1.4.2充要条件教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“充要条件”核心知识点，通过课前回顾上节课充分条件、必要条件及判定定理、性质定理，以问答形式检测旧知，搭建知识支架，自然衔接新知学习。 以生活实例和问题串引导自主学习，结合小组互助与定义法、命题法、集合法等多方法判断，如例2证明直线与圆相切的充要条件，培养数学思维的推理能力和数学眼光的几何直观，助力学生掌握逻辑判断，提升教师教学效率。

课题：1.4.2 充要条件 1、 教材分析 本节课是人教A版2019必修第一册第一章“集合与常用逻辑用语”中的1.4.2节“充分条件与必要条件”。内容包括充分条件、必要条件、充要条件的定义、判断方法及其在数学命题中的应用。 2、 学情分析 学生在初中阶段已经接触过命题，会判断命题的真假，上一节学习了充分条件与必要条件的初步概念，对于逻辑用语有了一定的了解，所以学生学习本节内容还是比较感兴趣的。但是，对于充分条件、必要条件和充要条件的定义及其判断方法，学生可能会感到抽象和难以理解。因此，教师可以通过具体的实例和图形，帮助学生更好地理解和掌握这些概念。 3、 本节目标 1.理解充要条件条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系。 2.体会充要条件在表述数学内容和论证数学结论中的作用。 四、教学重难点突破 （1） 重难点 重点：理解充分条件、必要条件和充要条件的定义，掌握判断方法。 难点：能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明。 （二）重难点突破 本节内容是选择题的高频考点， 主要考查命题的条件，本节课通过生活中具体问题的形式引导学生，师生共同归纳“抓推出关系”来突破难点；通过例题、变式、课堂检测三个环节来突出重点。 五、课前准备 教师：教学设计、导学案、课件、多媒体设备。 学生：课前预习并完成学案的“知识梳理”部分。 六、教学过程 （1） 课前回顾 1. 2. (1)数学中的每一条　判定　定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． (2)数学中的每一条　性质　定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 【说明】把预设好的问题投影到白板上，涉及的问题简单，教师可以请学生起来回答，如有问题，可以学生再进行补充。= > < 【设计意图】通过问答的方式复习回顾上节课所学内容的重点，旨在检测学生上节课目标达成情况。如有问题，还需要针对性讲解或巩固训练。= < > （2） 揭示目标 1.理解充要条件条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系。 2.体会充要条件在表述数学内容和论证数学结论中的作用。 【说明】教师准确下达目标指令。 【设计意图】目标明确，以确保学生在学习过程中方向不偏、思路清晰。 （3） 自学指导 阅读教科书第20——21页内容（例题不读），完成以下问题： 问题1：判断“思考”中所举出的命题及其逆命题的真假. 问题2：在“思考”所举出的命题中，哪些命题中的 p与q互为充要条件？如何判断p是q的充要条件？ 【说明】理解p是q的充要条件就是“若p，则q”和“若q，则p”都为真命题，而这也是判断充要条件的方法。 问题3：若，则p是q的充要条件，p唯一吗？请举例说明。 问题4：我们已经知道判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系，那么，充要条件和什么有关系呢？结合“四边形是平行四边形”说一说。 【说明】教师以问题串的形式引导学生进行自主学习，了解本节课的学习内容。 【设计意图】通过回答以上问题，让学生迅速抓住本节课的重点内容，理清充分条件、必要条件、充要条件。 （四）小组互助 例1：下列各题中，哪些p是q的充要条件？ （1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； （3）p：，q：，； （4）p：是一元二次方程的一个根，q：（）. 解：（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（为什么），所以，所以p不是q的充要条件. （2）因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即，所以p是q的充要条件. （3）因为时，，不一定成立（为什么），所以，所以p不是q的充要条件. （4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即，所以p是q的充要条件. 【说明】本题主要考察对定义的理解，为简单题。 【设计意图】教师带着学生进行解答，总结归纳方法，并规范解题过程。 变式训练1：下列各题中，哪些p是q的充要条件？ （1）p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； （2）内两条弦相等，内两条弦所对的圆周角相等； （3）为空集，与B之一为空集. 解：在（1）中，三角形中等边对等角，等角对等边，所以，所以p是q的充要条件； 在（2）中，内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补， 因此，，所以p不是q的充要条件； 在（3）中，取，，显然，，但与均不为空集， 因此，，所以p不是q的充要条件. 【说明】本题考查充要条件的判断，属于简单题.。 【设计意图】学生自主完成，并请学生起来解答，加强对定义的训练，需要时老师进行补充。 例2：已知：的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：是直线l与相切的充要条件. 分析：设p：，q：直线l与相切.要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性（）和必要性（）即可. 证明：设p：，q：直线l与相切. （1）充分性（）：如图1.4-2，作于点P，则.若，则点P在上.在直线l上任取一点Q（异于点P），连接.在中，.所以，除点P外直线l上的点都在的外部，即直线l与仅有一个公共点P.所以直线l与相切. （2）必要性（）：若直线l与相切，不妨设切点为P，则.因此，. 由（1）（2）可得，是直线l与相切的充要条件. 【说明】在推理之前，明确证明思路，分清条件和结论很重要；例2这个题目的推理过程略有难度，需要教师的引导和书写规范的证明过程。 【设计意图】先独立思考2分钟，然后小组讨论4分钟，接着小组分享讨论成果，教师巡视并关注各组讨论情况。抽取展讲小组代表，并对展讲做点评。如有学生提出问题或是质疑时，可以由其他同学解答，或是教师答疑。 变式训练2：证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件是. 证明：（1）必要性. 在等腰梯形中，，， 又∵，∴，∴ . （2）充分性. 如图，过点作，交的延长线于点E. ∵，，∴四边形是平行四边形.∴ . ∵，∴，∴. 又∵，∴，∴ . 在和中， ∴.∴.∴梯形为等腰梯形. 由（1）（2）可得，梯形为等腰梯形的充要条件是. 【说明】抽1名学生板书解题过程，其余同学在下面独立思考作答，教师对答案，若有需要，纠正答题过程。 【设计意图】通过变式训练加强对充要条件证明的掌握。 例3：已知A={满足条件p},B={满足条件q}, (1)如果,那么p是q的什么条件? (2)如果,那么p是q的什么条件? (3)如果,那么p是q的什么条件? 解：(1)如果,则满足条件p也满足条件q.故p是q的充分条件. (2)如果,则满足条件q也满足条件p.故p是q的必要条件. (3)如果,则满足条件p满足条件q,且满足条件q也满足条件p.故p是q的充要条件. 【说明】本题主要考查了集合的关系与充分必要条件的关系,属于基础题型. 【设计意图】从集合的角度去理解充分条件、必要条件和充要条件，进而总结出小范围能推出大范围。 （五）小组汇报 小组长或成员汇报存在的问题。 【说明】：若小组存在问题，小组长举手示意并汇报存在的问题，教师简要记录。其它组帮助解答，若学生都无法很好突破，不要再叫学生起来回答，教师把问题收回，下一环节教师重点点拨。 【设计意图】将课堂还给学生，找出学生存在的问题，并帮助学生总结归纳。 （六）教师点拨 1.指明数学定义和充要条件的关系——数学定义是从充分性和必要性两个方向刻画数学对象的，不同的充要条件从不同的角度刻画了一个数学对象。 2.充分条件、必要条件、充要条件的判断方法： （1）定义法： ①若p⇒q，但q p，则p是q的充分不必要条件； ②若q⇒p，但p q，则p是q的必要不充分条件； ③若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件； ④若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件． （2）命题法： 原命题“若，则” 逆命题“若，则” 与的关系 真 假 是的充分不必要条件 假 真 是的必要不充分条件 真 真 是的充要条件 假 假 是的既不充分也不必要条件 （3）集合法： 记法 条件，对应的集合分别为， 关系 且 结论 是的充分不必要条件 是的必要不充分条件 是的充要条件 是的既不充分也不必要条件 3.有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件结论”是证明命题的充分性，由“结论条件”是证明命题的必要性。证明要分两个环节：一是证明充分性；二是证明必要性。 (七)当堂检测 1.已知命题“若p,则q”,假设其逆命题为真命题,则p是q的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:原命题的逆命题为“若q,则p”,是真命题,即q ⇒p,故p是q的必要条件. 答案:B 2.函数y=x2+2mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是(　　) A.m=-2 B.m=2 C.m=-1 D.m=1 解析:由y=x2+2mx+1,得其图象的对称轴为直线x=-m, 由题意得-m=1,故m=-1. 答案:C 3.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:∵A={1,a},B={1,2,3},A⊆B, ∴a∈B,且a≠1, ∴a=2或a=3, ∴“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件. 答案:A 4.已知p:-4<x-a<4,q:2<x<3,且q是p的充分不必要条件,求a的取值范围. 解:设q,p对应的集合分别为A,B, 则A={x|2<x<3},B={x|a-4<x<a+4}. 因为q是p的充分不必要条件,则有A⫋B, 即所以-1≤a≤6. 经检验,a=-1或a=6满足A⫋B, 即a的取值范围为{a|-1≤a≤6}. 【说明】：给学生5分钟在课堂上自主完成（seewo多媒体倒计时），时间到后马上投出答案，统计各题学生做的情况。统计结束后，若有学生有问题（不超过一半的情况下），以小组为单位来解决问题，然后再统计各组解决的情况，视各组的完成情况决定是否需要教师进行进一步的点拨。 【设计意图】通过限时检测，检验本节目标的达成情况，及时了解学生仍需巩固的知识点并及时解决。 （八）课后反思： 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法有哪些？ 【说明】学生代表回顾本节课复习了哪些知识，说一说这节课的收获和启发，或是还有什么疑问。 【设计意图】由B或者C层次的学生来小结本节课学到的重点知识，还有哪些疑问，既是检验，也是小结。 学科网（北京）股份有限公司 $