专题07 期末真题百练通关（期末复习专项训练，69题9大题型）七年级数学上学期新教材北京版

专题07 期末真题百练通关（69题9大题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 规律探索 题型7 代数综合 题型2 数轴综合 题型8 角度综合 题型3 列代数式 题型9 线段与数轴、动点综合 题型4 新定义问题 题型5 方程问题 题型6 其他问题 题型一 规律探索（共5小题） 1．(24-25七上·北京昌平区·期末)将正方体骰子放置于水平桌面上，在图②中，将骰子向右翻滚；然后在桌面上按逆时针方向旋转，则视作完成一次变换，若骰子的初始位置为图①所示的状态，那么按上述规则连续完成2024次变换后，骰子朝上面的点数是（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查图形规律，按题意画出图，找到规律判断即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 根据上图可知：第一次变换后，朝上的点数为5， 第二次变换后，朝上的点数为6， 第三次变换后，朝上的点数为3， 由此可知，连续3次变换是一个循环． 所以， 所以按上述规则连续完成2024次变换后，骰子朝上面的点数是6， 故选：D． 二、填空题 2．(23-24七上·北京北大附中石景山学校·期末)一只小球落在数轴上的某点P0，第一次从P0向左跳1个单位到P1，第二次从P1向右跳2个单位到P2，第三次从P2向左跳3个单位到P3．第四次从P3向右跳4个单位到P4…．若小球从原点出发，按以上规律跳了6次时，它落在数轴上的点P6所表示的数是 ；若小球按以上规律跳了2n次时，它落在数轴上的点P2n所表示的数恰好是n+2，则这只小球的初始位置点所表示的数P0是 ． 【答案】 3 2 【分析】根据向左减向右加的规律计算得到第6次跳后落点所表示的数，再计算第8次，第10次跳后表示的数，由此得到规律：跳了2n次时，它落在数轴上的点P2n所表示的数2n2=n，由此再列得n+2-n=2，计算即可． 【详解】解：小球从原点出发，跳了6次时，它落在数轴上的点P6所表示的数是0-1+2-3+4-5+6=3，即62=3； 小球从原点出发，跳了8次时，它落在数轴上的点P8所表示的数是0-1+2-3+4-5+6-7+8=4，即82=4； 小球从原点出发，跳了10次时，它落在数轴上的点P10所表示的数是0-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10=5，即102=5； , 由此可得：若小球按以上规律跳了2n次时，它落在数轴上的点P2n所表示的数2n2=n， ∵点P2n所表示的数恰好是n+2， ∴这只小球的初始位置点所表示的数P0是n+2-n=2， 故答案为：3，2． 【点睛】此题考查数轴上点的运动规律计算，数字列规律计算，发现规律并应用解决问题是解题的关键． 3．(24-25七上·北京门头沟区·期末)密码学是研究编制和破译密码规律的一门学科，它与数学有密切关系，如将“明文”中的26个英文字母a，b，c，…，z，1，2，3，…26，给出了破译“明文”与“密文”的一把钥匙．如果“密文”中的数字x为奇数，则明文对应的序号为，如果“密文”中的数字x为偶数，则“明文”对应的序号为，数字为“；；；；；17”，则对应的“明文”为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，理解题中所给“密文”与“明文”之间的对应关系是解题的关键．根据题中所给密文与明文之间的对应关系即可解决问题． 【详解】解：由题知， 当“密文”为6时，， 所以“密文”数字6对应的“明文”为“c”； 同理可得， “密文”数字11对应的“明文”为“l”； “密文”数字10对应的“明文”为“e”； “密文”数字21对应的“明文”为“v”； “密文”数字10对应的“明文”为“e”； “密文”数字17对应的“明文”为“r”； 所以“明文”为． 故答案为：． 4．当今是高度信息化的时代，信息安全至关重要，密码技术已经渗透到我们生活中的各个角落．密码学是研究编制和破译密码的技术科学，它与数学有密切关系．有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中Q，W，E，…，N，M这个字母依次对应1，2，3，…，，这个正整数（见下表） Q W E R T Y U I O P A S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 F G H J K L Z X C V B N M 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 以下是密文与明文之间的关系： 当明文字母所对应的数字x为奇数时，密文字母所对应的数字为；当明文字母所对应的数字x为偶数时，密文字母所对应的数字为． 例如：将明文Y转换成密文： 按上述方法将明文U转换成密文为 ；若按上述方法将明文转换成的密文是，那么它的明文是 ． 【答案】 R 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，理解题中所给密文与明文之间的对应关系是解题的关键． 根据所给密文与明文之间的关系，进行计算，解一元一次方程即可． 【详解】解∶ 由题知， U对应数字为7． 则． 所以明文U转换成密文为R． C对应的数字为． 由，解得： (舍去)； 由，解得：． 所以它对应的明文是K． 同理可得，W对应的明文是E，H对应的明文是Y． 所以密文是时，那么它的明文是． 故答案为∶R；． 5．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．我们最熟悉的，最常用的就是十进制中的数，如十进制中的数2025就可写成，如二进制中的数101就可以写成，可以转换成十进制中的5，可见一个数可以表示成各数位上的数字与基数乘方的乘积之和的形式，从而转换成十进制数．（十进制一般不标注基数，其它常在数的右下角标明基数） （1）按此方式将二进制数转换成十进制的结果是 ； （2）计算： ．（结果用十进制数表示） 【答案】 【分析】本题考查了有理数混合运算； （1）根据二进制转化成十进制，进行有理数混合运算，即可求解； （2）根据二进制转化成十进制，进行有理数混合运算，即可求解； 理解二进制是解题的关键． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ， ， ， 故答案为：． 题型二 数轴综合（共5小题） 1．(23-24七上·北京北大附中石景山学校·期末)在数轴上，点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动2个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a，b，c．A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，a，b，c三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的乘法、一元一次方程、数轴，根据数轴、结合题意设的值为，分情况列出方程，解方程即可． 【详解】解：设的值为，则的值为，的值为， 当时，， ，，， ，不合题意； 当时，， ，，， ，不合题意； 当时，， ，，， ，符合题意， 故选：B． 2．(24-25七上·北京房山区·期末)如图，数轴上4个点表示的数分别为a，b，c，d，若，，，则的值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离以及绝对值的意义，根据越在数轴的右边的数越大，且结合，，则，又因为，所以，即可作答． 【详解】解：∵，， 则， ∵，且 ∴ ∴， 故选：B 3．(24-25七上·北京昌平区·期末)如图，将一刻度尺放在数轴上． ①若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为1和4，则对应数轴上的点表示的数是2； ②若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为1和10，则对应数轴上的点表示的数是4； ③若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和2，则对应数轴上的点表示的数是0； ④若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和0.5，则对应数轴上的点表示的数是 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，以及有理数的混合运算，解题的关键是正确算出每一厘米表示的单位长度．先计算出两点间的距离为几个单位长度，再除以刻度尺的长度，即可知每表示的单位长度． 【详解】解：①∵和对应数轴上的点表示的数分别为1和4， ∴单位长度为， ∴对应数轴上的点表示的数是，故①正确； ②∵和对应数轴上的点表示的数分别为1和10， ∴单位长度为， ∴对应数轴上的点表示的数是，故②正确； ③∵和对应数轴上的点表示的数分别为和2， ∴单位长度为， ∴对应数轴上的点表示的数是，故③正确； ④∵和对应数轴上的点表示的数分别为和0.5， ∴单位长度为， ∴对应数轴上的点表示的数，故④正确， 故选：D． 4．在数轴上，点在原点O的两侧，分别表示数，将点A向左平移2个单位长度，得到点C，若，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了数轴和绝对值方程的解法，用含m的式子表示出点C是解决本题的关键．先用含m的式子表示出点C，根据，列出方程，求解即可． 【详解】解：∵点在原点O的两侧，分别表示数，将点A向左平移2个单位长度，得到点， ∴点在原点左侧，点在原点右侧，点表示的数是， ∵， ∴， 解得：，， ∵点在原点左侧， ∴， 故选：A． 5．数轴上A、B两点所对应的实数分别为1，，点A是线段BC的中点，则C点所对应的实数为 ． 【答案】/ 【分析】设点所对应的实数为，再根据点是线段的中点建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设点所对应的实数为， 由题意得：， 解得， 即点所对应的实数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数与数轴、线段中点、一元一次方程的应用，熟练掌握实数与数轴的关系是解题关键． 题型三 列代数式（共6小题） 1．(24-25七上·北京石景山区·期末)已知图形是由直径为的两个半圆叠拼而成，．请用含的代数式表示图中阴影的面积 ．    【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算、三角形的面积公式、圆的面积公式，能根据题意正确列出式子表示阴影部分的面积是解答本题的关键． 根据列出式子化简即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， 故答案为：． 2．(24-25七上·北京门头沟区·期末)如图，正方形的边长为a，根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式．用正方形面积的一半减去小三角形的面积，即可得到答案． 【详解】解：阴影部分的面积． 故答案为：． 3．(24-25七上·北京延庆区·期末)七巧板是一种中国传统智力玩具，是由七块板组成的，形状分别为五个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形，这七块板可以拼成多种图形.如图，号等腰直角三角形中，直角边的长为，号正方形的边长为．选择其中标有的四个等腰直角三角形组成一个新的图形，如图所示，图中空白部分的面积分别记为，，则与的差可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形、七巧板．首先分别用含和的代数式分别表示出四个等腰直角三角形的面积，可得：，根据七巧板可知，从而可得． 【详解】解：设图中重叠部分的面积为， 由图可知，两个等腰直角三角形的直角边长为， 号两个图形的面积分别为， 号正方形的边长为， 号等腰直角三角形的直角边长为， 号两个图形的面积分别为， ，， ， 由图可知， ． 故选：D． 4．某文具店购进一款笔记本，进价为元，若先按照进价提高标价，后又降价6元出售，那么现在的售价是 元（用含有的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，理解题意是解此题的关键． 根据题意表示出现在的售价即可． 【详解】解：∵进价为元，先按进价提高标价，后又降价6元， ∴则现在的售价为元， 故答案为：． 5．已知一个长为，宽为的长方形，如图1所示，沿图中虚线裁剪成四个相同的小长方形，按图2的方式拼接，则阴影部分正方形的边长是 ．（用含a的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了列代数式表达式以及加减混合运算，先根据题意得到每个小长方形的长为，宽为，然后列式计算化简，即可作答． 【详解】解：由图可得， 图2中每个小长方形的长为，宽为， 则阴影部分正方形的边长是：， 故答案为：． 6．有一种面积为的正方形餐垫． （1）如图1，两张这样的餐垫部分重叠放在桌面上，如果它们盖住桌面的总面积是，那么这两张餐垫重叠部分的面积是 （用含a的代数式表示）； （2）如图2，三张这样的餐垫两两重叠放在桌面上，如果它们盖住桌面的总面积是，图中两个阴影部分的面积的和是，那么这三张餐垫共同重叠部分的面积是 （用含a，b，c的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据图中的面积关系正确列出代数式是解题的关键． （1）用两个正方形的面积之和减去它们盖住桌面的总面积即可得到重叠部分的面积； （2）同理（1），用三个正方形的面积之和减去它们盖住桌面的总面积，再减去两个阴影部分的面积的和，然后除以2即可得到三张餐垫共同重叠部分的面积． 【详解】解：（1）根据题意，两张餐垫重叠部分的面积是：； （2）根据题意，三张餐垫共同重叠部分的面积是：； 故答案为：，． 题型四 新定义问题（共5小题） 1．(24-25七上·北京石景山区·期末)规定一种新运算：，例如：， （1）请计算： ． （2）请判断该新运算是否满足交换律： （是或否）． 【答案】 是 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，化简绝对值等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题中的新运算的定义计算即可； （2）求出与，再验证与是否相等即可得出结论． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）该新运算满足交换律，理由如下： ， ， ， 该新运算满足交换律， 故答案为：是． 2．(24-25七上·北京昌平区·期末)对于实数x、y我们定义一种新运算（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中x、y叫做线性数的一个数对．若实数x、y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x、y叫做正格线性数的正格数对． （1）若，则 ． （2）已知，，请回答问题： ， ． 【答案】 9 5 1 【分析】本题考查实数的运算，理解“新运算、”以及“线性数”，“正格线性数“，正格数对”的意义是解决问题的关键． （1）根据、的意义计算即可； （2）根据、列方程组求解即可 【详解】解：（1）因为、， 所以、， 故答案为：9； （2）因为、，、，、， 所以，， 解得，， 所以， 故答案为：5，1 3．(24-25七上·北京朝阳区·期末)对任意两个有理数定义一种运算“”，具体运算方式为，下列结论正确的是（   ）． A． B． C．对任意有理数，，有 D．不存在有理数，，，使 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的四则混合运算以及整式的加减．根据新定义进行计算，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故A错误； ，故B错误； ∵， ， ∴，故C正确； ∵， ， ∴ ， ∴当时，，故D错误； 故选：C． 4．平时我们常用十进制，十进制是逢十进一，其各数位上的数字为，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，例如：将二进制数“1101”转化为十进制数为，则将八进制数“1101”转化为十进制数是 ． 【答案】577 【分析】本题考查了有理数的混合运算．仿照二进制转十进制的方法列式计算即可． 【详解】解：将八进制数“1101”转化为十进制数是： ， 故答案为：577． 5．对于个位数字不为零的任意三位数，将其个位数字与百位数字对调得到，则称为的“倒序数”，将一个数与它的“倒序数”的差的绝对值与99的商记为．例如523为325的“倒序数”，． （1） ； （2）对于任意三位数满足：的值是 ． 【答案】 5 【分析】（1）根据题意，仿照例题即可求出的值； （2）根据题意，先列出的式子，再进行化简即可． 本题主要考查整式的加减，定义新运算．解题的关键是读懂题意，能够正确的用字母表示三位数． 【详解】（1）根据题意可得， 故答题空1的答案为：5 （2）根据题意可得 故答题空2的答案为： 题型五 方程问题（共9小题） 1．(24-25七上·北京石景山区·期末)某商场周年店庆搞促销活动，购物每满200元，送100元购物券，购物券可以当钱花，但是不能参与返券活动．怎么购物比较划算呢？ （1）若你想购买A，B两件商品，它们的价格分别为400元和800元，应该先购买 （填或）； （2）若你想购买C，D，E商品，它们的价格分别为399元、499元、699元，那么较省钱的购买方案为 ． 【答案】 B 先买C、E商品，再买D商品 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是： （1）分别求出先买A商品，再买B商品；先买B商品，再买A商品的费用，然后比较即可求解； （2）分情况讨论：①先买E商品，再买D商品，最后买C商品；②先买C、D商品，再买C商品；③先买D、E商品，再买C商品；④先买C、E商品，再买D商品；⑤三种商品一起购买，求出对应的费用，然后比较即可求解． 【详解】解：（1）先买A商品花费400元，送元购物券，再买B商品时需花费元，合计花费元； 先买B商品花费800元，送元购物券，，再买A商品时需花费元，合计花费800元； ∵， ∴应该先购买B， 故答案为：B； （2）①先买E商品花费699元，送元购物券，再买D商品花费元，不送购物券，最后买C商品花费元，合计花费元； ②先买C、D商品花费元，送元购物券，再买C商品花费元，合计花费元； ③先买D、E商品花费元，送元购物券，再买C商品时直接用购物券，合计花费元； ④先买C、E商品花费元，送元购物券，，再买D商品时直接用购物券，合计花费元； ⑤三种商品一起购买徐花费， ∵， ∴先买C、E商品，再买D商品． 故答案为：先买C、E商品，再买D商品． 2．(24-25七上·北京石景山区·期末)某工人制作1个A零件，1个B零件，1个C零件所用的时间之比为，他制作2个A零件、3个B零件、4个C零件共用10工时．若他要制作14个A零件、10个B零件、12个C零件，则需要的时间是（    ） A．20工时 B．33工时 C．35工时 D．39工时 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意设制作1个A零件，1个B零件，1个C零件所用的时间分别为、、，列方程，求解即可，掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：工人制作1个A零件，1个B零件，1个C零件所用的时间之比为，故设制作1个A零件，1个B零件，1个C零件所用的时间分别为、、，依题意可得： ， 解得：， ∴， 故选：C． 3．(24-25七·北京通州区·期末)一副直角三角板如图1放置：直角三角板的边与直角三角板的边重合，点在线段的延长线上．如图2，将图1的直角三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当射线与射线重合时停止），在旋转过程中始终平分，当满足时，三角板的运动时间为 ． 【答案】32.5秒 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，直角三角板中角度的计算，解题的关键是根据旋转的特点，利用角平分线的定义，列出关于t的方程，解方程即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， 解得：． 故答案为：32.5秒． 4．某次知识竞赛共出了25道试题，评分标准如下：答对1道题加4分，答错1道题扣1分，不答记0分．已知李刚不答的题比答错的题多2道，他的总分为74分，则他答对了（ ） A．18道 B．19道 C．20道 D．21道 【答案】B 【详解】解：设李刚答对了x道，答错了y道，则不答的题有（y＋2）道， 根据题意可知 解这个方程组可得 所以李刚答对了19道． 故答案为：B． 5．如图，用一根质地均匀长30厘米的木杆和一些相同的重物做实验．已知支撑点到木杆左右两端的距离分别为a，b，通过实验可得到如下结论：左端重物个数右端重物个数（×为乘号），木杆就能平衡．已知厘米，并且右端放了一个重物，若要木杆平衡则左端需要放置的重物个数为（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设左端需要放置的重物个数为x个，根据左端重物个数右端重物个数列方程求解即可． 【详解】解：设左端需要放置的重物个数为x个， ∵厘米， ∴厘米， ∵左端重物个数右端重物个数， ∴， ∴． 故选B． 6．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一只神龟背上的图案，故又称“洛书”，数学上的“九宫图”所体现的是一个的方格，其每一行，每一列及斜对角的三个数之和都相等，也称之为三阶幻方，若一个满足条件的三阶幻方的一部分如图所示，则图中的字母表示的数是（    ） A．7 B．10 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据九宫格的每一列及斜对角的三个数之和都相等，列出方程，即可求解；理解九宫格中的等量关系式，能设出辅助未知数进行求解是解题的关键． 【详解】解：设右上角的数字为，由题意得 ， 解得：， 故选：C． 7．《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六.问：人数、鸡价各几何?”译文为：有若干人一起买鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱；买鸡的人数、鸡的价格各是多少?设有x人买鸡，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查从实际问题抽象出一元一次方程，找出等量关系是解答本题 的关键． 根据“若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱”列方程即可． 【详解】解：设有x人买鸡，根据题意，可列方程为 故选：B． 8．中国古代算书《算法统宗》中有这样一个“百羊问题”：甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后；戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半群，得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？译文：甲赶了一群羊在草地上往前走．乙牵了一只肥羊紧跟在甲的后面．乙问甲：“你这群羊有一百只吗？”甲说：“如果再有这么一群，再加半群，又加四分之一群，再把你的一只凑进来，才满只”．设甲原有只羊，根据题可列方程为 ． 【答案】 【分析】设甲原来赶的羊一共有只，根据“如果再有这么一群，再加半群，又加四分之一群，再把你的一只凑进来，才满只”，即可得出关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：设甲原有只羊，根据题意得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 9． “洛书”是我国文化中最古老，最神秘的事物之一，图1即洛书．数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图2）．在图3的幻方中，每一横行，每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等，则 ， ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，利用每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的三个字之和相等列方程．设四个空白处表示的数分别是a、b、c、d，根据每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的三个字之和相等列出方程，解方程即可． 【详解】解：设四个空白处表示的数分别是a、b、c、d，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：；1． 题型六 其他问题（共9小题） 1．(24-25七上·北京延庆区·期末)某校学生参加社会大课堂活动，来到艺术品工作坊，老师让每两个同学组成一组，共同制作A，B，C三件工艺品．制作要求：每人同一时间只能制作一件工艺品；每件工艺品需先由甲进行塑形，再由乙进行上色．甲、乙两位同学合作完成三件工艺品，已知每位同学完成每件工艺品各自工序需要的时间（单位：）如下： A B C 甲 6 4 3 乙 4 7 5 （1）若按照的顺序制作，总时长最少为 ； （2）若要求三件工艺品加工完成的总时长不超过，请写出一种满足条件的制作顺序 ． 【答案】 22 （答案不唯一） 【来源】北京市顺义区2024一2025学年上学期七年级期末教学质量检测 数学试卷 【分析】本题考查了有理数加法的应用，理解题意，正确列出算式是解题的关键． （1）根据题目所给的顺序制作，计算总时长即可； （2）根据题意，列出所有的情况，分别计算总时长，再与比较大小即可得出结论． 【详解】解：（1）按照的顺序制作，总时长最少为． 故答案为：22； （2）由（1）得，按照的顺序制作，总时长最少为； 按照的顺序制作，总时长最少为； 按照的顺序制作，总时长最少为； 按照的顺序制作，总时长最少为； 按照的顺序制作，总时长最少为； 按照的顺序制作，总时长最少为； 要求三件工艺品加工完成的总时长不超过，满足条件的制作顺序为或或或． 故答案为：（答案不唯一）． 2．(24-25七上·北京石景山·期末)为提高青少年体质，某区组织各校篮球队进行了联赛，比赛部分积分情况如下： 球队编号 比赛场次 胜场数 负场数 积分 A 10 6 4 16 B 10 3 7 13 C 10 0 10 10 … … … … … 根据表格数据，胜一场积 分；某球队参加10场比赛，积分为18分，则胜场数为 ． 【答案】 2 8 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系正确列出一元一次方程是解题的关键．由C球队的积分可知负一场积1分，再由A球队的积分可知胜一场积2分；设某球队胜场，根据积分是18分，列出方程求出的值即可解答． 【详解】解：由C球队的积分可知，负一场积分， 再由A球队的积分可知，胜一场积分， 胜一场积2分； 设某球队胜场，则负场， 由题意得，， 解得：， 某球队参加10场比赛，积分为18分，则胜场数为8． 故答案为：2；8． 3．(24-25七上·北京怀柔区·期末)下图是某航海区域的情况，在灯塔O附近有A，B，C，D，E，F，6座海轮，其中F到灯塔的距离为，海轮F在灯塔和海轮D的中点处． 且，． 则下列说法正确的是（      ） ①若海轮F的速度为，则海轮F抵达灯塔需要20分钟； ②； ③； ④C在灯塔的北偏东的方向上． A．①④ B．①② C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了方向角和度分秒的换算，熟练掌握方向角的定义和度分秒的换算是关键．分别根据方向角和度分秒的换算判断即可． 【详解】解：①若海轮F的速度为，则海轮F抵达灯塔需要小时=20分钟，故①正确； ②，故②错误； ③，故③正确； ④∵， ∴C在灯塔的北偏东的方向上，故④正确． 故选：C． 4．某市为降低碳排放，积极推广绿色生活与绿色出行方式.为此，某出租公司制定了新的出租车收费标准，具体如下表所示： 时段 起步价 里程运价 备注 行驶距离不超过千米 行驶距离超过千米且不超过千米 超过千米 过路桥费按实际发生收取 普通时段： 元 元/千米 元/千米 夜间时段：当日次日 加收作为夜间补贴 （）王刚乘坐出租车由家去往景区，到达后他向出租车司机支付了元（其中包含元路桥费，等候费忽略不计），则他家到景区的距离是 千米； （）张梅从机场打车回家，路程约为千米，则她要付车费 元（不考虑过路桥费和等候费）． 【答案】 【分析】（）设王刚家到景区的距离为千米，根据题意列出方程即可求解； （）根据题意列出算式计算即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意正确列出方程和算式是解题的关键． 【详解】解：（）设王刚家到景区的距离为千米， 由题意得，， 解得， 故答案为：； （）， ∴她要付车费元， 故答案为：． 5．如图，长方形中，点在边上．将沿折叠，点恰好落在边上的点处． （1）用等式表示线段，，之间的数量关系： ； （2）设，用含的代数式表示： ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，长方形的性质，余角的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据长方形的性质得到，根据折叠的性质得到，结合，即可得到答案； （2）根据长方形的性质得到，根据折叠的性质得到，求得，再表示出，最后根据是的余角，即可得到答案． 【详解】解：（1）四边形是长方形， ， 将沿折叠，点恰好落在边上的点处， ， ， 故答案为：； （2）四边形是长方形， ， 将沿折叠，点恰好落在边上的点处， ， ， 故答案为：． 6．有甲，乙，丙，丁，戊五支球队参加足球比赛，每支队伍进行10场比赛．球队在每场比赛中可能获得“胜”“平”“负”三种比赛结果，每种结果对应不同的分值，并在10场比赛结束后结算队伍总分．甲队伍胜10场，总分30分；乙队伍胜6场，平4场，总分22分；丙队伍胜4场，平3场，总分15分；丁队伍胜5场，平2场；戊队伍获胜的场数是负的场数的2倍，且队伍总分是本队平场得分的4倍．根据以上信息，丁队伍总分是 ，将五支队伍按分数从高到低排序，结果为 （填写下面正确结果的序号）． ①甲乙丙丁戊；②甲乙丁丙戊；③甲乙丁戊丙；④甲乙戊丁丙 【答案】 17 ③ 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得出胜一场得分，平一场得1分，负一场得分为：0分． 【详解】解：∵甲队伍胜10场，总分30分， ∴胜一场得（分）， ∵乙队伍胜6场，平4场，总分22分， ∴平一场得（分）， ∵丙队伍胜4场，平3场，总分15分， ∴负一场得分为：， ∵丁队伍胜5场，平2场， ∴丁队伍总分为：（分）， 设戊队伍负的场数为x场，则胜的场数为场，根据题意得： ， 解得：， ∴胜的场数为4场，平的场数为：（场）， 戊队伍总分为：（分）， ∵， ∴五支队伍按分数从高到低排序为：③甲乙丁戊丙． 故答案为：17；③． 7． 年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成个大小不同的正方形．如图所示，图中的数字为正方形编号，其中标注，的正方形边长分别为，．当时，第个正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化规律，整式的加减运算，代数式求值，结合图形找到各正方形的边长关系是解题关键．根据各个正方形边长的和差关系依次表示出第、、、、正方形的边长，由、、正方形边长得到第个正方形的边长，再代入计算即可． 【详解】解：由图可知，第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 第十个正方形的面积， 故选：C． 8．甲、乙两人在A，B两条生产线上加工产品．在A生产线，甲第一天能加工10件A产品，每多连续加工一天，加工的件数（最少2件）比前一天少2件，乙第一天能加工8件A产品，每多连续加工一天，加工的件数（最少2件）比前一天少1件；在B生产线，甲每天加工7件B产品，乙每天加工8件B产品．在一天内，甲和乙只能选择在A，B中的一条产品线工作（甲和乙的选择不能相同），且在一条产品线连续工作少于3天时不可改变产品线． ①甲在A产品线连续工作5天能加工A产品 件； ②一件A产品、一件B产品组成一套产品，则20天最多能加工 套产品． 【答案】 30 151 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，找出产品的加工规律，正确列出式子是解题关键． ①根据甲在产品线的加工规律列出式子，计算乘法与加减法即可得； ②先求出甲在产品线连续工作3天能加工产品的件数、甲在产品线连续工作3天能加工产品的件数、乙在产品线连续工作3天能加工产品的件数、乙在产品线连续工作3天能加工产品的件数，发现加工规律，正确列出式子计算即可得． 【详解】解：①由题意得： ， 所以甲在产品线连续工作5天能加工产品30件， 故答案为：30． ②∵甲在产品线连续工作3天能加工产品的件数是件，甲在产品线连续工作3天能加工产品的件数是件；乙在产品线连续工作3天能加工产品的件数是件，乙在产品线连续工作3天能加工产品的件数是件；且， ∴在前面18天内，甲、乙每3天轮流加工产品；最后2天，甲在产品线加工产品、乙在产品线加工产品，这样可使20天内加工的产品套数最多， ∴20天最多能加工的产品套数为（套）， 故答案为：151． 9．如图，A，B，C，D是平面内的四个点，P为该平面内一点，给出下面三个结论： ①若，则P为线段的中点； ②若，，，则点P在直线外； ③若点P到点A，B，C，D的距离的和最小，则满足条件的点P有且只有一个 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．③ C．①② D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，线段的和差，两点之间线段最短等知识，由线段垂直平分线的性质可判断①；由线段的和差可判断②；由两点之间线段最短可判断③，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①若，则为线段垂直平分线上的点，不一定是线段AB的中点，故①不符合题意； ②如图，当点在间时， ，故不成立， 如图，当点在的左侧时， ∵，，， 由图可得，，故不成立， 如图，当点在的右侧时， ，即， ∴， ∴当，满足条件，故成立， ∴点可以在直线上，该②不符合题意； ③如图： 点P到点A，B的距离为，两点之间线段最短可知点应在上， 点P到点C，D的距离为，两点之间线段最短可知点应在上， ∴当点为线段和的交点时，由两点之间线段最短可知点到点的距离的和最小， ∴满足条件的点有且只有一个，故③符合题意； ∴正确结论的序号是③， 故选：． 题型七 代数综合（共11小题） 1．(23-24七上·北京北大附中石景山学校·期末)已知代数式A＝2x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x． (1)求A﹣2B； (2)若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】（1）=；（2） 【分析】（1）按要求直接整体代入，然后去括号，合并同类项化简即可； （2）先整体代入，然后合并同类项化简，再根据与x无关，可知其系数为0，求解方程即可． 【详解】（1）= =    （2） = ∵的值与的取值无关， ∴ 2．(24-25七上·北京门头沟区·期末)阅读理解：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制 在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制．使用十个数字记数时，几个数字排成一行，第一位是个位，个位上的数字是几就表示几个一，十位上的数字是几就表示几个十；接着依次是百位、千位…． 例如，十进制数721中的7表示7个百，2表示2个十，于是我们就可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式：． （规定当时，，721右下角的10代表以10为基数） 问题解决： (1)十进制532写成数字与基数的幂的乘积之和的形式： ； (2)“二进制”是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．请把二进制数1101表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式： ；此时通过计算就转化为了十进制数 ； (3)根据逢二进一的规则计算：． 【答案】(1) (2)，13 (3) 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，理解题中所给“十进制”及“二进制”数的改写方式是解题的关键． （1）根据题中所给示例，按要求进行改写即可； （2）根据“二进制”数的定义，按要求进行改写即可； （3）根据逢二进一的规则进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知，． 故答案为：． （2）由题知， ． 故答案为：，13； （3）根据逢二进一的规则可知， ． 3．(24-25七上·北京房山区·期末)小山同学通过阅读课本92页探究学习资料，自主学习解含有绝对值的方程的方法，并提出了以下问题，请你结合课本中所给资料（如下所示），帮助小山解决问题． 含有绝对值的方程 绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，，…都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程和为例来探究解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，这样就可以将含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 解方程． 解：根据绝对值的意义，得或． 解方程． 分析：把看作一个整体．解：根据绝对值的意义，得 或． 分别解这两个方程，得 或． (1)解方程； (2)已知：①_______，请你从，中选择一个填入①中，组成含有绝对值的方程，并求出该方程的解． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了绝对值的意义、解一元一次方程，正确理解绝对值的意义是解此题的关键． （1）根据把绝对值的意义，把看作一个整体，将含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解； （2）根据把绝对值的意义，，进而解，即可求解． 【详解】（1）解： 根据绝对值的意义，得 或． 分别解这两个方程，得 或． （2）∵， ∴ 选择填入①中 ， 则 根据绝对值的意义，得 或． 分别解这两个方程，得 或（舍去）． 4．已知有理数a、b满足ab＜0，a+b＞0且|a|＜|b| （1）在数轴上标出数a，﹣a，b，﹣b，并用“＜”号连接这四个数． （2）化简：|2a﹣b|﹣|2b﹣a|+|a+b|    【答案】（1）图详见解析,﹣b＜a＜﹣a＜b；（2）0 【分析】（1）根据已知得出a＜0，b＞0，|b|＞|a|，再在数轴上标出即可； （2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）   ﹣b＜a＜﹣a＜b； （2）∵有理数a、b满足ab＜0，a+b＞0且|a|＜|b|， ∴2a-b＜0，2b-a＞0， ∴|2a﹣b|﹣|2b﹣a|+|a+b| ＝﹣2a+b﹣（2b﹣a）+（a+b） ＝﹣2a+b﹣2b+a+a+b ＝0． 【点睛】此题考查有理数的大小比较，正确理解数的正负性、绝对值的性质是解题的关键. 5．由于（﹣1）n＝，所以我们通常把（﹣1）n称为符号系数． （1）观察下列单项式：﹣，…按此规律，第5个单项式是　 　，第n个单项式是　 　． （2）的值为　 　； （3）你根据（2）写出一个当n为偶数时值为2，当n为奇数时值为0的式子　 　． 【答案】（1）， ；（2）b或a；（3）1+（﹣1）n． 【分析】（1）观察发现，奇数项为负，偶数项为正，系数的分子与项数相同，系数的分母的规律是4n2﹣1，字母x的指数与项数相同，据此可解； （2）分n为奇数和n为偶数两种情况来计算即可； （3）取指数为n的项的底数与不含n的项互为相反数，则不难得出答案． 【详解】（1）观察下列单项式：，…按此规律，第5个单项式是，第n个单项式是 故答案为：，． （2）n为奇数时， ， n为偶数时，. 故答案为：b或a． （3）可以这样写一个当n为偶数时值为2，当n为奇数时值为0的式子： 1+（﹣1）n． 故答案为：1+（﹣1）n． 【点睛】此题考查单项式规律的探究，观察并发现数字间的规律是解题的关键. 6．学习完有理数加、减、乘、除运算后，数学兴趣小组对新运算“”进行了探究． 探究过程如下： I.给出了“”的一些具体例子：                                  II.根据上面的例子，小华画出了“”的部分流程图如下： Ⅲ.小明在小华的基础上进一步完善和改进，画出了“”的流程图如下： 根据以上探究过程，完成下面问题： (1)在①，②，③中，符合小华画的部分流程图的运算有______（只填序号）； (2)小明画的流程图中的A处应填______，B处应填______； (3)根据小明画的流程图解决下面问题： ①计算：； ②若，则x的值为______． 【答案】(1)② (2)； (3)①；②1或 【分析】本题考查了新定义运算、程序流程图、有理数的混合运算，理解题意，根据新运算结果探究出运算规律是解题的关键． （1）根据小华画的部分流程图，结合题目的运算即可判断； （2）根据“”的一些具体例子，分和两种情况讨论，利用有理数的混合运算法则即可解答； （3）①利用（2）中的运算规律，直接计算即可；②由可得，从而列出方程，解出的值即可解答． 【详解】（1）解：当时，和不一定为0，故①③不符合小华画的部分流程图的运算； 当时，符号为正；当时，结果为0；当时，符号为负；故②符合小华画的部分流程图的运算； 故答案为：②． （2）解：，，，，， 当时，， 小明画的流程图中的A处应填； ，，，，， 当时，； 小明画的流程图中的B处应填； 故答案为：；． （3）解：①， ； ②， ，即， ， ， 解得：或， 的值为1或． 故答案为：1或． 7．阅读材料：对于任意有理数a，b，规定一种特别的运算“”：ab．例如，25． (1)求3的值； (2)若，求x的值； (3)试探究这种特别的运算“”是否具有交换律？ 【答案】(1)1 (2) (3)不具有，理由见解析 【分析】本题考查定义新运算题型，解一元一次方程． （1）根据题意利用题干列式求解即可得到本题答案； （2）根据题意列出含x的式子解出即为本题答案； （3）可以代数求，计算3，看结果是否等于（1）中求得的结果，进而可作判断． 【详解】（1）解：∵ab， ∴3； （2）解：∵， ∴， 解得：； （3）解：∵3， ∵由（1）知，3， ∴33， ∴这种特别的运算“”不具有交换律． 8．(24-25七上·北京怀柔区·期末)进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．对于任何一种进制N进制，就表示某一位置上的数运算时是逢N进一位，N进制表示的数中，右起第一位上的1表示，第二位上的1表示，第三位上的1表示，第四位上的1表示．故，其中． 例如：，，转化为十进制的数11，转化为十进制的数31（注意：对于任何非零数a都有，即）． 结合以上材料，解决下列问题： (1)把下列进制数转化为十进制表示的数（在横线上列式并写出结果）： ， ； (2)《易经》中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位女孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来记数，如右图，图中表示女孩用绳结记录的数字，按照六进制记数法，即右边的绳子打结满6个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满6进1得来．根据图中记录的数字，写出这个六进制数字为（ ）6，若用十进制表示的数表示女孩采集到的野果数， 她一共采集到的野果数量为 个；       (3)如果五进制三位数与八进制两位数分别转化为十进制表示的数，则两数和为，根据题意请列出等式 ，此时满足条件的 ． 【答案】(1) (2) (3)（或）； 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握进制之间的换算方法，是解题的关键： （1）利用题干给定的方法列式计算即可； （2）仿照N进制计数和转化为十进制的方法分别表示计算即可； （3）仿照N进制转化为十进制的方法，分别计算表示对应得十进制数并依题意列方程求解即可． 【详解】（1） ； 故答案为： （2）由图可知，这个六进制的数为， 化为10进制数：， 故答案为： （3）依题意： 即， 解得： 故答案为：（或）， 9．已知有理数，，在数轴上的对应点如图所示： (1)________0，________0；（填“”“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了数轴上点表示数的正负， 绝对值的性质，能熟练利用绝对值性质进行化简并求解是解题的关键． （1）由数轴得，，据此即可求解； （2）可得：，且， 从而可得，，根据进行化简即可求解． 【详解】（1）解：由数轴得 ，， ， 故答案为：，； （2）解：由数轴得 ， ， 原式 ． 10．我们定义了一种新的运算“⊕”，这种运算对于任意两个有理数和，满足以下规则：． 例如： 请根据这个新定义的运算，回答以下问题： (1)________； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数混合运算，整式加减化简求解； （1）由新定义得，进行有理数混合运算，即可求解； （2）由新定义得，，进行整式加减化简，即可求解； 理解新定义，能熟练进行有理数混合运算及整式加减化简求解是解题的关键． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2）解：由题意得 ， ， ， 当时， 原式 ． 11．用四个如图1所示的长为a，宽为1的长方形，放置在一个长为m，宽为n的大长方形内部，拼成一个如图2所示的图形． (1)用等式表示m与a之间的数量关系； (2)设长方形①的周长为，长方形②的周长为，求（用含n的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的加减运算，列代数式； （1）由长方形的长与线段的和差运算可得答案； （2）先分别求解，，再求和即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：， ， ． 题型八 角度综合（共7小题） 1．(24-25七·北京通州区·期末)如图，，是内部的两条射线，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，几何图形中角度计算问题，设的度数为．结合，，，列式进行计算，即可作答． 【详解】解：设的度数为． ∵，，， ∴， 解得：， 2．(24-25七上·北京顺义区·期末)如图，已知O是直线上一点，在直线同侧作射线，．，，作的平分线，作的平分线． (1)若，． ①______； ②依题意补全图形，______； (2)若，求的度数； (3)直接写出的大小（用含，的式子表示）． 【答案】(1)①75；② (2) (3) 【分析】本题考查作图复杂作图，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）①求出，再根据角平分线的定义求解； ②求出，，再根据求解； （2）根据求解即可； （3）同（2）过程一样求解即可． 【详解】（1）解：①， 又平分， ． 故答案为：75； ②图形如图所示： ， 又平分， ， ， ． 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ． 3．(24-25七上·北京怀柔区·期末)已知：如图1，在直线上取一点O，以点O为端点作射线，，分别作平分，平分，令，． (1)如图2，若与重合，其中，，则________； (2)如图3，B，C为直线同侧的点，，是钝角， ①依题意，在图3中画出射线及的平分线； ②求的度数（用含α的式子表示）； (3)当，都是锐角时，直接写出的角度（若不是确定角度则用含α，β的代数式表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或或180°或 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键． （1）根据图根据题意得到，则问题可解； （2）①根据题意画图即可； ②由题意得到，进而得到，再由角平分线得到，根据图形表示即可； （3）分当，在直线同侧时和，在直线异侧且不同的大小关系，分别计算即可． 【详解】（1）解：由题意，，， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为： （2）①由题意，画图如下， ②∵，平分， ∴， ∴, ∵,平分， ∴, ∴ （3）如图，当，在直线同侧时， 由题意，，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ 当，在直线异侧，且时，如图， 同理可求，∴， ∴ ； 当，在直线异侧，且时，如图， 同理可求，∴， ∴ ； 当，在直线异侧，且时，共线，，为对顶角的角平分线，则 综上，的角度为或或或 4．如图，已知平面内有四个点，，，．按要求画图，并回答问题： (1)按要求画图： ①画直线，在直线上取一点（点在点右侧）； ②画射线、； (2)当平分时， ①如果，________； ②如果，则________；（用含的代数式表示） ③作，在②的条件下，请你求出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)①见详解②见详解 (2)①②③或 【分析】本题考查了画线段、射线，补角的定义，有关角平分线的计算等； （1）①根据要求作图，即可求解； ②根据要求作图，即可求解； （2）①由补角的定义得，由角平分线的定义得，即可求解； ②由补角的定义得，由角平分线的定义得，即可求解； ③分类讨论：当在上方时；当在下方时，即可求解； 会画直线、射线，能利用角平分线的定义熟练求解角的度数是解题的关键． 【详解】（1）解：①如图， 故直线、点为所求作； ②如图， 故射线、射线为所求作； （2）解：①， ， 平分时， ， 故答案为：； ②， 平分时， ； 故答案为：； ③当在上方时， ， ， 由②得：， ； 当在下方时， ， ， 由②得：， ， ； 综上所述：的度数为或． 5．已知，点O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，当射线在的外部时，若，求的度数；完成下面的解答过程： 解：O是直线上的一点， ．（理由：__________） ， ． 平分， ．（理由：__________） _______． ，且， ______． 已知，点O是直线上的一点，，平分． (2)如图2，当射线在的内部时， ①补全图形； ②若，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)邻补角互补；角平分线的定义；； (2)①图见详解；② 【分析】本题考查了邻补角互补；角平分线的定义，角的和差的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据邻补角互补，可得，根据角平分线的定义，根据角的和差可得． （2）①补全图形即可； ②根据角的和差可得，根据角平分线的定义可得，根据邻补角互补，可得． 【详解】（1）解：O是直线上的一点， ．（理由：邻补角互补） ， ． 平分， ．（理由：角平分线的定义） ． ，且， ， 故答案为：邻补角互补；角平分线的定义；；． （2）解：①补全图形，如图所示： ②解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵O是直线上的一点， ∴． 6．已知与射线．射线，分别是，的平分线． (1)如图1，当射线在的内部时，若，则______°； (2)如图2，当射线在的外部时，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)128 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线定义，角的和差关系等知识，解题的关键是： （1）根据平分线定义得出，，结合图形，根据角的和差关系可得出，即可求解； （2）类似（1）的思路即可求解． 【详解】（1）解：∵射线，分别是，的平分线， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：128； （2）解： 理由：∵射线，分别是，的平分线， ∴，， ∴ ， ∴． 7．已知与共顶点，，． (1)如图，点在一条直线上，若，，为的平分线，为的平分线，求的度数； (2)若，、绕点运动到如图所示的位置，为的平分线，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（）由平角定义得到，，由角平分线定义求出的度数，进而由平角定义即可得到的度数； （）由角平分线定义得到，求出，，即可得到； 本题考查了角平分线的定义，角的和差，解题的关键是由角平分线定义求出的度数，由角平分线定义得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型九 线段与数轴、动点综合（共12小题） 1．(24-25七上·北京石景山区·期末)定义：数轴上点表示的数分别为．若点到点的距离等于点到点的距离的倍，我们就称是点的关联点对．例如，如图，点表示的数分别为．此时，，．，则称是点的2关联点对；，则称是点的关联点对． (1)若表示的数分别为，是点的关联点对，则表示的数为______． (2)若点表示的数分别为． ①是线段上的一个动点，是点的关联点对，则的最大值为______，的最小值为______； ②若点从点以每秒3个单位长度向右运动，同时点从点以每秒1个单位长度向左运动，设点运动的时间为，若是点的关联点对，请直接写出的值． 【答案】(1)或 (2)①，；②的值为或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题及解一元一次方程等知识点，解题的关键是理解关联点对的定义． （1）先求出的长，根据“关联点对”的定义求出的长，即可得出点表示的数； （2）①根据“关联点对”的定义可得，得出当最大时，有最小值，当最小时，有最大值，即可得答案； ②分别用表示出、，根据“关联点对”的定义得出，分点在点左侧，点在点右侧、点在点右侧，点在点左侧、点在点和点之间三种情况求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵表示的数分别为， ∴， ∵是点的关联点对， ∴， ∴表示的数为或． 故答案为：或 （2）解：①∵点表示的数分别为， ∴， ∵是点的关联点对， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，有最小值，当最小时，有最大值， ∵是线段上的一个动点， ∴当点与点重合，即时，最大，有最小值， 当点与点重合，即时，最小，有最大值． 故答案为：， ②∵点从点以每秒3个单位长度向右运动，同时点从点以每秒1个单位长度向左运动， ∴点表示的数为，点表示的数为，点运动到点的时间为， ∵是点的关联点对， ∴， ∴当点在点左侧，点在点右侧时， 解得：（舍去）， 当点在点右侧，点在点左侧时，， 解得：， 当点在点和点之间时，， 解得：． 综上所述：的值为或． 2．(23-24七上·北京北大附中石景山学校·期末)设A、B、C是数轴上的三个点，且点C在A、B之间，它们对应的数分别为xA、xB、xC． （1）若AC＝CB，则点C叫做线段AB的中点，已知C是AB的中点． ①若xA＝1，xB＝5，则xc＝　 　； ②若xA＝﹣1，xB＝﹣5，则xC＝　 　； ③一般的，将xC用xA和xB表示出来为xC＝　 　； ④若xC＝1，将点A向右平移5个单位，恰好与点B重合，则xA＝　 　； （2）若AC＝λCB（其中λ＞0）． ①当xA＝﹣2，xB＝4，λ＝时，xC＝　 　． ②一般的，将xC用xA、xB和λ表示出来为xC＝　 　． 【答案】（1）①3；②-3；③；④-1.5；（2）①；②xA+xB． 【分析】（1）①②分别按所给的关系式及点在数轴上的位置，计算即可；③根据①②即可得到答案； ④根据平移关系用xA+5表示出xB，再按③中关系式计算即可； （2）①根据AC＝λCB，将xA＝﹣2，xB＝4，λ＝代入计算即可； ②根据AC＝λCB，变形计算即可． 【详解】（1）C是AB的中点， ①∵xA＝1，xB＝5， ∴xc＝＝3， 故答案为：3； ②∵xA＝﹣1，xB＝﹣5， ∴xC＝＝﹣3 故答案为：﹣3； ③ xC＝, 故答案为：； ④∵将点A向右平移5个单位，恰好与点B重合， ∴xB＝xA+5， ∴xC＝＝＝1， ∴xA＝﹣1.5 故答案为：﹣1.5； （2）①∵AC＝λCB，xA＝﹣2，xB＝4，λ＝， ∴xC﹣（﹣2）＝λ（4﹣xC） ∴（1+λ）xC＝4λ﹣2, ∴xC＝, 故答案为：； ②∵AC＝λCB ∴xC﹣xA＝λ（xB﹣xC） ∴（1+λ）xC＝xA+λxB ∴xC＝xA+xB 故答案为：xA+xB． 【点睛】此题考查是线段类规律题，通过探究得出数轴上两点间的任意点的坐标的规律，正确理解题意是解题的关键. 3．(24-25七上·北京门头沟区·期末)我们规定：数轴上的点A所表示的数为x，点B所表示的数为，数轴上存在点P，两两形成的线段中存在相等关系（点P不与点A点B重合），则称点P为线段的“等关联点”． (1)当时，点P为线段的“等关联点”，点P所表示的数为 ； (2)数轴上存在点M、N，点M所表示的数是，点N所表示的数是，如果线段MN上存在3个点P为线段的“等关联点”，则x的最大值是 ； (3)对于任意的点A，如果存在点P为线段的“等关联点”，求点P所表示的数．（用含x的代数式表示） 【答案】(1)，2，5 (2)1 (3)，， 【分析】本题考查了数轴，列代数式，正确列出代数式是解题的关键． （1）先求出点A，点B所表示的数，再分类讨论即可； （2）求出满足题意的x的取值范围，从而得到x的最大值； （3）分三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：当时，点A表示的数为1，点B表示的数为3， ①当点P在点A左侧时，， ∴点P表示的数为； ②当点P在点A，点B之间， ∴点P表示的数为2； ③当点P在点B右侧时，， ∴点P表示的数为5； 综上所述：点P所表示的数为：，2，5， 故答案为：，2，5； （2）∵线段上存在3个点P为线段的“等关联点”， ∴， ∴， ∴x的最大值是1， 故答案为：1； （3）①当点P在点A左侧时，， ∴点P：； ②当点P在点A，点B之间， ∴点P：； ③当点P在点B右侧时，， ∴点P：； 综上所述：点P所表示的数为：． 4．对于数轴上，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“倍长点”．例如，数轴上点A，B，C所表示的有理数分别为0，2，3，此时点是点，的“倍长点”． (1)数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为3，下列各数，0，，4，7所对应的点分别为，，，，，其中是点，的“倍长点”的是_____； (2)数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为，点是数轴上的一个动点，对应的有理数用表示．若，且点，，中有一个点恰好是其他两个点的“倍长点”，则满足条件的的值有_____个； (3)在（2）中，若为整数，则满足条件的整数的值是_____（用含有的代数式表示）． 【答案】(1)F，N (2)6 (3)或 【分析】此题考查了一元一次方程的应用、数轴上两点之间的距离． （1）根据数轴上两点距离计算公式分别求出点和点Q到，，，，5个点的距离，再根据“倍长点”的定义判断即可； （2）先求出，，再分当A是B、T的“倍长点”时， 当B是A、T的“倍长点”时， 当T是A、B的“倍长点”时，三种情况根据 “倍长点”的定义建立方程求解即可； （3）由（3）即可得到满足条件的整数的值． 【详解】（1）解：由题意得，， ，， ∴， ∴F，N是点P，Q的“倍长点”， 故答案为：F，N； （2）解：由题意得，，， 当A是B、T的“倍长点”时，则或， ∴或， ∴或； 当B是A、T的“倍长点”时，则或， ∴或， ∴或， ∴或或或（舍去）； 当T是A、B的“倍长点”时，则或， ∴或， ∴或， ∴或（舍去）或或， 综上所述，或或或或或， ∴t的值一共有6个； 故答案为：6 （3）由（2）可知其中整数t的值为或； 故答案为：或． 5．给出如下定义：对于数轴上M，N两点和常数d，如果在数轴上存在点P，使得，那么称点P是M，N的“d关联点”． 例如：点M表示1，点N表示2，，当点P表示4时，，所以称点P是M，N的“5关联点”． (1)点M表示2． ①点N表示4，P是M，N的“10关联点”．在0，两个数中，P可以表示的数是______； ②点P表示，且是M，N的“15关联点”．求点N表示的数； (2)阅读下列操作： A，B为数轴上两点，点A表示的数为，将A表示的数加上1后，再乘以2，对应数轴上得到点；点B表示的数为1，将B表示的数加上1，对应数轴上得到点；将表示的数加上1后，再乘以2，对应数轴上得到点；将表示的数加上1，对应数轴上得到点，依此规律得到，，，，…，，，… 点M表示，点N表示3，完成下面问题： ①线段上存在点M，N的“5关联点”，则n的值可以为______； ②线段上同时存在M，N的“20关联点”和“80关联点”，直接写出满足条件的n的值． 【答案】(1)①；②11或 (2)①1或2；② 【分析】本题考查了新定义运算、数轴上的动点问题、数字变化的规律、一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． （1）①根据新定义直接计算即可得出结论；②设点N表示的数为，由点P表示，且是M，N的“15关联点”，得到等量关系列出方程，解出的值即可解答； （2）①根据数轴上点的变化规律，可得点表示的数为，点表示的数为，由点M表示，点N表示3，可知点M，N的“5关联点”都在线段上，再分，和讨论，即可解答；②先求出M，N的“20关联点”和“80关联点”表示的数，再分，和讨论，即可解答． 【详解】（1）解：①当点P表示0时，， 当点P表示时，， P是M，N的“10关联点”， 在0，两个数中，P可以表示的数是． 故答案为：． ②设点N表示的数为， 点P表示，点M表示2， ，， 点P是M，N的“15关联点”， ， ， 解得：或， 点N表示的数为11或． （2）解：①由题意得，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，…；点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，… 点表示的数为，点表示的数为， 点M表示，点N表示3， ， 点M，N的“5关联点”都在线段上， 又线段上存在点M，N的“5关联点”， 线段与线段有公共部分， 当时，线段与线段有公共部分，符合题意； 当时，线段与线段有公共部分，符合题意； 当时，，，此时线段与线段没有公共部分，不符合题意； 线段上存在点M，N的“5关联点”，则n的值可以为1或2． 故答案为：1或2． ②设点P表示的数为，且是M，N的“20关联点”， 由题意得，， 解得：或， 数或数表示的点是M，N的“20关联点”， 同理可得，数或数表示的点是M，N的“80关联点”， 由①得，线段上的点都在原点或原点右边， 又线段上同时存在M，N的“20关联点”和“80关联点”， 线段上同时存在数和数表示的点， 当时，，，线段上不存在数表示的点，不符合题意； 当时，，线段上同时存在数和数表示的点，符合题意； 当时，，，线段上不存在数表示的点，不符合题意； 综上所述，当时，即时，线段上同时存在M，N的“20关联点”和“80关联点”． 满足条件的n的值为． 6．在数轴上，我们把表示数的点称为共点，记作点P． 对于两个不同的点A和点B，若点A、点B到点P的距离相等，则称点A与点B关于点P互为共点联系点． 如图1，点A表示的数是，点B表示的数是1，它们到共点P的距离都是2个单位长度，则点A与点B关于点P互为共点联系点． (1)已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B关于点P互为共点联系点． 若，则 ；若，则 ； 计算： ； (2)对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以，再把所得数表示的点沿着数轴移动2个单位长度得到点B． 若点A与点B关于点P互为共点联系点，则点A表示的数是 ； (3)在图2中，M、是数轴上两点，且，点M以每秒2个单位长度的速度从数轴上表示－6的点出发，在－6与6之间来回运动，点N从数轴上表示2的点出发，以每秒1个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动，若t秒后，点M或与点N关于点P互为共点联系点，求M或与N距离最大时，运动时间 秒，M或与N距离最小时，运动时间_____秒．     【答案】(1)①0；；② (2)或0 (3)，2 【分析】本题考查了新定义，数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用． （1）①根据共点联系点的定义求解即可； ②设点A、点B到点P的距离为m，根据共点联系点的定义表示出a，b，然后相加即可； （2）先根据题意表示出b，再根据共点联系点表示的两数之和等于列方程求解即可； （3）先判断M或与N距离最大和M或与N距离最小的位置，再表示出M或与N，然后根据共点联系点表示的两数之和等于列方程求解即可． 【详解】（1）解：①当时，由题意，得 ∴； 当时，由题意，得 ∴． 故答案为：①0；； ②设点A、点B到点P的距离为m， 由题意，得 ， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，或， ∴或， 解得或． 故答案为：或0； （3）解：假设M在的左侧，由题意知，当M到大P之前时，与N距离最小；当M从6表示的点返回后，与N距离最大． 当到大P之前时，， 由题意，得 ， 解得； 当M从6表示的点返回后，， 由题意，得 ， 解得； 故答案为：，2． 7．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了很多规律：若数轴上点，点表示的数分别为，．则，两点的之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】已知，在数轴上点、、表示的数分别为、、，已知是单项式的系数，、分别是多项式的次数和常数项．为数轴上一动点． 【综合运用】 (1)填空：________，线段的中点表示的数________； (2)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．若点到、、之间的距离和等于27，则________； (3)动点、分别从点、同时出发沿数轴向右运动，点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度，求运动几秒后，点可以追上点？ (4)若为中点，为中点，为中点，点的运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的长． 【答案】(1)， (2) (3)运动秒后，点可以追上点 (4)不发生变化， 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，中点公式，数轴上的动点问题，单项式的系数，多项式的次数、系数的定义，一元一次方程的应用等； （1）由单项式的系数，多项式的次数、系数的定义得，，，由数轴上两点之间的距离及中点公式，即可求解； （2）分类讨论：①当在、之间时，即，由数轴上点的平移得点表示的数为，由数轴上两点之间的距离得，，，即可求解； ②当在、之间时，即，同理可求；③当在的右边时，即：，同理可求； （3）设运动秒后，点可以追上点，等量关系式：点走的路程点走的路程，据此列方程，即可求解； （4）设的运动后表示的数为，由数轴上中点公式得点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，由数轴上两点之间的距离即可求解； 理解数轴上两点之间的距离，中点公式，掌握单项式的系数，多项式的次数、系数的定义，能熟练数轴上两点之间的距离，中点公式进行求解，并根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：是单项式的系数，、分别是多项式的次数和常数项， ，，， ， 线段的中点表示的数为： ， 故答案为：，； （2）解：①当在、之间时，即，如图， 点表示的数为， ， ， ， ， ， 解得：不符合题意，舍去； ②当在、之间时，即，如图， 点表示的数为， ， ， ， ， ， 解得：不符合题意，舍去； ③当在的右边时，即：，如图， 点表示的数为， ， ， ， ， ， 解得：； 综上所述：； 故答案为：； （3）解：设运动秒后，点可以追上点，由题意得 ， 解得：， 答：运动秒后，点可以追上点； （4）解：不发生变化； 设的运动后表示的数为， 为中点，为中点，为中点， 点表示的数为：， 点表示的数为：， 点表示的数为：， ， ， ． 8．对于数轴上两条线段，，给出如下定义：点E是线段的中点，点F是线段上一点，设点E与点F之间的距离为a，若a的最小值不超过1，则称线段是线段的“近中线段”． 如图，在数轴上点表示的数分别为，，． (1)若点B表示的数为9，线段_______线段的“近中线段”（填“是”或“不是”）； (2)若点B表示的数为，线段是线段的“近中线段”，求满足条件的的最小值和最大值； (3)点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动秒．当时，若线段的“近中线段”的长度恰好与的值相等，直接写出线段的中点Q所表示的数． 【答案】(1)是 (2)的最小值是，最大值是 (3) 【分析】（1）根据题意可得点E表示的数为，根据“近中线段”定义可得，即可判断． （2）根据题意可得点E表示的数为，最小值为，最大值为，故，求解即可． （3）根据题意可得点P表示的数为，在点P在原点左侧，结合点表示的数分别为，，可得线段的中点Q所表示的数最小值为，最大值为，从而得出点在点右侧，设点表示的数为，则，根据，可得， 线段的中点表示的数为，根据的长度恰好与的值相等，可列，即，代入中，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点表示的数分别为，9，点E是线段的中点， ∴点E表示的数为， 又∵点表示的数分别为，，点F是线段上一点，点E与点F之间的距离为a， ∴，，即， ∴线段是线段的“近中线段”， 故答案为：是． （2）解：∵线段是线段 的“近中线段”， ∴a的最小值不超过1， 又∵点表示的数分别为，，点F是线段上一点，点E与点F之间的距离为a， ∴结合数轴可得点E表示的数最小值为，最大值为， ∵点表示的数分别为，，点E是线段的中点， ∴点E表示的数为， ∴， ∴， ∴的最小值是，最大值是． （3）解：∵点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动秒， ∴点P表示的数为， ∵， ∴点P在原点左侧 又∵点表示的数分别为，， ∴，，线段的中点Q所表示的数最小值为，最大值为， ∴，点在点右侧 ∵， ∴， 设点表示的数为，则， ∵， ∴，即， ∴线段的中点表示的数为， ∵的长度恰好与的值相等， ∴， 解得：， ∴， ∴线段的中点Q所表示的数为． 【点睛】本题考查了数轴上两点距离，线段中点的定义，解一元一次方程，去绝对值知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9．对于数轴上的点和线段，给出如下定义：若点与线段上一点的距离等于线段的长，则称点是线段的“强关联点”． (1)点表示的数分别是0，2． ①在，0，3中，线段的“强关联点”所表示的数有______； ②线段的“强关联点”所表示的数最大为______，最小为______； (2)线段的长为． ①线段的“强关联点”所表示的数中，最大数与最小数的差为______； ②线段的长为，若存在点，使得点既是线段的“强关联点”，也是线段的“强关联点”．将线段的“强关联点”所表示的数中的最大数与线段的“强关联点”所表示的数中的最小数的差记为，则的最大值为______（用含的式子表示）． 【答案】(1)①0，3；②4， (2)①；② 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）①首先根据题意可知，分别求得与，0，3表示的点相距2个单位长度的点表示的有理数，然后结合“强关联点”的定义分别判断即可；②首先求得距离点为2的点表示的有理数以及距离点为2的点表示的有理数，再比较大小，即可获得答案； （2）①根据题意作出图形，结合（1）即可获得答案；②由题意可知，点为线段的“强关联点”所表示的最大数，且为线段的“强关联点”所表示的最小数，然后作图，结合图形即可获得答案． 【详解】（1）解：①如图， ∵点表示的数分别是0，2， ∴， 与表示的点相距2个单位长度的点表示的有理数为或， ∵， ∴表示的点不是线段的“强关联点”； 与0表示的点相距2个单位长度的点表示的有理数为或， ∵， ∴0表示的点是线段的“强关联点”； 与3表示的点相距2个单位长度的点表示的有理数为1或5， ∵， ∴3表示的点是线段的“强关联点”； ②距离点为2的点表示的有理数为和2， 距离点为2的点表示的有理数为0和4， ∵， ∴线段的“强关联点”所表示的数最大为4，最小为． 故答案为：①0，3；②4，； （2）①如下图， 结合（1）可知，线段的“强关联点”所表示的数中， 最大数与最小数的差为； ②若点既是线段的“强关联点”，也是线段的“强关联点”， 且线段的“强关联点”所表示的数中的最大数与线段的“强关联点”所表示的数中的最小数的差取最大值， 则为线段的“强关联点”所表示的最大数，且为线段的“强关联点”所表示的最小数， 如下图， ∴． 故答案为：①；②． 10．对于数轴上的两条线段，给出如下定义：若其中一条线段的中点恰好是另一条线段的一个三等分点，则称这两条线段互为友好线段． (1)在数轴上，点表示的数为，点表示的数为2，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为4，在线段中，与线段互为友好线段的是______； (2)在数轴上，点表示的数分别为，且不重合．若线段互为友好线段，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，7，9，26 【分析】（1）根据互为友好线段的定义分析即可； （2）分的中点是的三等分点和的中点是的三等分点两种情况，根据互为友好线段的定义列方程求解即可． 【详解】（1）∵点表示的数为2，点表示的数为， ∴，， ∴的中点表示的数是， 三等分点表示的数是或． ∵点表示的数为，点表示的数为2， ∴，， ∴的中点表示的数是， 三等分点表示的数是或． ∵点表示的数为2，点表示的数为， ∴，， ∴的中点表示的数是， 三等分点表示的数是或； ∵的中点是的一个三等分点，的中点是的一个三等分点， ∴，与互为友好线段． ∵与无重叠部分， ∴与不可能是互为友好线段． 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴，， ∴的中点表示的数是， 三等分点表示的数是或； ∵点表示的数分别为， ∴的中点表示的数是． 当的中点是的一个三等分点时， 则或， ∴或． 当的中点是的一个三等分点时， 若，即时， ，， ∴三等分点表示的数是或， ∴或， 解得或． 若，即时， ，， ∴三等分点表示的数是或， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）． 综上可知，x的值为，7，9，26． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，整式的加减，线段的n等分点，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键． 11．数轴上有两个点A，B，它们表示的数分别是，8．P，Q，M是数轴上三个动点，沿数轴向某一方向运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，点M的速度是每秒5个单位长度． (1)点P，Q分别从点A，B同时出发，都向正方向运动． ①运动t秒后，点P表示的数为__________，点Q表示的数为__________（用含t的代数式表示）； ②当P，Q两点相距3个单位长度时，直接写出此时t的值． (2)点P，Q，M同时开始运动，点P从点A出发向正方向运动，点Q从点B出发向负方向运动．点M从原点O出发先向负方向运动，与点P重合后立刻向正方向运动，与点Q重合后立刻向负方向运动，再次与点P重合后立刻向正方向运动，……，当点P，M，Q重合时，运动停止．在运动过程中，这三个点的速度保持不变，点P，Q的运动方向保持不变． ①当运动停止时，直接写出点P表示的数； ②在整个过程中，点M运动的路程为__________个单位长度． 【答案】(1)①，；②11或17 (2)①，② 【分析】本题考查数轴上动点问题，代数式表示式，一元一次方程的实际运用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）①结合题意利用代数式表示即可； ②根据P，Q两点相距3个单位长度，分情况建立等式求解，即可解题； （2）①根据题意表示出点P与点Q表示的数，结合当点P，M，Q重合时，运动停止，建立方程求解，即可解题； ②根据路程时间速度求解，即可解题． 【详解】（1）解：①因为数轴上有两个点A，B，它们表示的数分别是，8． 所以运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， 故答案为：，． ②因为P，Q两点相距3个单位长度， 所以或， 解得或； （2）解：①因为当点P，M，Q重合时，运动停止． 且点P表示的数为，点Q表示的数为， 所以， 解得； ②因为点M的速度是每秒5个单位长度， 所以在整个过程中，点M运动的路程为个单位长度． 故答案为：． 12．若有理数与分别对应数轴上的点与点，则为点与点的距离．我们定义：为点与点之间的三等分距离，记作．例如：数轴上表示与3的点之间的三等分距离是． (1)数轴上表示2与4的点之间的三等分距离 ； (2)数轴上表示数与1的点之间的三等分距离是2，则 ； (3)若取最大值，则有理数的值可以是 （写出一个即可）； (4)若是的2倍，则的值为 ． 【答案】(1) (2)7或 (3)（答案不唯一） (4) 【分析】（1）根据三等分距离的定义进行求解即可； （2）根据三等分距离的定义列出方程，解方程即可； （3）先根据新定义得出，然后分类讨论求出最大值即可； （4）根据是的2倍，得出，分类讨论求出，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：数轴上表示2与4的点之间的三等分距离为： ； （2）解：∵数轴上表示数与1的点之间的三等分距离是2， ∴， 解得：或； （3）解：由题意得： 当时， ； 当时， ； 当时， ， 当时，， 当时，， ∵， ∴， ∴当时，有最大值， ∴取最大值，则有理数的值可以． （4）解：∵是的2倍， ∴， 整理得：， 当时，，此方程无解； 当时，，此方程无解； 当时，，解得：； 当时，． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，绝对值方程，绝对值意义，解题的关键是理解新定义，熟练掌握绝对值的意义． 1 / 2 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 期末真题百练通关（69题9大题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 规律探索 题型7 代数综合 题型2 数轴综合 题型8 角度综合 题型3 列代数式 题型9 线段与数轴、动点综合 题型4 新定义问题 题型5 方程问题 题型6 其他问题 题型一 规律探索（共5小题） 1．(24-25七上·北京昌平区·期末)将正方体骰子放置于水平桌面上，在图②中，将骰子向右翻滚；然后在桌面上按逆时针方向旋转，则视作完成一次变换，若骰子的初始位置为图①所示的状态，那么按上述规则连续完成2024次变换后，骰子朝上面的点数是（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 2．(23-24七上·北京北大附中石景山学校·期末)一只小球落在数轴上的某点P0，第一次从P0向左跳1个单位到P1，第二次从P1向右跳2个单位到P2，第三次从P2向左跳3个单位到P3．第四次从P3向右跳4个单位到P4…．若小球从原点出发，按以上规律跳了6次时，它落在数轴上的点P6所表示的数是 ；若小球按以上规律跳了2n次时，它落在数轴上的点P2n所表示的数恰好是n+2，则这只小球的初始位置点所表示的数P0是 ． 3．(24-25七上·北京门头沟区·期末)密码学是研究编制和破译密码规律的一门学科，它与数学有密切关系，如将“明文”中的26个英文字母a，b，c，…，z，1，2，3，…26，给出了破译“明文”与“密文”的一把钥匙．如果“密文”中的数字x为奇数，则明文对应的序号为，如果“密文”中的数字x为偶数，则“明文”对应的序号为，数字为“；；；；；17”，则对应的“明文”为 ． 4．当今是高度信息化的时代，信息安全至关重要，密码技术已经渗透到我们生活中的各个角落．密码学是研究编制和破译密码的技术科学，它与数学有密切关系．有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中Q，W，E，…，N，M这个字母依次对应1，2，3，…，，这个正整数（见下表） Q W E R T Y U I O P A S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 F G H J K L Z X C V B N M 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 以下是密文与明文之间的关系： 当明文字母所对应的数字x为奇数时，密文字母所对应的数字为；当明文字母所对应的数字x为偶数时，密文字母所对应的数字为． 例如：将明文Y转换成密文： 按上述方法将明文U转换成密文为 ；若按上述方法将明文转换成的密文是，那么它的明文是 ． 5．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．我们最熟悉的，最常用的就是十进制中的数，如十进制中的数2025就可写成，如二进制中的数101就可以写成，可以转换成十进制中的5，可见一个数可以表示成各数位上的数字与基数乘方的乘积之和的形式，从而转换成十进制数．（十进制一般不标注基数，其它常在数的右下角标明基数） （1）按此方式将二进制数转换成十进制的结果是 ； （2）计算： ．（结果用十进制数表示） 题型二 数轴综合（共5小题） 1．(23-24七上·北京北大附中石景山学校·期末)在数轴上，点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动2个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a，b，c．A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，a，b，c三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 2．(24-25七上·北京房山区·期末)如图，数轴上4个点表示的数分别为a，b，c，d，若，，，则的值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 3．(24-25七上·北京昌平区·期末)如图，将一刻度尺放在数轴上． ①若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为1和4，则对应数轴上的点表示的数是2； ②若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为1和10，则对应数轴上的点表示的数是4； ③若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和2，则对应数轴上的点表示的数是0； ④若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和0.5，则对应数轴上的点表示的数是 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 4．在数轴上，点在原点O的两侧，分别表示数，将点A向左平移2个单位长度，得到点C，若，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．5 5．数轴上A、B两点所对应的实数分别为1，，点A是线段BC的中点，则C点所对应的实数为 ． 题型三 列代数式（共6小题） 1．(24-25七上·北京石景山区·期末)已知图形是由直径为的两个半圆叠拼而成，．请用含的代数式表示图中阴影的面积 ．    2．(24-25七上·北京门头沟区·期末)如图，正方形的边长为a，根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积 ． 3．(24-25七上·北京延庆区·期末)七巧板是一种中国传统智力玩具，是由七块板组成的，形状分别为五个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形，这七块板可以拼成多种图形.如图，号等腰直角三角形中，直角边的长为，号正方形的边长为．选择其中标有的四个等腰直角三角形组成一个新的图形，如图所示，图中空白部分的面积分别记为，，则与的差可以表示为（   ） A． B． C． D． 4．某文具店购进一款笔记本，进价为元，若先按照进价提高标价，后又降价6元出售，那么现在的售价是 元（用含有的代数式表示）． 5．已知一个长为，宽为的长方形，如图1所示，沿图中虚线裁剪成四个相同的小长方形，按图2的方式拼接，则阴影部分正方形的边长是 ．（用含a的代数式表示） 6．有一种面积为的正方形餐垫． （1）如图1，两张这样的餐垫部分重叠放在桌面上，如果它们盖住桌面的总面积是，那么这两张餐垫重叠部分的面积是 （用含a的代数式表示）； （2）如图2，三张这样的餐垫两两重叠放在桌面上，如果它们盖住桌面的总面积是，图中两个阴影部分的面积的和是，那么这三张餐垫共同重叠部分的面积是 （用含a，b，c的代数式表示）． 题型四 新定义问题（共5小题） 1．(24-25七上·北京石景山区·期末)规定一种新运算：，例如：， （1）请计算： ． （2）请判断该新运算是否满足交换律： （是或否）． 2．(24-25七上·北京昌平区·期末)对于实数x、y我们定义一种新运算（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中x、y叫做线性数的一个数对．若实数x、y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x、y叫做正格线性数的正格数对． （1）若，则 ． （2）已知，，请回答问题： ， ． 3．(24-25七上·北京朝阳区·期末)对任意两个有理数定义一种运算“”，具体运算方式为，下列结论正确的是（   ）． A． B． C．对任意有理数，，有 D．不存在有理数，，，使 4．平时我们常用十进制，十进制是逢十进一，其各数位上的数字为，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，例如：将二进制数“1101”转化为十进制数为，则将八进制数“1101”转化为十进制数是 ． 5．对于个位数字不为零的任意三位数，将其个位数字与百位数字对调得到，则称为的“倒序数”，将一个数与它的“倒序数”的差的绝对值与99的商记为．例如523为325的“倒序数”，． （1） ； （2）对于任意三位数满足：的值是 ． 题型五 方程问题（共9小题） 1．(24-25七上·北京石景山区·期末)某商场周年店庆搞促销活动，购物每满200元，送100元购物券，购物券可以当钱花，但是不能参与返券活动．怎么购物比较划算呢？ （1）若你想购买A，B两件商品，它们的价格分别为400元和800元，应该先购买 （填或）； （2）若你想购买C，D，E商品，它们的价格分别为399元、499元、699元，那么较省钱的购买方案为 ． 2．(24-25七上·北京石景山区·期末)某工人制作1个A零件，1个B零件，1个C零件所用的时间之比为，他制作2个A零件、3个B零件、4个C零件共用10工时．若他要制作14个A零件、10个B零件、12个C零件，则需要的时间是（    ） A．20工时 B．33工时 C．35工时 D．39工时 3．(24-25七·北京通州区·期末)一副直角三角板如图1放置：直角三角板的边与直角三角板的边重合，点在线段的延长线上．如图2，将图1的直角三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当射线与射线重合时停止），在旋转过程中始终平分，当满足时，三角板的运动时间为 ． 4．某次知识竞赛共出了25道试题，评分标准如下：答对1道题加4分，答错1道题扣1分，不答记0分．已知李刚不答的题比答错的题多2道，他的总分为74分，则他答对了（ ） A．18道 B．19道 C．20道 D．21道 5．如图，用一根质地均匀长30厘米的木杆和一些相同的重物做实验．已知支撑点到木杆左右两端的距离分别为a，b，通过实验可得到如下结论：左端重物个数右端重物个数（×为乘号），木杆就能平衡．已知厘米，并且右端放了一个重物，若要木杆平衡则左端需要放置的重物个数为（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一只神龟背上的图案，故又称“洛书”，数学上的“九宫图”所体现的是一个的方格，其每一行，每一列及斜对角的三个数之和都相等，也称之为三阶幻方，若一个满足条件的三阶幻方的一部分如图所示，则图中的字母表示的数是（    ） A．7 B．10 C．9 D．6 7．《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六.问：人数、鸡价各几何?”译文为：有若干人一起买鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱；买鸡的人数、鸡的价格各是多少?设有x人买鸡，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．中国古代算书《算法统宗》中有这样一个“百羊问题”：甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后；戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半群，得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？译文：甲赶了一群羊在草地上往前走．乙牵了一只肥羊紧跟在甲的后面．乙问甲：“你这群羊有一百只吗？”甲说：“如果再有这么一群，再加半群，又加四分之一群，再把你的一只凑进来，才满只”．设甲原有只羊，根据题可列方程为 ． 9． “洛书”是我国文化中最古老，最神秘的事物之一，图1即洛书．数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图2）．在图3的幻方中，每一横行，每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等，则 ， ． 题型六 其他问题（共9小题） 1．(24-25七上·北京延庆区·期末)某校学生参加社会大课堂活动，来到艺术品工作坊，老师让每两个同学组成一组，共同制作A，B，C三件工艺品．制作要求：每人同一时间只能制作一件工艺品；每件工艺品需先由甲进行塑形，再由乙进行上色．甲、乙两位同学合作完成三件工艺品，已知每位同学完成每件工艺品各自工序需要的时间（单位：）如下： A B C 甲 6 4 3 乙 4 7 5 （1）若按照的顺序制作，总时长最少为 ； （2）若要求三件工艺品加工完成的总时长不超过，请写出一种满足条件的制作顺序 ． 2．(24-25七上·北京石景山·期末)为提高青少年体质，某区组织各校篮球队进行了联赛，比赛部分积分情况如下： 球队编号 比赛场次 胜场数 负场数 积分 A 10 6 4 16 B 10 3 7 13 C 10 0 10 10 … … … … … 根据表格数据，胜一场积 分；某球队参加10场比赛，积分为18分，则胜场数为 ． 3．(24-25七上·北京怀柔区·期末)下图是某航海区域的情况，在灯塔O附近有A，B，C，D，E，F，6座海轮，其中F到灯塔的距离为，海轮F在灯塔和海轮D的中点处． 且，． 则下列说法正确的是（      ） ①若海轮F的速度为，则海轮F抵达灯塔需要20分钟； ②； ③； ④C在灯塔的北偏东的方向上． A．①④ B．①② C．①③④ D．①②③④ 4．某市为降低碳排放，积极推广绿色生活与绿色出行方式.为此，某出租公司制定了新的出租车收费标准，具体如下表所示： 时段 起步价 里程运价 备注 行驶距离不超过千米 行驶距离超过千米且不超过千米 超过千米 过路桥费按实际发生收取 普通时段： 元 元/千米 元/千米 夜间时段：当日次日 加收作为夜间补贴 （）王刚乘坐出租车由家去往景区，到达后他向出租车司机支付了元（其中包含元路桥费，等候费忽略不计），则他家到景区的距离是 千米； （）张梅从机场打车回家，路程约为千米，则她要付车费 元（不考虑过路桥费和等候费）． 5．如图，长方形中，点在边上．将沿折叠，点恰好落在边上的点处． （1）用等式表示线段，，之间的数量关系： ； （2）设，用含的代数式表示： ． 6．有甲，乙，丙，丁，戊五支球队参加足球比赛，每支队伍进行10场比赛．球队在每场比赛中可能获得“胜”“平”“负”三种比赛结果，每种结果对应不同的分值，并在10场比赛结束后结算队伍总分．甲队伍胜10场，总分30分；乙队伍胜6场，平4场，总分22分；丙队伍胜4场，平3场，总分15分；丁队伍胜5场，平2场；戊队伍获胜的场数是负的场数的2倍，且队伍总分是本队平场得分的4倍．根据以上信息，丁队伍总分是 ，将五支队伍按分数从高到低排序，结果为 （填写下面正确结果的序号）． ①甲乙丙丁戊；②甲乙丁丙戊；③甲乙丁戊丙；④甲乙戊丁丙 7． 年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成个大小不同的正方形．如图所示，图中的数字为正方形编号，其中标注，的正方形边长分别为，．当时，第个正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 8．甲、乙两人在A，B两条生产线上加工产品．在A生产线，甲第一天能加工10件A产品，每多连续加工一天，加工的件数（最少2件）比前一天少2件，乙第一天能加工8件A产品，每多连续加工一天，加工的件数（最少2件）比前一天少1件；在B生产线，甲每天加工7件B产品，乙每天加工8件B产品．在一天内，甲和乙只能选择在A，B中的一条产品线工作（甲和乙的选择不能相同），且在一条产品线连续工作少于3天时不可改变产品线． ①甲在A产品线连续工作5天能加工A产品 件； ②一件A产品、一件B产品组成一套产品，则20天最多能加工 套产品． 9．如图，A，B，C，D是平面内的四个点，P为该平面内一点，给出下面三个结论： ①若，则P为线段的中点； ②若，，，则点P在直线外； ③若点P到点A，B，C，D的距离的和最小，则满足条件的点P有且只有一个 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．③ C．①② D．②③ 题型七 代数综合（共11小题） 1．(23-24七上·北京北大附中石景山学校·期末)已知代数式A＝2x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x． (1)求A﹣2B； (2)若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值． 2．(24-25七上·北京门头沟区·期末)阅读理解：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制 在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制．使用十个数字记数时，几个数字排成一行，第一位是个位，个位上的数字是几就表示几个一，十位上的数字是几就表示几个十；接着依次是百位、千位…． 例如，十进制数721中的7表示7个百，2表示2个十，于是我们就可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式：． （规定当时，，721右下角的10代表以10为基数） 问题解决： (1)十进制532写成数字与基数的幂的乘积之和的形式： ； (2)“二进制”是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．请把二进制数1101表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式： ；此时通过计算就转化为了十进制数 ； (3)根据逢二进一的规则计算：． 3．(24-25七上·北京房山区·期末)小山同学通过阅读课本92页探究学习资料，自主学习解含有绝对值的方程的方法，并提出了以下问题，请你结合课本中所给资料（如下所示），帮助小山解决问题． 含有绝对值的方程 绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，，…都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程和为例来探究解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，这样就可以将含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 解方程． 解：根据绝对值的意义，得或． 解方程． 分析：把看作一个整体．解：根据绝对值的意义，得 或． 分别解这两个方程，得 或． (1)解方程； (2)已知：①_______，请你从，中选择一个填入①中，组成含有绝对值的方程，并求出该方程的解． 4．已知有理数a、b满足ab＜0，a+b＞0且|a|＜|b| （1）在数轴上标出数a，﹣a，b，﹣b，并用“＜”号连接这四个数． （2）化简：|2a﹣b|﹣|2b﹣a|+|a+b|    5．由于（﹣1）n＝，所以我们通常把（﹣1）n称为符号系数． （1）观察下列单项式：﹣，…按此规律，第5个单项式是　 　，第n个单项式是　 　． （2）的值为　 　； （3）你根据（2）写出一个当n为偶数时值为2，当n为奇数时值为0的式子　 　． 6．学习完有理数加、减、乘、除运算后，数学兴趣小组对新运算“”进行了探究． 探究过程如下： I.给出了“”的一些具体例子：                                  II.根据上面的例子，小华画出了“”的部分流程图如下： Ⅲ.小明在小华的基础上进一步完善和改进，画出了“”的流程图如下： 根据以上探究过程，完成下面问题： (1)在①，②，③中，符合小华画的部分流程图的运算有______（只填序号）； (2)小明画的流程图中的A处应填______，B处应填______； (3)根据小明画的流程图解决下面问题： ①计算：； ②若，则x的值为______． 7．阅读材料：对于任意有理数a，b，规定一种特别的运算“”：ab．例如，25． (1)求3的值； (2)若，求x的值； (3)试探究这种特别的运算“”是否具有交换律？ 8．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．对于任何一种进制N进制，就表示某一位置上的数运算时是逢N进一位，N进制表示的数中，右起第一位上的1表示，第二位上的1表示，第三位上的1表示，第四位上的1表示．故，其中． 例如：，，转化为十进制的数11，转化为十进制的数31（注意：对于任何非零数a都有，即）． 结合以上材料，解决下列问题： (1)把下列进制数转化为十进制表示的数（在横线上列式并写出结果）： ， ； (2)《易经》中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位女孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来记数，如右图，图中表示女孩用绳结记录的数字，按照六进制记数法，即右边的绳子打结满6个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满6进1得来．根据图中记录的数字，写出这个六进制数字为（ ）6，若用十进制表示的数表示女孩采集到的野果数， 她一共采集到的野果数量为 个；       (3)如果五进制三位数与八进制两位数分别转化为十进制表示的数，则两数和为，根据题意请列出等式 ，此时满足条件的 ． 9．已知有理数，，在数轴上的对应点如图所示： (1)________0，________0；（填“”“”或“”） (2)化简：． 10．我们定义了一种新的运算“⊕”，这种运算对于任意两个有理数和，满足以下规则：． 例如： 请根据这个新定义的运算，回答以下问题： (1)________； (2)若，求的值． 11．用四个如图1所示的长为a，宽为1的长方形，放置在一个长为m，宽为n的大长方形内部，拼成一个如图2所示的图形． (1)用等式表示m与a之间的数量关系； (2)设长方形①的周长为，长方形②的周长为，求（用含n的式子表示）． 题型八 角度综合（共7小题） 1．(24-25七·北京通州区·期末)如图，，是内部的两条射线，，，，求的度数． 2．(24-25七上·北京顺义区·期末)如图，已知O是直线上一点，在直线同侧作射线，．，，作的平分线，作的平分线． (1)若，． ①______； ②依题意补全图形，______； (2)若，求的度数； (3)直接写出的大小（用含，的式子表示）． 3．(24-25七上·北京怀柔区·期末)已知：如图1，在直线上取一点O，以点O为端点作射线，，分别作平分，平分，令，． (1)如图2，若与重合，其中，，则________； (2)如图3，B，C为直线同侧的点，，是钝角， ①依题意，在图3中画出射线及的平分线； ②求的度数（用含α的式子表示）； (3)当，都是锐角时，直接写出的角度（若不是确定角度则用含α，β的代数式表示）． 4．如图，已知平面内有四个点，，，．按要求画图，并回答问题： (1)按要求画图： ①画直线，在直线上取一点（点在点右侧）； ②画射线、； (2)当平分时， ①如果，________； ②如果，则________；（用含的代数式表示） ③作，在②的条件下，请你求出的度数．（用含的代数式表示） 5．已知，点O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，当射线在的外部时，若，求的度数；完成下面的解答过程： 解：O是直线上的一点， ．（理由：__________） ， ． 平分， ．（理由：__________） _______． ，且， ______． 已知，点O是直线上的一点，，平分． (2)如图2，当射线在的内部时， ①补全图形； ②若，直接写出的度数（用含的式子表示）． 6．已知与射线．射线，分别是，的平分线． (1)如图1，当射线在的内部时，若，则______°； (2)如图2，当射线在的外部时，猜想与的数量关系，并说明理由． 7．已知与共顶点，，． (1)如图，点在一条直线上，若，，为的平分线，为的平分线，求的度数； (2)若，、绕点运动到如图所示的位置，为的平分线，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由． 题型九 线段与数轴、动点综合（共12小题） 1．(24-25七上·北京石景山区·期末)定义：数轴上点表示的数分别为．若点到点的距离等于点到点的距离的倍，我们就称是点的关联点对．例如，如图，点表示的数分别为．此时，，．，则称是点的2关联点对；，则称是点的关联点对． (1)若表示的数分别为，是点的关联点对，则表示的数为______． (2)若点表示的数分别为． ①是线段上的一个动点，是点的关联点对，则的最大值为______，的最小值为______； ②若点从点以每秒3个单位长度向右运动，同时点从点以每秒1个单位长度向左运动，设点运动的时间为，若是点的关联点对，请直接写出的值． 2．(23-24七上·北京北大附中石景山学校·期末)设A、B、C是数轴上的三个点，且点C在A、B之间，它们对应的数分别为xA、xB、xC． （1）若AC＝CB，则点C叫做线段AB的中点，已知C是AB的中点． ①若xA＝1，xB＝5，则xc＝　 　； ②若xA＝﹣1，xB＝﹣5，则xC＝　 　； ③一般的，将xC用xA和xB表示出来为xC＝　 　； ④若xC＝1，将点A向右平移5个单位，恰好与点B重合，则xA＝　 　； （2）若AC＝λCB（其中λ＞0）． ①当xA＝﹣2，xB＝4，λ＝时，xC＝　 　． ②一般的，将xC用xA、xB和λ表示出来为xC＝　 　． 3．(24-25七上·北京门头沟区·期末)我们规定：数轴上的点A所表示的数为x，点B所表示的数为，数轴上存在点P，两两形成的线段中存在相等关系（点P不与点A点B重合），则称点P为线段的“等关联点”． (1)当时，点P为线段的“等关联点”，点P所表示的数为 ； (2)数轴上存在点M、N，点M所表示的数是，点N所表示的数是，如果线段MN上存在3个点P为线段的“等关联点”，则x的最大值是 ； (3)对于任意的点A，如果存在点P为线段的“等关联点”，求点P所表示的数．（用含x的代数式表示） 4．对于数轴上，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“倍长点”．例如，数轴上点A，B，C所表示的有理数分别为0，2，3，此时点是点，的“倍长点”． (1)数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为3，下列各数，0，，4，7所对应的点分别为，，，，，其中是点，的“倍长点”的是_____； (2)数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为，点是数轴上的一个动点，对应的有理数用表示．若，且点，，中有一个点恰好是其他两个点的“倍长点”，则满足条件的的值有_____个； (3)在（2）中，若为整数，则满足条件的整数的值是_____（用含有的代数式表示）． 5．给出如下定义：对于数轴上M，N两点和常数d，如果在数轴上存在点P，使得，那么称点P是M，N的“d关联点”． 例如：点M表示1，点N表示2，，当点P表示4时，，所以称点P是M，N的“5关联点”． (1)点M表示2． ①点N表示4，P是M，N的“10关联点”．在0，两个数中，P可以表示的数是______； ②点P表示，且是M，N的“15关联点”．求点N表示的数； (2)阅读下列操作： A，B为数轴上两点，点A表示的数为，将A表示的数加上1后，再乘以2，对应数轴上得到点；点B表示的数为1，将B表示的数加上1，对应数轴上得到点；将表示的数加上1后，再乘以2，对应数轴上得到点；将表示的数加上1，对应数轴上得到点，依此规律得到，，，，…，，，… 点M表示，点N表示3，完成下面问题： ①线段上存在点M，N的“5关联点”，则n的值可以为______； ②线段上同时存在M，N的“20关联点”和“80关联点”，直接写出满足条件的n的值． 6．在数轴上，我们把表示数的点称为共点，记作点P． 对于两个不同的点A和点B，若点A、点B到点P的距离相等，则称点A与点B关于点P互为共点联系点． 如图1，点A表示的数是，点B表示的数是1，它们到共点P的距离都是2个单位长度，则点A与点B关于点P互为共点联系点． (1)已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B关于点P互为共点联系点． 若，则 ；若，则 ； 计算： ； (2)对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以，再把所得数表示的点沿着数轴移动2个单位长度得到点B． 若点A与点B关于点P互为共点联系点，则点A表示的数是 ； (3)在图2中，M、是数轴上两点，且，点M以每秒2个单位长度的速度从数轴上表示－6的点出发，在－6与6之间来回运动，点N从数轴上表示2的点出发，以每秒1个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动，若t秒后，点M或与点N关于点P互为共点联系点，求M或与N距离最大时，运动时间 秒，M或与N距离最小时，运动时间_____秒．     7．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了很多规律：若数轴上点，点表示的数分别为，．则，两点的之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】已知，在数轴上点、、表示的数分别为、、，已知是单项式的系数，、分别是多项式的次数和常数项．为数轴上一动点． 【综合运用】 (1)填空：________，线段的中点表示的数________； (2)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．若点到、、之间的距离和等于27，则________； (3)动点、分别从点、同时出发沿数轴向右运动，点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度，求运动几秒后，点可以追上点？ (4)若为中点，为中点，为中点，点的运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的长． 8．对于数轴上两条线段，，给出如下定义：点E是线段的中点，点F是线段上一点，设点E与点F之间的距离为a，若a的最小值不超过1，则称线段是线段的“近中线段”． 如图，在数轴上点表示的数分别为，，． (1)若点B表示的数为9，线段_______线段的“近中线段”（填“是”或“不是”）； (2)若点B表示的数为，线段是线段的“近中线段”，求满足条件的的最小值和最大值； (3)点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动秒．当时，若线段的“近中线段”的长度恰好与的值相等，直接写出线段的中点Q所表示的数． 9．对于数轴上的点和线段，给出如下定义：若点与线段上一点的距离等于线段的长，则称点是线段的“强关联点”． (1)点表示的数分别是0，2． ①在，0，3中，线段的“强关联点”所表示的数有______； ②线段的“强关联点”所表示的数最大为______，最小为______； (2)线段的长为． ①线段的“强关联点”所表示的数中，最大数与最小数的差为______； ②线段的长为，若存在点，使得点既是线段的“强关联点”，也是线段的“强关联点”．将线段的“强关联点”所表示的数中的最大数与线段的“强关联点”所表示的数中的最小数的差记为，则的最大值为______（用含的式子表示）． 10．对于数轴上的两条线段，给出如下定义：若其中一条线段的中点恰好是另一条线段的一个三等分点，则称这两条线段互为友好线段． (1)在数轴上，点表示的数为，点表示的数为2，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为4，在线段中，与线段互为友好线段的是______； (2)在数轴上，点表示的数分别为，且不重合．若线段互为友好线段，直接写出的值． 11．数轴上有两个点A，B，它们表示的数分别是，8．P，Q，M是数轴上三个动点，沿数轴向某一方向运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，点M的速度是每秒5个单位长度． (1)点P，Q分别从点A，B同时出发，都向正方向运动． ①运动t秒后，点P表示的数为__________，点Q表示的数为__________（用含t的代数式表示）； ②当P，Q两点相距3个单位长度时，直接写出此时t的值． (2)点P，Q，M同时开始运动，点P从点A出发向正方向运动，点Q从点B出发向负方向运动．点M从原点O出发先向负方向运动，与点P重合后立刻向正方向运动，与点Q重合后立刻向负方向运动，再次与点P重合后立刻向正方向运动，……，当点P，M，Q重合时，运动停止．在运动过程中，这三个点的速度保持不变，点P，Q的运动方向保持不变． ①当运动停止时，直接写出点P表示的数； ②在整个过程中，点M运动的路程为__________个单位长度． 12．若有理数与分别对应数轴上的点与点，则为点与点的距离．我们定义：为点与点之间的三等分距离，记作．例如：数轴上表示与3的点之间的三等分距离是． (1)数轴上表示2与4的点之间的三等分距离 ； (2)数轴上表示数与1的点之间的三等分距离是2，则 ； (3)若取最大值，则有理数的值可以是 （写出一个即可）； (4)若是的2倍，则的值为 ． 1 / 2 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $