专题07 平面解析几何-吉林省高职分类考试（2021-2025）《数学真题分类汇编》（原卷版+解析版）

专题07 平面解析几何 1.掌握两点间的距离公式与中点坐标公式； 2.理解直线的倾斜角、斜率、截距等概念； 3.掌握直线的点斜式方程、斜截式方程，理解直线的一般式方程； 4.理解两条直线平行和垂直的条件； 5.掌握两条相交直线的交点的坐标； 6.了解点到直线的距离公式； 7.掌握圆的标准方程和一般方程； 8.理解直线和圆的位置关系，了解直线与圆相切在实际中的应用； 9.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及性质，并能解决生活中的一些实际问题. 考点01 直线 1．（2025·吉林·真题T26）经过点，的直线方程是（ ） A. B. C. D. 2.（2025·吉林·真题T27）两平行直线与的距离等于（ ） A. B. C. D. 3 3.（2024·吉林·真题T19）经过点，且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 4.（2024·吉林·真题T21）点到直线的距离为4，则实数m的值为（ ） A. B. C. 3或 D. 或7 5.（2023·吉林·真题T16）直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.（2023·吉林·真题T19）经过点，且与直线平行的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 7.（2023·吉林·真题T21）若直线，直线，且．则（ ） A. B. 2 C. D. 8.（2022·吉林·真题T24）直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段的中点为M,则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 9.（2021·吉林·真题T19） 的顶点分别为，，，则BC边上的中线AD的长度为（     ） A. B.5 C. D. 考点02 圆 10．（2025·吉林·真题T28），以为直径的圆的标准方程（ ） A. B. C. D. 考点03 直线与圆 11.（2024·吉林·真题T28）直线与圆相交于A，B两点，则（ ） A. B. 5 C. D. 12.（2022·吉林·真题T26） 圆的半径是（ ） A. 10 B. C. 16 D. 4 13.（2021·吉林·真题T20） 已知圆与直线相切，则（     ） A. B. C. D. 考点04 圆锥曲线 14.（2025·吉林·真题T29）双曲线左右焦点，焦距是8，为双曲线上的一点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 4或8 D. 2或10 15.（2025·吉林·真题T30） 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴上，抛物线上一点到焦点距离为6，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 16.（2024·吉林·真题T29）与双曲线有公共焦点，且离心率的椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 17.（2024·吉林·真题T30）抛物线上与焦点的距离等于5的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 18.（2023·吉林·真题T28）平面内到点和点的距离之和为10的点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 19.（2023·吉林·真题T29） 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 20.（2023·吉林·真题T30）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 21.（2022·吉林·真题T25）一焦点坐标为,一顶点坐标为的双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 22.（2022·吉林·真题T27）经过椭圆的左焦点的直线l与椭圆E交于A、B两点，F是椭圆E的右焦点，则的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 18 23.（2021·吉林·真题T24）已知双曲线方程为，则其离心率 A. 　　　　 B. 　　　　 C. 　　　　 D. 24.（2021·吉林·真题T28）已知抛物线上的点到焦点的距离为，则点的横坐标为 A. 　　　　 B. 　　　　 C. 　　　　 D. 考点05 综合应用题 25.（2025·吉林·真题T33）已知椭圆的左右焦点分别为，经过左焦点右焦点且倾斜角为直线l与椭圆交于，两点， （1）求的周长； （2）求． 26.（2024·吉林·真题T33）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求． 27.（2023·吉林·真题T33）如图，，分别为椭圆的左、右焦点，抛物线的焦点与椭圆的右焦点相同，且与椭圆交于，两点，四边形的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）求以为直径的圆的标准方程． 28.（2022·吉林·真题T33）已知抛物线经过点． （1）求抛物线C的标准方程； （2）过点且斜率为1的直线与抛物线C交于A、B两点，求弦长． 29.（2021·吉林·真题T33）椭圆 的两个焦点分别为 ，，其短轴长与焦距相等.（1） 求椭圆的标准方程及离心率；（2） 椭圆上是否存在点 ，使 ？ 若存在，求此时 的面积；若不存在请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 平面解析几何 1.掌握两点间的距离公式与中点坐标公式； 2.理解直线的倾斜角、斜率、截距等概念； 3.掌握直线的点斜式方程、斜截式方程，理解直线的一般式方程； 4.理解两条直线平行和垂直的条件； 5.掌握两条相交直线的交点的坐标； 6.了解点到直线的距离公式； 7.掌握圆的标准方程和一般方程； 8.理解直线和圆的位置关系，了解直线与圆相切在实际中的应用； 9.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及性质，并能解决生活中的一些实际问题. 考点01 直线 1．（2025·吉林·真题T26）经过点，的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中所给点可求出直线斜率，再根据一点坐标即可写出直线的点斜式方程. 【详解】因为点，， 所以经过点，的直线斜率为， 所以经过点，的直线方程是， 即. 故选：A. 2.（2025·吉林·真题T27）两平行直线与的距离等于（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】由平行线间的距离公式可得. 故选：C. 3.（2024·吉林·真题T19）经过点，且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用垂直关系得到所求直线的斜率，根据点斜式方程即可求解. 【详解】因为所求直线与直线垂直，直线的斜率为， 所以所求直线的斜率， 又所求直线过点， 所以直线方程为，即. 故选：A 4.（2024·吉林·真题T21）点到直线的距离为4，则实数m的值为（ ） A. B. C. 3或 D. 或7 【答案】D 【解析】 【分析】由题意根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为到直线的距离为4， 所以， 解得或. 故选:D. 5.（2023·吉林·真题T16）直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据倾斜角的定义判定. 【详解】直线倾斜角的定义是“直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角”. 当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为.因此，直线的倾斜角的取值范围是. 故选：C. 6.（2023·吉林·真题T19）经过点，且与直线平行的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据直线平行求出斜率，再求直线方程. 【详解】∵所求直线与直线平行，而直线斜率为. ∴的斜率. 而，直线过点，故其方程为： 即： 故选：A. 7.（2023·吉林·真题T21）若直线，直线，且．则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两条直线相互垂直，则,即可得出． 【详解】因为，则，解得. 故选：A. 8.（2022·吉林·真题T24）直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段的中点为M,则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解A、B两点，再由中点坐标公式求解点M的坐标即可. 【详解】因为直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 令；令， 所以A、B两点为，， 则线段的中点为，即. 故选：C. 9.（2021·吉林·真题T19） 的顶点分别为，，，则BC边上的中线AD的长度为（     ） A. B.5 C. D. 【答案】C 【解析】 因为是边上的中线，所以是的中点，即，则.故选C. 考点02 圆 10．（2025·吉林·真题T28），以为直径的圆的标准方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，利用中点坐标公式求出线段的中点坐标即为圆心坐标，再利用两点间的距离公式求出线段的长度即为圆的直径，从而得到圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可求解. 【详解】因为，， 所以， 所以以为直径的圆的半径为. 设线段中点为O，所以， 所以以为直径的圆的标准方程为. 故选：A. 考点03 直线与圆 11.（2024·吉林·真题T28）直线与圆相交于A，B两点，则（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆化为标准方程找出圆的半径和圆心，再根据点到直线的距离利用勾股定理即可解得. 【详解】由题，圆的方程为， 化为标准方程：， 即圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 则， 故选：C 12.（2022·吉林·真题T26） 圆的半径是（ ） A. 10 B. C. 16 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的一般式方程转化为标准方程即可得到半径. 【详解】因为圆， 化为标准方程：. 所以半径为. 故选：B. 13.（2021·吉林·真题T20） 已知圆与直线相切，则（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题意，得圆的圆心坐标为，半径为2，直线可化为，因为直线与圆相切，所以直线到圆心的距离等于半径，即，. 故选D. 考点04 圆锥曲线 14.（2025·吉林·真题T29）双曲线左右焦点，焦距是8，为双曲线上的一点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 4或8 D. 2或10 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的焦距为8求出c的值，利用双曲线中a，b，c的关系求出a的值，再根据双曲线的定义即可求解. 【详解】因为双曲线的焦距为8，即，解得， 又在双曲线中，所以， 所以双曲线方程为， 又为双曲线上的一点，由双曲线的定义可知，， 则或 故选：D. 15.（2025·吉林·真题T30） 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴上，抛物线上一点到焦点距离为6，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意设抛物线方程为，根据抛物线定义求出的值即可. 【详解】∵抛物线的顶点在原点，对称轴为轴上，点在抛物线上， ∴抛物线的开口向左，所以设抛物线方程为， ∴抛物线的准线方程为， ∵抛物线上一点到焦点距离为6，且点到焦点距离与到准线的距离相等， ∴，解得， ∴抛物线方程为， 故选：B. 16.（2024·吉林·真题T29）与双曲线有公共焦点，且离心率的椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线方程求出焦点坐标，利用椭圆离心率求出椭圆，，即可求椭圆方程 【详解】双曲线，焦点为 椭圆与双曲线有公共焦点.即椭圆的， ，即，，即， ，，，焦点在轴； 椭圆的方程； 故选：A. 17.（2024·吉林·真题T30）抛物线上与焦点的距离等于5的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线方程求出准线的方程，根据抛物线定义，与焦点的距离等于5的点等价于到准线的距离等于5的点，即可求解. 【详解】因为抛物线，所以，即， 所以焦点坐标为，准线方程为， 设所求点的坐标为， 由抛物线定义得，解得， 代入抛物线方程得，故，即. 故选：B 18.（2023·吉林·真题T28）平面内到点和点的距离之和为10的点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义即可求出轨迹方程. 【详解】因为定点间的距离为8， 距离和为10， 因为8<10， 所以轨迹为椭圆， 即定点为椭圆的焦点， 所以焦点在y轴，， 所以， 所以标准方程为. 故选:C. 19.（2023·吉林·真题T29） 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程得到的值，再写出渐近线方程. 【详解】∵双曲线， ∴可知，，. 即，渐近线方程为. 故选：B. 20.（2023·吉林·真题T30）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的标准方程及定义列不等式组求解即可. 【详解】由题意得，，解得，故， 故的取值范围是. 故选：D. 21.（2022·吉林·真题T25）一焦点坐标为,一顶点坐标为的双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到的值，再由双曲线中的关系求解，进而求解. 【详解】由题可知，焦点，一顶点坐标为. 所以焦点在x轴.. 所以. 所以双曲线的标准方程为即. 故选：A. 22.（2022·吉林·真题T27）经过椭圆的左焦点的直线l与椭圆E交于A、B两点，F是椭圆E的右焦点，则的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义即可求解三角形周长. 【详解】记为椭圆的左焦点， 在椭圆中，， 根据椭圆的定义可知，， 所以. 故选：C. 23.（2021·吉林·真题T24）已知双曲线方程为，则其离心率 A. 　　　　 B. 　　　　 C. 　　　　 D. 【答案】C 【解析】 由题意，得，，所以，则离心率. 故选C. 24.（2021·吉林·真题T28）已知抛物线上的点到焦点的距离为，则点的横坐标为 A. 　　　　 B. 　　　　 C. 　　　　 D. 【答案】B 【解析】 由题意，得 ，则抛物线的交点坐标为 ，设点 的坐标为 ，则 ，解得 ，因此点 的横坐标为5. 故选B. 考点05 综合应用题 25.（2025·吉林·真题T33）已知椭圆的左右焦点分别为，经过左焦点右焦点且倾斜角为直线l与椭圆交于，两点， （1）求的周长； （2）求． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意作出图像，利用椭圆方程求出值，结合椭圆的定义及三角形周长公式即可得解. （）根据椭圆方程求出坐标，利用直线的点斜式方程求出直线方程，联立方程组求出的坐标，代入两点间距离公式即可得解. 【小问1详解】 如图所示，作出图像， 椭圆，焦点在轴上，且， 由椭圆的定义可知， ∴的周长为， 所以的周长为. 【小问2详解】 椭圆，，，，即， ∴，， 直线l的方程， 设，，联立， 整理得，解得 所以 ， 所以. 26.（2024·吉林·真题T33）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标求出，渐近线方程求出，利用即可求解； （2）利用点斜式求出直线方程，与双曲线联立方程组消掉，由韦达定理得，根据两点间的距离公式即可求解. 【小问1详解】 因为双曲线的右焦点为， 所以， 又渐近线方程为， 所以，即， 由得， 解得， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 由直线的倾斜角为得直线斜率为， 因为直线过双曲线的右焦点， 所以直线方程为， 设， 直线与双曲线联立方程组得，消去得， 由韦达定理得， 故 27.（2023·吉林·真题T33）如图，，分别为椭圆的左、右焦点，抛物线的焦点与椭圆的右焦点相同，且与椭圆交于，两点，四边形的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）求以为直径的圆的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程求出焦点坐标，从而得到椭圆的半焦距，再根据四边形的周长及椭圆定义求得，进而得到，写出椭圆方程. （2）通过联立抛物线与椭圆方程解得交点坐标，根据中点公式和距离公式求得圆心和半径，从而写出圆的方程. 【小问1详解】 设椭圆的标准方程为， 因为抛物线，所以， 所以焦点， 所以椭圆中， 又，, 所以，即， 则， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知椭圆的标准方程为，， 联立， 消去并整理得， 解得或（舍）， ， 即或， 则，， 则以为直径圆的圆心为， 以为直径的圆的半径， 所以以为直径的圆的标准方程为. 28.（2022·吉林·真题T33）已知抛物线经过点． （1）求抛物线C的标准方程； （2）过点且斜率为1的直线与抛物线C交于A、B两点，求弦长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线上的点求解抛物线的标准方程即可. （2）根据题意得到直线的方程，再联立方程组得到交点坐标，利用两点间距离公式求解即可. 【小问1详解】 因为抛物线过点. 所以，解得. 所以抛物线的标准方程为：. 【小问2详解】 由题可知，设直线为. 因为过点且斜率为1. 所以直线的方程为. 联立直线与抛物线方程，有整理得， 解得或9，代入直线方程解得或6. 即点. 所以. 29.（2021·吉林·真题T33）椭圆 的两个焦点分别为 ，，其短轴长与焦距相等.（1） 求椭圆的标准方程及离心率；（2） 椭圆上是否存在点 ，使 ？ 若存在，求此时 的面积；若不存在请说明理由. 【解析】 （1）因为短轴长与焦距相等，所以 ，即 ，所以 ，所以 ，故椭圆的标准方程为 ，离心率 . （2）假设存在一点 ，使得 ，设 ，由（1）知 ，所以 ，，则 ，，因为 ，所以 ，即 ，因为点 在椭圆上，由（1）知椭圆的方程为 ，所以 ，联立 ，解得 ，因此存在点 使 ，此时 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $