学易金卷：九年级数学上学期期末模拟卷（湖南专用，测试范围：湘教版九上+九下第一章）

2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 。。。。。一。。。。▣。。=。。一=。。。。。。。▣ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 考生禁填： 缺考标记 证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题 以上标记由监考人员用2B铅 必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 笔填涂 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 选择题填涂样例： 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1[/] 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][CI[D] 9[A][B][CI[D] 2[A][B][CD] 6 [A][B][C][D] 10[AJ[B][C][D] 3[AJ[B][C][D] 7[A[B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 名 13. 14. 16. 17 18 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程 或演算步聚。 19.(本题6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(6分) 21.(8分) 请在各题目的答题区域内作数学餽2熏色堪é返桩限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) 人数 36 8 0 步行 骑自 乘公 开私交通方式 行车 交车 家车 23.(9分) 请在各愿目的答题区域内作答效望攀墨负短强碧赁膠定区域的答案无效！ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(9分) B Q 请在各题目的答题区域数带第圆艳项边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) ② ② ←-③ ③ ←-④ ⑧ ①→A ① 个 B A B ⑤ ⑤ 备用图 请在各题目的答题区域内作答数塑锦瓢侧道圆限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(10分) B 请在各题目的答题区域内作答，邀谱笔颜彩框顶区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版九上+九下第一章。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列选项中与是反比例关系的是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 3．对于二次函数，下列结论中不正确的是（    ） A．其图象的对称轴是 B．其图象的顶点坐标是 C．当时，y有最大值是 D．当时，y随x的增大而增大 4．如图，abc，若AC＝5，CE＝10，DF＝12，则BD的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 5．如图，滑雪场有一坡角的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（    ）米． A． B． C． D． 6．如图，在中，，，动点D以的速度从点A出发沿方向向点B运动．动点E以的速度从点C出发沿方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D运动到点B的位置后，两点均停止运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（   ） A．或 B． C． D．或 7．如图，把一个长方形卡片放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，则的长约为（   ）（参考数据：） A． B．4 C．5 D．20 8．二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   9．如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接、交于点P，则的正切值是（    ） A．2 B． C． D． 10．对于二次函数，规定函数是它的相关函数。已知点M、N的坐标分别为、，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．如果关于的一元二次方程的一个根是，那么 ． 12．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出1个球，取出白球的概率为．则这个布袋中红球的个数为 ． 13．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 14．在平面直角坐标系中，已知点，以坐标原点为位似中心，将放大为原图形的2倍，则点的对应点的坐标是 ． 15．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面米，若水面下降米时，则此时水面的宽度为 米． 16．已知点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ．（用“＞”连接） 17．如图，已知点C（0，1），A（0，0），点B在x轴上，∠ABC=30°，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△，第2个△，第3个△，…，则第10个等边三角形的边长是 18．如图1，在矩形中，，，点、在、上，且，将四边形绕点逆时针旋转角，连接、相交于点，旋转后的图形如图2所示，则此时的值为 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题6分）计算：． 20．（本题6分）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 21．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）在轴上找一点使最大，求的最大值及点的坐标． 22．（本题8分）“低碳生活，绿色出行”是我们倡导的一种生活方式，有关部门随机调查了某单位员工上下班的交通方式，绘制了如下统计图，根据统计图完成下列问题： (1)调查的总人数为 人； (2)补全条形统计图，开私家车占扇形统计图的圆心角为 °； (3)该单位共有人，为了积极践行“低碳生活，绿色出行”这种生活方式，调查后开私家车的人上下班全部改为骑自行车，则现在骑自行车的人数约为多少人？ 23．（本题9分）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个． (1)若单价涨5元，每周的利润是多少？ (2)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ 24．（本题9分）如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs．    (1)当时，求x的值． (2)△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由． 25．（本题10分）某红外线体温检测仪设备说明书中的部分内容如下所示． 设备名称 红外线体温检测仪 测温区域示意图 设备需安装在垂直于水平面的墙面上． ①水平面；②竖直墙面；③设备安装位置； ④的长是设备安装高度；⑤的长是测温区域的宽度． 技术参数 设备测温过程中释放的红外线是直线传播，它与水平面的夹角称为探测角． 探测最小角： 探测最大角： (1)如果该设备的安装高度为时，请求出图中线段的长度；（结果精确到） (2)如果学校要求测温区域的宽度为时，请求出该设备的安装高度．（结果精确到）（参考数据：，，，，， 26．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D C D D D C D A A 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11. 12. 13．/ 14． 或 15. 6 16. 17. 18. 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题6分） 【详解】解： …………………………2分 …………………………4分 ．…………………………6分 20．（本题6分） 【详解】（1）③…………………………1分 （2）解：， 移项得，，…………………………2分 两边同除以2得，，…………………………3分 配方得，，…………………………4分 即，，…………………………5分 ∴或， ∴，．…………………………6分 21．（本题8分） 【详解】解：（1）把A（3，5）代入y2＝ (m≠0)，可得m=3×5=15， ∴反比例函数的解析式为y2＝；…………………………1分 把点B（a，-3）代入y2＝，可得a=-5， ∴B（-5，-3）．…………………………2分 把A（3，5），B（-5，-3）代入y1=x+b，可得 ， 解得 ，…………………………3分 ∴一次函数的解析式为y1=x+2；…………………………4分 （2）一次函数的解析式为y1=x+2，令x=0，则y=2， ∴一次函数与y轴的交点为P（0，2），…………………………5分 此时，PB-PC=BC最大，P即为所求， 令y=0，则x=-2， ∴C（-2，0），…………………………6分 ∴BC＝．…………………………7分 综上所述，的最大值，点的坐标（0，2）．…………………………8分 22．（本题8分） 【详解】（1）；…………………………1分 （2） …………………………3分 …………………………5分 （3）原骑自行车的人数所占百分比为：，…………………………6分 调查后开私家车的人上下班全部改为骑自行车，则现在骑自行车的人数约为： （人），…………………………8分 答：现在骑自行车的人数约为人． 23．（本题9分） 【详解】（1）解：单价涨5元，每周的利润为：…3分 答：若单价涨5元，每周的利润为6750元； （2）设售价应定为元， 由题意可得：，…………………………4分 ， 解得：，，…………………………6分 更大优惠让利消费者， ，…………………………8分 答：售价应定为40元．…………………………9分 24．（本题9分） 【详解】（1）解：当时，AP：AB＝AQ：AC，…………………………2分 ∵AP＝4x，AQ＝30－3x， ∴，…………………………3分 解得：x＝；…………………………4分 （2）解：∵BA＝BC ∴，…………………………4分 ①当△APQ∽△CQB时，有，…………………………5分 即：， 解得：， ∴（cm），…………………………6分 ②当△APQ∽△CBQ时，有，…………………………7分 即：， 解得：x＝5或x＝－10（舍去）， ∴PA＝4x＝20（cm），…………………………8分 综上所述，当AP＝cm或20cm时，△APQ与△CQB相似．…………………………9分 25．（本题10分） 【详解】（1）解：在中，，， 则，…………………………3分 答：线段的长度约为； （2）解：设的长为， 在中，， 则…………………………5分 在中，， 则…………………………7分 由题意得：， 解得：，…………………………10分 答：该设备的安装高度约为． 26．（本题10分） 【详解】（1）解：把，，代入， 得，…………………………1分 解得， ∴二次函数的解析式为，…………………………2分 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴；…………………………3分 （2）解：①设，则， ∴ ，…………………………4分 ∴当时，有最大值为；…………………………5分 ②∵，， ∴， 又， ∴，…………………………6分 又轴， ∴轴， ∴，…………………………7分 当时，如图， ∴， ∴轴， ∴P的纵坐标为3， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴， ∴P的坐标为；…………………………8分 当时，如图，过B作于F， 则，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去），…………………………9分 ∴， ∴P的坐标为 综上，当P的坐标为或时，与相似．…………………………10分 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版九上+九下第一章。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列选项中与是反比例关系的是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 3．对于二次函数，下列结论中不正确的是（    ） A．其图象的对称轴是 B．其图象的顶点坐标是 C．当时，y有最大值是 D．当时，y随x的增大而增大 4．如图，abc，若AC＝5，CE＝10，DF＝12，则BD的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 5．如图，滑雪场有一坡角的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（    ）米． A． B． C． D． 6．如图，在中，，，动点D以的速度从点A出发沿方向向点B运动．动点E以的速度从点C出发沿方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D运动到点B的位置后，两点均停止运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（   ） A．或 B． C． D．或 7．如图，把一个长方形卡片放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，则的长约为（   ）（参考数据：） A． B．4 C．5 D．20 8．二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   9．如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接、交于点P，则的正切值是（    ） A．2 B． C． D． 10．对于二次函数，规定函数是它的相关函数。已知点M、N的坐标分别为、，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．如果关于的一元二次方程的一个根是，那么 ． 12．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出1个球，取出白球的概率为．则这个布袋中红球的个数为 ． 13．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 14．在平面直角坐标系中，已知点，以坐标原点为位似中心，将放大为原图形的2倍，则点的对应点的坐标是 ． 15．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面米，若水面下降米时，则此时水面的宽度为 米． 16．已知点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ．（用“＞”连接） 17．如图，已知点C（0，1），A（0，0），点B在x轴上，∠ABC=30°，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△，第2个△，第3个△，…，则第10个等边三角形的边长是 18．如图1，在矩形中，，，点、在、上，且，将四边形绕点逆时针旋转角，连接、相交于点，旋转后的图形如图2所示，则此时的值为 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题6分）计算：． 20．（本题6分）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 21．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）在轴上找一点使最大，求的最大值及点的坐标． 22．（本题8分）“低碳生活，绿色出行”是我们倡导的一种生活方式，有关部门随机调查了某单位员工上下班的交通方式，绘制了如下统计图，根据统计图完成下列问题： (1)调查的总人数为 人； (2)补全条形统计图，开私家车占扇形统计图的圆心角为 °； (3)该单位共有人，为了积极践行“低碳生活，绿色出行”这种生活方式，调查后开私家车的人上下班全部改为骑自行车，则现在骑自行车的人数约为多少人？ 23．（本题9分）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个． (1)若单价涨5元，每周的利润是多少？ (2)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ 24．（本题9分）如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs．    (1)当时，求x的值． (2)△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由． 25．（本题10分）某红外线体温检测仪设备说明书中的部分内容如下所示． 设备名称 红外线体温检测仪 测温区域示意图 设备需安装在垂直于水平面的墙面上． ①水平面；②竖直墙面；③设备安装位置； ④的长是设备安装高度；⑤的长是测温区域的宽度． 技术参数 设备测温过程中释放的红外线是直线传播，它与水平面的夹角称为探测角． 探测最小角： 探测最大角： (1)如果该设备的安装高度为时，请求出图中线段的长度；（结果精确到） (2)如果学校要求测温区域的宽度为时，请求出该设备的安装高度．（结果精确到）（参考数据：，，，，， 26．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版九上+九下第一章。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列选项中与是反比例关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例关系，如果两个变量乘积一定，这两个量之间就是反比例关系．解决本题的关键是根据反比例关系的定义进行判断． 【详解】解：A、中两个变量的和一定，这两个量之间不是反比例关系，故A选项不符合题意； B、中两个变量的积一定，这两个量之间是反比例关系，故B选项符合题意； C、中两个变量的商一定，这两个量之间不是反比例关系，故C选项不符合题意； D、中两个变量的商一定，这两个量之间不是反比例关系，故D选项不符合题意； 故选：B． 2．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义，再将代入原式，即可得到答案. 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴，， 则a的值为：． 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义. 3．对于二次函数，下列结论中不正确的是（    ） A．其图象的对称轴是 B．其图象的顶点坐标是 C．当时，y有最大值是 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质逐项判断求解即可． 【详解】解：A、该抛物线对称轴为直线，故该选项说法正确，不符合题意； B、该抛物线的顶点坐标为，故该选项说法正确，不符合题意； C、当时，y有最小值是，故该选项说法错误，符合题意； D、该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，故该选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 4．如图，abc，若AC＝5，CE＝10，DF＝12，则BD的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出BD的长． 【详解】解：∵abc， ∴ ， ∵AC＝5，CE＝10，DF＝12， ∴ ∴BD=6， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，由平行线得出比例式是解决问题的关键． 5．如图，滑雪场有一坡角的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（    ）米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据正弦的定义进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 6．如图，在中，，，动点D以的速度从点A出发沿方向向点B运动．动点E以的速度从点C出发沿方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D运动到点B的位置后，两点均停止运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设运动时间为，由题意得，，则，再由题意可得只存在和这两种情况，据此分两种情况根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和这两种情况， 当，则， ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 综上所述，或， 故选：D． 7．如图，把一个长方形卡片放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，则的长约为（   ）（参考数据：） A． B．4 C．5 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形对边相等的性质、锐角三角函数值的计算等知识点．通过作辅助线构造直角三角形、构造直角三角形成为解题的关键． 如图：分别过作垂线垂直于l，通过构造直角三角形，根据和的四个顶点恰好在横格线且每个横格宽1等条件求出的长，再根据矩形的性质即可解答． 【详解】解：如图：分别过作垂线垂直于l， ∵，， ∴． 根据题意，得 在中，， ∴， 解得：， ∵长方形卡片， ∴． 故选C． 8．二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据二次函数的图象开口向上，得，与轴交于正半轴，得，根据二次函数的对称轴可得，从而得到一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴， ，， 又观察二次函数的图象，二次函数的对称轴为， ， 一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，只有选项D图象符合， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象、反比例函数的图象，根据二次函数的图象得到，，，是解题的关键． 9．如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接、交于点P，则的正切值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正切函数，勾股定理，正方形的性质等，连接、， ，由平行线的性质得，由勾股定理求出、的长，由正切函数求出的值；掌握正切函数的定义，作出辅助线使得，构建直角三角形求解是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、， 由正方形的性质得： ， ，， ， ， ， ， ； 故选：A． 10．对于二次函数，规定函数是它的相关函数。已知点M、N的坐标分别为、，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与几何图形的问题， 分两种情况讨论：当线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点，令，，求出n的值，当线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线与y轴交点纵坐标为1，可求n的值，进而得出取值范围； 当线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线经过点，求出n的值，当线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点，抛物线经过点，可求n的值，进而得出取值范围. 【详解】解：如图1所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点． 所以当时，，即， 解得． 如图2所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线与y轴交点纵坐标为1， ∴， 解得：． ∴当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 如图3所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线经过点， ∴． 如图4所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线经过点， ∴， 解得：． ∴时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n的取值范围是或， 故选：A． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．如果关于的一元二次方程的一个根是，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，把代入方程，得到的值，在代入即得答案．正确理解一元二次方程的解的定义是解答本题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根是， ， 即， ， 故答案为：． 12．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出1个球，取出白球的概率为．则这个布袋中红球的个数为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了概率公式， 设红球的个数为x，再根据概率公式得，然后求出解即可． 【详解】解：设红球的个数为x，根据题意，得 ， 解得． 经检验：是方程的解； 所以这个布袋中红球的个数为3． 故答案为：3． 13．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可，熟记黄金比是解题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴， 故答案为：． 14．在平面直角坐标系中，已知点，以坐标原点为位似中心，将放大为原图形的2倍，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 根据位似变换的定义，即可得到答案． 【详解】解：以坐标原点为位似中心，将放大为原图形的倍，点的坐标为， ∴点的对应点的坐标是或， 即或． 故答案为：或 ． 15．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面米，若水面下降米时，则此时水面的宽度为 米． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过点，如图， 抛物线以轴为对称轴，且经过，两点，和可求出为的一半，为米，抛物线顶点坐标为，点坐标为， 通过以上条件可设顶点式， 代入点坐标，可得， 解得：，所以抛物线解析式为， 把代入抛物线解析式得出：， 解得：， 所以水面宽度为米， 故答案为： 16．已知点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ．（用“＞”连接） 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的增减性，掌握二次函数的增减性、对称性是解题的关键．根据二次函数的对称性和二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， 抛物线开口向上，对称轴是直线，在对称轴右侧y随x的增大而增大， ∴时取得最小值， ∵点关于直线的对称点为 ， ． 故答案为：． 17．如图，已知点C（0，1），A（0，0），点B在x轴上，∠ABC=30°，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△，第2个△，第3个△，…，则第10个等边三角形的边长是 【答案】 【分析】根据30°角的性质，勾股定理，求得OB=，根据△，△，△是等边三角形，判定△，△，△等都是含有30°角的直角三角形，依次运用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半计算，找到规律计算即可． 【详解】因为点C（0，1），A（0，0），∠ABC=30°， 所以CB=2，OB=． 因为△，△，△是等边三角形， 所以60° ， 所以=90° ，=90° ，=90° ， =30° ， 所以，，, 所以第10个等边三角形的边长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，边长的规律，熟练掌握直角三角形的性质，准确探索规律是解题的关键． 18．如图1，在矩形中，，，点、在、上，且，将四边形绕点逆时针旋转角，连接、相交于点，旋转后的图形如图2所示，则此时的值为 ． 【答案】 【分析】连接，由勾股定理得，，在图2中，，，由旋转得：在图2中，，继而可证明，再根据对应边成比例即可求解． 【详解】解：连接， 在图1中，∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴ ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴在图2中，，， ∴， ∴ 由旋转得：在图2中， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，旋转的的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题6分）计算：． 【答案】6 【分析】根据去绝对值的法则、特殊角的三角函数值计算、零指数幂、化简二次根式的计算法则、负指数幂的运算法则，进行计算即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20．（本题6分）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)③；只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤． （1）根据配方法解一元二次方程的方法和步骤，即可获得答案； （2）利用配方法解该一元二次方程即可． 【详解】（1）解：上述解题过程有误，错在步骤③，错误的原因是只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加． 故答案为：③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； （2）解：， 移项得，， 两边同除以2得，， 配方得，， 即，， ∴或， ∴，． 21．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）在轴上找一点使最大，求的最大值及点的坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式：y2＝；一次函数的解析式：y1=x+2（2）的最大值，点的坐标（0，2）． 【分析】（1）把A（3，5）代入y2＝ (m≠0)，可求出反比例函数的关系式，求出点B坐标，进而确定一次函数关系式； （2）求出一次函数与y轴的交点坐标，可得此时PB-PC最大，为BC，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：解：（1）把A（3，5）代入y2＝ (m≠0)，可得m=3×5=15， ∴反比例函数的解析式为y2＝； 把点B（a，-3）代入y2＝，可得a=-5， ∴B（-5，-3）． 把A（3，5），B（-5，-3）代入y1=x+b，可得 ， 解得 ， ∴一次函数的解析式为y1=x+2； （2）一次函数的解析式为y1=x+2，令x=0，则y=2， ∴一次函数与y轴的交点为P（0，2）， 此时，PB-PC=BC最大，P即为所求， 令y=0，则x=-2， ∴C（-2，0）， ∴BC＝． 综上所述，的最大值，点的坐标（0，2）． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据点的坐标求线段长，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键． 22．（本题8分）“低碳生活，绿色出行”是我们倡导的一种生活方式，有关部门随机调查了某单位员工上下班的交通方式，绘制了如下统计图，根据统计图完成下列问题： (1)调查的总人数为 人； (2)补全条形统计图，开私家车占扇形统计图的圆心角为 °； (3)该单位共有人，为了积极践行“低碳生活，绿色出行”这种生活方式，调查后开私家车的人上下班全部改为骑自行车，则现在骑自行车的人数约为多少人？ 【答案】(1)80 (2)图见解析，90 (3)现在骑自行车的人数约为人 【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂题意，正确计算是解题的关键． （1）用步行的人数除以所占的百分比，计算即可求出总人数； （2）求出骑自行车的人数，然后补全统计图，用开私家车的百分比乘以即可得到交通方式为开私家车所对的圆心角的度数； （3）计算出现在骑自行车的人的百分比，然后用总人数1000乘以现在骑自行车的人的百分比即可． 【详解】（1）解：调查总人数：（人）， ∴调查的总人数为是人， 故答案为：； （2）由图可知： 骑自行车的人数：（人）， ∴骑自行车的人数为人， 补全条形统计图如图所示： 开私家车占扇形统计图部分的圆心角为：， 故答案为：90； （3）原骑自行车的人数所占百分比为：， 调查后开私家车的人上下班全部改为骑自行车，则现在骑自行车的人数约为： （人）， 答：现在骑自行车的人数约为人． 23．（本题9分）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个． (1)若单价涨5元，每周的利润是多少？ (2)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ 【答案】(1)6750元 (2)售价应定为40元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． （1）单价涨5元，可卖出“弗里热”纪念品个，然后利用数量单件商品的利润计算即可； （2）设售价应定为x元，由商场计划一周的利润达到8000元，列出方程，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：单价涨5元，每周的利润为：， 答：若单价涨5元，每周的利润为6750元； （2）设售价应定为元， 由题意可得：， ， 解得：，， 更大优惠让利消费者， ， 答：售价应定为40元． 24．（本题9分）如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs．    (1)当时，求x的值． (2)△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，AP＝cm或20cm 【分析】（1）利用平行线分线段对应成比例，列比例式进行计算即可； （2）分类讨论：①△APQ∽△CQB，②当△APQ∽△CBQ，利用相似的性质，对应边对应成比例，列式计算即可． 【详解】（1）解：当时，AP：AB＝AQ：AC， ∵AP＝4x，AQ＝30－3x， ∴， 解得：x＝； （2）解：∵BA＝BC ∴， ①当△APQ∽△CQB时，有， 即：， 解得：， ∴（cm）， ②当△APQ∽△CBQ时，有， 即：， 解得：x＝5或x＝－10（舍去）， ∴PA＝4x＝20（cm）， 综上所述，当AP＝cm或20cm时，△APQ与△CQB相似． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，以及相似三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 25．（本题10分）某红外线体温检测仪设备说明书中的部分内容如下所示． 设备名称 红外线体温检测仪 测温区域示意图 设备需安装在垂直于水平面的墙面上． ①水平面；②竖直墙面；③设备安装位置； ④的长是设备安装高度；⑤的长是测温区域的宽度． 技术参数 设备测温过程中释放的红外线是直线传播，它与水平面的夹角称为探测角． 探测最小角： 探测最大角： (1)如果该设备的安装高度为时，请求出图中线段的长度；（结果精确到） (2)如果学校要求测温区域的宽度为时，请求出该设备的安装高度．（结果精确到）（参考数据：，，，，， 【答案】(1)线段的长度约为 (2)该设备的安装高度约为 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据正切的定义求出； （2）设的长为，根据正切的定义分别用表示出、，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解：在中，，， 则， 答：线段的长度约为； （2）解：设的长为， 在中，， 则 在中，， 则 由题意得：， 解得：， 答：该设备的安装高度约为． 26．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①当时，有最大值为；②当P的坐标为或时，与相似 【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系数法求出直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标； （2）①根据P、D的坐标求出，然后根据二次函数的性质求解即可； ②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出，然后分，两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可． 【详解】（1）解：把，，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； （2）解：①设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为； ②∵，， ∴， 又， ∴， 又轴， ∴轴， ∴， 当时，如图， ∴， ∴轴， ∴P的纵坐标为3， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴， ∴P的坐标为； 当时，如图，过B作于F， 则，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴P的坐标为 综上，当P的坐标为或时，与相似． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1 [ A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11 ． ___________ 1 2 ． _________ 1 3 ． __________ 1 4 ． ____________ 1 5 ． __________ 1 6 ． _________ 1 7 ． ________ 1 8 ． __________ 三 、解答题：本题共 8 小题，共 6 6 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19． （本题 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 6 分） 21 ． （ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ．（ 8 分） 2 3 ． （ 9 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 ．（ 9 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 5 ．（ 1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 6 ． （1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $