4.3.2 单位圆与三角函数课件-2025-2026学年高一上学期高教版中职数学基础模块上册

4.3.2 单位圆与三角函数 基础模块 高教版（第三版） 学习目标 理解单位圆的概念，明确单位圆的定义和几何特征。 掌握利用单位圆定义三角函数的方法，包括正弦函数、余弦函数和正切函数，并能准确表述三角函数在单位圆中的定义式。 熟练运用单位圆求解任意角的三角函数值，尤其是特殊角的三角函数值，并能将其推广到不同象限角的三角函数值计算。 能通过单位圆直观地分析三角函数值的变化规律。 重难点 单位圆的概念、利用单位圆定义三角函数. 重 三角函数在单位圆上的几何意义的理解. 难 知识回顾 任意角的三角函数 对任意角α，有如下定义 ： 称为角的α的正弦，记作sin α，即sinα= ， 称为角的α的余弦，记作cosα，即cosα=， 称为角的α的正切，记作tanα， 即tanα= (x≠0)． 知识回顾 30°，45°，60°的三角函数值 的角度数 30° 45° 60° 1 知识回顾 30°，45°，60°的三角函数值 的角度数 30° 45° 60° 1 课程导入 类比相关概念，你知道什么是单位圆吗？ 初中学过，数轴上的每个点对应一个实数，相邻整数之间的距离称为1单位长度. 0 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 单位长度 原点 正方向(规定向右) 新知探究 单位圆 单位圆是一个半径为1的圆，其圆心位于坐标系的原点. r= 单位圆广泛应用于三角函数, 对正弦函数、余弦函数、正切函数的定义以及三角函数图像的绘制都有极其重要的作用． 问题探究 角α的终边与单位圆的交点坐标 设角α的终边与单位圆的交点为 r= 根据任意角的三角函数的定义，有 因为单位圆的半径不变，点P的坐标只与角的大小有关. 概念理解 角α的终边与单位圆的交点坐标为 30°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为 , 即 ; 60°角的终边与单位圆的交点的坐标可以表示为 , 即 ; 130°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为 ． (cos30°, sin30°) (cos60°, sin60°) (cos130°, sin130°) 概念完善 利用单位圆定义任意角的三角函数 设是一个任意角，，它的终边与单位圆相交于点 （1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即 . （2）把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即 . 旧知应用 回顾各象限中点坐标的正负 x y O 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 分组探究 问题 根据点P的横坐标x和纵坐标 y 的符号, 可以确定当角α的终边在不同的象限时sinα、cosα与tanα的符号吗？ 一般地，当α为任意角时，α的终边上的任意一点P(x,y), 点P与原点O的距离OP=r.因为r>0,由 可知： 分组探究 问题 根据点P的横坐标x和纵坐标 y 的符号, 可以确定当角α的终边在不同的象限时sinα、cosα与tanα的符号吗？请填写表格 α所在的象限 终边上点P的坐标 x y 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 填写表格 α所在的象限 终边上点P的坐标 x y 第一象限 + + 第二象限 - + 第三象限 - - 第四象限 + - - - + + + - - + - 同号为正，异号为负. + - + 各象限角的三角函数值的符号特征 α所在的象限 终边上点P的坐标 x y 第一象限 + + + + + 第二象限 - + + - - 第三象限 - - - - + 第四象限 + - - + - 口诀 “一全正，二正弦，三正切，四余弦” 即在第一象限各三角函数值均为正，第二象限只有正弦值为正，第三象限只有正切值为正，第四象限只有余弦值为正. 各象限角的三角函数值的符号特征 图形记忆 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + － - - - + + + - + - + 例题解析 例1 求90°角的正弦、余弦和正切． 解 90°角的终边与单位圆的交点坐标为(0，1)， 所以 sin90°=1，cos90°=0，tan90°=不存在． 【选自教材例3】 0°、90°、180°、270°和360°的正弦、余弦和正切值 与单位圆的交点坐标 0° 90° 180° 270° 360° 0 2 sin𝛼 cos𝛼 tan𝛼 不存在 不存在 (1，0) (0，1) (-1，0) (0，-1) (1，0) 例题解析 例2 解 做∠AOP= 和单位圆O，如图所示，设点P(x，y)是角的终边与单位圆的交点，其坐标为(cos ， sin ) ． 在Rt△POM中，∠POM= ， ∠OPM= ，|OP|=1 ． 【选自教材例4】 例题解析 例3 判断下列各三角函数值的符号． （1）sin(-325°)；（2）cos ；（3）tan 4252° ；（4） sin 解 【选自教材例5】 例题解析 例3 判断下列各三角函数值的符号． （1）sin(-325°)；（2）cos ；（3）tan 4252° ；（4） sin 解 【选自教材例5】 归纳 判断三角函数值的符号的步骤： 01 确定角所在的象限. 02 结合”一全正，二正弦，三正切，四余弦“口诀判断符号. 03 非边界情况，无需额外调整. 例题解析 例4 已知cos＞0，且tan ＜0，试确定角是第几象限角． 解 又因为tan＜0，所以角可能是第二或第四象限角． 因为cos ＞0， 所以角 可能是第一或第四象限角，也可能终边在 x 轴的正半轴上． 故满足cos＞0且tan＜0的角是第四象限角． 【选自教材例6】 例题解析 例5 解 小组合作 确定下列各三角函数值的符号. （1） （2） （3） 随堂练习 1. 解析 【选自教材练习第1题】 随堂练习 解析 【选自教材练习第2题】 随堂练习 3.求下列各角的正弦、余弦和正切． 解析 【选自教材练习第3题】 随堂练习 已知sinθ＜0且tanθ＜0，试确定角θ是第几象限角． 解析 因为，所以 的终边在第三或第四象限或 y轴的负半轴上； 又因为，所以 的终边在第二或四象限. 因此， 为第四象限的角. 【选自教材练习第4题】 随堂练习 根据 sinα>0, 且 cosα<0, 确定 α是第几象限角. 解析 因为，所以 的终边在第一或二象限或 y轴的正半轴上； 又因为，所以 的终边在第二或三象限或 x轴的负半轴上. 因此， 为第二象限的角. 课后小结 各象限角的三角函数值的符号特征 α所在的象限 终边上点P的坐标 x y 第一象限 + + + + + 第二象限 - + + - - 第三象限 - - - - + 第四象限 + - - + - “一全正，二正弦，三正切，四余弦” 课后小结 0°、90°、180°、270°和360°的正弦、余弦和正切值 0° 90° 180° 270° 360° 0 2 sin𝛼 cos𝛼 tan𝛼 不存在 不存在 课后作业 1.书面作业：完成《学习指导与练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾; 3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. $