27.3圆中的计算问题同步练习2025-2026学年华东师大版(2012)数学九年级下册

圆中的计算问题 一、单选题 1．一个扇形的半径为3，扇形的圆心角度数为，则弧长为（   ） A． B． C． D． 2．已知一个扇形的面积是，弧长是20π，则这个扇形的半径为（　　） A．22 B．22π C．24 D．24π 3．如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，学校一矩形广场的四角都有一块半径相同的扇形草地，已知圆形的半径为10米，矩形长为100米，宽为60米，则广场空地的面积为（取3）（    ） A．4800平方米 B．5400平方米 C．5700平方米 D．6000平方米 5．如图，△ABC内接于⊙O，若，⊙O的半径r=4，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知点O是的外心，连接OA，OB，OC，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 7．如图，是平行四边形，是的直径，点在上，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 8．某单位需要在如图的雪糕筒路障侧面贴上彩纸进行装饰，若该路障可以近似看做圆锥，其主视图的边，，则彩纸的面积是（　　）． A． B． C． D． 9．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 10．如图，圆锥的高，底面半径，则的长（  ） A．大于10 B．等于10 C．小于10 D．不能确定 二、填空题 11．一个扇形的面积为，半径为，则扇形的圆心角的度数为 ． 12．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留） 13．如图，扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 14．在平面直角坐标系中有，，三点，，，．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为 ． 15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，∠B=35°，BC=，则弧AB的长为 ． 16．如图，在中，，，将绕直线旋转一周得到的几何体的侧面积为 （结果保留π）． 三、解答题 17．如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，求的半径． 18．如图，内接于为的直径，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，求的半径． 19．如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为． (1)求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； (2)当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留） 20．如图，是的直径，点是上的一点，点是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若的直径是8，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D C C C A D D B 1．B 【分析】本题主要考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 根据弧长公式，代入即可求解． 【详解】解：∵一个扇形的半径为3，扇形的圆心角度数为， ∴扇形的弧长为 ． 故选：B 2．C 【分析】根据扇形的面积公式求出半径，扇形的面积公式． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故选：C． 【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 3．D 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，熟记定理并灵活运用是解题的关键． 连接，根据弧长公式和，可求得，，根据平角的定义求出，再利用圆周角定理求出即可． 【详解】解：连接，如图：    设，则， 则的长为，的长为， ∵， 即， 整理得：， 解得：， 即，， ∵， ∴． 故选：D． 4．C 【分析】本题考查圆的面积，长方形的面积，广场空地的面积为长方形的面积减去四个四分之一圆的面积，据此计算即可． 【详解】解：（平方米）， ∴广场空地的面积为5700平方米． 故选：C． 5．C 【分析】根据圆周角定理，扇形面积公式和三角形面积公式解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角、扇形面积和三角形面积，解题的关键是熟练掌握圆周角定理、扇形面积公式和三角形面积公式． 6．C 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，由点O是的外心，可得，根据等腰三角形的性质知，因此可求出，再根据圆周角定理即可得到结果． 【详解】点O是的外心， ， ， ， 由题意可知是的圆周角，是的圆心角， ， 故选：C． 7．A 【分析】本题考查圆的性质、等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，角的正弦值等知识，连接，作于点，由图可知，阴影部分的面积的面积，根据题目的条件和图形，可以求得的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：连接，作于点， ∵是的直径，点在上，， ， 是等边三角形， ， 是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴是四个全等的等边三角形，边长均为2， ∵， ∴， ∵ ∴弓形的面积弓形的面积， 图中阴影部分的面积为等边三角形的面积， 即图中阴影部分的面积为， 故选：A． 8．D 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图、扇形面积公式，首先根据，可以求出圆锥底面圆的周长为，即圆锥侧面展开得到的扇形的弧长为，半径为，根据扇形的面积公式是计算即可求出彩纸的面积． 【详解】解：如下图所示，过点作， ， 以为直径的圆的周长是， 圆锥的侧面展开图的面积是， 故选：D． 9．D 【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理．设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可． 【详解】解：设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5， 扇形的弧长为， 圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等， ， ， 圆锥的高为， 故选：D． 10．B 【分析】根据圆锥高、底面半径与母线长度的关系可以求得答案． 【详解】由题意，得：． 故选B． 【点睛】本题考查圆锥的有关计算，熟练掌握圆锥高、底面半径、母线长度之间的关系是解题关键． 11．/度 【分析】本题考查了扇形的面积公式，设扇形的圆心角是，根据扇形的面积公式即可得到一个关于的方程，解方程即可求解，正确理解公式是解题的关键． 【详解】解：设扇形的圆心角是， 根据扇形的面积公式得：， 解得， 故答案是：． 12．/ 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理以及扇形的面积．根据“阴影部分的面积=扇形的面积-扇形的面积”进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由图可知：阴影部分的面积=扇形的面积的面积-扇形的面积的面积， ∵绕A点逆时针旋转后得到， ∴的面积的面积， ∴阴影部分的面积=扇形的面积-扇形的面积 ； 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了扇形面积公式、根据阴影部分面积等于扇形的面积减去的面积，即可求解． 【详解】解：∵扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点 ∴ ∴图中阴影部分的面积为 故答案为：． 14．(2，0) 【分析】根据不在同一条直线上的三点能确定一个圆，该圆圆心在三点中任意两点连线的垂直平分线上，然后根据垂直平分线的性质和勾股定理即可求解． 【详解】∵，， ∴AB的垂直平分线为 设圆心为 ∵点O也在BC的垂直平分线上， ∴ 根据勾股定理得 解得 ∴圆心坐标为 故答案为：(2，0)． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质和勾股定理，掌握垂直平分线的性质和勾股定理是解题的关键． 15． 【分析】连接AO、BO、CO，根据圆周角定理，证明△BOC是等腰直角三角形，算出圆的半径，再算出∠AOB的度数，利用弧长公式可算出弧AB的长． 【详解】如图，连接AO、CO、BO，在AB的下方圆上任意选一点D，连接AD、BD ∵∠CAB=45° ∴∠BOC=90° 又∵BC= ∴BO=CO=1 又∵∠A=45°，∠B=35° ∴∠ACB=100° ∴∠ADB=180°-100°=80° ∴∠AOB=80°×2=160° ∴弧AB的长== 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理和弧长公式．熟记圆周角定理、圆的内接四边形对角互补和弧长公式是解决本题的关键． 16． 【分析】根据题意，得将绕直线旋转一周，会得到一个底面半径为3，母线长为5的圆锥，解答即可． 本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵将绕直线旋转一周，会得到一个底面半径为3，母线长为5的圆锥， ∴这个几何体的侧面积等于． 17．(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键． （1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （2）由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1）证明：∵，是半径， ∴， ∴ ∴ （2）解：设的半径是，如图，连接 ， ∵ 由垂径定理得：， ∵ ∴ ∴ ∴的半径是5. 18．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由圆周角定理可得，即得，由平行线的性质可得，由等腰三角形的性质和圆周角定理可得，进而得到，即得到，即可求证； （2）延长，交于点，可得四边形是矩形，即得，进而由等腰三角形的性质得，利用勾股定理得，设的半径为，则，在中，利用勾股定理得，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：延长，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 设的半径为，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，切线的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 19．(1) (2) 【分析】本题考查圆锥的计算，掌握扇形的面积两个计算公式是解题的关键． （1）设该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为，根据扇形面积的两个公式，即和列关于的方程并求解即可； （2）根据扇形面积公式解：计算即可． 【详解】（1）解：设该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为． 根据题意，得， 解得． 答：该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为． （2）解：． 答：此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积为． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，弧长公式，解直角三角形等知识，解题的关键是： （1）根据等边对等角并结合已知可得出，根据直径所对的圆周角是直角可得出，然后根据切线的判定即可得证； （2）在中，根据正切的定义和特殊角的三角函数值可求出，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：连， ， ， ， ， ， 即， 是直径， ， ， 是半径， 是的切线． （2）解：的直径是8， ， 在中，， ， ， 的长为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆中的计算问题 一、单选题 1．一个扇形的半径为3，扇形的圆心角度数为，则弧长为（   ） A． B． C． D． 2．已知一个扇形的面积是，弧长是20π，则这个扇形的半径为（　　） A．22 B．22π C．24 D．24π 3．如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，学校一矩形广场的四角都有一块半径相同的扇形草地，已知圆形的半径为10米，矩形长为100米，宽为60米，则广场空地的面积为（取3）（    ） A．4800平方米 B．5400平方米 C．5700平方米 D．6000平方米 5．如图，△ABC内接于⊙O，若，⊙O的半径r=4，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知点O是的外心，连接OA，OB，OC，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 7．如图，是平行四边形，是的直径，点在上，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 8．某单位需要在如图的雪糕筒路障侧面贴上彩纸进行装饰，若该路障可以近似看做圆锥，其主视图的边，，则彩纸的面积是（　　）． A． B． C． D． 9．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 10．如图，圆锥的高，底面半径，则的长（  ） A．大于10 B．等于10 C．小于10 D．不能确定 二、填空题 11．一个扇形的面积为，半径为，则扇形的圆心角的度数为 ． 12．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留） 13．如图，扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 14．在平面直角坐标系中有，，三点，，，．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为 ． 15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，∠B=35°，BC=，则弧AB的长为 ． 16．如图，在中，，，将绕直线旋转一周得到的几何体的侧面积为 （结果保留π）． 三、解答题 17．如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，求的半径． 18．如图，内接于为的直径，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，求的半径． 19．如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为． (1)求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； (2)当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留） 20．如图，是的直径，点是上的一点，点是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若的直径是8，，求的长． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $