专题08 立体几何-吉林省高职分类考试（2021-2025）《数学真题分类汇编》（原卷版+解析版）

专题08 立体几何 1.了解平面的概念、平面的基本性质； 2.理解直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质； 3.了解直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角； 4.理解直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质； 5.了解柱、锥、球及其简单组合体的结构特征及面积、体积的计算. 考点01 柱、锥、球及简单组合体的相关计算 1.（2025·吉林·真题T24） 一个正方体的顶点都在球上，它的棱长为，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 2.（2024·吉林·真题T24）将一个棱长为的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大球体零件的体积是（ ） A. B. C. D. 3.（2023·吉林·真题T24）如图，半径为2的半球的表面积是（ ） A. B. C. D. 4.（2022·吉林·真题T28）已知正方体的体积为27，则它的棱长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5.（2022·吉林·真题T29）已知一个球的半径为，则它的表面积为（ ） A. B. C. D. 6.（2021·吉林·真题T22） 已知圆锥的底面半径为，圆锥的高为，则其体积为 A. 　　　　 B. 　　　　 C. 　　　　 D. 考点02 点、直线、平面之间的位置关系 7.（2025·吉林·真题T23）下列命题正确的是（ ） ①垂直于同一直线的两直线平行②垂直于同一平面的两直线平行 ③垂直于同一直线的两平面平行④垂直于同一平面的两平面平行 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 8.（2024·吉林·真题T26）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9.（2023·吉林·真题T17）若直线平面，直线平面，则直线与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或异面 10.（2022·吉林·真题T30） 下列说法中正确的是（ ） A. 不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线 B. 空间内任意三个点可以确定一个平面 C. 过平面外一点可以做无数条直线与这个平面垂直 D. 平行于同一平面的两条直线一定平行 11.（2021·吉林·真题T30） 下列命题正确的是 ①如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。 ②如果条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直。（此处原文可能有遗漏，保留原样） ③如果两个平面互相垂直、那么其中一个平面内的任意一条直线都和另一平面垂直。（此处原文标点可能有误，保留原样） ④如果个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行。（此处原文可能有遗漏，保留原样） A. ①②③　　　　 B. ③④　　　　 C. ②③④　　　　 D. ①④ 12.（2025·吉林·真题T25）已知正方体，则与所成的角为（ ） A. B. C. D. 13.（2024·吉林·真题T15）如图，在正方体中，分别为和的中点，则和所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 14.（2023·吉林·真题T15）如图，在三棱锥中，与棱所在直线异面的是（ ） A. 棱所在直线 B. 棱所在直线 C. 棱所在直线 D. 棱所在直线 考点03 综合题 15.（2025·吉林·真题T32）如图，在直三棱柱中，，，， （1）证明：； （2）求直线与底面所成角的正弦值． 16.（2024·吉林·真题T32）如图，已知四棱锥的底面是矩形，底面，，点分别是的中点． （1）证明：平面． （2）求三棱锥的体积． 17.（2023·吉林·真题T32）如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱和的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求三棱锥的体积． 18.（2022·吉林·真题T32）如图，长方体中，底面是边长为1的正方形，高为． （1）求直线与底面所成角的大小； （2）证明：平面平面． 19.（2021·吉林·真题T32）如图，已知 平面 ，四边形 是边长为 的正方形，且 . （1） 求证： 平面 ； （2） 求 与平面 所成角的正切值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 立体几何 1.了解平面的概念、平面的基本性质； 2.理解直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质； 3.了解直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角； 4.理解直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质； 5.了解柱、锥、球及其简单组合体的结构特征及面积、体积的计算. 考点01 柱、锥、球及简单组合体的相关计算 1.（2025·吉林·真题T24） 一个正方体的顶点都在球上，它的棱长为，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方体与球的外接关系求出球的直径，再根据球的体积公式即可求解. 【详解】根据题意，设球的半径为R， 因为正方体的顶点都在球面上， 棱长为， 所以，解得， 所以球的体积为. 故选：A. 2.（2024·吉林·真题T24）将一个棱长为的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大球体零件的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析得最大球体零件的体积即为正方体内接球的体积，利用球的体积公式即可求解. 【详解】由题意得，球内切于正方体，故球的直径等于正方体的棱长， 所以，即， 所以最大球体零件的体积为. 故选：B 3.（2023·吉林·真题T24）如图，半径为2的半球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图可知，半球的表面积为球的表面积的一半加上底面圆的面积. 【详解】由题意得，. 故选：A. 4.（2022·吉林·真题T28）已知正方体的体积为27，则它的棱长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体的体积公式求解即可. 【详解】设正方体的棱长为. 则正方体的体积，解得. 故选：C. 5.（2022·吉林·真题T29）已知一个球的半径为，则它的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据球的表面积公式求解即可. 【详解】因为球的半径为， 由球的表面积公式得，. 故选：B. 6.（2021·吉林·真题T22） 已知圆锥的底面半径为，圆锥的高为，则其体积为 A. 　　　　 B. 　　　　 C. 　　　　 D. 【答案】A 【解析】 由题意，得圆锥的底面积为，则圆锥的体积为. 故选A. 考点02 点、直线、平面之间的位置关系 7.（2025·吉林·真题T23）下列命题正确的是（ ） ①垂直于同一直线的两直线平行②垂直于同一平面的两直线平行 ③垂直于同一直线的两平面平行④垂直于同一平面的两平面平行 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据根据空间中平面与平面、直线与直线的位置关系，对每个命题逐一进行分析判断. 【详解】对①：在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，故①错误； 对②：由线面垂直的性质定理：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行，故②正确； 对③：由线面垂直的性质可得：垂直于同一条直线的两个平面平行，故③正确； 对④：垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故④错误； 综上所述：命题正确的是②③. 故选：B. 8.（2024·吉林·真题T26）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线面位置关系的性质即可解得. 【详解】选项A：若，则两平面可能垂直或平行，错误. 选项B：，则两平面可能平行或相交，错误. 选项C：，则，错误. 选项D：，则，正确. 故选：D. 9.（2023·吉林·真题T17）若直线平面，直线平面，则直线与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或异面 【答案】D 【解析】 【分析】由直线与直线的位置关系判断即可. 【详解】 此时的直线与直线平行， 此时的直线与直线异面， 故直线与直线平行或异面. 故选:D. 10.（2022·吉林·真题T30） 下列说法中正确的是（ ） A. 不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线 B. 空间内任意三个点可以确定一个平面 C. 过平面外一点可以做无数条直线与这个平面垂直 D. 平行于同一平面的两条直线一定平行 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面的基本性质、异面直线、线面垂直的性质、线面平行的性质判断即可. 【详解】A选项，不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线，故正确. B选项，在空间内任意三点在同一条直线上时，则不能确定一个平面，故错误. C选项，过平面外一点只有一条直线与这个平面垂直，故错误. D选项，平行于同一平面的两条直线可以为平行于该平面的另一个平面的两条相交直线 或异面直线，不一定平行.故错误. 故选：A. 11.（2021·吉林·真题T30） 下列命题正确的是 ①如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。 ②如果条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直。（此处原文可能有遗漏，保留原样） ③如果两个平面互相垂直、那么其中一个平面内的任意一条直线都和另一平面垂直。（此处原文标点可能有误，保留原样） ④如果个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行。（此处原文可能有遗漏，保留原样） A. ①②③　　　　 B. ③④　　　　 C. ②③④　　　　 D. ①④ 【答案】D 【解析】 ①正确，如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行；②错误，如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么这条直线与这个平面可能平行，可能垂直，也可能在这个平面内；③错误，如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面内的任意一条直线和另一平面可能平行，可能垂直，也可能在这个平面内；④正确，如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 因此正确的是①④. 故选D. 12.（2025·吉林·真题T25）已知正方体，则与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，可得，所以（或其补角）为与所成的角，求解即可． 【详解】连接． 在正方体中可得且， 则四边形为平行四边形，故， 所以（或其补角）为与所成的角， 在正方体中可得，则为等边三角形，所以． 所以与所成的角是． 故选：C． 13.（2024·吉林·真题T15）如图，在正方体中，分别为和的中点，则和所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知线面垂直证明线线垂直即可解得. 【详解】由题，为正方体， 则平面， 平面， 则， 故与所成的角为 故选：D 14.（2023·吉林·真题T15）如图，在三棱锥中，与棱所在直线异面的是（ ） A. 棱所在直线 B. 棱所在直线 C. 棱所在直线 D. 棱所在直线 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线的定义判定. 【详解】异面直线的定义是“不在任何一个平面内的两条直线”. A选项中，棱与棱在平面BCD中相交于B点，故BC与BD为同一平面直线. B选项中，棱平面ABC，而棱与平面ABC相交，故BC与AD为异面直线. C选项中，棱与棱在平面ABC中相交于C点，故BC与AC为同一平面直线. D选项中，棱与棱在平面ABC中相交于B点，故BC与AB为同一平面直线. 故选：B. 考点03 综合题 15.（2025·吉林·真题T32）如图，在直三棱柱中，，，， （1）证明：； （2）求直线与底面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由得，由平面得，从而平面，得⊥，又⊥，可得平面，进而可得结论； （2）由⊥平面，可知∠为直线与底面所成角，求出 ，，进而可得结果. 【小问1详解】 连接， ∵，∴， ∵三棱柱是直三棱柱，平面， ∵平面，∴， 又∵，平面，∴平面， ∵平面，∴， ∵，∴是正方形，∴， 又∵，平面，∴平面， ∵平面，∴. 【小问2详解】 ∵平面，∴∠为直线与底面所成角， ∵在直角中，，∴， ∵在直角中，，∴， ∴， ∴直线与底面所成角的正弦值为. 16.（2024·吉林·真题T32）如图，已知四棱锥的底面是矩形，底面，，点分别是的中点． （1）证明：平面． （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点为，根据三角形中位线结合平行线传递性证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可得证； （2）根据棱锥体积公式求解. 【小问1详解】 取中点为，连接． 因为四边形为矩形，且E为的中点， 所以且. 在中，F为的中点，M为的中点， 所以且. 所以且，则四边形为平行四边形， 所以. 又平面平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为底面，所以PD⊥底面. 所以是三棱锥的底面上的高， 因为，且E为的中点，所以， 又因为四边形为矩形， 则， 所以三棱锥的体积为. 17.（2023·吉林·真题T32）如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱和的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可. （2）由线面垂直的判定定理证明即可. （3）先求底面积，再应用三棱锥体积公式代入计算即可. 【小问1详解】 分别为和的中点， ， 在正方体中，， ， 平面，平面， 平面. 【小问2详解】 , , 在正方体中，平面， 且平面， ， , 面， 平面. 【小问3详解】 正方体的棱长为， ， ， 平面， ， . 所以三棱锥的体积为. 18.（2022·吉林·真题T32）如图，长方体中，底面是边长为1的正方形，高为． （1）求直线与底面所成角的大小； （2）证明：平面平面． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先由线面垂直，找到直线在底面内的射影，由射影和斜线的连线可找到线面角，再由边的关系求解即可. （2）先证明线面垂直，再由面面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 因为在长方体中，底面， 所以直线为直线在底面内的射影， 所以为直线与底面所成角， 因为底面是边长为1的正方形， 所以， 底面，故， 所以直角三角形中，， 因为，所以， 所以直线与底面所成角. 【小问2详解】 因为底面是边长为1的正方形， 所以， 因为在长方体中， 底面，底面， 所以， 因为平面，， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面. 19.（2021·吉林·真题T32）如图，已知 平面 ，四边形 是边长为 的正方形，且 . （1） 求证： 平面 ； （2） 求 与平面 所成角的正切值. 【解析】 （1）证明： 平面 ， 平面 ，， 四边形 是正方形，，又 平面 ， 平面 ，， 平面 . （2）由题意，得 是直角三角形，，则 与平面 所成角的正切值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $