5.4 抛体运动的规律 讲义-2025-2026学年高一下学期物理人教版（2019）必修第二册

本讲义聚焦抛体运动规律这一核心知识点，系统梳理平抛运动的定义、性质、分解方法及速度位移规律，深入推导两个重要推论，并拓展至与斜面、曲面结合的应用问题，以及类平抛运动和一般抛体运动的分析，构建从基础概念到综合应用的层次化学习支架。 通过模型建构（平抛运动分解为水平匀速与竖直自由落体）和科学推理（推导速度位移夹角关系）培养科学思维，结合跳雪、篮球投篮等情境例题及变式训练强化物理观念应用。课中助力教师分层教学，课后学生可依托考向分类练习查漏补缺，提升问题解决能力。

5.4 抛体运动的规律 1.掌握平抛运动的定义和性质，清楚知道哪些运动属于平抛运动。 2.掌握平抛运动的规律及公式，会做运算。 3.熟练运用平抛运动的推论。 考点一　平抛运动的定义和性质 1．定义：以一定的速度将物体抛出，物体只受重力作用的运动． 2．平抛运动：初速度沿水平方向的抛体运动． 3．平抛运动的特点： （1）初速度沿水平方向．（2）只受重力作用． 4．平抛运动的性质，加速度为g的匀变速曲线运动． 考点二　平抛运动的研究方法及规律 1．研究方法：采用运动分解的方法，将平抛运动分解为竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动． 2．平抛运动的时间：由y＝gt2得t＝ ，可知平抛运动时间只与下落高度有关，与初速度无关． 3．平抛运动的速度： （1）水平方向：vx＝v0 竖直方向：vy＝gt （2）合速度 （3）速度变化：任意两个相等的时间间隔内速度的变化相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示． 4．平抛运动的位移： （1）水平方向：x＝v0t. 竖直方向：y＝gt2. （2）合位移 5．平抛运动的轨迹：由x＝v0t，y＝gt2得y＝x2，为抛物线方程，其运动轨迹为抛物线． 考点三　平抛运动的两个推论 （1）平抛运动某一时刻速度与水平方向夹角为θ，位移与水平方向夹角为α，则tan θ＝2tan α. 证明：因为tan θ＝＝，tan α＝＝，所以tan θ＝2tan α. （2）做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点． 证明：如图所示，P点速度的反向延长线交OB于A点．则OB＝v0t，AB＝＝gt2·＝v0t. 可见AB＝OB. 考点四 平抛运动与斜面相结合 在解答平抛运动与斜面的结合问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出位移或速度与斜面倾角的关系，从而使问题得到顺利解决．常见的模型如下： 方法 内容 斜面 总结 分解速度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt 合速度：v＝ 分解速度，构建速度三角形 分解位移 水平：x＝v0t 竖直：y＝gt2 合位移：s＝ 分解位移，构建位移三角形 考点五 一般的抛体运动 1．定义：初速度沿斜向上或斜向下方向的抛体运动． 2．性质：斜抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛或竖直下抛运动的合运动． 3．斜上抛运动在两个分方向的运动规律： 水平方向：vx＝v0cos_θ，x＝v0tcos_θ 竖直方向：vy＝v0sin_θ－gt，y＝v0tsin θ－gt2. 4．可利用逆向思维方法，把斜上抛运动到最高点问题转换为平抛运动问题． 考向1 平抛运动的定义性质与规律 【典例】（2025秋•思明区校级月考）质量为2kg的质点在直角坐标系xOy内做曲线运动，在x轴方向的加速度—时间图像和y轴方向的速度—时间图像分别如图甲、乙所示，已知质点在x轴方向的初速度为零，则下列说法正确的是（　　） A．质点的运动可能是平抛运动 B．质点所受的合力大小为6N C．2s末质点的速度大小为5m/s D．0﹣4s内质点的位移大小为16m 【解答】解：A.质点在x轴方向做加速度增加大变加速运动，则质点的运动不可能的平抛运动，故A错误； B.质点的加速度是变化的，在t＝2s时的加速度为3m/s2，则此时所受的合力大小为F＝ma＝2×3N＝6N，其他时刻合外力不等于6N，故B错误； C.2s末质点在x轴方向的速度为，y方向的速度为vy＝4m/s，可知此时质点的速度大小为，故C正确； D.0～4内质点在y方向的位移大小为y＝vyt＝4×4m＝16m，则0～4s内质点的位移大小大于16m，故D错误。 故选：C。 【变式1】（2025•淇滨区一模）关于平抛运动，下面的几种说法中正确的是（　　） A．平抛运动是一种不受任何外力作用的运动 B．平抛运动是曲线运动，它的速度大小和方向在不断改变 C．平抛运动可以分解为水平方向的匀变速直线运动和竖直方向的自由落体运动 D．平抛运动的物体质量越小，落点就越远，质量越大，落点就越近 【解答】解：A、平抛运动仅受重力，做曲线运动，故A错误； B、平抛运动在水平方向上的分速度不变，竖直分速度一直增大，根据平行四边形定则知，平抛运动的速度大小一直增大，方向在不断改变，故B正确； C、平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，故C错误； D、根据x＝v0t＝v0得，平抛运动的物体水平位移与质量无关，故D错误。 故选：B。 【变式2】（2025•南通开学）如图所示，小球位于竖直墙MN右侧A点，球的右侧有水平的平行光线。将小球水平向右抛出，球在墙MN上的影子做（　　） A．变加速运动 B．变减速运动 C．自由落体运动 D．匀速直线运动 【解答】解：小球做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动。设小球平抛的初速度为v0，经过时间t，小球在竖直方向下落的距离。 根据相似三角形原理，影子在竖直墙上移动的距离y与小球竖直下落距离y的关系为（l为A点到墙的水平距离，x＝v0为小球水平移动的距离），则，因为是常量，所以影子的运动是初速度为零，加速度为的匀加速直线运动，也就是自由落体运动。自由落体运动是初速度为零，加速度为g的匀加速直线运动，这里本质是匀加速，符合自由落体的运动性质。故ABD错误，C正确。 故选：C。 【变式3】（2025春•同安区校级期中）如图所示为直升机的俯视图，该直升机的右侧机身装有垂直于机身的水平炮管。直升机保持固定高度做匀速直线飞行，每隔相同时间以相同速度从炮管发射一枚炮弹，不计空气阻力，则下列图像能正确反映炮弹在空中位置排列关系的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：直升机在空中沿水平直线向右做匀速直线运动，发射出的炮弹沿直升机飞行方向做匀速直线运动，沿垂直于直升机飞行方向做平抛运动，故炮弹在空中位置在与直升机飞行方向垂直的同一竖直平面上，由平抛运动轨迹可知炮弹在同一抛物线线上，故C正确，ABD错误。 故选：C。 考向2 平抛运动与斜面结合的问题 【典例】（2025秋•长沙月考）某运动员进行高台跳雪训练，如图所示，运动员从水平雪道末端以不同的初速度v0沿水平方向飞出，经时间t落到雪坡（可视为倾角为θ的斜面）上，此时其速度方向与雪坡的夹角为α，不计空气阻力。下列关于t与v0、tanα与v0关系的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：AB、根据题意分析可知，跳雪运动员做平抛运动，设水平位移为x，竖直位移为y，则 由几何关系得 解得 故A错误，B正确； CD、根据题意分析可知，跳雪运动员的速度偏向角满足 化简得 tan（α+θ）＝2tanθ 所以α不随v0的变化而变化，故CD错误。 故选：B。 【变式1】（2025秋•揭阳期中）如图所示，在一斜面顶端O点，将甲、乙两个小球分别以和v的速度沿同一方向水平抛出（不计空气阻力），两球都落在该斜面上，且斜面上Oa＝ab＝bc＝cd。若甲球落点在a点，则乙球落在斜面上的（　　） A．b点 B．b与c之间某一点 C．c点 D．d点 【解答】解：设斜面倾角为θ，小球落在斜面上时，满足，解得：，由于两小球初速度之比为1：2，可知两小球运动时间之比为1：2，由可得下落高度比为1：4，运动位移比为1：4，故甲球落在a点，乙球会落在d点，故D正确，ABC错误。 故选：D。 【变式2】（2025秋•桥西区校级期中）如图所示的斜面ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，从顶点C分别以速度v1、v2沿水平方向同时抛出两小球m1、m2，两小球分别落在A、B两点。从抛出开始计时，不计空气阻力，则（　　） A．m1球先到达底端 B．v1：v2＝3：1 C．到达底端时，m1球的竖直速度较大 D．减小v1，m1球落到斜面上时速度与竖直方向的夹角变大 【解答】解：A、根据题意分析可知，竖直方向，根据 可得 两小球下落高度相同，用时相等，则两球同时到达底端，A错误； D、根据题意分析可知，减小v1，小球落到斜面上时位移方向与竖直方向的夹角总有 即 小球落到斜面上时与竖直方向的夹角不变，D错误； C、根据题意分析可知，由vy＝gt可知两小球落至斜面底端时竖直速度相等，故C错误； D、根据题意分析可知，水平方向有， 解得v1：v2＝3：1，故B正确。 故选：B。 考向3 平抛运动与曲面的结合 【典例】（2025秋•菏泽期中）如图所示，半径为R的半圆弧ACB，O是圆心，D是OA的中点。自A点和D点同时水平抛出质量相等的甲、乙两个小球。两球同时落在圆弧BC上的某点（图中未画出），且其中一个小球落点处速度方向与圆弧垂直，则下列说法正确的是（　　） A．甲球在落点处速度方向与圆弧垂直 B．甲、乙两球在运动过程中动量变化量不同 C．甲、乙两球下落时间为 D．甲、乙两球初速度大小之比为3：2 【解答】解：A、设圆弧半径为R，则OA＝R，。两球落点P坐标为（x，y）（以O为原点，水平向右为x轴正向，竖直向下为y轴正向），因P在圆弧BC上，故x＞0。两球运动时间t相同，竖直位移h＝y。 设落点速度与水平方向夹角为α，位移夹角为θ。由平抛运动规律得。若速度方向与圆弧垂直，则速度反向延长线过O点，此时。联立得，解得x水平＝2x。对甲球：x甲＝R+x，若满足条件则R+x＝2x，解得x＝R，此时y＝0对应B点，时间t＝0不合理。对乙球：，满足条件时，解得符合要求，故A错误； B、两球质量相同且t相等，由动量定理Δp＝mgt知动量变化量相同，故B错误； C、由几何关系x2+y2＝R2，代入得。由解得，故C错误； D、两球水平位移分别为，x乙＝R，运动时间相同，初速度，故，故D正确。 故选：D。 【变式1】（2025秋•重庆期中）如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环BC和倾角为θ＝53°的斜面AC相接于C点，A、B两点与圆环BC的圆心O等高。现将甲、乙小球同时从A、B两点以一定大小的初速度沿水平方向抛出，两球恰好在C点相碰（不计空气阻力）。则下列说法正确的是（　　） A．若仅增大两球质量，则两球不再相碰 B．甲、乙小球初速度大小之比为3：4 C．若甲球速度大小变为原来的一半，则能落在斜面的中点D D．若甲球速度大小变为原来的两倍，则可能垂直击中圆环BC 【解答】解：A、平抛运动与球的质量无关，则若仅增大两球质量，则两球仍能相碰，故A错误； B、甲、乙两球做平抛运动， 竖直方向上做自由落体运动， 下落高度 所以下落时间 甲水平方向做匀速直线运动， ， 乙水平方向做匀速直线运动， x乙＝v2t＝R 联立解得， ， 故B正确； C、若v1大小变为原来的一半，在时间不变的情况下水平位移会变为原来的一半，但由于甲球会碰到斜面，竖直方向上做自由落体运动，下落高度减小，时间减少， 所以甲球的水平位移小于原来的一半，不会落在斜面的中点，故C错误； D、若甲球垂直击中圆环BC，设此时甲球抛出时的速度为v，则落点时速度的反向延长线过圆心O，如图所示 由几何关系有， 联立解得 所以v≠2v1，故D错误。 故选：B。 【变式2】（2024秋•江苏校级期末）如图所示，固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，同时从A点水平抛出质量相等的甲、乙两个小球，初速度分别为v1、v2分别落在C、D两点。并且C、D两点等高，OC、OD与竖直方向的夹角均为30°（sin30°＝0.5）。则（　　） A．v1：v2＝1：3 B．甲、乙两球下落到轨道上的速度变化量不相同 C．若一球以2v1的初速度从A点水平抛出，可打在O点的正下方 D．若调整乙的速度大小，乙可能沿半径方向垂直打在半圆形竖直轨道上 【解答】解：A、平抛运动在竖直方向上做自由落体运动， 根据可知， 甲、乙两球下落时间相等， 设圆形轨道的半径为R。 则A、C的水平位移为x1＝R﹣Rsin30° 代入数据解得x1＝0.5R， x2＝R+Rsin30° 代入数据解得x2＝1.5R 所以x2＝3x1 根据可知 v1：v2＝1：3 故A正确； B、甲、乙两球下落到轨道上的速度变化量 Δv＝gt 因为时间相同，所以速度变化量相同，故B错误； C、若一球以2v1的初速度从A点水平抛出，打在CD连线对应的O点正下方，但现在是圆弧，所以不可能打到O点正下方，故C错误； D、因为速度反向延长线过水平位移中点，所以调整乙的速度大小，乙也不可能沿半径方向垂直打在半圆形竖直轨道上，故D错误。 故选：A。 考向4 类平抛运动 【典例】（2025春•沙坪坝区校级期末）如图所示，固定在水平面上的光滑斜面长a＝5m，宽b＝4m，倾角θ＝30°，一可视为质点的小球从顶端B处水平向左射入，恰好从底端点A处射出，重力加速度g取10m/s2。则下列说法正确的是（　　） A．小球运动的加速度为10m/s2 B．小球从B运动到A所用时间为2s C．小球从B点水平射入时的速度为 D．若小球从B点以4m/s的速度水平向左射入，则恰能从底端A点离开斜面 【解答】解：A、依据曲线条件，初速度与合力方向垂直，且合力大小恒定，则物体做匀变速曲线运动， 再根据牛顿第二定律得，物体的加速度为：g′gsinθ＝10m/s2＝5m/s2，故A错误； BC、根据ag′t2，有：tss 根据b＝v0t，有： v0m/s＝2m/s，故B错误，C正确； D．若小球从B点以4m/s的速度水平向左射入，因水平位移不变，则下落的时间会减小，则不能从底端A点离开斜面，故D错误； 故选：C。 【变式1】（2025春•广州期末）一倾角为37°足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立xOy直角坐标系，其中Ox轴沿平行于底边的水平方向，Oy轴沿斜面向上的方向，如图所示。从零时刻开始，一可视为质点的物块从O点以沿y轴正方向12m/s的速度被抛出，抛出的同时对物块施加沿x轴正方向大小为16N的水平恒力F，已知物块的质量为2kg，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，不计空气阻力。求： （1）前2s内物块的位移。 （2）物块再次回到x轴时的速度大小。 【解答】解：（1）对物块受力分析，如下图： 在x方向：，y方向加速度大小：， 可得x方向的分位移：，y方向的分位移：， 根据运动的合成分解，即可得前2s内物块的位移：，方向满足：，解得：x合＝20m，α＝37°； （2）根据物块再次回到x轴时，y方向运动的对称性，即可得运动时间满足：，y轴的分速度为：vy′＝﹣12m/s，解得：t2＝4s； 根据匀变速直线运动公式，即可得x轴方向的分速度大小：vx′＝axt2， 综合即可知物块回到x轴时的速度大小为：，解得：。 答：（1）位移大小为20m，方向与x轴正方向成37°； （2）物块回到x轴时，速度大小为。 【变式2】（2025秋•武清区校级月考）如图（a），农民利用传统的扬谷扇车分离谷粒和杂质。其简化原理如图（b），风车叶片匀速转动，产生水平向右的稳定气流，气流速度为v0，谷粒和杂质均在气流区域受到水平向右的风力。假设谷粒和杂质均从距离地面同一高度为h的出口静止释放，气流区域的高度为d，正常谷粒的质量范围为m1～m2，质量高于或低于此范围视为杂质，重力加速度大小为g，不计其它阻力。 （1）求谷粒从出口落到地面所用的时间； （2）若质量为m的谷粒在下落过程中经过气流区域时受到气流的作用力恒为F，求该谷粒落到地面上时距离出口处的水平距离； （3）若谷粒在气流区域受到水平向右的风力大小F＝kv（k为常量，v为谷粒或杂质与气流的水平相对速度大小），谷粒或杂质离开气流区域时速度的水平分量为v0，求地面能够收集到正常谷粒的水平距离范围。 【解答】解：（1）谷粒在竖直方向始终做自由落体运动，则有 解得 （2）谷粒进入气流区域后水平方向做匀加速运动，加速度为 在气流区域下落高度 在气流区域的运动时间为 则在气流区域的水平位移x1 进入无风区域的水平速度vx＝at1 在无风区域中运动的水平位移x2＝vx（t﹣t1） 该谷粒落到地面上时距离出口处的水平距离x＝x1+x2 联立解得 （3）设谷粒质量为m，谷粒在水平方向做变加速直线运动，规定向右的方向为正方向，在水平方向上根据动量定理有∑k（v0﹣vx）•Δt＝mv0 谷粒在气流区域的水平位移x1′＝∑vx•Δt 离开气流区域后水平方向做匀速运动，水平位移x2′＝v0（t﹣t1） 水平总位移x′＝x1′+x2′ 将将谷粒的质量范围m1～m2代入，解得水平距离范围为～. 答：（1）谷粒从出口落到地面所用的时间为； （2）若质量为m的谷粒在下落过程中经过气流区域时受到气流的作用力恒为F，该谷粒落到地面上时距离出口处的水平距离为； （3）地面能够收集到正常谷粒的水平距离范围为～。 考向5 一般的平抛运动 【典例】（2025秋•河南月考）学校的水火箭实验小组制作的水火箭两次从A点斜抛的运动轨迹如图所示，两次运动的轨迹分别为1和2，落点分别是B点和C点，忽略空气阻力，则（　　） A．轨迹2对应的水火箭的运动时间更长 B．轨迹1对应的水火箭的运动时间更长 C．轨迹2对应的水火箭的初速度更大 D．轨迹1对应的水火箭的初速度更大 【解答】解：AB、水火箭在空中做斜抛运动，到达最高点B过程有hgt2，则水火箭运动的总时间t总＝2。由于h1＞h2，所以t1＞t2，故A错误，B正确； CD、轨迹1对应的水火箭的竖直初速度更大，但水平初速度更小，合速度大小无法判断，故CD错误。 故选：B。 【变式1】（2025秋•寿光市校级月考）如图所示，小球从空中足够高的P点斜向上抛出，初速度与水平方向夹角为30°，小球的最小速度为v0，经过Q点（图中未画出）时速度大小为2v0。不计空气阻力，重力加速度大小为g，则小球由P到Q所用的时间为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：小球做斜抛运动，在最高点时竖直分速度为零，仅保留水平分速度，此时速度最小。 设初速度水平分量为v0，则竖直初速度为vy＝v0tan30°，解得：。 小球从P点到最高点的时间为，解得：。 最高点后小球做平抛运动，设运动至Q点时间为t2，此时竖直分速度，解得：。 则，解得：。 总时间t＝t1+t2，解得：，故D正确，ABC错误。 故选：D。 【变式2】（2024秋•黑龙江期末）一住宅阳台失火，消防员用靠在一起的两支水枪喷水灭火，如图所示，甲水柱射向水平阳台近处着火点A，乙水柱射向水平阳台远处着火点B，两水柱最高点在同一水平线上，不计空气阻力，甲、乙水柱喷出时的速度大小分别为v1、v2，甲、乙水柱在空中运动的时间分别为t1、t2。以下判断正确的是（　　） A．v1＞v2，t1＝t2 B．v1＜v2，t1＝t2 C．v1＞v2，t1＜t2 D．v1＞v2，t1＞t2 【解答】解：甲、乙水柱竖直方向上升的高度相同，从最高点到着火点的高度也相同，从最高点到失火处水做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，可知甲、乙水柱竖直方向的运动情况相同，所以甲、乙水柱在空中运动的时间相等，即有t1＝t2 水平方向根据x＝vxt 根据题图可知，甲水柱的水平位移小于乙水柱的水平位移，则vx甲＜vx乙 而竖直方向上，则有vy甲＝vy乙＝gt 根据 可知，甲水柱喷出时的速度小于乙水柱喷出时的速度，即有v1＜v2 故ACD错误，B正确； 故选：B。 一．选择题（共14小题） 1．（2024秋•舟山期末）如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，则下列说法正确的是（　　） A．青蛙跳到荷叶a上的时间小于跳到荷叶b上的时间 B．青蛙跳到荷叶c上和跳到荷叶d上的速度变化量相等 C．青蛙跳到荷叶a上的初速度最小 D．青蛙跳到荷叶d上的初速度最大 【解答】解：A．根据可知平抛运动时间由竖直高度决定，a、b高度相同，所以青蛙跳到荷叶a上的时间等于跳到荷叶b上的时间，故A错误； B．c、d高度相同，可知青蛙跳到荷叶c上的时间等于跳到荷叶d上的时间，根据Δv＝gt可知，青蛙跳到荷叶c上和跳到荷叶d上的速度变化量相等，故B正确； CD．根据初速度可知，水平位移x越小、下落高度h越大，则v0越小，所以青蛙跳到荷叶c上的初速度最小；x越大，下落h越小，则v0越大，所以青蛙跳到荷叶b上的初速度最大，故CD错误。 故选：B。 2．（2025秋•石家庄校级期中）如图所示，正方体abcd﹣efgh的棱长为5m，底面水平，将小球从a点向平面abcd内各个方向以不同速度抛出。不考虑小球间的相互作用和空气阻力，重力加速度取g＝10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．落在g点小球的初速度大小等于落在h点小球的初速度大小 B．落在g点的小球的竖直速度等于水平速度的 C．落在fh连线上的所有小球的速度方向与水平方向的夹角相等 D．落在fg中点的小球的初速度大小为 【解答】解：ABD.设棱长为L，下落时间为t，竖直方向可得，解得，水平方向，根据x＝v0t可得，。 落在g点小球的初速度大小为， 落在g点的小球的竖直速度为， 落在h点小球的初速度大小为， 落在fg中点的小球的初速度大小为，故AD错误，B正确； C.落到efgh平面上小球的速度方向与水平方向的夹角满足，可知落在fh连线上的所有小球的速度方向与水平方向的夹角不相等，故C错误； 故选：B。 3．（2025秋•金华月考）每年的YadnyaKasada节日里，印尼民众都会聚集在当地的火山口，向其中投掷物品祈求好运。如图，有一个截面可看成抛物线形状的小型火山谷MON，M、N为火山口处的两点，且M高于N，O为谷底（抛物线的顶点），O点切线水平。现有两人从M、N两点分别以初速度v1、v2水平抛出两不同物品，同时击中O点（不考虑碰撞），不计空气阻力，则两物品（　　） A．必须同时抛出 B．初速度v1与v2大小一定相等 C．击中O点时速度大小一定相等 D．在抛出过程中，相同时间内的速度变化量一定不同 【解答】解：D、平抛运动加速度恒为重力加速度g，则相同时间Δt内，速度变化量Δv＝g•Δt一定相同，故D错误； A、根据题意作图， 由h，结合hM＞hN，可得tM＞tN。要保证两物品同时到达O，M点的物品必须先抛出，故A错误。 B、根据h，x＝vt，解得v＝x 根据抛物线规律，则，代入数据解得1，即v1＝v2，故B正确； C、从抛出到谷底，根据动能定理 mghmv2，解得v2+2gh v1＝v2，hM＞hN，则击中O点时，从M抛出的物品速度更大，故C错误； 故选：B。 4．（2025秋•安徽月考）如图所示，将小球从空中P点斜向右上抛出，初速度大小为v0，方向与水平方向的夹角为θ，小球在运动过程中受到水平向左的恒定风力F作用，下列说法正确的是（　　） A．仅增大v0，球在空中运动时间变长 B．仅增大θ，球在空中运动时间不变 C．仅增大θ，球在空中速度变化量变小 D．仅增大F，球在空中速度的变化率不变 【解答】解：A、根据题意分析可知，仅增大v0，竖直向上的初始分速度变大，根据运动学公式可知，球在空中运动的时间变长，故A正确； B、根据题意分析可知，仅增大θ，竖直向上的初始分速度变大，根据运动学公式可知，球在空中运动的时间变长，故B错误； C、根据题意分析可知，由于加速度恒定，由Δv＝at可知，速度变化量变大，故C错误； D、根据题意分析可知，仅增大F，球在空中运动的合加速度增大，因此速度变化率变大，故D错误。 故选：A。 5．（2024秋•黑龙江期末）如图所示，从斜面上A点斜向上抛出一个可视为质点的小球，小球水平击中斜面上B点，现将另一相同小球从AB中点C点抛出，仍水平击中B点。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．两个小球的初速度大小之比为2：1 B．从C点抛出的小球初速度方向与水平方向夹角更大 C．两个小球离斜面的最大距离之比为2：1 D．调整两个小球抛出的时间，可以使两个小球在空中相遇 【解答】解：设斜面倾角为θ，原斜抛的抛出点A、C到B的竖直高度分别为2h和h，水平位移分别为2x和x（C是AB中点）。将小球水平击中B点的斜抛运动，逆向等效为从B点出发的平抛运动： 竖直方向：自由落体运动， 水平方向：匀速直线运动， 平抛的末速度，对应原斜抛的初速度 A．根据 解得 则两次小球时间之比为，由 vy＝gt 可知，两次竖直速度之比， 根据 可知水平速度之比为，所以两次击中B点速度之比为，根据 两次抛出时速度的大小之比为，故A错误； B.设平抛末速度与水平方向夹角为α，根据平抛运动推论可知，位移偏转角正切值是速度偏转角正切值的一半，则 可知两次抛出时速度方向相同，故B错误； C．沿斜面建系，设初速度方向与斜面的夹角为θ，则小球离斜面的最大距离为 可知，两小球离斜面的最大距离之比为2：1，故C正确； D．两小球的轨迹相切于B点，故不可能在空中相遇，故D错误。 故选：C。 6．（2025秋•庐阳区校级月考）起跳投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上，篮球以与水平面成53°的倾角落入篮筐，设投球点到篮筐距离为x，投篮时的初速度为v0，不计空气阻力。关于上述过程，下列说法错误的（　　） A．速度方向改变106° B．速度变化量方向竖直向下 C．每秒速度变化量均相等 D．x与v0成正比 【解答】解：A、根据题意，篮球速度方向改变角度为Δθ＝53°+53°＝106°，故A正确； BC、篮球在空中加速度为重力加速度g，由Δv＝gt可知速度变化量方向竖直向下，且每秒变化量相等，故BC正确； D、竖直方向由对称性得运动时间，水平位移，可见，故D错误。 本题选错误的，故选：D。 7．（2025秋•雁塔区校级月考）如图所示是排球场地的示意图。排球场ABCD为矩形，长边AD＝L，前场区的长度为，宽，网高为h。在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度低于某个临界值，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若在底线CD正上方沿垂直AB水平击球，临界高度为 B．若在前后场区的分界线的E点正上方水平击球，沿着EB方向击球，临界高度为 C．若在底线CD的D点正上方的临界高度沿场地对角线水平击球，击球的速度为 D．若在前后场区的分界线EF正上方的临界高度沿垂直AB水平击球，击球的速度为 【解答】解：A．临界高度可以理解为既触网，又出界。根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动，根据几何关系，可知打到触网点与打到AB线水平位移之比为1：2，故打到触网点与打到AB线时间之比为1：2；在竖直方向做自由落体运动，根据 可知下落高度之比为1：4，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为4：3，则临界高度为，故A错误； B．根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动，设球从E点打到触网点，触网点在水平方向上的投影点为M，水平位移为L3；球从E点打到B点，水平位移为LB，根据几何关系有 可得球从E点打到触网点与球从E点打到B点水平位移之比为L3：LB＝1：4 故球从E点打到触网点与球从E点打到B点时间之比为1：4；在竖直方向做自由落体运动，根据 可知下落高度之比为1：16，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为16：15，则临界高度为，故B正确； C．根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动，设球从D点打到触网点，触网点在水平方向上的投影点为N，水平位移为L4；球从D点打到B点，水平位移为L′B，根据几何关系有 可得球从D点打到触网点与球从D点打到B点水平位移之比为L4：L′B＝1：2 故球从D点打到触网点与球从D点打到B点时间之比为1：2；在竖直方向做自由落体运动，根据 可知下落高度之比为1：4，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为4：3，则临界高度为 设球从D点打到B点的水平速度为v0，在竖直方向上有 解得 根据几何关系，可得对应的水平位移为 在水平方向上，根据L′B＝v0t 解得，故C错误； D．根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动，设球从EF线上打到触网点，触网点在水平方向上的投影点为K，水平位移为；球从EF线打到AB线，水平位移为，则球从EF线上打到触网点与球从EF线打到AB线水平位移之比为 故球从EF线上打到触网点与球从EF线打到AB线时间之比为1：4；在竖直方向做自由落体运动，根据 可知下落高度之比为1：16，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为16：15，则临界高度为 设球从EF线打到AB线的水平速度为v′0，在竖直方向上有 在水平方向上有 解得，故D错误。 故选：B。 8．（2025秋•松原月考）月兔2号机器人在月球表面做了一项实验：在距月球表面2.7m高处以5m/s的速度将一小球水平抛出，当其落到月球表面后，测出水平位移为9m，则月球表面的重力加速度约为（　　） A．9.8m/s2 B．10m/s2 C．1.7m/s2 D．2.0m/s2 【解答】解：根据平抛运动的规律有 x＝v0t 代入数据解得 g＝1.7m/s2 故C正确，ABD错误。 故选C。 9．（2025秋•山西期中）某铅球运动员在投掷铅球，铅球由距离地面h＝1.4m高处的A点以与水平方向成α角抛出，经1s的时间刚好经过B点，已知B点距离地面的高度为H＝2.4m，A、B两点的水平间距为x＝8m，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（　　） A．α＝30° B．初速度大小为 C．铅球的最高点距离地面的高度为3.2m D．铅球的落地点到抛出点的水平间距为12m 【解答】解：AB、根据题意分析可知，铅球抛出后做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向的分运动为竖直上抛运动，设初速度大小为v0，则抛出瞬间铅球在水平方向的分速度为vx＝v0cosα 在水平方向上有x＝8m＝vxt 则有8＝v0cosα 竖直的分速度为vy＝v0sinα 根据匀变速直线运动的公式在竖直方向上有 则有v0sinα＝6 联立解得α＝37°，v0＝10m/s，故AB错误； C、根据题意分析可知，铅球抛出后上升的高度为 铅球达到的最大高度为H′＝h+h′＝（1.4+1.8）m＝3.2m，故C正确； D、根据题意分析可知，铅球上升的时间为 铅球由最高点到落地的过程，在竖直方向上有 解得t2＝0.8s 铅球从抛出到落地的水平位移为x＝vx（t1+t2）＝8×（0.6+0.8）m＝11.2m，故D错误。 故选：C。 10．（2025•9月份模拟）如图，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α＝60°，一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0＝5m/s平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为g＝10m/s2，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：小球运动到B点时，速度方向是沿该圆轨道的切线方向，小球速度如图所示 则此时小球在竖直方向的速度为，小球从A到B的时间为，所以AB之间的水平距离为x＝v0t，联立代入数据解得x，故A正确，BCD错误。 故选：A。 11．（2024秋•郴州期末）小郴同学是一名篮球爱好者。他从同一水平高度的A、B两处先后将篮球投出，都恰好垂直打在篮板的P点，如简化图所示。不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．两次抛出时的初速度vOA＝vOB B．两次抛出时初速度与水平方向的夹角θA＝θB C．两次篮球在空中运动的时间tA＝tB D．两次篮球打在篮板P点的速度vA＝vB 【解答】解：C、采用逆向思维方法，将斜抛运动视为反向平抛运动，由自由落体公式，解得，可得tA＝tB，故C正确； D、同理运用逆向思维，在水平方向位移关系为x＝vt，解得，因A点水平位移较小，故vA＜vB，故D错误； A、根据逆向思维分析，竖直方向速度满足，初速度表达式为，由于vA＜vB，故vOA＜vOB，故A错误； B、由速度分解关系得，因vA＜vB，故θA＞θB，故B错误。 故选：C。 12．（2025秋•浙江期中）普通集装箱的宽度设定为3米，高度设定为2.5米。在小猎正前方，集装箱呈堆叠状态，共三层，从下往上每层分别堆叠3个、2个和1个集装箱。小猎于距离最近集装箱水平距离1.5米处开展射箭操作，射出的箭与最上方一个集装箱的左右两点恰好均未发生触碰。在此情形下，小猎射出的箭在达到最高点时的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：以箭的最高点为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立坐标系。由对称性可知，射出点与落地点间距L＝3×3m+1.5×2m＝12m。 分析箭从最高点到落地点的运动，设最高点速度v，最高点到集装箱上表面高度y1，则落地点高度y2＝y1+7.5m。水平位移x1＝1.5m（集装箱右端点），x2＝6m（落地点）。运动时间分别为t1、t2，由平抛运动规律得x1＝vt1，；x2＝vt2，。 代入数据解得，故A正确，BCD错误。 故选：A。 13．（2025秋•贵州期中）如图所示，在倾角为37°、长为5m的固定斜面中点固定一竖直直杆，小球从斜面顶端以10m/s的初速度水平抛出，取重力加速度为10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，为了使小球能够越过直杆，则杆的高度不能超过（　　） A．0.9m B．1.1m C．1.3m D．1.5m 【解答】解：小球到达竖直直杆处时的水平位移x＝2m，小球水平方向做匀速直线运动x＝v0t 可得平抛运动的时间为0.2s，竖直方向自由落体运动 ，可得y＝0.2m，斜面高度h＝5sin37°m＝5×0.6m＝3m 根据几何关系可得杆的最大高度 ，ABD错误，C正确。 故选：C。 14．（2025秋•揭阳期中）如图所示，在一斜面顶端O点，将甲、乙两个小球分别以和v的速度沿同一方向水平抛出（不计空气阻力），两球都落在该斜面上，且斜面上Oa＝ab＝bc＝cd。若甲球落点在a点，则乙球落在斜面上的（　　） A．b点 B．b与c之间某一点 C．c点 D．d点 【解答】解：设斜面倾角为θ，小球落在斜面上时，满足，解得：，由于两小球初速度之比为1：2，可知两小球运动时间之比为1：2，由可得下落高度比为1：4，运动位移比为1：4，故甲球落在a点，乙球会落在d点，故D正确，ABC错误。 故选：D。 二．解答题（共6小题） 15．（2025•凉山州模拟）某同学在砖墙前的高处以速度v0＝15m/s水平抛出一个石子，恰好垂直打在一倾角为37°斜坡上的A点，石子在空中运动的部分轨迹照片如图所示。若每块砖的平均厚度为10cm，空气阻力不计，取g＝10m/s2，sin37°＝0.64，cos37°＝0.8，求： （1）石子在空中的运动时间； （2）抛出点到A点在竖直方向上有多少块砖。 【解答】解：（1）石子恰好垂直打在倾角为37°斜坡上的A点，将石子在A点的速度分解到水平方向和竖直方向， 如图所示 根据几何关系有 代入数据解得 石子在空中的运动时间为 t＝2s； （2）竖直方向做自由落体运动， 根据位移—时间关系式可得 代入数据解得 h＝20m 砖块的数量为 代入数据解得 n＝200块。 答：（1）石子在空中的运动时间为2s； （2）抛出点到A点在竖直方向上有多200块砖。 16．（2024秋•薛城区校级期末）小明在井边玩投掷游戏，将一弹性小球从h＝1.25m处沿井的直径方向水平抛出。前方x＝4m处有一直径d＝1m，深H＝4.8m的枯井。小球与井壁碰撞竖直方向的速度不变，水平方向上的速度大小不变，方向反向。取g＝10m/s2。 （1）如果小球落入井中，求抛出小球的初速度的范围。 （2）如果小明以v0＝9m/s初速度水平抛出小球，则小球在井底的落点距A点的距离为多少？ 【解答】解：（1）小球落地的时间 若球落到井口左边缘，则初速度 若球落到井口右边缘，则初速度 抛出小球的初速度的范围8m/s≤v0≤10m/s （2）小明以v0＝9m/s初速度水平抛出小球，则落到井底的时间 若没有井壁，则水平位移x＝v0t'，解得x＝9.9m 因，小球在井底的落点距A点的距离0.1m。 答：（1）如果小球落入井中，抛出小球的初速度的范围8m/s≤v0≤10m/s； （2）小球在井底的落点距A点的距离为0.1m。 17．（2025秋•安徽月考）在一次篮球运动训练中，篮球在空中划出完美的弧线，现在篮球运动所在的竖直平面内建立平面直角坐标系xOy，如图所示。篮球从A点投出，最后到达地面上的D点，B、C是其运动轨迹上的两点，B为篮球运动的最高点。A、B、C、D四点的坐标分别为（﹣L，0）、（0，L）、（L，0）、（2L，﹣y）。不计空气阻力，篮球可视为质点，重力加速度大小为g，求： （1）篮球从A运动到D的时间； （2）D点的纵坐标y的值； （3）篮球从A点投出时的初速度大小。 【解答】解：（1）由A运动到D的过程，水平方向为匀速直线运动，因xAB＝xBC＝xCD＝L，故篮球在AB、BC、CD段的运动时间相同。 设每段时间为T，有tAB＝tBC＝tCD＝T。 由B到C的竖直方向运动满足，解得：。 篮球从A到D的总时间为。 （2）B运动到D的过程，竖直方向为自由落体运动，因时间间隔相等，由B到D的竖直位移满足，解得：y＝3L。 （3）由A运动到B的过程，采用逆向思维法可得L＝vAxT，，合速度，联立解得：。 答：（1）篮球从A运动到D的时间为。 （2）D点的纵坐标y的值为3L。 （3）篮球从A点投出时的初速度大小为。 18．（2024秋•黑龙江期末）在小游戏中经常有飞机投弹击中逃跑汽车的情景，要求根据飞机和汽车的速度而选择合理的投弹高度或者水平距离，从而完成任务。现在简化为如图所示的模型，在距地面高H＝45m处，有一小球A以初速度v0＝10m/s水平抛出。与此同时，在A的正下方有一物块B也以相同的初速度v0同方向滑出，B与地面间的动摩擦因数μ＝0.4，A、B均可看成质点，取重力加速度g＝10m/s2，空气阻力不计。求： （1）A球从抛出到落地的时间； （2）A球从抛出到落地这段时间内的水平位移； （3）A球落地时，A、B之间的距离。 【解答】解：（1）A球抛出后做平抛运动，竖直方向有 解得A球从抛出到落地的时间为 t 代入数据解得 t＝3s （2）水平方向有 x＝v0t 解得A球从抛出到落地这段时间内的水平位移为 x＝30m （3）物块B做匀减速运动的加速度大小为 代入数据解得 a＝4m/s2 物块B减速到停下所用时间为 物块B做匀减速运动到停下通过的位移大小为 代入数据解得 x0＝12.5m 则A球落地时，A、B之间的距离为 Δx＝x﹣x0 代入数据解得Δx＝17.5m 答：（1）A球从抛出到落地的时间为3s； （2）A球从抛出到落地这段时间内的水平位移为30m； （3）A球落地时，A、B之间的距离为17.5m。 19．（2024秋•承德期末）无人机的应用日益广泛。某次无人机测试时，以v0＝4m/s的速度水平匀速飞行的无人机在到投递点水平距离x＝8m处释放物资（可视为质点，释放前后物资速度不变），物资恰好落在投递点。取重力加速度大小g＝10m/s2，不计空气阻力。求： （1）物资从释放到落地所用的时间t； （2）物资被释放时到投递点的高度h； （3）物资落到投递点前瞬间在竖直方向上的速度大小vy。 【解答】解：（1）物资在水平方向上做匀速直线运动，则有x＝v0t 代入数据得t＝2s； （2）物资在竖直方向上做自由落体运动，则有 代入数据得h＝20m； （3）物资落到投递点前瞬间在竖直方向上的速度大小为vy＝gt 代入数据得vy＝20m/s。 故答案为：（1）物资从释放到落地所用的时间t是2s； （2）物资被释放时到投递点的高度h是20m； （3）物资落到投递点前瞬间在竖直方向上的速度大小vy是20m/s。 20．（2024秋•绍兴期末）跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，调节飞行姿势，身子与滑雪板平行呈水平状态，如图所示，使空气对运动员（含滑雪板）产生一个竖直向上的恒力，在空中飞行一段距离后着陆。现有总质量m＝60kg的运动员（含滑雪板）A滑到跳台a处不小心撞出一块冰块B，两者一起沿水平方向以v0＝20m/s从a点飞出，分别落在与水平方向成θ＝37°的直斜坡b、c上，已知a、b两点之间的距离为lab＝125m，sin37°＝0.6，不计冰块下落时空气的作用力，求： （1）冰块B下落时间； （2）运动员（含滑雪板）A在下落过程中的加速度大小； （3）空气对运动员（含滑雪板）竖直方向的恒力大小。 【解答】解：（1）不计冰块下落时空气的作用力，冰块B水平飞出，做平抛运动，设冰块B初速度大小为v0，冰块B从开始运动到直斜坡c所用的时间为t，由水平方向做匀速直线运动有x＝v0t 竖直方向做自由落体运动有 由几何关系得 联立上式代入数据解得t＝3s （2）因为空气对运动员（含滑雪板）产生一个竖直向上的恒力，故运动员（含滑雪板）做类平抛运动，由运动的分解与合成可得 水平方向运动有labcos37°＝v0t 竖直方向运动有 联立上式代入数据解得a＝6m/s2 （3）对运动员（含滑雪板）受力分析，竖直方向受到重力mg和空气的恒定阻力F， 由牛顿第二定律得mg﹣F＝ma 代入数据解得F＝240N 答：（1）冰块B下落时间等于3s； （2）运动员（含滑雪板）A在下落过程中的加速度大小等于6m/s2； （3）空气对运动员（含滑雪板）竖直方向的恒力大小等于240N。 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4 抛体运动的规律 1.掌握平抛运动的定义和性质，清楚知道哪些运动属于平抛运动。 2.掌握平抛运动的规律及公式，会做运算。 3.熟练运用平抛运动的推论。 考点一　平抛运动的定义和性质 1．定义：以一定的速度将物体抛出，物体只受重力作用的运动． 2．平抛运动：初速度沿水平方向的抛体运动． 3．平抛运动的特点： （1）初速度沿水平方向．（2）只受重力作用． 4．平抛运动的性质，加速度为g的匀变速曲线运动． 考点二　平抛运动的研究方法及规律 1．研究方法：采用运动分解的方法，将平抛运动分解为竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动． 2．平抛运动的时间：由y＝gt2得t＝ ，可知平抛运动时间只与下落高度有关，与初速度无关． 3．平抛运动的速度： （1）水平方向：vx＝v0 竖直方向：vy＝gt （2）合速度 （3）速度变化：任意两个相等的时间间隔内速度的变化相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示． 4．平抛运动的位移： （1）水平方向：x＝v0t. 竖直方向：y＝gt2. （2）合位移 5．平抛运动的轨迹：由x＝v0t，y＝gt2得y＝x2，为抛物线方程，其运动轨迹为抛物线． 考点三　平抛运动的两个推论 （1）平抛运动某一时刻速度与水平方向夹角为θ，位移与水平方向夹角为α，则tan θ＝2tan α. 证明：因为tan θ＝＝，tan α＝＝，所以tan θ＝2tan α. （2）做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点． 证明：如图所示，P点速度的反向延长线交OB于A点．则OB＝v0t，AB＝＝gt2·＝v0t. 可见AB＝OB. 考点四 平抛运动与斜面相结合 在解答平抛运动与斜面的结合问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出位移或速度与斜面倾角的关系，从而使问题得到顺利解决．常见的模型如下： 方法 内容 斜面 总结 分解速度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt 合速度：v＝ 分解速度，构建速度三角形 分解位移 水平：x＝v0t 竖直：y＝gt2 合位移：s＝ 分解位移，构建位移三角形 考点五 一般的抛体运动 1．定义：初速度沿斜向上或斜向下方向的抛体运动． 2．性质：斜抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛或竖直下抛运动的合运动． 3．斜上抛运动在两个分方向的运动规律： 水平方向：vx＝v0cos_θ，x＝v0tcos_θ 竖直方向：vy＝v0sin_θ－gt，y＝v0tsin θ－gt2. 4．可利用逆向思维方法，把斜上抛运动到最高点问题转换为平抛运动问题． 考向1 平抛运动的定义性质与规律 【典例】（2025秋•思明区校级月考）质量为2kg的质点在直角坐标系xOy内做曲线运动，在x轴方向的加速度—时间图像和y轴方向的速度—时间图像分别如图甲、乙所示，已知质点在x轴方向的初速度为零，则下列说法正确的是（　　） A．质点的运动可能是平抛运动 B．质点所受的合力大小为6N C．2s末质点的速度大小为5m/s D．0﹣4s内质点的位移大小为16m 【变式1】（2025•淇滨区一模）关于平抛运动，下面的几种说法中正确的是（　　） A．平抛运动是一种不受任何外力作用的运动 B．平抛运动是曲线运动，它的速度大小和方向在不断改变 C．平抛运动可以分解为水平方向的匀变速直线运动和竖直方向的自由落体运动 D．平抛运动的物体质量越小，落点就越远，质量越大，落点就越近 【变式2】（2025•南通开学）如图所示，小球位于竖直墙MN右侧A点，球的右侧有水平的平行光线。将小球水平向右抛出，球在墙MN上的影子做（　　） A．变加速运动 B．变减速运动 C．自由落体运动 D．匀速直线运动 【变式3】（2025春•同安区校级期中）如图所示为直升机的俯视图，该直升机的右侧机身装有垂直于机身的水平炮管。直升机保持固定高度做匀速直线飞行，每隔相同时间以相同速度从炮管发射一枚炮弹，不计空气阻力，则下列图像能正确反映炮弹在空中位置排列关系的是（　　） A． B． C． D． 考向2 平抛运动与斜面结合的问题 【典例】（2025秋•长沙月考）某运动员进行高台跳雪训练，如图所示，运动员从水平雪道末端以不同的初速度v0沿水平方向飞出，经时间t落到雪坡（可视为倾角为θ的斜面）上，此时其速度方向与雪坡的夹角为α，不计空气阻力。下列关于t与v0、tanα与v0关系的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025秋•揭阳期中）如图所示，在一斜面顶端O点，将甲、乙两个小球分别以和v的速度沿同一方向水平抛出（不计空气阻力），两球都落在该斜面上，且斜面上Oa＝ab＝bc＝cd。若甲球落点在a点，则乙球落在斜面上的（　　） A．b点 B．b与c之间某一点 C．c点 D．d点 【变式2】（2025秋•桥西区校级期中）如图所示的斜面ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，从顶点C分别以速度v1、v2沿水平方向同时抛出两小球m1、m2，两小球分别落在A、B两点。从抛出开始计时，不计空气阻力，则（　　） A．m1球先到达底端 B．v1：v2＝3：1 C．到达底端时，m1球的竖直速度较大 D．减小v1，m1球落到斜面上时速度与竖直方向的夹角变大 考向3 平抛运动与曲面的结合 【典例】（2025秋•菏泽期中）如图所示，半径为R的半圆弧ACB，O是圆心，D是OA的中点。自A点和D点同时水平抛出质量相等的甲、乙两个小球。两球同时落在圆弧BC上的某点（图中未画出），且其中一个小球落点处速度方向与圆弧垂直，则下列说法正确的是（　　） A．甲球在落点处速度方向与圆弧垂直 B．甲、乙两球在运动过程中动量变化量不同 C．甲、乙两球下落时间为 D．甲、乙两球初速度大小之比为3：2 【变式1】（2025秋•重庆期中）如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环BC和倾角为θ＝53°的斜面AC相接于C点，A、B两点与圆环BC的圆心O等高。现将甲、乙小球同时从A、B两点以一定大小的初速度沿水平方向抛出，两球恰好在C点相碰（不计空气阻力）。则下列说法正确的是（　　） A．若仅增大两球质量，则两球不再相碰 B．甲、乙小球初速度大小之比为3：4 C．若甲球速度大小变为原来的一半，则能落在斜面的中点D D．若甲球速度大小变为原来的两倍，则可能垂直击中圆环BC 【变式2】（2024秋•江苏校级期末）如图所示，固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，同时从A点水平抛出质量相等的甲、乙两个小球，初速度分别为v1、v2分别落在C、D两点。并且C、D两点等高，OC、OD与竖直方向的夹角均为30°（sin30°＝0.5）。则（　　） A．v1：v2＝1：3 B．甲、乙两球下落到轨道上的速度变化量不相同 C．若一球以2v1的初速度从A点水平抛出，可打在O点的正下方 D．若调整乙的速度大小，乙可能沿半径方向垂直打在半圆形竖直轨道上 考向4 类平抛运动 【典例】（2025春•沙坪坝区校级期末）如图所示，固定在水平面上的光滑斜面长a＝5m，宽b＝4m，倾角θ＝30°，一可视为质点的小球从顶端B处水平向左射入，恰好从底端点A处射出，重力加速度g取10m/s2。则下列说法正确的是（　　） A．小球运动的加速度为10m/s2 B．小球从B运动到A所用时间为2s C．小球从B点水平射入时的速度为 D．若小球从B点以4m/s的速度水平向左射入，则恰能从底端A点离开斜面 【变式1】（2025春•广州期末）一倾角为37°足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立xOy直角坐标系，其中Ox轴沿平行于底边的水平方向，Oy轴沿斜面向上的方向，如图所示。从零时刻开始，一可视为质点的物块从O点以沿y轴正方向12m/s的速度被抛出，抛出的同时对物块施加沿x轴正方向大小为16N的水平恒力F，已知物块的质量为2kg，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，不计空气阻力。求： （1）前2s内物块的位移。 （2）物块再次回到x轴时的速度大小。 【变式2】（2025秋•武清区校级月考）如图（a），农民利用传统的扬谷扇车分离谷粒和杂质。其简化原理如图（b），风车叶片匀速转动，产生水平向右的稳定气流，气流速度为v0，谷粒和杂质均在气流区域受到水平向右的风力。假设谷粒和杂质均从距离地面同一高度为h的出口静止释放，气流区域的高度为d，正常谷粒的质量范围为m1～m2，质量高于或低于此范围视为杂质，重力加速度大小为g，不计其它阻力。 （1）求谷粒从出口落到地面所用的时间； （2）若质量为m的谷粒在下落过程中经过气流区域时受到气流的作用力恒为F，求该谷粒落到地面上时距离出口处的水平距离； （3）若谷粒在气流区域受到水平向右的风力大小F＝kv（k为常量，v为谷粒或杂质与气流的水平相对速度大小），谷粒或杂质离开气流区域时速度的水平分量为v0，求地面能够收集到正常谷粒的水平距离范围。 考向5 一般的平抛运动 【典例】（2025秋•河南月考）学校的水火箭实验小组制作的水火箭两次从A点斜抛的运动轨迹如图所示，两次运动的轨迹分别为1和2，落点分别是B点和C点，忽略空气阻力，则（　　） A．轨迹2对应的水火箭的运动时间更长 B．轨迹1对应的水火箭的运动时间更长 C．轨迹2对应的水火箭的初速度更大 D．轨迹1对应的水火箭的初速度更大 【变式1】（2025秋•寿光市校级月考）如图所示，小球从空中足够高的P点斜向上抛出，初速度与水平方向夹角为30°，小球的最小速度为v0，经过Q点（图中未画出）时速度大小为2v0。不计空气阻力，重力加速度大小为g，则小球由P到Q所用的时间为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024秋•黑龙江期末）一住宅阳台失火，消防员用靠在一起的两支水枪喷水灭火，如图所示，甲水柱射向水平阳台近处着火点A，乙水柱射向水平阳台远处着火点B，两水柱最高点在同一水平线上，不计空气阻力，甲、乙水柱喷出时的速度大小分别为v1、v2，甲、乙水柱在空中运动的时间分别为t1、t2。以下判断正确的是（　　） A．v1＞v2，t1＝t2 B．v1＜v2，t1＝t2 C．v1＞v2，t1＜t2 D．v1＞v2，t1＞t2 一．选择题（共14小题） 1．（2024秋•舟山期末）如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，则下列说法正确的是（　　） A．青蛙跳到荷叶a上的时间小于跳到荷叶b上的时间 B．青蛙跳到荷叶c上和跳到荷叶d上的速度变化量相等 C．青蛙跳到荷叶a上的初速度最小 D．青蛙跳到荷叶d上的初速度最大 2．（2025秋•石家庄校级期中）如图所示，正方体abcd﹣efgh的棱长为5m，底面水平，将小球从a点向平面abcd内各个方向以不同速度抛出。不考虑小球间的相互作用和空气阻力，重力加速度取g＝10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．落在g点小球的初速度大小等于落在h点小球的初速度大小 B．落在g点的小球的竖直速度等于水平速度的 C．落在fh连线上的所有小球的速度方向与水平方向的夹角相等 D．落在fg中点的小球的初速度大小为 3．（2025秋•金华月考）每年的YadnyaKasada节日里，印尼民众都会聚集在当地的火山口，向其中投掷物品祈求好运。如图，有一个截面可看成抛物线形状的小型火山谷MON，M、N为火山口处的两点，且M高于N，O为谷底（抛物线的顶点），O点切线水平。现有两人从M、N两点分别以初速度v1、v2水平抛出两不同物品，同时击中O点（不考虑碰撞），不计空气阻力，则两物品（　　） A．必须同时抛出 B．初速度v1与v2大小一定相等 C．击中O点时速度大小一定相等 D．在抛出过程中，相同时间内的速度变化量一定不同 4．（2025秋•安徽月考）如图所示，将小球从空中P点斜向右上抛出，初速度大小为v0，方向与水平方向的夹角为θ，小球在运动过程中受到水平向左的恒定风力F作用，下列说法正确的是（　　） A．仅增大v0，球在空中运动时间变长 B．仅增大θ，球在空中运动时间不变 C．仅增大θ，球在空中速度变化量变小 D．仅增大F，球在空中速度的变化率不变 5．（2024秋•黑龙江期末）如图所示，从斜面上A点斜向上抛出一个可视为质点的小球，小球水平击中斜面上B点，现将另一相同小球从AB中点C点抛出，仍水平击中B点。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．两个小球的初速度大小之比为2：1 B．从C点抛出的小球初速度方向与水平方向夹角更大 C．两个小球离斜面的最大距离之比为2：1 D．调整两个小球抛出的时间，可以使两个小球在空中相遇 6．（2025秋•庐阳区校级月考）起跳投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上，篮球以与水平面成53°的倾角落入篮筐，设投球点到篮筐距离为x，投篮时的初速度为v0，不计空气阻力。关于上述过程，下列说法错误的（　　） A．速度方向改变106° B．速度变化量方向竖直向下 C．每秒速度变化量均相等 D．x与v0成正比 7．（2025秋•雁塔区校级月考）如图所示是排球场地的示意图。排球场ABCD为矩形，长边AD＝L，前场区的长度为，宽，网高为h。在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度低于某个临界值，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若在底线CD正上方沿垂直AB水平击球，临界高度为 B．若在前后场区的分界线的E点正上方水平击球，沿着EB方向击球，临界高度为 C．若在底线CD的D点正上方的临界高度沿场地对角线水平击球，击球的速度为 D．若在前后场区的分界线EF正上方的临界高度沿垂直AB水平击球，击球的速度为 8．（2025秋•松原月考）月兔2号机器人在月球表面做了一项实验：在距月球表面2.7m高处以5m/s的速度将一小球水平抛出，当其落到月球表面后，测出水平位移为9m，则月球表面的重力加速度约为（　　） A．9.8m/s2 B．10m/s2 C．1.7m/s2 D．2.0m/s2 9．（2025秋•山西期中）某铅球运动员在投掷铅球，铅球由距离地面h＝1.4m高处的A点以与水平方向成α角抛出，经1s的时间刚好经过B点，已知B点距离地面的高度为H＝2.4m，A、B两点的水平间距为x＝8m，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（　　） A．α＝30° B．初速度大小为 C．铅球的最高点距离地面的高度为3.2m D．铅球的落地点到抛出点的水平间距为12m 10．（2025•9月份模拟）如图，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α＝60°，一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0＝5m/s平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为g＝10m/s2，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为（　　） A． B． C． D． 11．（2024秋•郴州期末）小郴同学是一名篮球爱好者。他从同一水平高度的A、B两处先后将篮球投出，都恰好垂直打在篮板的P点，如简化图所示。不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．两次抛出时的初速度vOA＝vOB B．两次抛出时初速度与水平方向的夹角θA＝θB C．两次篮球在空中运动的时间tA＝tB D．两次篮球打在篮板P点的速度vA＝vB 12．（2025秋•浙江期中）普通集装箱的宽度设定为3米，高度设定为2.5米。在小猎正前方，集装箱呈堆叠状态，共三层，从下往上每层分别堆叠3个、2个和1个集装箱。小猎于距离最近集装箱水平距离1.5米处开展射箭操作，射出的箭与最上方一个集装箱的左右两点恰好均未发生触碰。在此情形下，小猎射出的箭在达到最高点时的速度大小为（　　） A． B． C． D． 13．（2025秋•贵州期中）如图所示，在倾角为37°、长为5m的固定斜面中点固定一竖直直杆，小球从斜面顶端以10m/s的初速度水平抛出，取重力加速度为10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，为了使小球能够越过直杆，则杆的高度不能超过（　　） A．0.9m B．1.1m C．1.3m D．1.5m 14．（2025秋•揭阳期中）如图所示，在一斜面顶端O点，将甲、乙两个小球分别以和v的速度沿同一方向水平抛出（不计空气阻力），两球都落在该斜面上，且斜面上Oa＝ab＝bc＝cd。若甲球落点在a点，则乙球落在斜面上的（　　） A．b点 B．b与c之间某一点 C．c点 D．d点 二．解答题（共6小题） 15．（2025•凉山州模拟）某同学在砖墙前的高处以速度v0＝15m/s水平抛出一个石子，恰好垂直打在一倾角为37°斜坡上的A点，石子在空中运动的部分轨迹照片如图所示。若每块砖的平均厚度为10cm，空气阻力不计，取g＝10m/s2，sin37°＝0.64，cos37°＝0.8，求： （1）石子在空中的运动时间； （2）抛出点到A点在竖直方向上有多少块砖。 16．（2024秋•薛城区校级期末）小明在井边玩投掷游戏，将一弹性小球从h＝1.25m处沿井的直径方向水平抛出。前方x＝4m处有一直径d＝1m，深H＝4.8m的枯井。小球与井壁碰撞竖直方向的速度不变，水平方向上的速度大小不变，方向反向。取g＝10m/s2。 （1）如果小球落入井中，求抛出小球的初速度的范围。 （2）如果小明以v0＝9m/s初速度水平抛出小球，则小球在井底的落点距A点的距离为多少？ 17．（2025秋•安徽月考）在一次篮球运动训练中，篮球在空中划出完美的弧线，现在篮球运动所在的竖直平面内建立平面直角坐标系xOy，如图所示。篮球从A点投出，最后到达地面上的D点，B、C是其运动轨迹上的两点，B为篮球运动的最高点。A、B、C、D四点的坐标分别为（﹣L，0）、（0，L）、（L，0）、（2L，﹣y）。不计空气阻力，篮球可视为质点，重力加速度大小为g，求： （1）篮球从A运动到D的时间； （2）D点的纵坐标y的值； （3）篮球从A点投出时的初速度大小。 18．（2024秋•黑龙江期末）在小游戏中经常有飞机投弹击中逃跑汽车的情景，要求根据飞机和汽车的速度而选择合理的投弹高度或者水平距离，从而完成任务。现在简化为如图所示的模型，在距地面高H＝45m处，有一小球A以初速度v0＝10m/s水平抛出。与此同时，在A的正下方有一物块B也以相同的初速度v0同方向滑出，B与地面间的动摩擦因数μ＝0.4，A、B均可看成质点，取重力加速度g＝10m/s2，空气阻力不计。求： （1）A球从抛出到落地的时间； （2）A球从抛出到落地这段时间内的水平位移； （3）A球落地时，A、B之间的距离。 19．（2024秋•承德期末）无人机的应用日益广泛。某次无人机测试时，以v0＝4m/s的速度水平匀速飞行的无人机在到投递点水平距离x＝8m处释放物资（可视为质点，释放前后物资速度不变），物资恰好落在投递点。取重力加速度大小g＝10m/s2，不计空气阻力。求： （1）物资从释放到落地所用的时间t； （2）物资被释放时到投递点的高度h； （3）物资落到投递点前瞬间在竖直方向上的速度大小vy。 20．（2024秋•绍兴期末）跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，调节飞行姿势，身子与滑雪板平行呈水平状态，如图所示，使空气对运动员（含滑雪板）产生一个竖直向上的恒力，在空中飞行一段距离后着陆。现有总质量m＝60kg的运动员（含滑雪板）A滑到跳台a处不小心撞出一块冰块B，两者一起沿水平方向以v0＝20m/s从a点飞出，分别落在与水平方向成θ＝37°的直斜坡b、c上，已知a、b两点之间的距离为lab＝125m，sin37°＝0.6，不计冰块下落时空气的作用力，求： （1）冰块B下落时间； （2）运动员（含滑雪板）A在下落过程中的加速度大小； （3）空气对运动员（含滑雪板）竖直方向的恒力大小。 2 学科网（北京）股份有限公司 $