数学全真模拟卷（6）-2026年湖南省对口招生考试《全真模拟卷》（原卷版+解析版）

湖南省2026年普通高等学校对口招生考试 数学 全真模拟卷（6） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合，，则（   ）． A． B． C． D． 2．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，在上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．（   ） A． B． C． D． 6．下列函数中，是偶函数的为（ ） A． B． C． D． 7．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（   ）    A． B． C． D． 8．在平行四边形ABCD中，，用和表示为（   ）    A． B． C． D． 9．若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 10．如图，，，分别为正方体对应棱的中点，则平面与平面的位置关系是（   ）    A．垂直 B．相交不垂直 C．平行 D．重合 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．某校高一共有学生240人，现采用分层抽样的方法从中抽取80人进行体能测试；若这80人中有35人是男生，则该校高一男生共有 人. 12．若指数函数的图像过点，则 . 13．过点且倾斜角为的直线的点斜式方程为 ． 14．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 ． 15．已知，，，则 ． 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前100项和． 17．(本小题满分10分) 某项比赛中，甲、乙两名学生的得分分别被记为随机变量、，且的分布列如下： 表1 1 2 3 0.1 0.6 表2 1 2 3 0.3 0.3 (1)求、的值； (2)比较甲、乙两名学生竞技水平的高低； (3)比较甲、乙两名学生竞技水平的稳定性． 18．(本小题满分10分) 如图，在长方体中，已知，F为CD的中点． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求证：平面平面． 19．(本小题满分10分) 已知函数（，为常数，且）的图像过点，． (1)求函数的解析式； (2)求不等式的解集． 20．(本小题满分10分) 如图，已知抛物线上的点到其焦点的距离为2． (1)求抛物线的标准方程； (2)若过点的直线与抛物线相交于两个不同点（均与点不重合），设直线的斜率分别为，求证：为定值． 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 在中，、、的对边分别为、、，． (1)求的值； (2)若，求边长的值． 22．(本小题满分10分) 某公司的家具车间计划每天生产甲、乙两种规格的纯木衣柜，每个衣柜需要木工和油漆工两道工序才能完成．已知木工生产一个甲种衣柜需要2h，生产一个乙种衣柜需要1h；油漆工油漆一个甲种衣柜需要1h，油漆一个乙种衣柜需要3h；木工、油漆工每天工作的时间分别不超过9h和7h；公司生产一个甲种衣柜可获利润0.5千元，生产一个乙种衣柜可获利润0.6千元．问公司每天生产甲、乙两种衣柜各多少个时，才能使获得的利润最大？最大利润是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省2026年普通高等学校对口招生考试 数学 全真模拟卷（6） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集的概念运算即可. 【详解】已知集合，， 则， 故选：C. 2．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法求解. 【详解】不等式可化为，解得， 故不等式的解集为. 故选：A. 3．下列函数中，在上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对四个选项逐一分析函数的单调性，由此得出正确选项. 【详解】对于A选项，函数在上递减. 对于B选项，函数在和上递减. 对于C选项，函数开口向上，对称轴为，所以在上递减，在上递增. 对于D选项，函数开口向上，对称轴为， 所以在上递减，在上递增，故也在上递增，符合题意. 故选：D. 4．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据真数大于零，二次根式的性质及分母不为零列出不等式组即可得解. 【详解】函数， 则，解得， 所以函数的定义域为， 故选：. 5．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值，求解即可. 【详解】， 故选：B. 6．下列函数中，是偶函数的为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数的定义判断各选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，关于原点对称， ∵，∴不是偶函数，故A错误； 对于B选项，函数的定义域为，关于原点对称， ∵，∴不是偶函数，故B错误； 对于C选项，函数的定义域为，关于原点对称， ∵，∴是偶函数，故C正确； 对于D选项，函数的定义域为，关于原点对称， ∵，∴不是偶函数，故D错误， 故选：C. 7．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三视图可知，该几何体是圆锥，利用圆锥的表面积公式计算即可. 【详解】由三视图可知，该几何体是底面半径为，母线长为的圆锥，    则该几何体的表面积为. 故选：C. 8．在平行四边形ABCD中，，用和表示为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得E为上靠近C的三等分点，然后利用向量线性运算的几何应用求解. 【详解】由得E为上靠近C的三等分点，则. 故， 故选：D. 9．若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合圆的方程求得圆心坐标，结合圆的对称性，可判断圆心在直线上，将圆心代入直线计算求解. 【详解】因为圆，所以圆心坐标为， 又直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在直线上，即，解得. 故选：A. 10．如图，，，分别为正方体对应棱的中点，则平面与平面的位置关系是（   ）    A．垂直 B．相交不垂直 C．平行 D．重合 【答案】C 【分析】由面面平行的判定定理即可得解. 【详解】如图，分别取另三条棱的中点，，，    将平面延展为平面正六边形， 因为，，且与相交，与相交， 所以平面平面，即平面平面. 故选：C. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．某校高一共有学生240人，现采用分层抽样的方法从中抽取80人进行体能测试；若这80人中有35人是男生，则该校高一男生共有 人. 【答案】105 【分析】根据题意结合分层抽样的定义即可得解. 【详解】设该校高一男生共有人， 则，解得人， 所以该校高一男生共有人， 故答案为：. 12．若指数函数的图像过点，则 . 【答案】27 【分析】根据题意求出指数函数解析式即可得解. 【详解】设且， 则，解得或（舍）， 所以. 故答案为：. 13．过点且倾斜角为的直线的点斜式方程为 ． 【答案】 【分析】首先由倾斜角确定直线的斜率，再由点和斜率写出直线的点斜式方程即可. 【详解】已知直线倾斜角为， 则斜率为，且过点， 则直线的点斜式方程为， 故答案为：. 14．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 ． 【答案】 【分析】分别求得基本事件的总数和点数和为5的事件数，由古典概率的计算公式可得所求值． 【详解】一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，可得基本事件的总数为种， 而点数和为5的事件为，，，，共4种， 则点数和为5的概率为． 故答案为：． 15．已知，，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意结合同角三角函数基本关系式及两角和差公式即可得解. 【详解】由，得， 又，， ∴，， ∴， 故答案为： 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前100项和． 【答案】(1) (2)50 【分析】（1）根据题意，结合等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质，求出，继而求得公差和首项，即可求解； （2）根据题意，结合数列的通项公式，先表示出数列的通项公式，利用分组并项求和法，即可求解. 【详解】（1）因为等差数列中，， 又，所以， 所以， 所以公差，首项， 所以数列的通项公式； （2）由（1）知， 所以， 所以 . 17．(本小题满分10分) 某项比赛中，甲、乙两名学生的得分分别被记为随机变量、，且的分布列如下： 表1 1 2 3 0.1 0.6 表2 1 2 3 0.3 0.3 (1)求、的值； (2)比较甲、乙两名学生竞技水平的高低； (3)比较甲、乙两名学生竞技水平的稳定性． 【答案】(1)， (2)甲的竞技水平更高 (3)乙的竞技水平更稳定 【分析】（1）利用离散型随机变量分布列的性质（所有概率之和为 1）计算. （2）计算期望（均值），期望越大，竞技水平越高. （3）计算方差（方差越小，稳定性越强）. 【详解】（1）由题意得，解得. ，解得. （2）甲的期望； 乙的期望， 因为，故甲的竞技水平更高. （3）甲的方差； 乙的方差望， 因为，故乙的竞技水平更稳定. 18．(本小题满分10分) 如图，在长方体中，已知，F为CD的中点． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求证：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）过F作交AB于H，连接，进而可知为异面直线与BC所成的角，结合线面垂直的性质定理求解即可； （2）利用线面垂直的判定定理和性质定理以及面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）如图，过F作交AB于H，连接， 则为异面直线与BC所成的角． 因为F为CD中点，所以H为AB的中点， 所以， 在长方体中，平面， 又平面，所以， 所以， 因为，所以． （2）因为F为CD的中点， 所以， ， 又，可得，所以， 因为为长方体， 所以平面ABCD， 因为平面ABCD，所以， 又平面平面， 则平面， 因为平面， 所以平面平面． 19．(本小题满分10分) 已知函数（，为常数，且）的图像过点，． (1)求函数的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两点坐标代入计算，即可求出函数解析式； （2）由指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）函数（，为常数，且）的图像过点，， 可得， 所以函数的解析式. （2）由不等式，可得， 因为在上单调递增，所以， 所以不等式的解集为. 20．(本小题满分10分) 如图，已知抛物线上的点到其焦点的距离为2． (1)求抛物线的标准方程； (2)若过点的直线与抛物线相交于两个不同点（均与点不重合），设直线的斜率分别为，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线的定义，利用焦半径公式，列方程可求，据此可求解； （2）分两种情况，当直线的斜率不存在，求出的坐标，利用斜率公式可判断结果；当直线的斜率存在时，设直线方程为，与抛物线方程联立，消元，利用韦达定理，结合斜率公式，化简可证明结果. 【详解】（1）由抛物线可知，其准线方程为， 根据题意和抛物线的定义，可得，解得， 所以抛物线的标准方程为． （2）直线与抛物线相交于两个不同点，所以直线的斜率不为0． ①当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，代入抛物线方程，可得， 又，所以； ②当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为， 联立消去得， 其判别式． 设，所以，则 ． 故为定值 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 在中，、、的对边分别为、、，． (1)求的值； (2)若，求边长的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据同角的三角函数关系式，先求出的值，再求的值； （2）利用正弦定理求解． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴. （2）因为， 由正弦定理得，即， 可得，解得. 22．(本小题满分10分) 某公司的家具车间计划每天生产甲、乙两种规格的纯木衣柜，每个衣柜需要木工和油漆工两道工序才能完成．已知木工生产一个甲种衣柜需要2h，生产一个乙种衣柜需要1h；油漆工油漆一个甲种衣柜需要1h，油漆一个乙种衣柜需要3h；木工、油漆工每天工作的时间分别不超过9h和7h；公司生产一个甲种衣柜可获利润0.5千元，生产一个乙种衣柜可获利润0.6千元．问公司每天生产甲、乙两种衣柜各多少个时，才能使获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】每天生产甲种衣柜4个，乙种衣柜1个，才能使获得的利润最大，最大利润为2.6千元. 【分析】根据题意列出约束条件，作出可行域即可得解. 【详解】设公司每天生产甲种衣柜个，乙种衣柜个，获得的利润为千元， 则目标函数， 作可行域，如图所示： 由,解得, 即交点． 作等值线，并平移等值线，当直线经过可行域中的点时，目标函数取到最大值． 所以，当时，最大盈利为(千元)． 因此，每天生产甲种衣柜4个，乙种衣柜1个，才能使获得的利润最大，最大利润为2.6千元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $