数学全真模拟卷（5）-2026年湖南省对口招生考试《全真模拟卷》（原卷版+解析版）

湖南省2026年普通高等学校对口招生考试 数学 全真模拟卷（5） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合，则下列四个关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是（ ） A． B． C． D．或 3．已知点和点均在直线上，则的值为（    ） A． B． C．35 D． 4．已知点，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，，若，则实数m的值是 A．9 B． C．6 D．2 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知A是三角形的一个内角，且，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 8．从函数的图像来看，当时，对于的x有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．如图所示，是圆O的直径，C是异于两点的圆周上的任意一点，垂直于圆O所在的平面，则中，直角三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知函数，当，且时，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．一正四棱柱的底面边长为2cm，高为3cm，则这个正四棱柱的体积为 ． 12．某运动会火炬接力，要从2男2女中任选两人，则选中两人中恰好有1女的概率是 . 13．已知且，则 . 14．若数列的前n项和，则的通项公式 . 15．已知直线与圆交于两点，若线段的中点坐标为，则 . 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 17．(本小题满分10分) 某罐子中装有除颜色外完全相同的2个红球和2个黑球，每次随机摸出一个球． (1)若每次都是不放回地摸球，连续摸两次，求连续两次都摸出同一颜色球的概率； (2)若每次都是有放回地摸球，连续摸3次，摸得红球记1分，摸得黑球记0分，设3次摸球总得分为X，求X的分布列与期望． 18．(本小题满分10分) 如图，在正三棱柱中，底面边长为为的中点. (1)求证：平面； (2)已知，求三棱锥的体积. 19．(本小题满分10分) 已知函数是上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 20．(本小题满分10分) 双曲线的右焦点，点在双曲线上. (1)求双曲线方程； (2)直线与双曲线的右支交于M，N两点，求k的取值范围. 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 如图，为了测量某座山的高度，在山顶M测得塔顶P的俯角为15°，在塔底Q测得山顶M的仰角为30°，已知塔高m，求： (1)的值； (2)山高MN． 22．(本小题满分10分) 某集团准备生产两种类型的新能源小轿车，需要甲、乙两种新型材料．生产一辆A型车需要消耗甲材料1吨、乙材料2吨，用个工时，产品获利6万元；生产一辆B型车需要消耗甲材料2吨、乙材料2吨，用个工时，产品获利8万元．该集团旗下某生产车间现有甲材料吨，乙材料吨，在不超过个工时的条件下，怎么安排生产才能使利润最大？并求出最大利润． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省2026年普通高等学校对口招生考试 数学 全真模拟卷（5） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合，则下列四个关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系及集合与集合的关系即可得解. 【详解】不含任何元素，所以，故A错误； 集合表示所有小于1的实数组成的集合，所以是集合中的元素，所以，故B正确； 集合与集合之间不能用“”连接，故C错误； 元素与集合之间只能用“”“”连接，不能用“”连接，故D错误， 故选：. 2．不等式的解集是（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据含有绝对值的不等式的解法：应用“大于取两边，小于取中间”的规律去掉绝对值符号，进一步转化为一元一次不等式（组），求解即可. 【详解】或, 解得:或, 所以不等式的解集是或. 故选：. 3．已知点和点均在直线上，则的值为（    ） A． B． C．35 D． 【答案】C 【分析】将代入直线方程求出a，将代入直线方程求出b，从而求出的值即可. 【详解】点在直线上， ，解得， 点在直线上， ，解得， ，故的值为35. 故选：C. 4．已知点，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率的求法，代数求解即可. 【详解】因为点，所以直线的斜率， 故选：B. 5．已知向量，，若，则实数m的值是 A．9 B． C．6 D．2 【答案】B 【分析】根据向量共线的坐标形式得到方程，解出即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得. 故选：B. 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用对数特性初判的范围，再对同一范围内的，通过对数运算化为相同的底数后再比较即可. 【详解】由于，即， ，即， ，即， 继续比较， ， 所以. 故选：B 7．已知A是三角形的一个内角，且，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】利用三角形内角余弦值判断三角形状即可. 【详解】将两边平方，可得， ∴，由A是三角形的一个内角， ∴，A是钝角， 故这个三角形是钝角三角形. 故选：C. 8．从函数的图像来看，当时，对于的x有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由余弦函数和的图象的交点判断方程的解即可. 【详解】先画出，的图像，即A与D之间的部分， 再画出的图像，，如下图： 由图像可知它们有2个交点B、C， 所以当时，的x的值有2个， 故选：C. 9．如图所示，是圆O的直径，C是异于两点的圆周上的任意一点，垂直于圆O所在的平面，则中，直角三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据线面垂直的判定定理和定义进行分析即可. 【详解】∵是⊙O的直径，∴，即， ∴为直角三角形． 又所在平面，都在⊙O所在平面内， ∴， ∴是直角三角形， 又，平面， ∴平面， ∵平面，∴，∴是直角三角形， 从而均为直角三角形． 故选：D. 10．已知函数，当，且时，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合分段函数的单调性，及对数函数的单调性，即可求解. 【详解】因为当，且时，， 所以在定义域内为单调减函数， 因此，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．一正四棱柱的底面边长为2cm，高为3cm，则这个正四棱柱的体积为 ． 【答案】 【分析】根据棱柱的体积公式计算即可. 【详解】因为正四棱柱的底面边长为2cm，高为3cm， 所以正四棱柱的体积为. 故答案为：. 12．某运动会火炬接力，要从2男2女中任选两人，则选中两人中恰好有1女的概率是 . 【答案】 【分析】列出所有的情况，再列出满足条件的情况，根据古典概型的概率公式求解即可. 【详解】记个男生分别为、，个女生分别为、， 从个人中随机选人可能结果有、、、、、共个， 满足恰好有个女生的有、、、共个， 故恰好有个女生的概率. 故答案为：. 13．已知且，则 . 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数的关系以及二倍角公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 又因为，所以，进而. 故答案为：. 14．若数列的前n项和，则的通项公式 . 【答案】 【分析】把代入之中可得数列的首项，由时，可得改数列为等比数列，且公比为，代入等比数列的通项公式即可求解. 【详解】因为，则当又时，，解得， 当时，，两式相减， 得，所以当时，，即， 故数列是以为首项，以为公比的等比数列， 则当时，，经验证，当时，也满足式， 所以数列的通项公式为. 故答案为：. 15．已知直线与圆交于两点，若线段的中点坐标为，则 . 【答案】 【分析】由圆的弦长公式结合两点间距离公式计算即可. 【详解】圆，圆心为，半径， 圆心到线段的中点的距离 ， 所以. 故答案为：. 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合数列中与之间的关系，可判断数列是等比数列，求得首项和公比，即可求出通项公式； （2）根据题意，先表示出，利用错位相减法，及等比数列的前n项和公式，即可求解. 【详解】（1）因为数列的前n项和， 所以， 所以，即， 所以， 又，解得， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）知， 所以， 所以①， 所以②， 所以得， 所以. 17．(本小题满分10分) 某罐子中装有除颜色外完全相同的2个红球和2个黑球，每次随机摸出一个球． (1)若每次都是不放回地摸球，连续摸两次，求连续两次都摸出同一颜色球的概率； (2)若每次都是有放回地摸球，连续摸3次，摸得红球记1分，摸得黑球记0分，设3次摸球总得分为X，求X的分布列与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算概率； （2）先确定的可能取值，再根据二项分布的概率公式计算每个取值的概率，进而得到分布列，最后根据期望公式计算期望. 【详解】（1）设连续两次摸出同一颜色球为事件A， 则. （2）每次摸球时，从个球中摸出一个红球的概率为，摸出黑球的概率也为， 由于每次摸球是相互独立的，所以， X的可能取值为0，1，2，3， ；； ；， 的分布列如下表： X 0 1 2 3 P 期望. 18．(本小题满分10分) 如图，在正三棱柱中，底面边长为为的中点. (1)求证：平面； (2)已知，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质求解即可. （2）根据三角形的面积公式以及三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1）因为是正三棱柱，所以平面， 又因为平面，所以， 在正三角形中，因为为的中点，所以， 又因为平面平面， 所以平面. （2）在正三棱柱中，， 因此正三角形面积为： ， 所以. 19．(本小题满分10分) 已知函数是上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由奇函数的性质求出函数的解析式即可； （2）由奇函数的性质先化简不等式，再由函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）函数是上的奇函数，当时，， 当时，则，此时， 又是上的奇函数，则， 所以的解析式. （2）由，是上的奇函数， ，可化为， 当时，，此时为二次函数，对称轴为，函数图象开口向上， 所以函数在上单调递增， 根据奇函数的性质，在上也单调递增， 又，，， 所以函数在上单调递增， 由可得，，解得， 所以实数的取值范围为. 20．(本小题满分10分) 双曲线的右焦点，点在双曲线上. (1)求双曲线方程； (2)直线与双曲线的右支交于M，N两点，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件列出的方程组，求解即可； （2）联立直线与双曲线的方程，根据判别式与韦达定理求解． 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以双曲线方程为； （2）联立，消得， 因为直线与双曲线的右支交于M，N两点， 设， 所以，解得， 所以k的取值范围为. 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 如图，为了测量某座山的高度，在山顶M测得塔顶P的俯角为15°，在塔底Q测得山顶M的仰角为30°，已知塔高m，求： (1)的值； (2)山高MN． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）利用正弦的和差公式可解； （2）利用正弦的和差公式与正弦定理可解； 【详解】（1） ； （2）由已知，得到，，， 同上题，不难求得 由正弦定理有：，即 解之得， 在中，， 即，所以（m），即山高为米. 22．(本小题满分10分) 某集团准备生产两种类型的新能源小轿车，需要甲、乙两种新型材料．生产一辆A型车需要消耗甲材料1吨、乙材料2吨，用个工时，产品获利6万元；生产一辆B型车需要消耗甲材料2吨、乙材料2吨，用个工时，产品获利8万元．该集团旗下某生产车间现有甲材料吨，乙材料吨，在不超过个工时的条件下，怎么安排生产才能使利润最大？并求出最大利润． 【答案】生产A型车6辆，B型车4辆，最大利润万元． 【分析】设生产A型车x辆，B型车y辆，再由题意列出约束条件，根据约束条件画出可行域，设，再由可行域求出最值即可. 【详解】设生产A型车x辆，B型车y辆， 约束条件为， 则最大利润为， 可行域如下， 如图可知，当目标函数过点时，为最大， 联立方程组， 解得，此时利润最大：万元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $