一条直线时， 段BD的长. 题型五、矩形中的手拉手模型 1.模型构造条件：在矩形ABCD中，若分别以矩形的一组邻边（如AB、AD)为边，向外（或向内）作两 个相似三角形（如△ABE一△ADF),且对应角与矩形内角重合（∠BAE=LDAF)，连接对应顶点（如 BF、DE),则构成“手拉手”相似模型，核心是“共顶点、等夹角、邻边相似”。 2.核心结论：一是对应线段成比例且夹角等于矩形内角，即BFDE=ABAD(矩形邻边比)，且 ∠BGD=90°(G为BF与DE交点)，因相似三角形对应角相等，结合矩形内角90°可推导；二是衍生相似， 如△BAG一△DCG,由核心比例关系和对顶角相等可证。 3.应用关键：解题时先定位矩形的“共顶点”（通常为直角顶点），识别相似三角形的“拉手边”（矩形 5/14 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 邻边)，再利用“线段比例+夹角90©”结论，快速求解线段长度、角度或证明垂直关系，需注意内外作三 角形时结论一致性，仅图形位置不同。 9.(2025·安徽蚌埠·三模)将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转，得到矩形FECG. F D M 图1 图2 图3 （①)如图1，若AB=)BC,点E落在4D上，求∠ABE的度数： (2)连接BD,FC,过点E作EM∥FC交BD于点M. ①如图2，证明：BM=EM; ②如图3，若射线BD分别交EC,FC于点P,N,请探究线段BN,MN,PN之间的数量关系，并说明 理由 10.(24-25八年级下·山东威海·期末)(1)如图1，正方形ABCD和正方形AEFG,连接DG并延长交BE 于点H.求证：DG⊥BE: (2)如图2，若将(1)中正方形改为菱形，且∠EAG=∠BAD=a,求∠DHB的度数： (3)如图3，若将(1)中正方形改为矩形，且 AE AB 2 AGAD3’AB=4'AB=8:连接BG,DE,将矩 形AEFG绕点A旋转，旋转过程中发现BG2+DE的值为定值，请求出这个定值， A B B 图1 图2 图3 题型六、正方形中的手拉手模型 1.模型构造条件：以正方形ABCD的一个顶点（通常为直角顶点A)为公共顶点，分别向正方形外侧（或 内侧)作两个等腰直角三角形（如△ABE和△ADF,且∠BAE=LDAF=90),连接对应顶点（如 BF、DE),即构成模型。核心是“共直角顶点、等直角边、邻边全等”，因正方形邻边相等，故模型兼 具相似与全等属性。 2.核心结论：一是对应线段全等且垂直，即BF=DE且BF⊥DE,由正方形AB=AD、等腰直角三角形 AE=AF,可证△BAF≌△DAE,进而推导线段关系：二是衍生等腰直角三角形，如BF与DE交点为G, 6/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则△AGB一△DGC,且夹角为90°。 3.应用关键：解题时先锁定正方形的公共直角顶点，识别“拉手边”（正方形邻边与等腰直角三角形直角 边)，利用“全等+垂直”结论快速求线段长度、证垂直或构造辅助线，内外作三角形时结论一致，仅图 形位置不同。 11.(24-25八年级下·江苏苏州：阶段练习)(1)【问题发现】如图①，正方形ABCD,DEFG,将正方形 DEFG绕点D旋转，直线AE、CG交于点P,请直接写出线段AE与CG之间的数量关系是 位置关系是 B G GP D 图① 图② (2)【拓展探究】如图2，矩形ABCD,DEFG,AD=2DE,AB=2DG,AD=DG,将矩形DEFG绕D旋转： 直线AE,CG交于点P,(1)中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段 之间的关系： (3)【解决问题】若AD=2DE=6,AB=2DG=12,矩形DEFG绕D旋转过程中当点P与点G重合时， 直接写出线段AE的长是 12.(2025广东深圳模拟预测)如图1所示，边长为4的正方形ABCD与边长为a(1<a<4)的正方形 CFEG的顶点C重合，点E在对角线AC上. 小 【问题发现】(1)如图1所示，AE与BF的数量关系为 【类比探究】(2)如图2所示，将正方形C℉EG绕点C旋转，旋转角为a(0<a<30°)，请问此时上述结 论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由： CG 1 【类比迁移】如图3，四边形ABCD,CEGF都是矩形，AG2,AB=9,AD=12:小明将矩形CEGr绕 点C顺时针旋转(0≤a≤360)，如图4所示. AG (3)请直接写出BE的值为- (4)在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，请求出AG的长度. 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (提示：要分类讨论，如图5当点E在线段BF上时；如图6当点E在BF的延长线上时) B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26九年级上河北：阶段练习)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD L BC,AD=3,BD=2,则CD 的长为() D A.1 B.6 c 4 D.3 2.(21-22九年级上·黑龙江哈尔滨阶段练习)如图，△ABC是等边三角形，D、B、C、E在一条直线上， ∠DAE=120°，若BD=1,CE=4,则AB的长是()· A.5 B.2 C.3 D.4 3.(2024安徽·模拟预测)如图，△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE以A 为中心顺时针旋转，点M为射线BD,CE的交点.若AB=√3，AD=1,则下列结论错误的是() A.BD=CE B.BD⊥CE C.当点E在BA的延长线上时，MC=3-√3 D.在旋转过程中，当线段MB最短时，△MBC的面积为 二、填空题 4.(25-26九年级上·山东济南阶段练习)如图，若CD是Rt△ABC斜边上的高，AD=1,CB=23,则 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ABC的面积为一。 5.(25-26九年级上·上海嘉定·阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点C旋转得 到△A'B'C,点A的对应点恰好与△ABC的重心重合，AB与BC相交于点E,那么CE:BC的值为 B E 6.(24-25九年级上·内蒙古包头·期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,已知B,C在线 段DE上，∠DAE=135°且线段BD=9,CE=4,则BC的长为一· A D B E 三、解答题 7.(25-26九年级上江苏扬州阶段练习)已知：如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ACD=∠B, 若AC=5,AB=9,CB=6. D B (I)求证：△ADC~△ACB: (2)求CD的长. 8.(25-26九年级上·陕西西安阶段练习)如图，点C,D在线段AB上，△PCD是等边三角形，AC=2, PC=22,BD=4. 9/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (I)求证：△ACP∽△PDB: (2)求∠APB的度数. 9.(2025九年级全国·专题练习)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点F,E分别在线段BC,AC上， 且∠FAC=∠ADE,AC=AD B (I)求证：DE=AF. (2)请增加一个条件，使△ABF∽aCDE,并证明. 10.(25-26九年级上浙江金华·期中)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC,AE⊥BC. (I)求证：△BAF∽△BCD (2)若AB=3,AC=4,求BF的长 11.(2026九年级贵州专题练习)如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的动点，若AE=3, AC=8,AB=6. A B C I)若DE∥BC,则AD=一 (2)若△ADE∽△ACB,∠B=70° AD ①对应边的关系为：4C ②∠AED=°； ③△ADE与△ACB的周长之比为一，面积之比为一； (3)添加一个条件：一（不添加辅助线），使得△ADE一△ABC. 12.(25-26九年级上·上海阶段练习)如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC,点D在边AC的 10/14 专题05 相似三角形中母子型模型与手拉手模型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、“母子”模型（斜射影模型） 1 题型二、双垂直模型（射影模型） 3 题型三、“母子”模型（变形） 8 题型四、三角形中的手拉手模型 11 题型五、矩形中的手拉手模型 16 题型六、正方形中的手拉手模型 22 B综合攻坚・能力跃升 题型一、“母子”模型（斜射影模型） 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． “母子”模型（斜射影模型）条件：如图，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 1．如图，在中，点在上，连接．已知，求证，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．通过计算可得，加上为公共角，则根据相似三角形的判定方法可判断． 【详解】证明：，，， ，， ， ， 2.如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， （1）证明，可得，可证，可得，即可得证； （2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二、双垂直模型（射影模型） 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 双垂直模型（射影模型）条件:如图，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3．如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余得到，再由两个三角形相似的判定定理求解即可得证； （2）由（1）中得到，再将，代入求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，于点， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 4.（1）如图①，在中，，于点D．求证：； （2）如图②，在中，，点D为边上的点，于点E，延长交于点F，若，求和的值； （3）在中，，点D为直线上的动点（点D不与B，C重合），直线于点E，交直线于点F，若，请直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示）． 【答案】（1）见解析； （2），； （3）满足条件的的所有可能的值为或或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意可证，从而可得即； （2）过点C作交的延长线于点G，可得，结合可得，从而可知，同理（1）可得，，即可变换为，，最后根据，即可得出； （3）同理（2）考虑点D在线段上时、D在线段的延长线上时、点D在线段的延长线上时三种情况即可． 【详解】解：（1）证明：如图①， ，， ， 又， ， ， ． （2）解：方法一： 如图②，过点C作交的延长线于点G， ， ，． ， ，， 又， ， ． 同理（1）可得：，， ， ， ． ， ． 方法二： 如图③，过点D作，交于点G， ， ，． ， ，． 同理（1）可得：，， ， ， ， ． （3）解：点D为直线上的动点（点D不与B、C重合），有三种情况： （I）当点D在线段上时，如图④所示： 过点D作，交边于点G． ， ，，． ， ， ，，． 同理（1）可得：，， ； ， ， 即， 化简得：； （II）当点D在线段的延长线上时，如图⑤所示： 过点D作，交边的延长线于点G． 同理可求得：； （III）当点D在线段的延长线上时，如图⑥所示： 过点D作，交边的延长线于点G． 同理可求得：． 即满足条件的的所有可能的值为或或． 题型三、“母子”模型（变形） 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． “母子”模型（变形）条件:如图，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 5．如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，，，． (1)证明：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据等边三角形性质得到角和边的关系，再通过计算边的比例证明相似； （2）利用（1）的相似结论得到角的关系，进而求出的度数． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， ， ，， ，， ， 又， ； （2）解：， ， ， ， ． 6．（24-25八年级下·四川成都·期末）在中，，，点为边上一动点不与，重合，连接，以为始边顺时针作，平分．    【初步探究】如图，与的延长线交于点，若，，，求的值． 【类比迁移】如图，与的延长线交于点，若，，求的值． 【拓展应用】如图，与直线交于点，． （）当且点在线段上时，的值． （）当且点在的延长线上时，求的值． 【答案】初步探究：；类比迁移：；拓展应用：（）；（） 【分析】初步探究：证明，从而得出，即可求解； 类比迁移：作于，同理初步探究可得，从而，不妨设，，则，，从而得出和，进而得出，从而得出，的值，可证得，从而，进而得出的值，进一步得出结果． 拓展应用：（）可推出，，从而得出，作的垂直平分线，交于，作于，作，可推出，从而得出故设，，，设，，在中，根据勾股定理得，从而求得，根据得出，从而得出，进一步得出结果； （）根据题意可设，则，，从而得出，，作的垂直平分线，交于，作于，从而得出，，进而得出，可表示出，，根据得出的值，进而即可求解． 【详解】初步探究：，， ，是等边三角形， ，， ， ， ，平分， ， ， ， ， ； 类比迁移：如图，    作于， ，， ， 同理初步探究可得，， ， 不妨设，，则，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 拓展应用：（）如图，    由题意不妨设，， ， ， ， ， ， ， ， ， 作的垂直平分线，交于，作于，作， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，，， 设，， 在中， 由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （）如图，   ， ， 设，则，， ， ， 作的垂直平分线，交于，作于， ， ， ， ， ， 由（）可得，， ， 由得， ， ， ， ． 题型四、三角形中的手拉手模型 【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 1）手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；. 2）手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图，，（即△COD∽△AOB）； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 7．（2025·广东深圳·二模）如图1，在Rt中，，点分别是边的中点，连接．将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为． 【问题发现】①当时，___________；②当时，___________； 【拓展探究】试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明． 【问题解决】当旋转至三点共线时，直接写出线段的长． 【答案】[问题发现]①；②；[拓展探究]的大小无变化；见解析；[问题解决]或 【分析】[问题发现]先利用勾股定理求得，再利用中点的意义分别求得与，然后求出它们的比； [拓展探究]先证明，再求出与，然后得出结论； [问题解决]分“点在线段上”、“点在线段上”两种情形，分别证明，列出比例求出． 【详解】解：[问题发现] ①当时，如图1， ∵在Rt中，， ∴， ∵点分别是边的中点， ∴，， ∴， 故答案为：； ②当时，如图， 由旋转的性质可知：，， ∴， ， ∴， 故答案为：； [拓展探究] 无变化． 理由：如图1中，∵是的中位线， ∴， 如图2中，∵在旋转过程中形状大小不变， ∴仍然成立， 又∵， ∴， ∴， ∴的大小无变化． [问题解决] 当点在线段上时，如图， 与[拓展探究]同理可证， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，解得：； 当点在线段上时，如图， 同理可证， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，解得：， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了利用旋转的性质求线段的长，相似三角形的判定与性质，中位线定理等知识，解题关键是利用相似三角形的判定证明三角形相似，并列出比例求出待线段的长． 8．（2025·贵州·模拟预测）如图1，在中，，点、分别是边BC、上的点，连接，且．将绕点逆时针方向旋转，旋转角为α． (1)问题发现 如图2，在旋转过程中，当时，证明； (2)拓展探究 若时，在旋转过程中，试求的值． (3)问题解决 在（2）的条件下，且，当绕点逆时针旋转至、、三点在同一条直线上时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是证明三角形相似． （1）平行线分线段成比例，推出，再根据角的和差关系推出，即可得证； （2）勾股定理求出的长，相似三角形的性质，求出的值即可； （3）分两种情况进行讨论，结合（2）中结论进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）∵，， ∴， 由（1）可知：， ∴； （3）如图，当点E在的延长线上时，则：， 由（1）知：， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由（2）知：， ∴； 当点在线段上时，同理，，则：， ∴； 综上：或． 题型五、矩形中的手拉手模型 1. 模型构造条件：在矩形ABCD中，若分别以矩形的一组邻边（如AB、AD）为边，向外（或向内）作两个相似三角形（如△ABE∽△ADF），且对应角与矩形内角重合（∠BAE=∠DAF），连接对应顶点（如BF、DE），则构成“手拉手”相似模型，核心是“共顶点、等夹角、邻边相似”。 2. 核心结论：一是对应线段成比例且夹角等于矩形内角，即BF/DE=AB/AD（矩形邻边比），且∠BGD=90°（G为BF与DE交点），因相似三角形对应角相等，结合矩形内角90°可推导；二是衍生相似，如△BAG∽△DCG，由核心比例关系和对顶角相等可证。 3. 应用关键：解题时先定位矩形的“共顶点”（通常为直角顶点），识别相似三角形的“拉手边”（矩形邻边），再利用“线段比例+夹角90°”结论，快速求解线段长度、角度或证明垂直关系，需注意内外作三角形时结论一致性，仅图形位置不同。 9．（2025·安徽蚌埠·三模）将矩形绕点C按顺时针方向旋转，得到矩形． (1)如图1，若 点E落在上，求的度数； (2)连接，，过点E作交于点M． 如图2，证明：； 如图3，若射线分别交，于点P，N，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）如图，过作于，证明四边形为矩形，求解，证明，即可解答． （2）①连接BE，证明，得到，即可证得．②连接，证明，，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过作于，四边形为矩形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 矩形绕点A顺时针旋转得到矩形， ∴， ∵， ∴，， ， ， ， 矩形，， ． ∴ （2）证明：如图，连接， 由矩形与旋转可得：，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； ②关系式为，证明如下： 如图，连接， 在≌中， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ，， ∴， ， ， 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，掌握这些性质定理是解题的关键． 10．（24-25八年级下·山东威海·期末）（1）如图1，正方形和正方形，连接并延长交于点．求证：； （2）如图2，若将（1）中正方形改为菱形，且，求的度数； （3）如图3，若将（1）中正方形改为矩形，且，，．连接，，将矩形绕点旋转，旋转过程中发现的值为定值，请求出这个定值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）260 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形，矩形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，勾股定理等；掌握判定方法及性质，作出恰当的辅助线，构建直角三角形，利用勾股定理解答是解题关键． （1）如图，交于，由正方形的性质及可判定，由全等三角形及性质得，即可得证； （2）同（1）可证，得，再结合三角形的内角定理，即可求得； （3）连接、，交于，交于，由矩形的性质及三角形相似判定方法得，由三角形相似的性质得，由勾股定理得，，，，即可求解； 【详解】解：（1）如图，交于， 四边形与四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中，， ， ∴， ， ，则 ， ； （2）如图，交于， 四边形与四边形是菱形，， ，， ， ， 在和中，， ， ，， ， ； （3）如图，连接、，交于，交于， 四边形和四边矩形是矩形， ， ， ， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型六、正方形中的手拉手模型 1. 模型构造条件：以正方形ABCD的一个顶点（通常为直角顶点A）为公共顶点，分别向正方形外侧（或内侧）作两个等腰直角三角形（如△ABE和△ADF，且∠BAE=∠DAF=90°），连接对应顶点（如BF、DE），即构成模型。核心是“共直角顶点、等直角边、邻边全等”，因正方形邻边相等，故模型兼具相似与全等属性。 2. 核心结论：一是对应线段全等且垂直，即BF=DE且BF⊥DE，由正方形AB=AD、等腰直角三角形AE=AF，可证△BAF≌△DAE，进而推导线段关系；二是衍生等腰直角三角形，如BF与DE交点为G，则△AGB∽△DGC，且夹角为90°。 3. 应用关键：解题时先锁定正方形的公共直角顶点，识别“拉手边”（正方形邻边与等腰直角三角形直角边），利用“全等+垂直”结论快速求线段长度、证垂直或构造辅助线，内外作三角形时结论一致，仅图形位置不同。 11．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）（1）【问题发现】如图①，正方形，将正方形绕点旋转，直线、交于点，请直接写出线段与之间的数量关系是___________，位置关系是___________． （2）【拓展探究】如图2，矩形，将矩形绕旋转；直线交于点，（1）中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段之间的关系； （3）【解决问题】若，矩形绕旋转过程中当点与点重合时，直接写出线段的长是___________． 【答案】（1），；（2）、的数量关系不成立，位置关系仍成立，、的数量关系为：，理由见解析；（3）或 【分析】本题综合考查了全等三角形及相似三角形的判定及性质，以及勾股定理的应用，根据题意画出符合题意的图形是解决本题的关键． （1）证明得到与的数量关系，通过角的等量代换，求得，得到和的位置关系； （2）可通过已知对应角，和对应边的比例关系，证明，求得和的数量关系；然后利用角的等量代换，求得，得到和的位置关系； （3）分情况讨论，①当点和点在边上方重合时，②当点和点在边下方重合时，分别求解． 【详解】解：（1），； ∵四边形，都是正方形， ∴，，． ∴， ∴． ∴． ∴，， ∵， ∴． ∴； （2）（1）中数量关系不成立，位置关系成立． ，． 理由如下：由题意知在矩形、中， ， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． 综上所述：，； （3）∵ ∴ 如解图①， ； 如解图2，连接，设，则，     ，， 在中，， ， ∴（舍去）． 综上所述，当点与点重合时，线段的长为或． 故答案为：或． 12．（2025·广东深圳·模拟预测）如图1所示，边长为4的正方形与边长为的正方形的顶点C重合，点E在对角线上． 【问题发现】（1）如图1所示，与的数量关系为 ； 【类比探究】（2）如图2所示，将正方形绕点C旋转，旋转角为，请问此时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由； 【类比迁移】如图3，四边形都是矩形，，，小明将矩形绕点C顺时针旋转，如图4所示． （3）请直接写出的值为 ． （4）在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，请求出的长度． （提示：要分类讨论，如图5当点E在线段上时；如图6当点E在的延长线上时）   【答案】（1），理由见解析（2）结论还成立，理由见解析；（3）；（4）的长为或 【分析】本题考查了矩形的正方形的性质、相似三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、勾股定理等知识点，熟练运用相关知识成为解决问题的关键． （1）先根据正方形的性质可得，，再根据平行线等分线段定理即可解答； （2）如图2：连接，根据正方形的性质证明，然后根据相似的性质列比例式求解即可； （3）如图3，连接．根据矩形的性质可得，进而得到，再证明，然后根据相似三角形的性质即可解答； （4）分点E在线段上和点E在的延长线上两种情况，分别根据勾股定理、相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴ ∴，即． 故答案为：； （2）解：上述结论还成立，理由如下： 如图2：连接， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴（两边对应成比例且夹角相等） ∴， ∴； （3）如图3，连接． ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）①如图5中，当点E在线段上时，连接，过点C作于J． ∵，， ∴CJ， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②如图6中，当点E在的延长线上时， 同法可得：， ∴． 综上，的长为或． 一、单选题 1．（25-26九年级上·河北·阶段练习）在中，，，，，则CD的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质及相似三角形的判定与性质，解题的关键是识别出中斜边上的高所构成的相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质建立等式求解的长． 在中，可得；由，可推出（均为的余角），从而判定；根据相似三角形对应边成比例，得，代入、的已知条件，即可计算的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴（垂直的定义）． ∵，， ∴（同角的余角相等）． ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． ∴（相似三角形对应边成比例）． 已知，，代入得， 交叉相乘得， 解得． 该结果与选项C一致， 故选：C． 2．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 是等边三角形，在一条直线上，，若，，则的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形外角性质，由等边三角形性质可得，，由，得，根据三角形外角性质可得，，所以，，故有，则，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 3．（2024·安徽·模拟预测）如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线，CE的交点．若，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．当点E在的延长线上时， D．在旋转过程中，当线段最短时，的面积为 【答案】C 【分析】证明即可判断A，根据三角形的外角的性质得出B，证明得出，即可判断C；以为圆心，为半径画圆，当在的下方与相切时，的值最小，可得四边形是正方形，在中，然后根据三角形的面积公式即可判断D． 【详解】解：∵和是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，，故A说法正确； 设， ∴， ∴， ∴，故B说法正确； 当点在的延长线上时，如图所示    ∵，， ∴ ∴ ∵，． ∴， ∴ ∴，故C说法错误； 如图所示，以为圆心，为半径画圆，    ∵， ∴当在的下方与相切时，的值最小， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴取得最小值时， ∴ 故D说法正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最短，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题 4．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，若是斜边上的高，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，先证明，可得，进而由得到，解得，即得，再利用勾股定理求出即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 整理得，， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在 中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好与 的重心重合，与相交于点，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形重心的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，旋转的性质．熟练掌握三角形重心的性质和三角形相似的判定定理与性质定理是解题关键． 延长交于点D，根据三角形重心的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得出．根据旋转的性质得出，，从而得出，并可证，再结合相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点D， ∵点恰好与的重心重合， ∴，是的中线， ∴， ∴． 由旋转得：，， ∴，即． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图，在中，，已知B，C在线段上，且线段，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定与性质列出比例式解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得， ， 故答案为：． 三、解答题 7．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知：如图，在中，是上一点，且，若，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“两角对应相等，两三角形相似”即可证明； （2）根据相似三角形的性质，对应边成比例得，将数值代入计算即可求出的长； 本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握利用两组角对应相等可判定两个三角形相似是解题的关键． 【详解】（1）证明：在与中， ∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴． 8．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点，在线段上，是等边三角形，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由为等边三角形，则、，进而得到，再说明，然后根据两边对应成比例且夹角相等判定三角形相似即可证明结论； （2）根据相似三角形对应角相等得到，再说明，然后根据角的和差即可解答． 【详解】（1）证明：如图：∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在四边形中，，点分别在线段上，且，． (1)求证：． (2)请增加一个条件，使，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定添加条件证明即可． 【详解】（1）证明：， ． 在和中， ， ． （2）解：增加条件． 证明：， ， ，即． 又， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 10．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，平分，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据垂直以及角度运算得到，再通过角平分线得到，进而可证； （2）先通过等面积法得到，求出，，再通过勾股定理求出，然后通过相似三角形的比例式即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴到的距离等于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴在中，， 又∵， ∴， ∴． 11．（2026九年级·贵州·专题练习）如图，，分别是的边，上的动点，若，，． (1)若，则 ； (2)若，． ①对应边的关系为： ； ② ； ③与的周长之比为 ，面积之比为 ； (3)添加一个条件： （不添加辅助线），使得． 【答案】(1) (2) (3)（答案不唯一） 【分析】（1）根据判定，再利用相似三角形的性质求解即可； （2）①根据相似三角形对应边成比例作答即可； ②根据相似三角形对应角相等求解即可； ③根据相似三角形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方求解即可； （3）根据相似三角形的判定作答即可，答案不唯一． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， 解得：． （2）解：∵， ∴， ， 与的周长之比为，面积之比为． （3）解：当时，．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 12．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图1，在中，，点在边的延长线上，且． (1)求的值； (2)在图1的基础上作的平分线，交线段于点，交线段于点（如图2）． ①求的度数； ②当时，求线段的长． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）①由（1）可知，然后可得，则有，进而问题可求解； ②由（1）可知，然后可得，则有，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①由（1）可知：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 13．（2025九年级·全国·专题练习）如图①，在中，分别是线段的中点，连接． (1)求证：． (2)如图②，当绕点顺时针旋转时，连接，并延长交于点，交于点． ①求的值； ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①②证明见解析 【分析】（1）根据分别是线段的中点，得到是的中位线，即可得到，进而证明； （2）①由可得，由旋转的性质易得，从而可证，通过相似三角形的性质可得，通过勾股定理可求出，，代入后即可求解；②通过可得，再通过即可得到，进而求解． 【详解】（1）证明：分别是线段的中点， 是的中位线， ， ∴，， ． （2）解：①， ． 由旋转的性质易得， ． 又， ， ． ②证明： ． 又， ，即． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了含角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、中位线定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 14．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图1，在中，，，点，分别是边，上的点，且，，连接，将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为． (1)【问题发现】当时，____；当时，____． (2)【拓展探究】试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明． (3)【问题解决】当旋转至，，三点共线时，直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)的大小没有变化，证明见解析 (3)的长为或 【分析】（1）由题意可得，由勾股定理可得，当时，求出 ，；当时，求出，，代入所求式子计算即可得解； （2）由，，得出，，进而推出，由相似三角形的性质即可得解； （3）求出，再由勾股定理可得，结合题意可得，，证明，求出，再分两种情况：当点在上时；当点在上时；分别结合勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∴， 当时，，， ∴，， ∴，， ∴； 当时，如图： ， ∵，， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：的大小没有变化，证明如下： ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，当点在上时，， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图，当点在上时，， ， 同理可得：， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 15．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）【数学实验】 将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，将其中一张纸片绕这个顶点旋转，探究图形旋转的性质．如图1，已知直角三角形纸片和中，，，． 【感知】 （1）如图，在绕点A旋转过程中，若连接，，求的值． 【探究】 （2）在绕点A旋转过程中，当点E恰好落在的中线上时，求的长． 【拓展】 （3）在绕点A旋转过程中，连接，，试探究与能否相似，若能，请直接写出此时的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）2；（2）4；（3）或． 【分析】（1）连接，，由含角的直角三角形的性质得到，由旋转的性质得到，进而得到，再利用相似三角形的性质求解； （2）因为，根据含角的直角三角形的性质得到，当点恰好落在的中线上时，点与重合，利用垂直平分线的性质求解； （3）存在两种情况，当点与的中点重合时，点在的延长线上，分别来求解． 【详解】（1）解：如图1，连接，，    ∵，， ∴． 由旋转得，，， ， ∴， ， ∴的值是2； （2）解：如图2，∵， ∴． ∵是的斜边上的中线， ∴， ∴， ∴当点恰好落在的中线上时，点与重合． ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴的长是4．    （3）解：与能相似， 当点与的中点重合时，如图2， 则，，， ， ∴． ∵，，， ∴． 当点在的延长线上，连接，如图3，      ∵， ∴， ∴． 在和中 ， ， ∴， ∴三点在同一条直线上． ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，与能相似，此时的面积为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、线段的垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，理解相关知识是解答关键． 16．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点，分别是点，的对应点． (1)如图1，连接，，直线和直线的位置关系为________． (2)如图2，当点恰好落在边上，连接交于点，连接， 求证：①平分； ②点为线段的中点． (3)若直线与直线交于点，当时，请直接写出的长________ 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析； (3)的长为或． 【分析】（1）由旋转的性质得到，，，求得，根据相似三角形的性质得到，延长与的延长线于点，交于点，求得，据此得解； （2）①过点作于点，由旋转可知，得到，根据 平行线的性质得到，推出平分； ②根据角平分线的性质得到，由旋转可知，，根据全等三角形的性质得到； （3）根据旋转的性质得到，，，求得，得到，得到为等边三角形，同理为等边三角形，如图2，根据直角三角形的性质结合勾股定理得到，，即可求得；如图3，同理求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质知，，，， ， ， ， 延长与的延长线于点，交于点， ∵矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）证明：①由旋转可知，， ， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ②如图，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵，平分， ∴， 由旋转可知，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）解：由旋转得，，， ∴． ∵， ∴，在四边形中，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵ ∴为等边三角形， ∴， 如图，令与的交点为， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图， 同理可得，，， ∴ 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握各知识点是解题的关键． 17．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）我校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，发现直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形都相似，从而进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中、，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出了三个结论：①，②，③，请选择其中一个进行证明． （2）如图2，F为线段延长线上一点，连接并延长至点E，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点D，满足，，连接并延长至点E，且，当线段的长度取得最小值时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）是直角三角形；理由见解析；（3）线段的长为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题关键是找准相似三角形求出相关线段． （1）选①，先证明，再列出比例式，变形即可得； 选②，先证明，再列出比例式，变形即可得； 选③，先证明，再列出比例式，变形即可得； （2）先证明，再列出比例式，变形即可得，再证明，从而可得，再利用垂直的意义得出，从而可得，最后可判断是直角三角形； （3）先证明，再利用垂直的意义得出，从而可求得，再证明，列出比例式和，从而可得，求得，从而可得是定值，且是定值，再得出当时，取得最小值，此时E与重合，求得，从而可利用勾股定理求得． 【详解】（1）证明：选①：在中，，，垂足为D， ， ， ， ， ； 选②：在中，，，垂足为D， ， ， ， ， ； 选③：在中，，，垂足为D， ， ，， ， ， ， ； （2）解：是直角三角形；理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形； （3）解：如图，是直角三角形，，过E作交的延长线于G，过B作交于，过D作交于H， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ，即， 解得：， 是定值，且是定值， 在直线上运动， 当时，取得最小值，此时E与重合， ， 在直角三角形中，， ∴当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 18．（2025·河北邢台·模拟预测）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 【初步观察】如图1，矩形和矩形重合，，，矩形保持不动，将矩形绕点A逆时针旋转． （1）如图2，当经过点D时，DF的长为______． 【实践探究】 （2）①如图3，当点E落在对角线上时，连接，的度数为______； 的长为______． ②如图4，当点F落在的延长线上时，延长交于点H，请判断与的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）矩形绕点A逆时针旋转，若直线，交于点P，请直接写出点P到直线的距离的最大值． 【答案】（1）；（2）①，；②，理由见解析；（3）4． 【分析】（1）由矩形得到，，当经过点D时，勾股定理求出，进而求解即可； （2）①证明出，得到，求出，如图所示，连接，勾股定理求出，由相似得到，设，，则，勾股定理求出，进而求解即可； ②如图所示，连接，，，得到，证明出四边形是平行四边形，得到，证明出，得到，即可得到； （3）首先得到，点P在以为直径得圆上运动，如图所示，连接，交于点O，当点P在经过对角线交点O，垂直的直径上时，点P到的距离最大，即的值，然后利用勾股定理求出，求出，进而求解即可． 【详解】（1）四边形，是矩形，且初始位置重合， ，，， 当经过点D时，中，， ， 故答案为：； （2）①， ，即，， ， ， ， ，即， 如图所示，连接， 根据题意，， ， ， 设，，则， 在中，， ， 整理得，， 解得，不符合题意，舍去，， ， ， 故答案为：，； ②，理由如下， 四边形，是矩形， ， 当点F落在的延长线上时，，即， 如图所示，连接，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 根据题意可得，，， ， ， ； （3）根据（2）中①可得直线，交于点P，同理可得， 点P在以为直径得圆上运动，如图所示，连接，交于点O， 当点P在经过对角线交点O，垂直的直径上时，点P到的距离最大，即的值， 根据矩形，勾股定理得到，，， ， 在中，点O是中点， ， ， 点P到直线的距离的最大值为． 【点睛】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $