专题07 三角函数的图像与性质重点题型全归纳（寒假复习讲义，串知识+12大题型精讲+提升）高一数学人教A版

专题07 三角函数的图像与性质重点题型全归纳 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：正弦、余弦、正切函数的图象与性质 1、正弦.余弦函数图象： 2、会用五点法作图. 在上的五个关键点为： 在上的五个关键点为： 3、周期函数：函数定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个，都有，且，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.如果函数的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小正数叫的最小正周期. 4、正余弦函数的周期： 正弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是； 余弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是. 5、正弦.余弦.正切函数的图像及其性质： 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 无 周期性 奇偶性 奇 偶 奇 单调性 在上递增 在上递减 在上递增 在上递减 在每一个区间上递增 对称性 对称轴方程： 对称中心， 对称轴方程： 对称中心， 无对称轴 对称中心， 注意：(1)单调性：求函数y＝Asin (ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误． (2)三角函数的奇偶性：对于，若为奇函数，则. 对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则。 对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则. 知识点2：函数的变换 1、三角函数图像变换() (1) . (2) . 注意：，向上或向下平移个单位． 2、三角函数的周期公式：（） ⑴，，，的周期：． ⑵，，，的周期都是： 3、求的单调（递增、递减）区间：视为，的复合函数； 4、函数的值域为中的物理量： ①振幅是（离开平衡位置的最大距离），②周期是（作往复运动一次的时间）， ③频率是（单位时间内往复运动的次数）， ④相位是， ⑤初相是； 注意：1、具体求解函数的问题时一定要注意的符号． （1）时，一定要用诱导公式或奇偶性处理，使得的系数为正． （2）时，对的单调性、值域（最值）有影响！ 【题型01 三角函数图像的简单辨析】 1．在内使成立的的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据判断出，画出和两个函数在时的图像，由此求得不等式的解集. 【详解】∵，∴，∴.在同一坐标系中画出，与，的图像，如图.    观察图像易得使成立的. 故选A. 【点睛】本小题主要考查含有绝对值的三角不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 2．当时，曲线与的交点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据“五点法”画出两个函数在上的图象，数形结合即可判断. 【详解】由“五点法”画函数与在上的图象，如图所示． 由图可知曲线与在上的交点个数为7， 故选：C 3．函数 的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性，结合正弦函数的性质分析图象即可. 【详解】函数 的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以函数为偶函数， 又时，，可排除A、B选项， 同时时，有无数零点，同时也有的情况， 故有无数个零点，且时有的情况，可排除C，即D正确. 故选：D 4．已知函数，则函数在区间内零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】将函数零点转化为函数与图象交点个数问题，分别对和进行讨论可得结论. 【详解】令，可得 当时，则有， 数形结合画出与在上的图象如下图所示： 可得在内两图象有三个交点； 当时，在内解得，不是方程的解，不合题意. 故选：C 5．（24-25高一下·北京·期中）某美妙音乐的模型函数为有下叙述四个结论： ①是偶函数 ②在区间单调递减 ③在上有3个零点 ④周期是，其中所有正确的结论的编号是（    ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 【答案】A 【分析】先根据奇偶函数定义得偶函数，结合正弦函数图象和偶函数图象性质得到函数图象，然后逐个命题判断即可. 【详解】易知的定义域为R，且，所以偶函数，①对； 当时，，所以当时，的图像与一致， 再结合偶函数的对称性可得整体图象如下图： 由图象可知：在区间单调递减；②对； 在上有1个零点为0，③错；函数不具有周期性，④错； 所以所有正确的结论的编号是①②. 故选：A 6．函数，的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的奇偶性及函数在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域关于原点对称， 因为，即函数为奇函数，排除BD选项， 当时，，则，，可得，排除C选项. 故选：A. 【题型02 周期性】 1．（24-25高一下·上海浦东新·期中）下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由三角函数的周期性，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，的最小正周期为，故A错误； 对于B，的最小正周期为，故B错误； 对于C，的最小正周期为，故C错误； 对于D，因为的最小正周期为， 将函数的图像轴上方不变，下方部分向上翻折， 得到的图像，则其周期减半，所以的最小正周期为，故D正确； 故选：D 2．（24-25高一下·河南·期末）“”是“的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由正切函数的周期计算公式及充分条件和必要条件的概念分析即可. 【详解】的最小正周期为，则，得， 故“”是“的最小正周期为”的充分不必要条件． 故选：A． 3．（24-25高一下·江苏徐州·期中）下列函数的最小正周期为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换化简各选项中函数的解析式，再结合三角函数的周期公式逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，该函数的最小正周期为，A不满足要求； 对于B选项，， 该函数的最小正周期为，B不满足要求； 对于C选项，， 该函数的最小正周期为，C满足要求； 对于D选项，， 该函数的最小正周期为，D不满足要求. 故选：C. 4．（24-25高一下·北京·月考）最小正周期为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的奇偶性和周期性，判断各个选项中的函数的奇偶性和周期性，从而得出结论． 【详解】A．是最小正周期为的偶函数，符合题意； B．是最小正周期为的奇函数，不符合题意； C．是偶函数，但不是周期函数，不符合题意； D．是最小正周期为的偶函数，不符合题意； 故选：A． 5．（24-25高一下·甘肃白银·期末）函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用辅助角公式将函数解析式进行化简；再利用正弦型函数的性质可求解. 【详解】因为函数的最小正周期， 所以函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为. 故选：B. 6．（24-25高一下·河南·期中）设函数，若，满足，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据得出，分别为最大值点和最小值点，再结合以及可以得到答案 【详解】，且， ，分别为最大值点和最小值点， 又， ，，整理得， 又， ，，整理得，， 又， 的最小值为4. 故选：B 【题型03 解三角不等式（含定义域）】 1．（24-25高一下·山东威海·期中）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】列不等式求解即可. 【详解】由题：，即， 由正弦函数的图像与性质得：， 故答案为：. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）不等式，的解集为 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，数形结合可得. 【详解】根据题意，作出函数的图象，如图所示，由，可得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 3．已知函数，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】解不等式即得解. 【详解】由题得， 所以. 所以函数的定义域为. 故答案为： 4．（24-25高一下·上海·期中）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】结合对数函数的定义和三角函数的性质即可解得定义域. 【详解】由对数函数的定义可知底数大于0且不为1，且真数大于0，结合三角函数的性质可得： . 故答案为：. 5．（24-25高一下·四川德阳·期末）已知函数，则的解集是 ． 【答案】 【分析】分和讨论化简，解三角不等式得解. 【详解】当，即，时， ， 所以，即，解得，， 当，即，时， ， 所以，即，解得，， 综上，的解集为. 故答案为：. 【题型04 单调性（含比较大小）】 1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用整体代换代入减区间，求解不等式可得答案. 【详解】令，解得， 所以的单调递减区间为． 故选：B 2．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用诱导公式将原函数变形为，将原函数的单调增区间转化为的单调减区间，再结合正弦函数的单调减区间列不等式求解，得到原函数的单调增区间. 【详解】由于函数， 故函数的单调递增区间，即函数的减区间． 令，，求得， 故所求的函数的单调递增区间是. 故选：B 3．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，确定函数的定义域，结合复合函数单调性可知，的单调递增区间即为的单调递增区间，再利用正弦型函数单调区间整体代入求解即可. 【详解】由题意可得，则， 解得，故的定义域为， 因为单调递增，所以的单调递增区间即为的单调递增区间， 令（），解得， 则的单调递增区间是． 故选：B. 4．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式转换为即可得解. 【详解】，， ， 而，故， 故选：B. 5．（24-25高一下·云南保山·期末）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数值域及指对数运算比较大小. 【详解】，；，； 又，所以，， 故选:A． 【题型05 最值与值域（含与零点问题的综合考查）】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的值域是 . 【答案】 【分析】由题意，令，再根据正切函数的单调性，即可求出结果. 【详解】函数. ，令. 函数在上单调递增， ，即， ， 函数的值域为. 故答案为： 2．（2025高一上·河南安阳·专题练习）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，结合二次函数的性质求函数的值域. 【详解】令，则， 显然开口向上且对称轴为，则在上单调递减， 由，，故，即. 故选：C 3．（25-26高一上·天津武清·月考）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的最小正周期为，求出值，从而得到的解析式，再根据自变量所在区间和正弦函数的单调性判断即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以周期，解得， 所以，因为，所以， 所以当，即时，函数在区间上取得最小值. 故选：D. 4．已知函数，若，则在区间上的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，，则，由正弦函数的性质进行求解． 【详解】由得，，得， 则 ， 由，得， 得， 得，得函数的值域为． 故选：D 5．若关于x的方程在内有两个不同的解，则（    ） A． B． 或 C． 或 D．或 【答案】D 【分析】利用换元法，结合二次函数和余弦函数的图象进行求解即可. 【详解】，，，分别作出它们的图象如下，              要使得关于x的方程在内有解，必须. 当时，，此时方程，只有一个解，不符合题意； 当时，，此时方程，有两个不同的解； 当时，，此时，只有一个解，不符合题意； 当时，，此时方程，有两个不同的解； 当时，，此时方程，只有一个解，不符合题意， 综上，或. 故选：D 6．（24-25高一上·天津南开·期末）已知函数（，）的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列命题正确的个数为（   ）    ①；     ②函数为奇函数； ③若函数在区间上至少有4个零点，则； ④在区间上单调递增. A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再根据函数的最大值及求出，由求出的取值，再根据周期确定的值，即可得到函数解析式，即可判断①，根据图象变换结合奇偶性判断②；根据题意以为整体，结合正弦函数性质分析判断③④. 【详解】因为（其中、）， 由题意可知：，且，解得， 则， 又因为，即， 结合图象可知，解得， 且，则，解得， 所以，可知，故①正确； 所以， 对于②：为奇函数，故②正确； 对于③：因为，则， 由题意可得：，解得，故③正确； 对于④：因为，则， 且在内不单调，所以在区间上不单调，故④错误； 所以正确的个数为3. 故选：B. 【点睛】方法点睛：函数的解析式的确定： （1）由最值确定； （2）由周期确定； （3）由图象上的特殊点确定． 提醒：根据“五点法”中的零点求时，一般先根据图象的升降分清零点的类型． 7．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知，其图象一个对称轴为， . (1)求的解析式及单调递减区间； (2)若函数上有个不同的零点，求的取值范围. 【答案】(1)，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）根据已知条件利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式化函数解析式为：，再根据函数对称轴确定的值，将看做整体，即可求解函数的单调递减区间； （2）将看做整体，结合已知条件即可确定的取值范围. 【详解】（1）根据已知有：， 因为图象一个对称轴为，所以 ， 解得 ，又因为，所以， 所以； 由 ， 解得： ， 所以函数的单调递减区间为： . （2）因为，所以， 又因为函数在区间 上有个不同的零点， 令 ，即 ， 根据数形结合有：， 即，解得， 所以. 【题型06 奇偶性】 1．（23-24高一上·山东聊城·期末）下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的周期性、奇偶性逐一判断即可. 【详解】选项A：是奇函数，不满足题意； 选项B：令，定义域为，关于原点对称， 因为，， 所以既是周期函数又是偶函数，满足题意； 选项C：画出的图象如图所示， 则不是周期函数，不满足题意； 选项D：令，则， 所以不是偶函数，不满足题意； 故选：B 2．（24-25高一下·北京西城·期中）函数是（   ） A．奇函数，且最小值为 B．偶函数，且最小值为 C．奇函数，且最小值为 D．偶函数，且最小值为 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性，利用二次函数的基本性质可求得函数的最值. 【详解】由题意，函数的定义域为， 则， 故函数为偶函数， 因为， 且， 所以当时，函数的最小值为. 故选：B. 3．（25-26高一上·江苏泰州·月考）（多选题）下列函数中，是奇函数的为（   ） A．f B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先对每个解析式化简、求定义域，再根据奇偶性的定义判断. 【详解】对于选项A，∵，∴恒成立， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 由f， ∴f为奇函数，A正确； 对于选项B，，函数为偶函数，B错误； 对于选项C，函数的定义域为，因为， ，∴为奇函数，C正确； 对于选项D，，定义域关于原点对称，为奇函数，D正确. 故选：ACD. 4．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）已知函数是奇函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】 利用余弦型函数的性质，求出的表达式，再利用诱导公式计算即得. 【详解】由函数是奇函数，得， 则，所以当时，. 故答案为：. 5．设函数.若为偶函数，则 ． 【答案】3 【分析】根据题意，解得，结合即可求解． 【详解】由题知，且为偶函数， 所以， 解得， 又，所以． 故答案为：3． 6．（24-25高一下·上海·期末）已知函数，若，则 ． 【答案】 【分析】利用正弦函数，正切函数的周期性与奇偶性计算即可求值. 【详解】因为，且，所以， 所以，所以， 所以 . 故答案为：. 【题型07 对称轴与对称中心】 1．（25-26高一上·广东·期末）函数图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦函数的图象和性质即得. 【详解】令，，解得， 图象的对称轴是． 故选：C． 2．（24-25高一下·上海·期中）“”是“是奇函数”的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】根据是奇函数求出，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】若是奇函数，则， 因为为的真子集， 所以“”是“是奇函数”的充分非必要条件. 故选：B. 3．若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得函数的对称中心的表达式，然后求得的最小值. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是，即， 又，则时最小，最小值是，即． 故选：C 4．已知函数图象的一条对称轴为直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】采用整体替换法，令求解出的表示，根据的范围求解出的值. 【详解】由题意可知，，得. 因为，所以. 故选：A. 5．将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于原点对称，则最小时，（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先进行图象变换，再由函数的对称性求解． 【详解】解析：平移后，， 所以. 所以，因为，所以最小值为. 所以. 故选：B 6．函数的最小正周期为.若，且函数的图象关于点中心对称，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由三角函数的图像与性质可求得参数值，进而可得函数解析式，代入即可得解. 【详解】由函数的最小正周期满足，得，解得：. 又因为函数图像关于点对称，所以， 所以，，所以，因此可得：， 所以. 故选：A 7．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦函数图象的对称性得，再利用诱导公式和二倍角的正弦公式及同角公式求解. 【详解】由，，得，且， 则，， 所以. 故选：C 【题型08 根据图像求解析式】 1．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）已知函数（，）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦型函数图象的周期性和特殊点值分别求出参数即可. 【详解】由图象可知，函数的最小正周期满足，即， 所以，且，故解得. 又由图象可知，时，，即， 则，即，又因为，所以. 所以. 故选：B. 2．（2025高一·全国·专题练习）函数在区间上的简图如图，则函数的解析式可以是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正弦型函数，观察图像得出，计算出周期，再算出，待定系数法求出，得到答案. 【详解】取正弦型函数，由图象知， 因为，所以，则，所以函数的解析式是． 因为函数的图象过点， 所以，则，． 当时，，所以函数的解析式可以是， 故选：B． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正切函数的周期性及其图象，应用等面积法求得最小正周期为，结合图象所过的点求得参数，即可得的解析式，进而求函数值即可. 【详解】如图，由正切函数的周期性可知，①和②面积相等， 故阴影部分的面积即为矩形的面积，易知，    设函数的最小正周期为，则， 由题意得，解得，故，得，即. 的图象过点，即， ，，解得， 则， . 故选：C. 4．（25-26高一·全国·假期作业）电流强度I（安培）随时间t（秒）变化的函数的图象如图所示，则时的电流强度为（    ） A．0安培 B．安培 C．安培 D．安培 【答案】A 【分析】根据图象求得，函数的周期，进而，将点代入解析式求得，最后将代入计算即可. 【详解】由图知，函数的周期.所以. 则，将点代入， 可得，所以，.又，所以， 故函数解析式为，将代入函数解析式，解得. 故选：A 5．（24-25高一下·山东潍坊·期末）已知函数的部分图象如图所示，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象，利用的图象与性质，可得，再结合各个选项，即可求解. 【详解】由图知，图象过点， 所以，又，所以， 又点在函数的减区间内，由， 得到，所以， 令，得到，结合各个选项可知，C正确，其它选项不满足， 故选：C. 6．（25-26高一上·江苏镇江·月考）已知函数的部分图象如图所示，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据周期求，再代入“五点”中的一个点，即可求. 【详解】由图象可知，，得，在的一个递减区间内， 则当时，，得，又, 当时，. 故选：C 【题型09 图像变换问题】 1．（25-26高一上·北京·开学考试）要得到函数的图象，需要把函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】直接利用函数的图象变换规律，可得结论． 【详解】要得到函数的图象， 要得到函数的图象， 需要把函数的图象向左平移个单位长度； 故选：C 2．（2025高一·全国·专题练习）把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标放大到原来的2倍，则所得函数的解析式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象平移过程写出对应解析式. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度，即的图象， 再把图象上各点的横坐标放大到原来的2倍，得的图象． 故选：B. 3．（24-25高一下·海南·月考）将下列函数的图象向左平移个单位长度，所得的图象关于原点对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数图象的变换规律及函数奇偶性概念与性质求解判断. 【详解】对于A，将函数的图象向左平移个单位长度，得的图象， 记，定义域为，则， 故不是奇函数，图象不关于原点对称，故A错误； 对于B，将函数的图象向左平移个单位长度，得的图象， 记，定义域为，则， 故是奇函数，图象关于原点对称，故B正确； 对于C，将函数的图象向左平移个单位长度，得的图象， 记，定义域为，则， 故不是奇函数，图象不关于原点对称，故C错误； 对于D，将函数的图象向左平移个单位长度，得的图象， 记，定义域为，则， 故不是奇函数，图象不关于原点对称，故D错误， 故选：B． 4．（24-25高一下·河南南阳·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移是个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简，再根据平移变换的规律即得. 【详解】因， 故可以将函数的图象向右平移个单位长度，即可得到函数的图象. 故选：A. 5．若函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移得到，根据已知建立等式，根据解出的值. 【详解】由的图象向右平移个单位，可得函数的图象， 因， 依题意可得， 解得， 因，故. 故选：C. 6．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知函数图象的一个对称中心为，则为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移1个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移1个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】由图象的一个对称中心为，先确定的值，进而得到的解析式，再将的图象向右平移1个单位长度得到的图象，即可得解. 【详解】因为函数图象的一个对称中心为， 所以，即， 又因为，所以当时，可得，所以. 为了得到函数的图象， 只需将函数的图象向右平移1个单位长度，即， 故选：C 7．（23-24高一上·江苏常州·期末）将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的，若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数图象的变换规律可得的解析式，结合x的取值范围利用正弦函数的性质，即可求得答案. 【详解】将正弦曲线向左平移个单位得到曲线：的图象， 再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线：的图象， 将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到是曲线：的图象， 由于曲线恰好是函数的图象，故， 由得， 故， 故选：B 8．（24-25高一下·天津和平·期末）已知函数，将的图象向左平移（）个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用三角恒等变换化简，根据图象变换求出的解析式，进而根据和正弦函数的图象和性质列式求解即可. 【详解】由题意可得 ， 所以， 因为与的图象关于轴对称， 所以，即， 所以，解得， 又由可得的最小值为， 故选：A 【题型10 w的取值范围问题】 1．（24-25高一下·河南·月考）已知（）在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的单调性列出不等式求出范围. 【详解】当时，，而在上单调递增， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：C 2．若函数在区间上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式化简得到，再求出，结合对称轴条数得到不等式，求出答案. 【详解】， 因为，，所以， 因为区间上恰有唯一对称轴，故， 解得. 故选：D 3．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由是函数的一条对称轴，可得，再根据在区间上单调，则，可得，运算可求得的值. 【详解】由直线是函数的图象的一条对称轴，有，可得， 又由函数在区间上单调，则，可得， 有，有，可得，. 故选：A. 4．（24-25高一下·贵州·月考）已知函数，若在区间内有且仅有3个零点和2条对称轴，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据自变量的取值范围求解出的取值范围，进而根据已知条件结合三角函数图像求得的取值范围. 【详解】因为，所以， 由于函数在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴， 根据函数的图像：    所以，整理得：． 故选：A． 5．已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由，得，进而结合题意可得，进而求解即可. 【详解】由，， 则， 因为在区间上没有最值， 所以， 则，解得， 所以的最大值为. 故选：A. 6．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，，结合解出即可得. 【详解】由题意可得，， 解得且，， 又，则，，则， 故且，故. 故选：A. 7．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数在区间上是增函数，且在上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二倍角公式，诱导公式化简函数，通过范围求得范围，由函数单调递增建立不等式，解出的取值范围，通过范围求得范围，由函数在对应区间取一次最大值建立不等式，解出的取值范围， 【详解】， 当时，由在区间上单调递增可得，，解得． 当时，，由恰好在区间上取得一次最大值可得，解得， 综上所述，， 故选：D． 8．（24-25高一下·四川南充·期中）已知函数的最大值为2，若在区间上有2个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据差角的正余弦公式及降幂公式将化简，再由最大值求出值，进而得到的解析式，通过换元，把在区间上有2个零点，转化为在区间上有2个零点，再结合图象，得到的范围，即可得到的取值范围. 【详解】 ， 所以当时，取到最大值， 解得，所以. 令， 在区间上有2个零点， 即在区间上有2个零点， ，解得. 故选：D 【题型11 三角函数图像与性质的综合应用】 1．已知函数的图象关于点对称． (1)求； (2)若，求函数的最值及取最值时的的值； (3)若，且，求． 【答案】(1) (2)当时，函数取最大值1；当时，函数取最小值 (3) 【分析】（1）利用两角和的正弦公式进行化简，将代入即可求出答案； （2）求出，结合正弦函数的图象即可求出答案； （3）即，利用平方关系求出，再利用两角差的余弦公式可求出答案. 【详解】（1）， 因为函数的图象关于点成中心对称， 所以，即，因为，所以. （2），因为，所以， 所以当，即时，函数取最大值，且最大值为1， 当，即时，函数取最小值，且最小值为； （3）因为，即， 因为，所以， 若，则， 但，所以， 所以． 所以 ． 2．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，对，有. (1)求的值及的单调递增区间； (2)将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若，，求实数的取值范围. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2)，或 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简得到，根据的取值范围和条件即可求出的值，进而得到函数的解析式，然后利用整体法求得函数单调性； （2）根据图象的伸缩变换和平移变换求得的解析式，令函数，根据不等式的能成立问题可知，令，换元后得到，根据的取值范围，即可求得的最小值，最后解不等式即可求得答案. 【详解】（1）， 因为，有，所以当时，取得最值，所以，，即，， 又，所以，所以， 由，，可得，， 所以的单调递增区间为. （2）将函数图象上的所有点，向右平移个单位后得到函数的图象，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象； 令，， 因为，，所以； 令，则，可得，所以， 因为，所以，所以， 所以当时，； 所以，即，解得或. 所以实数的取值范围为或. 3．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知函数． (1)若的图象的两条相邻对称轴之间的距离为，且当时，有解，求实数的取值范围； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】利用三角函数和差的正弦公式及二倍角公式对函数进行化简，根据三角函数的性质求解即可. 【详解】（1） 因为图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以的最小正周期． 又，所以，所以函数． 因为，所以，所以. 所以， 若有解，则． 所以的取值范围为. （2）由（1）知，. 令，，因为，即的单调递增区间为，. 因为在区间上单调递增，所以 所以，，解得，. 因为，所以，解得，又，所以. 将代入中可得，即，又，所以. 故的取值范围为. 4．（25-26高一上·陕西西安·月考）已知定义域为的函数的解析式为． (1)求函数的最小正周期； (2)已知方程在区间有两个不同的实数解，求实数的取值范围； (3)已知函数，，函数的解析式为，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先利用两角和的正弦、余弦公式和二倍角公式化简，再根据正弦函数的周期公式求解即可； （2）根据（1）中解析式画出大致图象，根据图象求解即可； （3）由题知，进而得，，记在上的值域为，即可将问题转化为，再根据，利用集合的包含关系列式求解即可. 【详解】（1）由题意可得 ， 所以. （2）由（1）可知，， 当时，， 因为方程在区间有两个不同的实数解， 所以与，图象有两个不同的交点， ，图象如图： 方程有两个不同的解，由图象可知. 所以实数的取值范围为 （3） 当时，，则， 当，，则， ，记在上的值域为， 因为若对任意的，总存在，使得成立， 所以，显然当时，不满足题意； 当时，，故， 则，解得，所以； 当时，，故， 则，解得，所以； 综上所述，． 5．（24-25高一上·福建厦门·月考）已知函数（，）的图象两相邻对称轴之间的距离是，且函数经过点. (1)求函数的解析式； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数的图象在区间（，且）上至少含有30个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦函数的最小正周期计算公式求出，将点代入计算即可求解； （2）参变分离进行处理，将问题转化为，只需求出不等式右边的最小值，结合对勾函数的单调性进行辅助求解； （3）先求出零点的一般形式，结合零点的个数求出区间长度的最小范围. 【详解】（1）由，得，则， 又图象过点，则， 得，，又， 所以，故. （2）因为，所以，， 故， 而恒成立， 即， 整理可得. 令， 设，，且， 则， 由于，则，所以， 即在区间上单调递增，故， 故，即实数m的取值范围是. （3）由题意知， 由得， 故或， 解得或， 故的零点为或， 所以相邻两个零点之间的距离为或 若最小，则和都是零点，此时在区间分别恰有个零点， 所以在区间上恰有29个零点， 从而在区间上至少有一个零点，所以， 另一方面，在区间上恰有30个零点， 所以的最小值为. 【题型12 三角函数在实际问题中的应用】 1．（24-25高一上·江苏淮安·期末）（多选题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图1）．若一半径为的筒车水轮圆心O距离水面（如图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图2中点）开始计时，点P距水面的高度y（单位：）可以用与时间x（单位：s）有关的函数表示．下列结论正确的有（    ） A． B．点P第一次到达最高点需用时5s C．点P再次接触水面需用时10s D．当点P运动2.5s时，距水面的高度为 【答案】BC 【分析】根据函数模型的定义与性质，求出A、B和T、ω、φ，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确． 【详解】函数中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，A错误； 令得，则，解得， 所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C正确； 当时，，点P距水面的高度为2米，D错误． 故选：BC 2．（24-25高一下·辽宁大连·月考）（多选题）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道．建立平面直角坐标系如图（2），h（单位：m）表示在时间t（单位：s）时．过山车（看作质点）离地平面的高度．轨道最高点P距离地平面．最低点Q距离地平面．入口处M距离地平面．当时，过山车到达最高点时，过山车到达最低点Q．设，下列结论正确的是（   ） A．函数的最小正周期为12 B． C．时，过山车距离地平面是 D．一个周期内过山车距离地平面高于的时间是 【答案】AC 【分析】根据题意抽象出函数的最值，列式求，根据周期求，最后根据求，再根据函数的解析式判断CD. 【详解】由题意可知，周期满足，得，故A正确； 所以，得， 又，解得，， 所以， 又，即， 得，因为，所以，故B错误； 所以. 则，故C正确； 对于D，由，得，即， 则，，解得，， 所以一个周期内过山车距离底面高于20m的时间是，故D错误. 故选：AC. 3．（24-25高一下·甘肃白银·期末）（多选题）已知某景区有一时钟花观花区，这种花开放与环境的温度有关，在花期内，时钟花每天可开闭一次，当温度达到20℃时花才开放，当温度上升到30℃时花就会凋谢.已知某季节该景区在8时到16时的气温y（单位：℃）与时间t（单位：时）近似满足函数关系式.某游客在该季节的某日8时到16时的某时段到该景区观赏这种时钟花，则他能欣赏到这种花开放的时段是（    ） A．8～10时 B．10～12时 C．12～14时 D．14～16时 【答案】ABD 【分析】由三角函数的性质求解 【详解】， 由，得， 令，则， 所以，或，， 解得，或，， 结合， 取时，； 时，或. 所以或或. 故选：ABD 4．（24-25高一下·江西吉安·期中）（多选题）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．已知摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，摩天轮设置有若干个座舱，转一周需要．游客甲在座舱转到距离地面最近的位置进舱，后距离地面的高度为（单位：），下述结论正确的是（   ） A． B．甲进舱10分钟后距离地面的高度是 C．若在，时刻游客距离地面的高度相等，则的最小值为30 D．在运行一周的过程中，的时间超过 【答案】ACD 【分析】根据题意设，利用相关信息可求，A正确；计算出，B错误；C选项，由余弦函数的对称性得；D选项，令，解不等式，求出在运行一周的过程中，的时间为. 【详解】A选项，根据题意，设， 转盘直径为，，最高点距离地面高度为，，转一周需要，， ，又游客甲在座舱转到距离地面最近的位置进舱， 即过，，故，又，所以， 所以，故A正确； B选项，，故进舱10分钟后距离地面的高度是，故B错误； C选项，，即， 即， 由余弦函数的对称性得，即， 所以则的最小值为30，故C正确； D选项，令， 即， 因为，所以， 故，解得， 在运行一周的过程中，的时间为， 所以的时间超过，故D正确； 故选：ACD. 1．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）将函数图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，再把所得的图像向右平移个单位长度，则所得新函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的伸缩、平移变换可得结果. 【详解】由题可知：. 故选：B 2．（24-25高一下·湖北·期末）函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】D 【分析】首先根据二倍角公式化简函数解析式，再判断函数的性质. 【详解】， 所以函数的最小正周期为， 又，所以为偶函数. 故选：D. 3．（25-26高一上·江苏扬州·月考）若，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分别利用正弦函数，指数函数和对数函数的性质，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由，所以， 又由，因为，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：A. 4．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知函数的周期为，且在上单调递增，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合三角函数的周期性定义和三角函数图象逐选项判断即可. 【详解】对于A，，结合正弦函数图象可知，时，单调递增，时，单调递减，故A错误； 对于B，，，所以周期为， 因为，所以，所以， 结合正弦函数图象，函数在上单调递增，故B正确； 对于C，，因为，所以，结合余弦函数图象可知， 函数在单调递减，在单调递增，故C错误； 对于D，，当时，函数无意义，所以在上不单调递增，故D错误， 故选：B. 5．（24-25高一下·山东聊城·月考）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的个数是（    ） ①；②； ③的图象与y轴的交点坐标为；④函数的图象关于直线对称 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据图象求周期，然后可判断①；根据正切函数定义域可判断②；代入验证可判断③；判断关于点对称，然后由图象的对称变换可判断④. 【详解】对①，由图可知，的最小正周期，则，故①正确； 对②，由图象可知时，函数无意义，故 由，得，即，故②错误； 对③，由，故③正确； 对④，由，则的图象关于点对称， 由图象对称变换可得函数的图象关于直线对称，故④正确． 故选：C. 6．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 【答案】B 【分析】将选项A，B，C中的条件分别代入函数的解析式中，计算判断对应结论；取特值计算判断D作答. 【详解】对于A，因，则函数的图象关于点不对称，A不正确； 对于B，因，而，则数图象的一条对称轴是直线，B正确； 对于C，， 令，，，所以不是奇函数，C不正确； 对于D，取，显然有，而，，此时，D不正确. 故选：B 7．（24-25高一下·福建泉州·期中）把函数的图象向右平移a个单位长度后得到偶函数的图象，则a的最小正值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移变换法则得，再根据余弦函数的性质列方程求解即可. 【详解】由题意得， 由（）得（），当时，a有最小正值为. 故选：D 8．（24-25高一下·河南南阳·期中）以下变换中，能将函数的图象变为函数的图象的是（   ） A．每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 B．每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的 D．向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍 【答案】B 【分析】由三角函数伸缩变换，平移变换知识结合诱导公式，可判断选项正误. 【详解】对于A，变换后的函数为 ，故A错误； 对于B，变换后的函数为 ，故B正确； 对于C，变换后的函数为 ，故C错误； 对于D，变换后的函数为 ，故D错误. 故选：B 9．函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出平移后函数解析式，利用它关于轴对称（函数为偶函数）求得值． 【详解】把函数（）的图象向右平移个单位长度， 所得图象对应的函数是（），且它是偶函数， 所以（），，（）， 又因为，所以. 故选：B． 10．（24-25高一下·湖北·期中）要得到的图象，只需将的图象（    ） A．所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移个单位 B．所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移个单位 C．所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 D．所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 【答案】D 【分析】直接按照图象的伸缩平移变换可得正确选项. 【详解】因为， 所以先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）， 得到的图象， 再向左平移个单位，得到的图象. 故选：D． 11．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（   ） A． B．函数在上为减函数 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．点是函数图象的一个对称中心 【答案】D 【分析】根据二倍角余弦公式、辅助角公式化简函数解析式，结合正弦型函数的周期公式、单调性、对称性逐一判断即可. 【详解】. A：因为，所以由，因此本选项说法不正确； B：由上可知：， 当时，， 因此函数在上为增函数，所以本选项说法不正确； C：因为， 所以直线不是函数图象的一条对称轴，因此本选项说法不正确； D：因为， 所以点是函数图象的一个对称中心，因此本选项说法正确， 故选：D 12．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据为函数递减区间上的零点，可得，即可求出. 【详解】因为图象过点，所以， 为函数递减区间上的零点，可得，， 即， 因为，所以. 故选：A. 13．函数的两个零点分别为，且，在上仅有两条对称轴，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数零点的概念和三角函数的图象与性质可得，由且可得.由可得，取即可求解. 【详解】因为函数的两个零点为，且在上仅有两条对称轴， 所以，又且，得. 由函数的零点为，得， 得， 当时，，此时. 故选：A. 14．（24-25高一上·广东佛山·期末）函数的最小值和最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出图象，结合图象可得的最小值和最大值. 【详解】画出的图象如图 画出图象如图 将两个图象画在一起，取下方图象，画出的图象，如图， 根据图象可知，函数的最小值和最大值分别为， 故选：B. 15．（24-25高一下·湖南·期末）若函数的图象如图，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图像可知函数为偶函数，以及函数图像始终在轴上方，判断即可. 【详解】由图形判断函数的定义域为，且为偶函数， 对A，，故错误； 对C，，故错误； 对B，， 当且始终是正数，故正确； 对D，， 当，但可以为负数，所以不符合要求，故错误. 故选：B 16．（24-25高一下·河南·期末）已知函数，给出下列结论：①是周期函数；②的最小值是；③在区间上单调递减．其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据已知得，由正余弦函数的性质依次判断各项的正误，即可得. 【详解】由已知得，易知，故是周期函数，故①正确； 当时，，，故②错误； 结合解析式，知在上单调递减，在上单调递减，而，故③错误． 故选：B 17．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·月考）函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B．函数在区间上单调递增 C．函数图象关于直线对称 D．函数图象的对称中心为 【答案】B 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答． 【详解】由图象可知，，，因为，所以， 所以，而，则， 由图可知，所以，所以， A，图象向左平移个单位得到图象，不正确； B，由，可得， 则单调递增区间为，则在上单调递增，即在上单调递增，正确； C，由于，则直线不是函数图象的对称轴，不正确； D，由，可得，则函数图象关于点对称，不正确． 故选：B 18．（24-25高一上·天津·期末）已知函数的部分图象如图所示 ①函数的图象关于对称 ②函数的图象关于直线对称 ③函数在上单调递增 ④若函数有两个零点，则实数的取值范围为 以上说法正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据图象确定函数的解析式，由正弦函数性质判断ABC；结合函数的零点个数与函数图象的交点个数之间的关系即可判断D. 【详解】由图可知，，所以，得， 则，将点代入得：， 所以，又，所以，所以. 对于①，， 所以点是图象的一个对称点，故①正确； 对于②，因为，为最小值， 所以函数的图象关于直线对称，故②正确； 对于③，由，得， 令，则，函数在上单调递减，故③错误； 对于④，若在上有两个零点，则方程在上有两个根， 即函数与直线在上有两个交点. 由，得，所以， 所以，所以，故④错误． 故选：B． 19．（24-25高一下·湖北·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后，横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到函数的图象，若满足则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换得到，由伸缩变换和平移变换得到，根据对称性得到，求出最小值. 【详解】 ， 向左平移个单位长度，得到， 则 ， 因为 ，所以是 图象的一条对称轴， 则 ，故， 解得 ， 又，所以当时，取得最小值，的最小值为 . 故选：C 20．已知函数在区间上单调递增，则当取最大值时，在区间上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由正弦函数的单调性和在区间上单调递增确定的最大值，再由正弦函数的单调性求出值域即可. 【详解】因为，所以当时，， 因为在区间上单调递增，所以，则，即， 所以，所以，解得，则的最大值为1， 此时， 当时，，则在区间上的值域为. 故选：C. 21．已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整体法，结合三角函数图象性质对进行最值分析，对区间上进行单调分析，得到 ，其中，求得，进而求得的取值范围． 【详解】因为，当时，， 因为函数在上存在最值，则，解得， 当时，， 因为函数在上单调， 则， 所以其中，解得， 所以，解得， 又因为，则， 当时，；当时，；当时，． 又因为，所以的取值范围是. 故选：C. 22．设，则不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先结合二倍角余弦公式，利用一元二次不等式的解法及余弦函数性质求得的解，再结合二倍角正弦公式及正弦函数性质求得的解，求交集即可得解. 【详解】因为，由，得， 所以（舍）或，所以． 由，得，又，所以， 所以．因为，所以． 所以不等式组的解集为. 故选：C． 23．已知函数在上单调递减，且为的一条对称轴，是的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据在上单调递减，确定的取值范围，由为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，得出，得， 进而求得，结合正弦函数的图象与性质即可求解. 【详解】因为在上单调递减， 所以； 因为为图象的一个对称中心， 所以①； 因为直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减， 所以②， ②①得，，即， 结合，可得， 当时，，，得， 当时，，在单调递减，符合题意， 所以， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以. 故选：B． 24．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调递增，且对，在上都不单调，则ω的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由求出，利用图象平移规律求出得到函数，再根据的单调性可得答案. 【详解】由得即， 因为，所以，可得， 将函数图象上所有的点的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 得到函数， 由得， 所以的单调递增区间为， 可得，则， 解得，又因为对，在上都不单调， 所以，解得， 综上，. 故选：B. 25．（25-26高一上·全国·期末）（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若的最小正周期是，则 B．当时，图象的对称中心的坐标为 C．当时， D．若在区间上单调递增，则 【答案】AB 【分析】A选项根据周期公式求解，B选项根据正切函数的对称中心坐标公式求解，C选项直接代入求解，D选项根据正切函数的单调区间代入求解. 【详解】A选项，当的最小正周期是时，，则,故正确 B选项，当时，，所以令， 解得，所以函数图象的对称中心的坐标为，故正确. C选项，当时，，，故错误. D选项， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为， 因为在区间上单调递增，所以， 解得， 另一方面，即，所以， 又因为，所以由，得，由，得， 所以的取值范围是，故错误. 故选：AB 26．（25-26高一上·全国·单元测试）（多选题）已知函数满足，且对任意，都有，当取最小值时，下列说法正确的是（    ） A．的图象关于对称 B．在上的值域为 C．在内取得2次最大值 D．在上单调递减 【答案】ACD 【分析】根据给定的函数性质，结合正弦型函数的性质求参数，即可得解析式，再由正弦函数性质求区间值域、最大值及单调性，判断各项的正误. 【详解】A：由，得的图象关于对称， 则，即， 对任意，都有，得在处取得最小值， 即，得， 则，化简得． 因为，当取最小值时，得，则且，得， 所以，对； B：当时，得， 所以在上的值域为，错； C：当时，，或时取得最大值，对； D：当时，，所以在上单调递减，对. 故选：ACD 27．（多选题）已知函数（，）在区间上单调递增，则下列选项正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数图象的一个对称中心可能是 C．函数的最大值为 D．函数在区间上单调递减 【答案】BC 【分析】首先化简函数，利用函数单调性得出，应用周期公式，对称性及最值，再根据函数的性质逐项判断即可. 【详解】 当时单调递增，则时，函数单调递增， 所以，所以； 不确定，A选项错误； 令，， 所以当时，时，时，函数图象的一个对称中心是，B选项正确； 设，因为函数的最大值为1， 所以函数的最大值是，故C选项正确； 已知在区间上单调递增，若函数在区间上单调递减， 则，但是，不能恒成立 ，故D不正确. 故选：BC. 28．（多选题）已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 【答案】ABD 【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数的解析式判断A；求出的值判断B；利用平移变换求解判断C；作出图形判断D. 【详解】观察函数的图象，得，最小正周期，解得， 由，得，而，则， 对于A，，故A正确； 对于B，由，得， 则或， 解得或， 又，则，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，在同一坐标系内作出函数与在上的图象， 如图，作出符合题意的图形， 观察图象得，两个函数图象有4个交点，故D正确. 故选：ABD 29．（24-25高一下·广东江门·期中）（多选题）如图所示，一半径为米的水轮，水轮圆心距离水面米，已知水轮每秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（      ） A．点第一次到达最高点需要秒 B．当水轮转动秒时，点距离水面米 C．当水轮转动秒时，点在水面下方，距离水面米 D．点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为 【答案】ACD 【分析】设点距离水面的高度（米）和时间（秒）的函数解析式为，根据题意，求出的值，即可判断选项D的正误，对于A，令，即可求解；对于B和C，将的取值代入解析式，即可求解. 【详解】设点距离水面的高度（米）和时间（秒）的函数解析式为 ， 由题意得：，解得：， 所以，故选项D正确， 对于选项A，令，得到，所以， 令，得到，所以选项A正确， 对于选项B，令，代入， 得到，所以选项B错误， 对于选项C，令，代入， 得到，所以选项C正确， 故选：ACD. 30．（24-25高一下·江苏·月考）（多选题）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中错误的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 【答案】ACD 【分析】根据周期求出，代入得到，进而得到函数解析式判断A；再代值判断B；根据正弦函数的性质判断C；利用特殊值判断D. 【详解】由题可知小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，所以， 则，故A错误； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为，故B正确； 若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C错误； 因为，令，， 则，， 满足且时刻小球偏离于平衡位置的距离相同， 此时，故D错误. 故选：ACD. 31．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）函数的值域为 . 【答案】 【分析】将等量代换为，得到，利用还原法设，根据余弦函数的性质得到的范围，则转化为，利用二次函数的性质求值域即可得解. 【详解】，， ， 设，，， 则转化为， 对称轴为，又在范围内， 在处，取最大值，且最大值为， 时，， 时，， ，的值域为. 故答案为：. 32．已知函数，若，则 ． 【答案】 【分析】构造奇函数，利用奇函数性质求解即可. 【详解】设， 则， 由，， 则， 故答案为：. 33．已知函数，，是的两个极值点，且. (1)求的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由辅助角公式和周期公式即可求解； （2）求得在上的值域，再由在上恒成立，构造不等求解即可. 【详解】（1）， 由，是的两个极值点，且得的最小正周期， 所以，解得， 所以. （2）因为，所以， 故，所以， 因为在上恒成立， 即在上恒成立， 所以，解得. 所以满足题意的实数的取值范围为. 34．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数的图像过点，对于恒成立，此时最小值为. (1)求的解析式 . (2)若，求的范围 . (3)若在上有两个不相等实数根，求m的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意判断函数最小正周期，以及函数上的点的坐标，求出参数，写出函数解析式即可. （2）根据函数单调性，列出不等式，求出解得范围即可. （3）根据函数单调性，求出在给定区间上的值域，进而判断参数的范围. 【详解】（1）当恒成立，此时最小值为，可知最小正周期，所以， 则过点，代入得， 化简得，即，解得， 因为，所以，可得； （2）当时，可得， 解得， 因为，所以当时，得，当时，得， 所以的范围为. （3）当时，， 设， 可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 可知， 当在上有两个不相等实数根时. 35．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为． (1)求的解析式及对称轴； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，，，，试确定n的值，并求的值． 【答案】(1)，对称轴为 (2) (3)， 【分析】（1）先由相邻对称轴距离得周期，求出；再利用奇函数性质求出，得到解析式；最后令正弦函数取最值，求出对称轴. （2）通过平移、伸缩变换得到的解析式，结合的范围确定内层函数的范围，进而求出的值域. （3）将方程转化为正弦方程，结合的范围确定根的个数；再利用正弦函数的对称性，求出各根之和的表达式并计算结果. 【详解】（1）因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为， 所以，可得． 又由函数为奇函数，可得， 所以， 因为，所以，所以函数， 令，解得， 所以的对称轴为． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 故函数在区间上的值域为． （3）由方程，即，得， 因为，所以， 设，则，，结合正弦函数的图象， 如图所示： 可得方程在区间上有5个根，即， 其中，， ，， 即，， ，， 解得：，，，， 所以． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 三角函数的图像与性质重点题型全归纳 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：正弦、余弦、正切函数的图象与性质 1、正弦.余弦函数图象： 2、会用五点法作图. 在上的五个关键点为： 在上的五个关键点为： 3、周期函数：函数定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个，都有，且，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.如果函数的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小正数叫的最小正周期. 4、正余弦函数的周期： 正弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是； 余弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是. 5、正弦.余弦.正切函数的图像及其性质： 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 无 周期性 奇偶性 奇 偶 奇 单调性 在上递增 在上递减 在上递增 在上递减 在每一个区间上递增 对称性 对称轴方程： 对称中心， 对称轴方程： 对称中心， 无对称轴 对称中心， 注意：(1)单调性：求函数y＝Asin (ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误． (2)三角函数的奇偶性：对于，若为奇函数，则. 对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则。 对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则. 知识点2：函数的变换 1、三角函数图像变换() (1) . (2) . 注意：，向上或向下平移个单位． 2、三角函数的周期公式：（） ⑴，，，的周期：． ⑵，，，的周期都是： 3、求的单调（递增、递减）区间：视为，的复合函数； 4、函数的值域为中的物理量： ①振幅是（离开平衡位置的最大距离），②周期是（作往复运动一次的时间）， ③频率是（单位时间内往复运动的次数）， ④相位是， ⑤初相是； 注意：1、具体求解函数的问题时一定要注意的符号． （1）时，一定要用诱导公式或奇偶性处理，使得的系数为正． （2）时，对的单调性、值域（最值）有影响！ 【题型01 三角函数图像的简单辨析】 1．在内使成立的的取值范围是 A． B． C． D． 2．当时，曲线与的交点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．函数 的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D． 4．已知函数，则函数在区间内零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 5．（24-25高一下·北京·期中）某美妙音乐的模型函数为有下叙述四个结论： ①是偶函数 ②在区间单调递减 ③在上有3个零点 ④周期是，其中所有正确的结论的编号是（    ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 6．函数，的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【题型02 周期性】 1．（24-25高一下·上海浦东新·期中）下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南·期末）“”是“的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一下·江苏徐州·期中）下列函数的最小正周期为的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·北京·月考）最小正周期为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·甘肃白银·期末）函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·河南·期中）设函数，若，满足，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【题型03 解三角不等式（含定义域）】 1．（24-25高一下·山东威海·期中）函数的定义域为 . 2．（25-26高一上·全国·课后作业）不等式，的解集为 . 3．已知函数，则函数的定义域为 ． 4．（24-25高一下·上海·期中）函数的定义域为 . 5．（24-25高一下·四川德阳·期末）已知函数，则的解集是 ． 【题型04 单调性（含比较大小）】 1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·云南保山·期末）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【题型05 最值与值域（含与零点问题的综合考查）】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的值域是 . 2．（2025高一上·河南安阳·专题练习）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·天津武清·月考）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 4．已知函数，若，则在区间上的值域为（　　） A． B． C． D． 5．若关于x的方程在内有两个不同的解，则（    ） A． B． 或 C． 或 D．或 6．（24-25高一上·天津南开·期末）已知函数（，）的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列命题正确的个数为（   ）    ①；     ②函数为奇函数； ③若函数在区间上至少有4个零点，则； ④在区间上单调递增. A．4 B．3 C．2 D．1 7．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知，其图象一个对称轴为， . (1)求的解析式及单调递减区间； (2)若函数上有个不同的零点，求的取值范围. 【题型06 奇偶性】 1．（23-24高一上·山东聊城·期末）下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·北京西城·期中）函数是（   ） A．奇函数，且最小值为 B．偶函数，且最小值为 C．奇函数，且最小值为 D．偶函数，且最小值为 3．（25-26高一上·江苏泰州·月考）（多选题）下列函数中，是奇函数的为（   ） A．f B． C． D． 4．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）已知函数是奇函数，则的值为 ． 5．设函数.若为偶函数，则 ． 6．（24-25高一下·上海·期末）已知函数，若，则 ． 【题型07 对称轴与对称中心】 1．（25-26高一上·广东·期末）函数图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海·期中）“”是“是奇函数”的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 3．若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数图象的一条对称轴为直线，则（    ） A． B． C． D． 5．将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于原点对称，则最小时，（ ） A． B． C． D． 6．函数的最小正周期为.若，且函数的图象关于点中心对称，则（   ） A． B． C． D．1 7．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【题型08 根据图像求解析式】 1．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）已知函数（，）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）函数在区间上的简图如图，则函数的解析式可以是（    ）．    A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ）    A． B． C． D． 4．（25-26高一·全国·假期作业）电流强度I（安培）随时间t（秒）变化的函数的图象如图所示，则时的电流强度为（    ） A．0安培 B．安培 C．安培 D．安培 5．（24-25高一下·山东潍坊·期末）已知函数的部分图象如图所示，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏镇江·月考）已知函数的部分图象如图所示，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型09 图像变换问题】 1．（25-26高一上·北京·开学考试）要得到函数的图象，需要把函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 2．（2025高一·全国·专题练习）把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标放大到原来的2倍，则所得函数的解析式为（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高一下·海南·月考）将下列函数的图象向左平移个单位长度，所得的图象关于原点对称的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南南阳·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移是个单位长度 D．向左平移个单位长度 5．若函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知函数图象的一个对称中心为，则为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移1个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移1个单位长度 D．向右平移个单位长度 7．（23-24高一上·江苏常州·期末）将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的，若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·天津和平·期末）已知函数，将的图象向左平移（）个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型10 w的取值范围问题】 1．（24-25高一下·河南·月考）已知（）在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若函数在区间上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（        ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 4．（24-25高一下·贵州·月考）已知函数，若在区间内有且仅有3个零点和2条对称轴，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 6．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数在区间上是增函数，且在上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 8．（24-25高一下·四川南充·期中）已知函数的最大值为2，若在区间上有2个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型11 三角函数图像与性质的综合应用】 1．已知函数的图象关于点对称． (1)求； (2)若，求函数的最值及取最值时的的值； (3)若，且，求． 2．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，对，有. (1)求的值及的单调递增区间； (2)将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若，，求实数的取值范围. 3．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知函数． (1)若的图象的两条相邻对称轴之间的距离为，且当时，有解，求实数的取值范围； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围. 4．（25-26高一上·陕西西安·月考）已知定义域为的函数的解析式为． (1)求函数的最小正周期； (2)已知方程在区间有两个不同的实数解，求实数的取值范围； (3)已知函数，，函数的解析式为，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 5．（24-25高一上·福建厦门·月考）已知函数（，）的图象两相邻对称轴之间的距离是，且函数经过点. (1)求函数的解析式； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数的图象在区间（，且）上至少含有30个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值. 【题型12 三角函数在实际问题中的应用】 1．（24-25高一上·江苏淮安·期末）（多选题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图1）．若一半径为的筒车水轮圆心O距离水面（如图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图2中点）开始计时，点P距水面的高度y（单位：）可以用与时间x（单位：s）有关的函数表示．下列结论正确的有（    ） A． B．点P第一次到达最高点需用时5s C．点P再次接触水面需用时10s D．当点P运动2.5s时，距水面的高度为 2．（24-25高一下·辽宁大连·月考）（多选题）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道．建立平面直角坐标系如图（2），h（单位：m）表示在时间t（单位：s）时．过山车（看作质点）离地平面的高度．轨道最高点P距离地平面．最低点Q距离地平面．入口处M距离地平面．当时，过山车到达最高点时，过山车到达最低点Q．设，下列结论正确的是（   ） A．函数的最小正周期为12 B． C．时，过山车距离地平面是 D．一个周期内过山车距离地平面高于的时间是 3．（24-25高一下·甘肃白银·期末）（多选题）已知某景区有一时钟花观花区，这种花开放与环境的温度有关，在花期内，时钟花每天可开闭一次，当温度达到20℃时花才开放，当温度上升到30℃时花就会凋谢.已知某季节该景区在8时到16时的气温y（单位：℃）与时间t（单位：时）近似满足函数关系式.某游客在该季节的某日8时到16时的某时段到该景区观赏这种时钟花，则他能欣赏到这种花开放的时段是（    ） A．8～10时 B．10～12时 C．12～14时 D．14～16时 4．（24-25高一下·江西吉安·期中）（多选题）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．已知摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，摩天轮设置有若干个座舱，转一周需要．游客甲在座舱转到距离地面最近的位置进舱，后距离地面的高度为（单位：），下述结论正确的是（   ） A． B．甲进舱10分钟后距离地面的高度是 C．若在，时刻游客距离地面的高度相等，则的最小值为30 D．在运行一周的过程中，的时间超过 1．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）将函数图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，再把所得的图像向右平移个单位长度，则所得新函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北·期末）函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 3．（25-26高一上·江苏扬州·月考）若，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知函数的周期为，且在上单调递增，则可以是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·山东聊城·月考）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的个数是（    ） ①；②； ③的图象与y轴的交点坐标为；④函数的图象关于直线对称 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 7．（24-25高一下·福建泉州·期中）把函数的图象向右平移a个单位长度后得到偶函数的图象，则a的最小正值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·河南南阳·期中）以下变换中，能将函数的图象变为函数的图象的是（   ） A．每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 B．每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的 D．向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍 9．函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·湖北·期中）要得到的图象，只需将的图象（    ） A．所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移个单位 B．所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移个单位 C．所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 D．所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 11．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（   ） A． B．函数在上为减函数 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．点是函数图象的一个对称中心 12．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）      A． B． C． D． 13．函数的两个零点分别为，且，在上仅有两条对称轴，则可以是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·广东佛山·期末）函数的最小值和最大值分别为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·湖南·期末）若函数的图象如图，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一下·河南·期末）已知函数，给出下列结论：①是周期函数；②的最小值是；③在区间上单调递减．其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 17．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·月考）函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B．函数在区间上单调递增 C．函数图象关于直线对称 D．函数图象的对称中心为 18．（24-25高一上·天津·期末）已知函数的部分图象如图所示 ①函数的图象关于对称 ②函数的图象关于直线对称 ③函数在上单调递增 ④若函数有两个零点，则实数的取值范围为 以上说法正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（24-25高一下·湖北·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后，横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到函数的图象，若满足则的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．已知函数在区间上单调递增，则当取最大值时，在区间上的值域为（   ） A． B． C． D． 21．已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．设，则不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 23．已知函数在上单调递减，且为的一条对称轴，是的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 24．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调递增，且对，在上都不单调，则ω的取值范围为（   ） A． B． C． D． 25．（25-26高一上·全国·期末）（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若的最小正周期是，则 B．当时，图象的对称中心的坐标为 C．当时， D．若在区间上单调递增，则 26．（25-26高一上·全国·单元测试）（多选题）已知函数满足，且对任意，都有，当取最小值时，下列说法正确的是（    ） A．的图象关于对称 B．在上的值域为 C．在内取得2次最大值 D．在上单调递减 27．（多选题）已知函数（，）在区间上单调递增，则下列选项正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数图象的一个对称中心可能是 C．函数的最大值为 D．函数在区间上单调递减 28．（多选题）已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 29．（24-25高一下·广东江门·期中）（多选题）如图所示，一半径为米的水轮，水轮圆心距离水面米，已知水轮每秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（      ） A．点第一次到达最高点需要秒 B．当水轮转动秒时，点距离水面米 C．当水轮转动秒时，点在水面下方，距离水面米 D．点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为 30．（24-25高一下·江苏·月考）（多选题）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中错误的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 31．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）函数的值域为 . 32．已知函数，若，则 ． 33．已知函数，，是的两个极值点，且. (1)求的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 34．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数的图像过点，对于恒成立，此时最小值为. (1)求的解析式 . (2)若，求的范围 . (3)若在上有两个不相等实数根，求m的范围. 35．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为． (1)求的解析式及对称轴； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，，，，试确定n的值，并求的值． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $