数学全真模拟卷（4）-2026年湖南省对口招生考试《全真模拟卷》（原卷版+解析版）

湖南省2026年普通高等学校对口招生考试 数学 全真模拟卷（4） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．若两点，，则线段的长度等于（    ） A．5 B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B．5 C． D．7 6．某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（    ） A． B． C． D． 7．为了得到函数的图像，只需要把正弦曲线上所有的点（    ） A．横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标变为原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变 8．函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 9．过原点且斜率为的直线被圆所截的弦长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，四边形是梯形，，且平面，M是AC的中点，与平面交于点N，，，则等于（ ） A．4.5 B．5 C．5.4 D．5.5 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11． ． 12．某校有学生3000人，其中高一、高二、高三学生人数之比为，现从全体学生中抽取150人，则高二应抽取 人. 13．已知棱长为的正方体各顶点均在同一球面上，则该球的表面积为 ． 14．已知向量，满足，，，则 . 15．已知直线：，则点到直线的距离的最大值为 ． 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 17．(本小题满分10分) 某单位组织员工参与福利抽奖活动，抽奖箱里有除颜色外完全相同的2个红球和8个白球，从中任意摸出一个球，摸到红球者可获奖金元，摸到白球者可获奖金元．每位员工可以摸奖两次，以这两次摸奖中的最高奖金作为最终奖金，设每位员工获得的奖金金额为．求： (1)每位员工获得元奖金的概率； (2)随机变量的分布列； (3)随机变量的期望值． 18．(本小题满分10分) 如图所示，已知正三棱柱所有的棱长均为2，点M是棱AC的中点．求： (1)直线与平面所成角的正切值； (2)三棱锥的体积． 19．(本小题满分10分) 已知函数，函数与的图像关于轴对称． (1)求的表达式； (2)求的解集． 20．(本小题满分10分) 已知椭圆（）的离心率为，且椭圆经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的左焦点作斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，为C的右焦点，求的面积． 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 如图所示，，两地之间有一座小山和一条小河.为了求出，之间的距离，在点所在的这边选择，两点，测得，，，，求：    (1)的长； (2)的长. 22．(本小题满分10分) 某企业生产甲、乙两种产品，需要用A，B两种原料，每生产一吨的产品需要消耗的原料、原料总量及每种产品的利润如下表：问该公司如何安排甲、乙两种产品的产量可获最大利润，并求最大利润是多少？ 原料 甲消耗原料（／吨） 乙消耗原料（／吨） 原料拥有量（吨） A（吨） 3 1 9 B（吨） 2 3 13 利润（万元） 4 5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省2026年普通高等学校对口招生考试 数学 全真模拟卷（4） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合交集的概念，求解即可. 【详解】因为集合， 则. 故选：D. 2．已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】选项A，B.当时，则. 选项C.当，则. 选项D.因为，所以. 故选：D. 3．“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，结合充分性、必要性的概念，即可求解. 【详解】由题意，时，则一定成立，即充分性成立； 当，即时，则一定成立，即必要性成立； 所以“”是“”的充要条件. 故选：A. 4．若两点，，则线段的长度等于（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点间距离公式即可得解. 【详解】两点，， 则线段的长度等于， 故选：. 5．已知，则（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】根据题意结合齐次式的应用即可得解. 【详解】， 原式， 故选：. 6．某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分步计数原理和古典概型概率公式计算即可. 【详解】小明从“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，选择一个共有种情况， 小亮也有种情况，故小明和小亮选择主题的所有可能为种， 他们恰好选择同一个主题有种情况， 故他们恰好选择同一个主题的概率是. 故选：C. 7．为了得到函数的图像，只需要把正弦曲线上所有的点（    ） A．横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标变为原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变 【答案】B 【分析】根据三角函数图像变换规律求解. 【详解】为了得到函数的图像，只需要把上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变. 故选：B. 8．函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合正弦的二倍角公式，将函数化为正弦型函数，结合正弦函数的周期性，即可求解. 【详解】因为函数， 所以函数的最小正周期. 故选：B. 9．过原点且斜率为的直线被圆所截的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合圆的一般式方程，转化为标准方程，求得圆心坐标和半径，再求得直线的方程，根据点到直线的距离公式求得弦心距，结合直线被圆所截的弦长的一半、弦心距、半径之间的关系，即可求解. 【详解】因为圆，即， 所以圆心坐标为，半径， 又过原点且斜率为的直线为，即 所以圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故选：A. 10．如图，四边形是梯形，，且平面，M是AC的中点，与平面交于点N，，，则等于（ ） A．4.5 B．5 C．5.4 D．5.5 【答案】B 【分析】由线面平行的性质判断，再由梯形的中位线求出的值即可. 【详解】因为，平面，平面， 平面平面， 所以. 又M是的中点，所以是梯形的中位线， 故. 故选：B. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11． ． 【答案】0 【分析】根据题意，结合对数的运算，即可求解. 【详解】. 故答案为：0. 12．某校有学生3000人，其中高一、高二、高三学生人数之比为，现从全体学生中抽取150人，则高二应抽取 人. 【答案】45 【分析】根据分层抽样的定义即可得解. 【详解】根据题意，高二应抽取人数为人， 故答案为：. 13．已知棱长为的正方体各顶点均在同一球面上，则该球的表面积为 ． 【答案】 【分析】首先求出球的半径，再根据球的表面积公式求解即可. 【详解】正方体内接在球内，∴正方体的体对角线为球直径， 又正方体棱长为，即， 得到， 所以. 故答案为：. 14．已知向量，满足，，，则 . 【答案】1 【分析】根据向量数量积的运算，计算求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为，，所以， 故答案为：1. 15．已知直线：，则点到直线的距离的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，先求得直线l恒过定点坐标，结合两点之间的距离公式，即可求解. 【详解】因为直线：，即， 令，解得，所以直线l恒过定点, 所以当时，点到直线的距离最大，即线段的长度， 所以. 所以点到直线的距离的最大值为. 故答案为：. 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，结合之间的关系，结合等比数列的概念，易判断数列是等比数列，继而求解； （2）根据题意，结合等比数列的前n项和公式，利用错位相减法，即可求解. 【详解】（1）因为数列的前项和为，，， 所以当时，，解得， 当时，， 即， 又，故数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，即，， 又也符合上式， 所以数列的通项公式为，． （2）由（1）题可知， 又，所以， 所以，① ，② 由①－②得 ， 所以. 17．(本小题满分10分) 某单位组织员工参与福利抽奖活动，抽奖箱里有除颜色外完全相同的2个红球和8个白球，从中任意摸出一个球，摸到红球者可获奖金元，摸到白球者可获奖金元．每位员工可以摸奖两次，以这两次摸奖中的最高奖金作为最终奖金，设每位员工获得的奖金金额为．求： (1)每位员工获得元奖金的概率； (2)随机变量的分布列； (3)随机变量的期望值． 【答案】(1)(2)答案见解析(3) 【分析】（1）根据古典概型的概率公式求摸出红球的概率和摸出白球的概率再由相互独立事件的概率公式求值即可. （2）首先确定的取值可能为，再由古典概型的概率公式分别求出概率列出分别列即可. （2）由分布列的期望公式求值即可. 【详解】（1）已知有完全相同的2个红球和8个白球， 从中任意摸出一个球，摸出红球的概率为， 摸出白球的概率为，且摸出红球的事件与摸出白球的事件相互独立， 则若获得元奖金，则至少有一次摸到红球， 则获得元奖金的概率为. （2）由题意可知，的取值可能为， 由（1）可知，， 则， 所以分布列为 （3）由（2）可知， 随机变量的期望值. 18．(本小题满分10分) 如图所示，已知正三棱柱所有的棱长均为2，点M是棱AC的中点．求： (1)直线与平面所成角的正切值； (2)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点为D，连接，根据线面垂直的判定方法证明出平面，得出为直线与平面所成的角，再由锐角三角函数的定义求值即可. （2）分别取和的中点为，再连接，得出三棱锥体积等于三棱锥的体积，并由棱锥的体积公式求值即可. 【详解】（1）取的中点为D，连接， 为等边三角形， ，为正三棱柱， 平面，点M是棱AC的中点， ，平面， 平面，， ，且平面， 平面， 则为直线与平面所成的角， ，， ， ， 即直线与平面所成的角的正切值为. （2）分别取和的中点为，再连接， 在中，，， 为正三棱柱，点M是棱AC的中点， ，， ，则四边形为平行四边形， ，且，平面， 平面， ，即， 连接，则，， ， 三棱锥的高， 所以. 19．(本小题满分10分) 已知函数，函数与的图像关于轴对称． (1)求的表达式； (2)求的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据函数图像关于轴对称，得到，即可得解. （）根据题意利用换元法解一元二次不等式即可得解. 【详解】（1）函数，函数与的图像关于轴对称， ， 所以. （2）， 令，则， 不等式可化为， 因为函数，图像为开口向上的抛物线， ，图像与轴没有交点， 所以对所有恒成立，则原不等式的解集为. 20．(本小题满分10分) 已知椭圆（）的离心率为，且椭圆经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的左焦点作斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，为C的右焦点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的离心率以及椭圆过点求解即可. （2）根据直线的点斜式得到直线l，与椭圆的方程联立得到A，B两点坐标，再根据三角形的面积公式求解. 【详解】（1）∵椭圆（）的离心率为， ∴，又，所以. 又因为椭圆经过点，则， 结合，解得，． 故椭圆的方程为； （2）椭圆的左焦点，右焦点，设，， 则直线的方程为. 联立，整理得，解得或， 当时，；当时，， 所以的面积． 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 如图所示，，两地之间有一座小山和一条小河.为了求出，之间的距离，在点所在的这边选择，两点，测得，，，，求：    (1)的长； (2)的长. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合正弦定理即可得解. （）根据题意结合余弦定理即可得解. 【详解】（1）在中，，， 所以， 由正弦定理得， 解得，所以AC的长为. （2）在中， 由余弦定理得， 所以. 22．(本小题满分10分) 某企业生产甲、乙两种产品，需要用A，B两种原料，每生产一吨的产品需要消耗的原料、原料总量及每种产品的利润如下表：问该公司如何安排甲、乙两种产品的产量可获最大利润，并求最大利润是多少？ 原料 甲消耗原料（／吨） 乙消耗原料（／吨） 原料拥有量（吨） A（吨） 3 1 9 B（吨） 2 3 13 利润（万元） 4 5 【答案】23 【分析】根据题意列约束条件，根据约束条件画可行域，在可行域内求目标函数的最优解即可. 【详解】设生产甲产品吨，生产乙产品吨，总利润为万元. 根据题目所给信息，可得： 由题意可得， 表示的可行域为： 联立，解得. 由图知，最优解为， 所以最大利润（万元）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $