精品解析：云南省曲靖市沾益区曲靖一中沾益清源高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

曲靖一中沾益清源高级中学高二年级12月月考试卷 数学 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 在等比数列中，，则公比（ ） A. 6 B. 3 C. 或6 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列性质知，结合题意可得，再解方程即可． 【详解】数列为等比数列，且， ，又， 所以，即， 解得或． 故选：C． 2. 一物体的运动方程是，则在 时的瞬时速度是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】表示，计算，利用可计算出 时的瞬时速度. 【详解】∵， ∴， ∴在 时的瞬时速度为. 故选：B. 3. 据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（ ） A. 38盏 B. 32盏 C. 26盏 D. 18盏 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式与通项公式解决实际问题. 【详解】由题知：塔的每层灯数构成等差数列，则 首项为 ，公差 ，项数 ，， 根据等差数列前 项和公式： ， ， 计算化简：即， 所以根据等差数列通项公式： ，代入 、、， . 故选：C. 4. 若抛物线上有一点，其横坐标为2，则该点到焦点的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可求得. 【详解】因为抛物线的方程为，所以，所以， 所以点到焦点的距离与点到其准线的距离相等， 即， 故选：B． 5. 设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列； ②是等比数列； ③是等比数列； ④是等比数列. 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列的定义判断即可. 【详解】设等比数列的公比为，则， ∵，∴是等比数列，①正确； ∵，∴是等比数列，②正确； ∵，∴是等比数列，③正确； ∵，∴是等比数列，④正确. 故选：D. 6. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数单调性以及曲线在某一点导数的几何意义即可判断. 【详解】由题可知：函数为单调递增且为上凸函数， 所以， 即. 故选：B. 7. 设Sn为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式先求出与的关系式，构造方程组消去，得，构造常数列求得数列的通项，可判断A,B,C项；再利用裂项相消法计算即可判断D项. 【详解】因是公差为的等差数列，则， 则，，两式相减，得， 即，可得，因，可得， 故得为常数列，从而，即得,故A错误； 对于C，由上文求得的通项公式可知，，故C正确； 对于B,由上分析，即，故B错误； 对于D，因，则， 则，故D错误. 故选：C. 8. 如图，双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于A，B两点，且，则此双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的性质结合勾股定理求出关系后计算离心率. 【详解】设，则，， 易得，故， 故在中，，故． 故选：D 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列选项中的式子求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】分别利用求导公式和运算法则逐一计算四个选项，即可得正确选项． 【详解】选项A∶，故选项A错误； 选项B∶，故选项B正确； 选项C∶，故选项C正确； 选项D∶，故选项D正确． 故选：BCD 10. 已知圆，则下列命题正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 过点引圆的两条切线，切点记为，则四边形的面积为 C. 若经过点的直线与圆相交，且弦长为4，则直线方程为 D. 圆上恰有三个点到直线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，将圆的一般方程化为标准方程即可判断；对于B，由题意，可得，，求出，，进而求解判断即可；对于C，当直线的斜率不存在时直线也满足题意，进而判断即可；对于D，先求出圆心到直线的距离为，再结合圆的半径即可判断. 【详解】对于A，由圆，即， 则圆心为，半径为，故A正确； 对于B，由题意，，且， 而，， 则， 则四边形的面积为，故B正确； 对于C，当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时直线与圆相交于点，弦长为4，满足题意，故C错误； 对于D，圆心到直线的距离为， 由于，则圆上恰有三个点到直线的距离为，故D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 11. 经过坐标原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】首先求直线方程，再代入弦长公式，即可求解. 【详解】过原点且倾斜角为的直线斜率为，故直线方程：. 又圆心坐标，半径为，圆心到直线距离， 所以根据圆的弦长计算公式可得，弦长为. 故答案为：2 12. 已知函数，则的单调增区间为___________ 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的定义域，利用导数求出函数的单调增区间. 【详解】由，得. 所以函数的定义域为. . 因为，所以不等式恒成立. 因为，所以恒成立，所以是增函数. 所以的单调增区间是. 13. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数.设三角形数构成数列，则数列的递推公式为___________，；第个三角形数___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用三角形数1，3，6，10…得到 ， ，，以此类推得到，即数列的递推公式为；再利用累加法求出. 【详解】已知三角形数1，3，6，10…，则 ，，，… 即 ， ，，以此类推得到，即数列的递推公式为； 由可得，利用累加法得到 当时，， 即，当时，也满足， 第个三角形数. 故答案为：；. 四、解答题（写出必要的文字说明和解答过程，共77分） 14. 如图，四棱锥中，四边形ABCD为梯形，，，，，，M，N分别是PD，PB的中点． （1）求证：直线平面ABCD； （2）求平面MCN与平面ABCD夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）由M，N分别是PD，PB的中点可得，进而可证直线平面； （2）以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，求平面与平面得法向量，进而求出，则平面与平面夹角的余弦值可得. 【小问1详解】 连接BD，M，N分别是PD，PB的中点． ， 又平面，平面 直线平面 【小问2详解】 ，，， ,， ,， 两两之间互相垂直， 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系 ， ,,,, 又M，N分别是PD，PB的中点， ，， ,，， 设平面的法向量为， 由可得， 解得，令可得法向量， ,，平面， 平面， 为平面得法向量， ， 令平面与平面夹角为且为锐角， ， 平面与平面夹角的余弦值为. 15. （1）求曲线在处的切线； （2）求过点与曲线相切的直线方程. 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）设出切点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线所过的点求出切点，即可得解. 【详解】（1）， ， 切线方程为， 即； （2）设切点为， 则， 切线方程为， 切线过点， ， ， ， 或， 切线方程为或． 16. 已知数列的前n项和为. （1）求的值； （2）求的通项公式； （3）设，是数列的前n项和，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，分别令求解； （2）当时，由求解； （3）利用裂项相消法求解. 【小问1详解】 因为数列的前n项和为， 所以； 【小问2详解】 当时，， 又适合上式，所以； 【小问3详解】 由（2）知：， 所以， . 17. 已知数列满足，，，若． （1）求证：是等差数列； （2）求的前项和的最小值； （3）求的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据递推关系和等差数列的定义，推导出即可得解； （2）根据等差数列求和公式可得，再根据的符号分析的最值； （3）结合（2）的及的符号，按照和分情况讨论求出即可. 【小问1详解】 因为，所以，即， 所以，又， 所以是以为首项，2为公差的等差数列. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 令，解得， 可知当时，；当时，， 所以的最小值为. 【小问3详解】 因为，， 当时，；当时，， 所以当时，； 当时， . 综上，. 18. 已知点T分别与两点，连线的斜率的乘积为， （1）求点T的轨迹的方程； （2）已知直线与交于A，B两点，，求k的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，代入斜率公式求解即可； （2）设出直线l的方程，将直线方程与轨迹方程联立，利用韦达定理求出线段AB的中点坐标，将，转化成直线PD与直线AB垂直，代入斜率公式求解即可． 【小问1详解】 设， 因为，，所以，， 由，得，整理得， 则点T的轨迹的方程为. 【小问2详解】 设直线l的方程为，，， 联立，消去y并整理得， 此时， 由韦达定理得， 所以， 此时AB中点， 因为，所以直线PD与直线AB垂直， 所以，即， 解得， 则 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曲靖一中沾益清源高级中学高二年级12月月考试卷 数学 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 在等比数列中，，则公比（ ） A. 6 B. 3 C. 或6 D. 或3 2. 一物体的运动方程是，则在 时的瞬时速度是（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（ ） A. 38盏 B. 32盏 C. 26盏 D. 18盏 4. 若抛物线上有一点，其横坐标为2，则该点到焦点的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列； ②是等比数列； ③是等比数列； ④是等比数列. 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 7. 设Sn为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于A，B两点，且，则此双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列选项中的式子求导正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，则下列命题正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 过点引圆的两条切线，切点记为，则四边形的面积为 C. 若经过点的直线与圆相交，且弦长为4，则直线方程为 D. 圆上恰有三个点到直线的距离为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 11. 经过坐标原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为__________. 12. 已知函数，则的单调增区间为___________ 13. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数.设三角形数构成数列，则数列的递推公式为___________，；第个三角形数___________. 四、解答题（写出必要的文字说明和解答过程，共77分） 14. 如图，四棱锥中，四边形ABCD为梯形，，，，，，M，N分别是PD，PB的中点． （1）求证：直线平面ABCD； （2）求平面MCN与平面ABCD夹角的余弦值． 15. （1）求曲线在处的切线； （2）求过点与曲线相切的直线方程. 16. 已知数列的前n项和为. （1）求的值； （2）求的通项公式； （3）设，是数列的前n项和，求. 17. 已知数列满足，，，若． （1）求证：是等差数列； （2）求的前项和的最小值； （3）求的前项和． 18. 已知点T分别与两点，连线的斜率的乘积为， （1）求点T的轨迹的方程； （2）已知直线与交于A，B两点，，求k的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $